Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali

Revisione
gen. 2015
Sistemi 3D reali di
Coordinate Curvilinee Ortogonali
Claudio Magno
www.cm-physmath.net
CM_Portable MATH Notebook Series™
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
René Descartes (1596-1650)
1
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
2
INTRODUZIONE
Nelle applicazioni più avanzate del Calcolo Vettoriale, l’uso del sistema di coordinate rettangolari
(o cartesiane ortogonali) può rivelarsi poco conveniente in un problema specifico. Il più delle
volte, ciò avviene a causa della configurazione geometrica del problema, e.g., di quella emergente
dalla simmetria dominante nello scenario fisico. La configurazione geometrica, che caratterizza in
modo significativo i modi interattivi di un sistema fisico dato, può, infatti, suggerire la deduzione
da questo di molte proprietà dinamiche locali sia qualitative sia quantitative.
Così, il fatto che la base ortonormale rettangolare { xˆ , ˆy , ˆz } consista di vettori uniformi totalmente
(i.e., sia in modulo sia in direzione sia in verso) non rende, comunque, le coordinate rettangolari
più idonee di quelle sferiche per la determinazione, e.g., di una forma maneggevole del potenziale
vettore magnetico generato dalla corrente di spostamento in un condensatore conico.
In questa Unità tematica, sono presentati, in modo abbastanza dettagliato, gli strumenti operativi
minimi che conducono alle forme derivate fondamentali ∇ψ (gradiente), ∇ ⋅ Κ (divergenza),
∇ × Κ (rotore) e ∇ 2ψ ( ≡ ∇ ⋅∇ψ , laplaciano) in sistemi 3D di coordinate ortogonali generiche
non-cartesiane, espansi da basi vettoriali variabili. La prosa è ridotta al minimo (‡) ma il contenuto
formale si mantiene a livello medio-alto. Intenzionalmente, peraltro, è stato ignorato qualsiasi
riferimento alle rappresentazioni covariante e controvariante delle coordinate, strumenti essenziali
nella geometria (differenziale) dello spazio-tempo relativistico.
CM
___________________
(‡ )
Per argomenti preliminari e/o correlati, si vedano, e.g., AM [C. D. PAGANI - S. SALSA, ANALISI MATEMATICA,
e l’Unità tematica dell’autore: vectR3 [Operazioni Vettoriali 3D avanzate].
VOL. 2, ED. ZANICHELLI]
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
3
TRASFORMAZIONI DI SISTEMI DI COORDINATE IN R 3
La trasformazione delle coordinate rettangolari (x ; y ; z ) di un punto generico r ≡ x xˆ + y ˆy + z ˆz in
quelle (u ; v ; w ) corrispondenti dello stesso punto vs. un certo altro dominio 3D rappresentativo
aperto Duv w ⊆ R 3 è indicata simbolicamente con la terna di dipendenze funzionali scalari
 x ≡ x (u , v , w )

 y ≡ y (u , v , w ) .
 z ≡ z (u , v , w )

(1)
Si assuma, qui, che le Eq. di trasformazione (1) siano, almeno, biunivoche generalmente (quindi,
invertibili generalmente) e derivabili con continuità due volte generalmente (quindi, ∈ C 1 (Du vw )
generalmente). Si ricordi che il termine generalmente è usato nel significato specifico: eccetto, al
più, che per un numero finito di punti di D u v w , la chiusura di D u v w .
Il determinante jacobiano, non-nullo generalmente, della trasformazione dalle vecchie alle nuove
coordinate, (x ; y ; z ) ֏ (u ; v ; w ) , si scrive
∂x /∂u
J (u , v , w ) ≡ ∂y /∂u
∂z /∂u
∂ x / ∂v ∂ x / ∂ w
∂y /∂v ∂y /∂w ≠ 0 .
∂z /∂v ∂z /∂w
(2)
L’invertibilità generale della trasformazione (1) implica sia l’esistenza che l’unicità, almeno locali
generalmente, della terna di dipendenze funzionali scalari simboliche
 u ≡ u (x , y , z )

 v ≡ v (x , y , z ) ,
 w ≡ w (x , y , z )

(3)
alla quale corrisponde il determinante jacobiano, non-nullo generalmente, della trasformazione
inversa almeno locale dalle nuove alle vecchie coordinate, (u ; v ; w ) ֏ (x ; y ; z ) ,
∂u /∂x
J (x , y , z ) ≡ ∂v /∂x
∂w /∂x
−1
∂u /∂y
∂v /∂y
∂w /∂y
∂u /∂z
∂v / ∂ x ≠ 0 .
∂w / ∂ z
(4)
COORDINATE CURVILINEE IN R 3
In Geometria Differenziale, l’n-pla di equazioni di (iper-)superfici parametriche generalmente
regolari (v. AM, VOL. 2, p. 439) ottenuta uguagliando ciascuna delle espressioni funzionali delle
coordinate correnti a un parametro reale definisce un’ n - pla di equazioni di (iper-)superfici
coordinate parametriche in R n , quella, appunto, relativa all’ n - pla { c 1 , c 2 , … , c n } ⊂ R di valori
parametrici simultanei assegnati.
Ad esempio, uguagliando ordinatamente la terna {u , v , w } di coordinate trasformate alla terna di
parametri {c 1 , c 2 , c 3 } ⊂ R , si ottiene la terna corrispondente di equazioni di superfici coordinate
parametriche in R 3 ⇔ X ×Y × Z
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
 u (x , y , z ) = c 1 ,

 v (x , y , z ) = c 2 ,
 w (x , y , z ) = c .
3

4
(5)
Il vettore-posizione associato al punto generico P ≡ (x ; y ; z ) si scrive, usualmente vs. l’origine
del sistema di riferimento rettangolare (i.e., il vettore ‘esce’ dall’origine del riferimento),
r ≡ x xˆ + y ˆy + z ˆz ≡ r (x , y , z ) ( ≡ P ) .
(6)
D’altra parte, le dipendenze funzionali (1) per le coordinate rettangolari, determinano, a loro volta,
la rappresentazione composta di P ≡ (u ; v ; w ) ,
r ≡ x (u , v , w ) xˆ + y (u , v , w ) ˆy + z (u , v , w ) ˆz ≡ r (u , v , w )
(≡ P ) .
(7)
Ora, se v e w sono mantenute invarianti secondo le Eq. (5), la trasformazione (1) rappresenta la
u-linea [ ≡ linea parametrizzata vs. u] generalmente regolare (v. AM, vol. 2, p. 11)
r (u ) ≡ x (u , c 2 , c 3 ) xˆ + y (u , c 2 , c 3 ) ˆy + z (u , c 2 , c 3 ) ˆz .
(7.1)
u - linea
In modo analogo, se si prendono {u , w} ≡ {c 1 , c 3 } e {u , v} ≡ {c 1 , c 2 } invarianti nelle Eq. (1), si
originano, rispettivamente, una v-linea e una w-linea generalmente regolari per ogni coppia di
valori reali parametrici assegnati,
r (v ) ≡ x (c 1 , v , c 3 ) xˆ + y (c 1 , v , c 3 ) ˆy + z (c 1 , v , c 3 ) ˆz ,
(7.2)
v - linea
r (w ) ≡ x (c 1 , c 2 , w ) xˆ + y (c 1 , c 2 , w ) ˆy + z (c 1 , c 2 , w ) ˆz .
(7.3)
w - linea
In tal modo, la terna vettoriale { r (u ), r (v ), r (w )} costituisce, in R 3 , un sistema di riferimento a
coordinate curvilinee se la u-linea, la v-linea e la w-linea sono regolari. Queste sono dette linee
coordinate e, in generale, non corrispondono a linee rette.
BASI VETTORIALI DUALI PER SISTEMI DI
COORDINATE CURVILINEE IN R 3
Alla base vettoriale rettangolare usuale { xˆ , ˆy , ˆz } , possono essere associate, per ogni sistema
trasformato {u , v , w } di coordinate curvilinee ordinate, la coppia seguente di basi vettoriali
mutuamente duali: la prima base, {Tu , Tv , Tw } , è la terna ordinata variabile dei vettori tangenti,
nel punto generico P ≡ (x ; y ; z ) , alle u-, v- e w- linee coordinate, rispettivamente; l’altra base,
{ N u , N v , N w } , è la terna ordinata variabile di vettori ortogonali, nello stesso punto generico
P ≡ (u ; v ; w ) , alle superfici coordinate locali corrispondenti, rappresentate dalle Eq. (5).
La variabilità delle basi vettoriali duali {Tu , Tv , Tw } e { N u , N v , N w } equivale al cambiamento da
punto a punto (locale) dei vettori di ciascuna sia in modulo sia in direzione sia in verso. Le loro
caratteristiche generali non solo ne suggeriscono rappresentazioni ‘naturali’ ovvie ma, da queste, si
deducono prontamente le due basi vettoriali ordinate unitarie e duali { ˆt u , ˆt v , ˆt w } e { nˆ u , nˆ v , nˆ w } ,
costituite da versori. I vantaggi sia di intelligibilità formale che computazionali dell’uso di basi
vettoriali unitarie sono fin troppo evidenti!
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
5
Il vettore tangente in P ≡ (u ; v ; w ) ≡ r alla u-linea (generalmente regolare), si esprime mediante
la derivata fondamentale
Tu ≡
∂r
≠ 0.
∂u
(8)
Tipicamente, è Tu ≡ Tu (u , v , w ) ≠ 1 (norma pitagorica).
Estendendo le stesse considerazioni alle altre due linee coordinate, si deduce la base vettoriale
unitaria ordinata
 1 ∂r 1 ∂r 1 ∂r 
{ ˆt u , ˆt v , ˆt w } ≡ 
,
,
,
 h u ∂u h v ∂v h w ∂w 
(9)
per la quale, risulta, in modo ovvio,
 h ≡ h (u , v , w ) = ∂ r /∂u = x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 > 0 ,
u
u
u
u
 u

2
2
2
 h v ≡ h v (u , v , w ) = ∂ r /∂v = x ′v + y ′v + z ′v > 0 ,

 h w ≡ h w (u , v , w ) = ∂ r /∂w = x ′w2 + y ′w2 + z ′w2 > 0 .

(9.1)
La dipendenza dei versori tangenti (9) dalle coordinate trasformate u , v , w è, dunque, esplicita.
ˆ u , nˆ v , nˆ w } , basta notare
Riguardo a una rappresentazione della base vettoriale unitaria coniugata { n
che, per ogni superficie generalmente regolare Σ di equazione cartesiana f (x , y , z ) = c , con c
ˆ normale localmente a Σ è esprimibile come
costante, il versore n
nˆ ≡ nˆ (x , y , z ) =
f x′ xˆ + f x′ ˆy + f x′ ˆz
∇ f (x , y , z )
≡
.
∇ f (x , y , z ) f x′ 2 + f y′ 2 + f z′ 2
(10)
Quindi, dalle Eq. cartesiane (5), si determina, nel punto generico P ≡ (x ; y ; z ) ≡ r ∈ Σ , la base
vettoriale unitaria ordinata
1
1
 1

{ nˆ u , nˆ v , nˆ w } ≡  ∇ u , ∇ v ,
∇w  ,
ηv
ηw
 ηu

(11)
nella quale, analogamente alle Eq. (9.1), si riconoscono i denominatori > 0
 η ≡ η (x , y , z ) = ∇ u (x , y , z ) = u ′ 2 + u ′ 2 + u ′ 2 ,
u
x
y
z
 u

2
2
2
 η v ≡ η v (x , y , z ) = ∇ v (x , y , z ) = v ′x + v ′y + v ′z ,


′2
′2
′2
 η w ≡ η w (x , y , z ) = ∇ w (x , y , z ) = w x + w y + w z .
(11.1)
Ora, va osservato che, mentre la rappresentazione (9) dei versori (e vettori) tangenti avviene nello
spazio-immagine Su v w (trasformato) delle nuove variabili u , v , w , quella (11) dei versori (e
vettori) normali è realizzata nello spazio contro-immagine (cartesiano) originario.
Tale dualità geometrica tra le basi vettoriali si rivela sintomatica dell’ortogonalità degli spazi
generati dalle trasformazioni (1) e (3), esprimendosi nella
PROPOSIZIONE 1
Le basi vettoriali ordinate
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
{ Tu , Tv , Tw } ≡
{ ∂ r /∂u , ∂ r /∂v , ∂ r /∂w }
6
e { N u , N v , N w } ≡ {∇ u ,∇ v ,∇ w } ,
generatrici, rispettivamente, delle basi unitarie (9) e (11), costituiscono una coppia di terne
vettoriali reciproche. ▲
Dimostrazione
Le Eq. (1) e (3) fissano la dipendenza composta chiusa
u = u (x , y , z ) ≡ u (x (u , v , w ), y (u , v , w ), z (u , v , w )) .
(12)
Derivando formalmente vs. u i termini nei due membri estremi dell’identità (12), risulta
1=
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z
∂r
+
+
≡
⋅∇ u ,
∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u
∂u
(13)
∂u
∂u
∂u
∂r
∂x
∂y
∂z
ˆy +
ˆy +
ˆz e ∇ u ≡
ˆz .
≡
xˆ +
xˆ +
∂u
∂u
∂u
∂u
∂x
∂y
∂z
Procedendo analogamente con le variabili v e w , si ottengono le uguaglianze
avendo riconosciuto i vettori
∂r
∂r
⋅∇ v ≡
⋅∇ w = 1 .
∂v
∂w
(14)
Invece, derivando formalmente vs. v i termini nei due membri estremi dell’identità (12), si trova
0 =
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z
∂r
+
+
≡
⋅∇ u ,
∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v
∂v
(15)
come, pure, rispettivamente, valgono le uguaglianze
∂r
∂r
∂r
∂r
∂r
⋅∇ u ≡
⋅∇ v ≡
⋅∇ v ≡
⋅∇ w ≡
⋅∇ w = 0 .
∂w
∂u
∂w
∂u
∂v
(16)
Quindi, per comodità, rinominata la terna {u , v , w }:= {q 1 , q 2 , q 3 } ordinatamente, le Eq. (13), (14),
(15) e (16) possono essere poste nella rappresentazione sintetica à-la Kronecker,
∂r
⋅∇ q ν = δ µν ,
∂q µ
(17)
con { µ , ν } ⊂ {1, 2, 3 } . Tale rappresentazione è quella di una coppia di terne vettoriali reciproche
(v. vectR3, Eq. (23)), q. e. d..
■
Un controllo dei volumi caratteristici, di segno relativo, costruiti con i tps ( ≡ tri-prodotto scalare)
delle terne ordinate locali reciproche {Tu , Tv , Tw } e {N u , N v , N w } , mostra che essi corrispondono
agli jacobiani delle trasformazioni mutuamente inverse {x , y , z } {u , v , w} , v. le Eq. (2) e (4).
Infatti, ricordando, all’occorrenza, che i determinanti di due matrici (quadrate) in C mutuamente
trasposte sono identici, si trova esplicitamente, in termini di tri-prodotto scalare,
 ∂r ∂r
[Tu Tv Tw ] ≡ 
 ∂u ∂v
∂x /∂u
= ∂x /∂v
∂x /∂w
∂r 
:=
∂w 
∂y /∂u
∂y /∂v
∂y /∂w
∂r ∂r ∂r
⋅
×
∂u ∂v ∂w
∂z /∂u
∂x /∂u ∂x /∂v
∂z /∂v ≡ ∂y /∂u ∂y /∂v
∂z /∂w
∂z /∂u ∂z /∂v
∂ x / ∂w
∂y /∂w ≡ J (u , v , w ) ;
∂z /∂w
(18)
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
7
[ N u N v N w ] ≡ [∇ u ∇ v ∇ w ] ≡ ∇ u ⋅∇ v ×∇ w
∂u /∂x
= ∂v /∂x
∂w /∂x
∂u /∂y ∂u /∂z
∂v /∂y ∂v /∂z ≡ J −1 (x , y , z ) .
∂w /∂y ∂w /∂z
(19)
Inoltre, poiché le due terne vettoriali sono reciproche, valgono le identità (v. vectR3, Eq. (28) e
(26)) locali e biunivoche
J −1 (x , y , z ) =
1
;
J (u , v , w )
(20)
Nv × Nw
∂r
∇ v ×∇ w
= −1
≡
,
∂u
J (x , y , z ) [ N u N v N w ]
(21.1)
Nw × Nu
∂r
∇ w ×∇ u
= −1
≡
,
∂v
J (x , y , z ) [ N u N v N w ]
(21.2)
Nu × Nv
∂r
∇ u ×∇ v
= −1
≡
;
∂w
J (x , y , z ) [ N u N v N w ]
(21.3)
∂r ∂r
×
Tv × Tw
∇ u = ∂v ∂w ≡
,
J (u , v , w ) [Tu Tv Tw ]
∂r ∂r
×
w
∂
∂u ≡ Tw × Tu ,
∇v =
J (u , v , w ) [Tu Tv Tw ]
∂r ∂r
×
Tu × Tv
∇ w = ∂u ∂v ≡
.
J (u , v , w ) [Tu Tv Tw ]
(22.1)
(22.2)
(22.3)
Non è inutile soffermarsi un attimo per focalizzare le dipendenze funzionali dei termini contenuti
nei membri sinistri e, rispettivamente, destri delle identità (21.1), …, (22.3).
COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI IN R 3
Un sistema {u , v , w} di coordinate curvilinee si dice ortogonale se le sue linee coordinate sono
ortogonali tra loro ovunque nello spazio da esse generato. In questo caso, la base vettoriale
ordinata unitaria corrente { ˆt u , ˆt v , ˆt w } è localmente ortonormale, nel senso che i suoi versori
componenti sono mutuamente localmente ortogonali.
La base vettoriale corrente sarà sempre intesa come ordinata, ortonormale e destrorsa, senza
eccezione. In altri termini, le sue proprietà geometriche costitutive globali nel dominio (sottospazio) Duv w ⊆ R 3 sono:
ˆt α ⋅ ˆt β = δ αβ ,
con commutatività vs. gli indici di linea, ∀ {α , β } ⊂ {u , v , w} ;
(23)
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
ˆt u = ˆt v × ˆt w ,
ˆt v = ˆt w × ˆt u ,
ˆt w = ˆt u × ˆt v ,
8
(24)
con anti-commutatività dei fattori vettoriali associata alla ciclicità vs. gli indici di linea;
1 0 0
[ˆt u ˆt v ˆt w ] ≡ ˆt u ⋅ ˆt v × ˆt w ≡ 0 1 0 = 1 ( > 0) ,
0 0 1
(25)
con ciclicità vs. gli indici di linea e positività del volume (unitario) caratteristico.
PROPOSIZIONE 2
Sia {u , v , w} un sistema qualsiasi di coordinate curvilinee ortogonali.
Allora, ∀ α ∈ {u , v , w } , valgono localmente le identità vettoriali seguenti,
ˆt α ≡ nˆ α . ▲
(26)
Dimostrazione
Dall’ortogonalità locale della terna ordinata (destrorsa) {Tu , Tv , Tw } , segue, per la proprietà di
reciprocità (17), quella della terna duale associata { N u , N v , N w } .
Pertanto, i volumi caratteristici (18) e (19) sono dati, rispettivamente, da
 ∂r ∂r ∂r 
[Tu Tv Tw ] ≡ 
≡ J (u , v , w ) = h u h v h w > 0 ,
 ∂u ∂v ∂w 
[ N u N v N w ] ≡ [∇ u ∇ v ∇ w ] ≡ J −1 (x , y , z ) = η uη vη w > 0 ,
(27)
(28)
dove, per l’Eq. (20), anche la terna (28) è positiva e risulta localmente
hu hv hw =
1
.
η uη vη w
(29)
Ora, essendo { ˆt u , ˆt v , ˆt w } una base vettoriale ordinata ortonormale, si può manipolare, e.g., la
prima identità costitutiva (24) scrivendo, mediante le Eq. (21.1), (21.2), (21.3), (28) e (29),
∇ w ×∇ u
∇ u ×∇ v
∂r ∂r
× −1
×
−1
(η nˆ × η u nˆ u ) × (η u nˆ u × η v nˆ v )
ˆt u ≡ ˆt v × ˆt w = ∂v ∂w = J (x , y , z ) J (x , y , z ) = w w
h vh w
h vh w
(η uη vη w )2 h vh w
=
nˆ v × nˆ w
η vη w h vh w
≡
η u h u nˆ u
≡ η u h u nˆ u .
(η uη vη w ) (h uh v h w )
(30)
ˆ u = 1 e η u h u > 0 , la consistenza della sequenza di trasformazioni (30) implica
Poiché ˆt u ≡ n
che l’identità (26) vale, per α ≡ u , se e solo se h u ≡ 1/η u , i.e., ∂ r /∂u ≡ 1 / ∇ u localmente. ■
ˆ v e ˆt w ≡ nˆ w . Così, ∀ α ∈ {u , v , w} , vale la
In modo analogo, si dimostrano le identità ˆt v ≡ n
condizione locale, propria di un sistema di coordinate ortogonali,
hα ≡
∂r
∂α
=
x ′α2 + y ′α2 + z ′α2 =
1
ηα
≡
1
∇ α =
α ′x 2 + α ′y 2 + α ′z 2 .
(31)
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
9
La combinazione delle identità (11) e (26) fornisce le formule seguenti a variabili separate, valide
localmente per qualsiasi sistema {u , v , w} di coordinate ortogonali:
ˆt α (u , v , w ) ≡
1
∇ α (x , y , z ) ;
η α (x , y , z )
(32)
da queste, inversamente, si ottengono
∇ α (x , y , z ) = η α (x , y , z ) nˆ α (x , y , z ) ≡
1
ˆt α (u , v , w ) ,
h α (u , v , w )
(33)
∀ α ∈ {u , v , w} .
____________________
Per un sistema qualsiasi di coordinate curvilinee ortogonali {u , v , w } , i termini h u , h v , h w sono
noti come fattori di scala. La loro importanza è essenziale nella scrittura corretta di quantità
geometriche differenziali trasformate: essi forniscono la correzione specifica alla distorsione
locale delle coordinate di linea u , v , w vs. l’andamento rettilineo (cartesiano).
Se, ∀ α ∈ {u , v , w} , s α ≡ s (α ) ≥ 0 rappresenta la distanza (o coordinata naturale) misurata
lungo l’ α - linea, allora, dall’Eq. (9), si può scrivere
Tα ≡
∂r
∂ r ds α
=
.
∂α
∂s α dα
Considerazioni differenziali elementari (v. AM, vol. 2, p. 24) mostrano che ∂ r /∂α ≡ ˆt α . Quindi,
alternativamente all’Eq. (9), si perviene alla rappresentazione naturale importante
ds α
∂r
ˆt α .
=
∂α
dα
(34)
Il confronto tra l’Eq. (34) e gli elementi della base ortonormale (9) fornisce l’uguaglianza
hα =
ds α
dα
(≈
)
α ′x 2 + α ′y 2 + α ′z 2 ,
(35)
che, dalla definizione di differenziale 1.o di una funzione di una sola variabile, equivale a
(
ds α = h α d α ≈
)
α ′x2 + α ′y2 + α ′z 2 d α .
(36)
In parole: le lunghezze infinitesime di archi di linee coordinate ortogonali corrispondono alle
variazioni delle coordinate di linea moltiplicate per i fattori di scala rispettivi.
Pertanto, l’Eq. (34) è esprimibile come
∂r
= h α ˆt α ,
∂α
(37)
dalla quale, con trasformazioni elementari sul versore ˆt α , si trovano alcune identità generali,
semplici ma comode in molte circostanze.
Infatti, mantenendo come sistema di riferimento ortogonale fondamentale quello rettangolare e
combinando le Eq. (1) e (6) nell’Eq. (37), si scrive
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
ˆt α ≡ 1 ∂ r = 1  ∂x xˆ + ∂y ˆy + ∂z ˆz  .
h α ∂α
h α  ∂α
∂α
∂α 
10
(38)
Il confronto della rappresentazione (38) con quella generale evidente
ˆt α ≡ (ˆt α ⋅ xˆ ) xˆ + (ˆt α ⋅ ˆy ) ˆy + (ˆt α ⋅ ˆz ) ˆz
(39)
– valida localmente, oltretutto, vs. qualsiasi altro sistema di riferimento di coordinate ortogonali
assunto come fondamentale (e.g., cfr/c ESERCIZIO 5) – fornisce le identità cercate:
ˆt α ⋅ xˆ = 1 ∂x ,
h α ∂α
(40.1)
ˆt α ⋅ ˆy = 1 ∂y ,
h α ∂α
(40.2)
ˆt α ⋅ ˆz = 1 ∂z .
h α ∂α
(40.3)
Ora, riprendendo l’Eq. (37), l’ortogonalità del sistema {u , v , w} di coordinate curvilinee implica
localmente, per invarianza formale, la validità della combinazione lineare differenziale esatta
dr =
∂r
dα = ˆt u h udu + ˆt v h vdv + ˆt w h wdw .
∂
α
=u,v,w
∑
α
(41)
Da questa, si ha che la lunghezza dell’arco di linea infinitesimo limitato dai punti P ≡ (u ; v ; w ) e
P + dP ≡ (u + du ; v + dv ; w + dw ) è esprimibile dallo scalare invariante [invariante vs. qualsiasi
sistema di riferimento ortogonale dotato della stessa metrica e dello stesso prodotto interno]
ds ≈ d r ≡
dr ⋅dr =
(h udu )2 + (h vdv )2 + (h wdw )2 .
(42)
Nelle coordinate curvilinee ortogonali u , v , w , l’elemento differenziale infinitesimo di volume
d Ω ⊂ D u v w è il parallelepipedoide a spigoli specificamente curvilinei uscenti da P ≡ (u ; v ; w ) i
quali, a meno di infinitesimi di ordine ≥ 2 , approssimano lunghezze infinitesime del 1.o ordine di
linea coordinata nel verso localmente tangente (quindi, in direzione rettilinea) (cfr/c Eq. (34)). Il
volume corrispondente del parallelepipedo infinitesimo approssimante si scrive
d Ω = (ˆt uds u ) ⋅ (ˆt vds v ) × (ˆt wds w ) ≡ [ ˆt u ˆt v ˆt w ]ds uds vds w
≡1
= h u h v h wdu dv dw ≡ J (u , v , w )du dv dw .
(43)
Il risultato espresso dall’Eq. (43) non è inatteso! La positività evidente di J (u , v , w ) dipende dalla
scelta della base ortonormale { ˆt u , ˆt v , ˆt w } di riferimento come una terna vettoriale positiva, i.e.,
destrorsa, v. Eq. (25). Pertanto, la negatività eventuale di dΩ viene attribuita, necessariamente,
alla presenza di una o tre variazioni locali negative delle coordinate di linea, du , dv , dw , vs. la
terna (positiva) dei vettori tangenti rispettivi.
Infine, gli elementi differenziali infinitesimi d’area sono tre, ciascuno ottenuto, al 1.o ordine,
associando due degli spigoli rettilinei approssimanti precedenti mentre il terzo spigolo risulta,
dalle Eq. (24), normale al rettangolo generato dai primi due.
Poiché esistono due vettori normali a una superficie regolare, localmente opposti, è necessario
stabilire quale sia quello di verso positivo (o uscente dalla superficie). Il prodotto vettoriale
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
11
convenzionale genera un riferimento destrorso (la cosiddetta regola della mano destra della Fisica
elementare), conseguenza della definizione rigorosa di superficie orientata (v. AM, 2, p. 451-455).
Ora, l’area d S u della ‘base’ del parallelepipedo approssimante nell’Eq. (43) è data dal prodotto
vettoriale che la definisce. Com’è noto, tale rappresentazione vettoriale è caratterizzata dal versore
normale alla base, ˆt u . Si ha, dunque (al 1.o ordine di approssimazione infinitesima),
d S u := (ˆt v ds v ) × (ˆt w ds w ) ≡ ˆt u (h v dv ) (h w dw )
= ˆt u h v h w dv dw .
(44.1)
Con una permutazione ciclica degli indici di linea nell’Eq. (44.1), si ottengono le aree infinitesime
analoghe a quelle delle altre due facce del parallelepipedo approssimante (43),
d S v = ˆt v h u h w dudw ,
(44.2)
d S w = ˆt w h u h v dudv .
(44.3)
Le Eq. (44.1), (44.2) e (44.3) rappresentano gli elementi infinitesimi generici d’area delle superfici
coordinate locali ovunque in D u v w .
12
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
LE FORME DERIVATE FONDAMENTALI IN R 3
IN COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI
Come si è accennato nell’INTRODUZIONE, la conoscenza della struttura rappresentativa generale
di ciascuna delle forme derivate fondamentali, ∇ ψ , ∇ ⋅ Κ , ∇ × Κ e ∇ 2ψ , indipendente dal
sistema di coordinate ortogonali scelto, si rivela cruciale per il trattamento di molti modelli teorici
differenziali condivisi dalla Fisica e dall’Ingegneria (Meccanica Analitica, Elettrodinamica,
Fluidodinamica, Elasticità e Meccanica Ondulatoria nei mezzi continui, Acustica, Teoria del
Trasporto molecolare, etc.). In particolare, nei problemi cosiddetti di Sturm-Liouville agli autovalori, la conoscenza della struttura della forma laplaciano di ψ , i.e., ∇ 2ψ ( ≡ ∇ ⋅∇ ψ ), risulta
essenziale per la separabilità delle variabili nella ricerca di soluzioni stazionarie o perturbative di
equazioni differenziali dinamiche a derivate parziali.
Dalla determinazione della struttura rappresentativa generale del vettore ∇ ψ , si deducono, con
una certa cautela, quelle delle altre espressioni derivate.
PROPOSIZIONE 3
Si supponga che valgano le dipendenze funzionali biunivoche (1) e (3) e si consideri la funzione
scalare (u ; v ; w ) ֏ ψ (u , v , w ) ∈ C 1 (Duv w ) di variabili coordinate ortogonali, dove Du vw ⊆ R 3 è
un dominio aperto. Allora, in D u v w , vale la rappresentazione generale
1 ∂ψ ˆ 1 ∂ψ ˆ 1 ∂ψ
+ tv
+ tw
.▲
∇ψ ≡ ˆt u
h u ∂u
h v ∂v
h w ∂w
(45)
Dimostrazione
Della definizione di ∇ ψ in coordinate rettangolari,
∇ ψ (x , y , z ) :=
∂ψ
∂ψ
∂ψ
ˆy +
ˆz ,
xˆ +
∂x
∂y
∂z
(46)
si costruisce la rappresentazione ∇ψ (x , y , z ) ≡ ∇ψ (u (x , y , z ), v (x , y , z ), w (x , y , z ) ) con le formule
di derivazione parziale composta
∂ψ ∂u ∂ψ ∂v ∂ψ
 ∂ψ
 ∂x = ∂u ∂x + ∂v ∂x + ∂w

∂ψ ∂u ∂ψ ∂v ∂ψ
 ∂ψ
=
+
+

∂u ∂y ∂v ∂y ∂w
 ∂y
 ∂ψ
∂ψ ∂u ∂ψ ∂v ∂ψ
=
+
+

∂u ∂z ∂v ∂z ∂w
 ∂z
∂w
∂x
∂w
.
∂y
∂w
∂z
(47)
Sostituendo le espressioni (47) nell’Eq. (46), si possono riordinare i termini in modo da scrivere
∂ψ  ∂u
∂u
∂u  ∂ψ  ∂v
∂v
∂v  ∂ψ
ˆy +
ˆy +
ˆz  +
ˆz +
xˆ +
xˆ +


∂u  ∂x
∂y
∂z  ∂v  ∂x
∂y
∂z  ∂w
∂ψ
∂ψ
∂ψ
≡
∇u +
∇v +
∇w ,
∂u
∂v
∂w
1 ∂ψ ˆ 1 ∂ψ ˆ 1 ∂ψ
≡ ˆt u
+ tv
+ tw
≡ ∇ u v wψ (u , v , w ) ,
h u ∂u
h v ∂v
h w ∂w
∇ψ =
 ∂w ˆ ∂w ˆ ∂w ˆ 
 ∂x x + ∂y y + ∂z z 


13
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
avvalendosi, nel passaggio conclusivo, delle identità (33), necessarie per esprimere tutti i termini
in funzione delle sole coordinate u , v , w , q. e. d..
■
Osservazione 1
La fattorizzazione operatoriale vs. ψ nell’Eq. (45) mette in evidenza l’espressione generale
dell’operatore ∇ (del o gradiente o nabla) nel dominio D u v w ,
1 ∂ ˆ 1 ∂ ˆ 1 ∂
∇ ≡ ˆt u
+ tv
+ tw
≡ ∇ uvw .
h u ∂u
h v ∂v
(48)
h w ∂w
■
PROPOSIZIONE 4
Si supponga che valgano le dipendenze funzionali biunivoche (1) e (3) relativamente alla funzione
vettoriale (u ; v ; w ) ֏ Κ (u , v , w ) ≡ ∑ α = u ,v ,w Κ α ˆt α ∈ C 1 (Du v w ) , dove Duv w ⊆ R 3 è un dominio
aperto di variabili coordinate ortogonali.
Allora, in D u v w , si ha la rappresentazione generale
∇ ⋅Κ ≡
1
∂
∂
 ∂

(h w h u Κ v ) +
(h u h v Κ w )  . ▲
 (h v h w Κ u ) +
∂v
∂w
h u h v h w  ∂u

(49)
[Si ricordi che h u h v h w ≡ J (u , v , w ) , Eq. (43)]
Dimostrazione
Poiché {ˆt u , ˆt v , ˆt w } è una base ortonormale positiva, combinando la proprietà costitutiva (24)
con l’Eq. (33), si determinano le identità a variabili miste ( h α ≡ h α (u , v , w ) , ∇ α ≡ ∇ α (x , y , z ) )
 ˆt u ≡ ˆt v × ˆt w = h v h w∇ v ×∇ w ,

 ˆt v ≡ ˆt w × ˆt u = h wh u∇ w ×∇ u ,
ˆ
 t w ≡ ˆt u × ˆt v = h uh v∇ u ×∇ v .
(50)
In tal modo, la funzione vettoriale Κ può essere riscritta nella forma
Κ ≡ Κ u ˆt u + Κ v ˆt v + Κ w ˆt w
= h v h w Κ u∇ v ×∇ w + h w h u Κ v∇ w ×∇ u + h u h v Κ w∇ u ×∇ v ,
dalla quale, tenendo conto della scomposizione additiva di Κ in D u v w , dell’identità fondamentale
∇ ⋅ (φ F ) ≡ F ⋅ (∇ φ ) + (∇ ⋅ F ) φ (v.
e F ≡ ∇ v ×∇ w ,
vectR3, Eq. (31)) e dell’Eq. (33), si trova, con
φ ≡ hv hwΚ u
∇ ⋅ (Κ u ˆt u ) ≡ ∇ ⋅ (h v h w Κ u∇ v ×∇ w )
= (∇ v ×∇ w ) ⋅∇ (h v h w Κ u ) + (∇ ⋅ (∇ v ×∇ w ) ) h v h w Κ u
≡
1 ˆ
t u ⋅∇ (h v h w Κ u ) + (∇ ⋅ (∇ v ×∇ w ) ) h v h w Κ u .
h vh w
(51)
Il secondo addendo nell’espressione (51) risulta nullo perché (v. vectR3, Eq. (33) e (75)), si ha
∇ ⋅ (∇ v ×∇ w ) = ∇ w ⋅ (∇ ×∇ v ) −∇ v ⋅ (∇ ×∇ w ) = 0 + 0 ≡ 0 .
14
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
Quindi, mediante l’Eq. (45), l’Eq. (51) assume una forma in cui, ora, tutti i suoi termini dipendono
esplicitamente dalle sole coordinate u , v , w ,
∇ ⋅ (Κ u ˆt u ) =
≡
1 ˆ ˆ 1 ∂
1 ∂
1 ∂

tu ⋅  tu
(h v h w Κ u ) + ˆt v
(h v h w Κ u ) + ˆt w
(h v h w Κ u ) 
hv hw
h v ∂v
h w ∂w
 h u ∂u

1
∂
(h v h w Κ u ) .
h u h v h w ∂u
(52.1)
La ciclicità vs. gli indici di linea dà prontamente, dall’Eq. (52.1), gli altri due termini necessari,
∇ ⋅ (Κ v ˆt v ) =
1
∂
(h w h u Κ v ) ,
h u h v h w ∂v
(52.2)
∇ ⋅ (Κ w ˆt w ) =
1
∂
(h u h v Κ w ) .
h u h v h w ∂w
(52.3)
Si conclude per l’asserto sommando i risultati (52.1) (52.2) e (52.3), q.e.d..
■
PROPOSIZIONE 5
Sotto le stesse ipotesi della PROPOSIZIONE 4, vale la rappresentazione generale, in D u v w ,
∇ ×Κ ≡
1  ∂
∂
1  ∂
∂


(h v Κ v )  ˆt u +
(h u Κ u ) −
(h w Κ w )  ˆt v +
 (h w Κ w ) −

↲
h v h w  ∂v
∂w
h w h u  ∂w
∂u


↳
1
J (u , v , w )
≡
+
1  ∂
∂

(h u Κ u )  ˆt w
 (h v Κ v ) −
h u h v  ∂u
∂v

ˆt u h u
ˆt vh v
ˆt wh w
∂
∂u
Κ uh u
∂
∂v
Κ vh v
∂
.▲
∂w
Κ wh w
(53)
(53.1)
Dimostrazione
Mediante le Eq. (32) e (33), risulta conveniente rappresentare la funzione vettoriale Κ nella forma
a variabili miste
Κ ≡ Κ u ˆt u + Κ v ˆt v + Κ w ˆt w = h u Κ u∇ u + h v Κ v∇ v + h w Κ w∇ w .
Poiché ∇ × (φ F ) = (∇ × F ) φ − F ×∇ φ e ∇ ×∇ φ = 0 (si veda, e.g., vectR3, Eq. (32) e (75)),
allora, dalla scomposizione additiva di Κ in D u v w , si scrive, assegnando φ ≡ h u Κ u e F ≡ ∇ u ,
∇ × (Κ u ˆt u ) ≡ ∇ × (h u Κ u∇ u )
= (∇ ×∇ u )h u Κ u −∇ u ×∇ (h u Κ u )
 1 ∂ (h u Κ u ) ˆ 1 ∂ (h u Κ u ) ˆ 1 ∂ (h u Κ u )  1 ˆ
= ∇ (h u Κ u ) ×∇ u ≡  ˆt u
+ tv
+ tw
 × tu
h
∂
u
h
∂
v
h
∂
w
u
v
w

 hu
1 ∂ (h u Κ u ) ˆ
1 ∂ (h u Κ u ) ˆ
=
tv −
tw ,
(54.1)
∂w
∂v
hw hu
hu h v
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
15
dove ci si è avvalsi delle Eq. (45), (33) e della proprietà costitutiva (24).
Nel primo e nell’ultimo membro della catena di identità (54.1), tutti i termini dipendono
esplicitamente dalle sole coordinate u , v , w .
Poi, a partire dall’identità (54.1) stessa, variando gli indici di linea ciclicamente, si determinano le
altre due combinazioni lineari vettoriali necessarie,
∇ × (Κ v ˆt v ) =
1 ∂ (h v Κ v ) ˆ
1 ∂ (h v Κ v ) ˆ
tw −
tu ,
∂u
∂w
hu hv
hv hw
(54.2)
∇ × (Κ w ˆt w ) ≡
1 ∂ (h w Κ w ) ˆ
1 ∂ (h w Κ w ) ˆ
tu −
tv .
∂v
∂u
hv hw
hw hu
(54.3)
La dimostrazione si conclude sommando i risultati (54.1), (54.2) e (54.3).
La verifica della rappresentazione simbolica (e comoda) (53.1) è un esercizio elementare.
■
PROPOSIZIONE 6
Si supponga che sussistano le dipendenze funzionali biunivoche (1) e (3) relativamente alla
funzione scalare (u ; v ; w ) ֏ ψ (u , v , w ) ∈ C 1 (Duv w ) di variabili coordinate ortogonali. Inoltre, sia
ψ (u , v , w ) derivabile almeno due volte nel dominio aperto Duv w ⊆ R 3 .
Allora, in D u v w , vale la rappresentazione generale
 ∂  h vh w ∂ψ  ∂  h wh u ∂ψ  ∂  h uh v ∂ψ  
 
+ 
+

 
∂
∂
∂
∂
u
h
u
v
h
v
u
v


 ∂w  h w ∂w  
 
1
∂  hu h v h w ∂ 
≡
∑

ψ . ▲
J (u , v , w ) α = u ,v ,w ∂α  h α2
∂α 
∇ 2ψ ≡
1
h uh v h w
(55)
(55.1)
Dimostrazione
L’Eq. (45) fornisce le componenti scalari del vettore ∇ ψ nel dominio D u v w , i.e., ∀ α ∈ {u , v , w} ,
ˆt α ⋅∇ψ ≡ (1/h α ) (∂ψ /∂α ) .
Quindi, operando sull’identità ∇ 2ψ ≡ ∇ ⋅∇ ψ , si applica l’espressione formale di ∇ ⋅ Κ in D u v w ,
espressa dall’Eq. (49), sostituendo Κ α ≡ (1/h α ) (∂ψ /∂α ) . Ne risulta l’identità (55), q.e.d..
■
Osservazione 2
Come per l’operatore ∇ , cfr/c l’Eq. (48), anche per l’operatore ∇ 2 si individua, con la
fattorizzazione operatoriale vs. ψ nell’Eq. (55), la struttura generale vs. un sistema di coordinate
curvilinee ortogonali qualsiasi:
∇2≡
1
hu hv h w
∂
= u , v , w ∂α
∑
α
 h uh vh w ∂ 
2

 ≡ ∇ uvw ,
2
 h α ∂α 
(56)
dove, al solito, vale l’uguaglianza h u h v h w ≡ J (u , v , w ) .
■
La dimostrazione della PROPOSIZIONE 6 sfrutta in modo sintetico (e conveniente) le strutture
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
16
già acquisite delle operazioni di gradiente e di divergenza in D u v w .
D’altra parte, se si preferisce seguire un procedimento più elementare e meccanico (e sicuro) in
situazioni specifiche, è opportuno non dimenticare la necessità di evitare scritture istintive ma, in
generale, errate, come, e.g.,
 1 ∂ ˆ 1 ∂ ˆ 1 ∂   ˆ 1 ∂ψ ˆ 1 ∂ψ ˆ 1 ∂ψ 
+ tv
+ tw
⋅ tu
+ tv
+ tw
∇ ⋅∇ψ ≡  ˆt u
h v ∂v
h w ∂w   h u ∂u
h v ∂v
h w ∂w 
 h u ∂u
1 ∂  1 ∂ψ  1 ∂  1 ∂ψ  1 ∂  1 ∂ψ 
=
+
+
.
h u ∂u  h u ∂u  h v ∂u  h v ∂v  h w ∂u  h w ∂w 
In questa, infatti, stata applicata – in maniera semplicistica – la sola proprietà costitutiva (23) del
prodotto interno tra vettori ortogonali, trascurando di eseguire anche le derivazioni dei versori
contenuti nell’espressione di ∇ ψ , i quali, se non sono variabili in modulo, lo sono, però, sia in
direzione che in verso vs. le stesse coordinate u , v , w !
Quindi, ∀ { µ , ν } ⊂ {u , v , w} , l’operazione differenziale corretta (successiva a quella distributiva
della somma vs. il prodotto dei vettori ∇ e ∇ ψ ) è
 ˆ ∂   ˆ 1 ∂ψ   ˆ ∂ ˆt ν
tµ
 ⋅  tν
 =  t µ ⋅ ∂µ
 ∂µ   hν ∂ν  
 1 ∂ψ
∂  1 ∂ψ 
+ δ µν
.

∂µ  hν ∂ν 
 hν ∂ν
A questo punto, la prosecuzione del calcolo richiede la conoscenza della dipendenza esplicita di ˆtν
dalla coordinata µ , così da poter determinare il vettore ∂ˆt ν /∂µ .
■
17
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
RAPPRESENTAZIONI INTEGRALI
In molteplici questioni di carattere sia teorico che applicativo, l’equivalenza – dove sussista – tra
rappresentazioni integrali e differenziali è di rilevanza operativa difficilmente sottovalutabile.
La disponibilità di queste rappresentazioni alternative non risulta solo conveniente nella scelta dei
procedimenti risolutivi più diretti. Non è raro, infatti, che essa faccia emergere, dalle strutture più
interne dei modelli matematici implicati, simmetrie e regolarità altrimenti elusive.
Qui, ci si limiterà a riformulare alcuni risultati fondamentali in termini di risultati ottenuti alle
pagine precedenti in questa Unità tematica. Determinazioni generali di tali risultati fondamentali,
i.e., indipendenti dal sistema di coordinate rappresentative utilizzato, sono presentate in vectR3,
Eq. (54), (55.1), (55.2), (55.3) e (64), sotto condizioni analitiche specifiche opportune.
PROPOSIZIONE 7
Siano S ≡ ∂Ω e C ≡ ∂S interni al dominio aperto Duv w ⊆ R 3 . S è una superficie chiusa,
frontiera del volume à-la Gauss finito Ω ; S ≡ S \ ∂S è la superficie aperta finita corrispondente,
bordata dalla linea à-la Stokes C chiusa. Inoltre, si assuma che il Teorema della Media Integrale
valga generalmente in D u v w , debitamente adattato a qualsiasi tipo di integrale (vettoriale).
Allora, dalle rappresentazioni operatoriali
ˆt u 1 ∂ + ˆt v 1 ∂ + ˆt w 1 ∂ ≡ ∇ ≡ lim 1
Ω →0 Ω
h u ∂u
h v ∂v
h w ∂w
∫∫ (d S ) ,
(57)
S
ˆ dS ) si traggono le identità seguenti:
(d S ≡ n
1 ∂ψ ˆ 1 ∂ψ ˆ 1 ∂ψ
∇ ψ ≡ ∇ uvwψ (u , v , w ) = ˆt u
+ tv
+ tw
h u ∂u
1

≡  lim
Ω →0 Ω


∫∫ (d S )  ψ
S
h v ∂v
≡ lim
Ω →0
1
Ω
h w ∂w
∫∫ ψ d S . ▲
(58)
S
Mediante l’uguaglianza (49) in vectR3, si può trasformare l’integrale-limite di superficie (58) in
un integrale-limite di volume e, da questo, arrivare a un’espressione alternativa di ∇ ψ eliminando
elementi infinitesimi di misura di ordine > 1 .
Dunque, per il Teorema della Media Integrale, si scrive in modo equivalente
∇ ψ ≡ lim
Ω →0
1
Ω
∇ψ dΩ
∫∫∫
Ω
=
1
∇ ψ (u , v , w ) J (u , v , w )du dv dw ≈ …
J (u , v , w )du dv dw
(dove (u ; v ; w ) ∧ (u ; v ; w ) ∈ Ω → 0 )
 ˆ 1 ∂ψ ˆ 1 ∂ψ ˆ 1 ∂ψ 
 t u h ∂u + t v h ∂v + t w h ∂w  h u h v h w
u
v
w


1
∂ψ
∂ψ
 ∂ψ

=
h v h w ˆt u +
h u h w ˆt v +
h u h v ˆt w 

∂v
∂w
h u h v h w  ∂u

…≈
1
hu h v h w
≡
1
hu h v h w
 ∂ ˆ
∂ ˆ
∂ ˆ
  ∂

(t u h v h w )  +  (ˆt v h u h wψ ) − ψ
(t v h u h w )  +
  (t u h v h wψ ) − ψ
∂u
∂v
  ∂v
 ↲
  ∂u
↳
∂ ˆ
 ∂ ˆ

+
(t w h u h vψ ) − ψ
(t w h u h v )  
∂w
 ∂w

18
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
1
≈
h uh vh w

 ∂ 2 Su    ∂
 ∂ 2Sv  
∂
  ∂ (ˆt u h v h wψ ) − ψ ∂ 
ˆ
  +  (t v h u h wψ ) − ψ

+
  ∂u
∂u  ∂v ∂w    ∂v
∂v  ∂w ∂u   ↲

 

2

 ∂
∂  ∂ S w   
ˆ

(t w h u h vψ ) − ψ
≈ …
+


↳  ∂w
∂w  ∂u ∂v   


(trascurando i termini contenenti variazioni del 3.o ordine nelle aree vettoriali infinitesime, cfr/c
Eq. (44.1), (44.2) e (44.3))
≈
1
∂ ˆ
∂ ˆ
 ∂ ˆ

(t u h v h w ψ ) +
(t v h u h w ψ ) +
(t w h u h vψ )  ;

h u h v h w  ∂u
∂v
∂w

(58.1)
____________________
∇ ⋅Κ =
1
∂
∂
 ∂

(h w h u Κ v ) +
(h u h v Κ w ) 
 (h v h w Κ u ) +
∂v
∂w
h u h v h w  ∂u

1

≡  lim
 Ω →0 Ω

∫∫ (d S ) ⋅  Κ
S
≡ lim
Ω →0
1
Ω
∫∫ Κ ⋅ d S
≡ lim
Ω →0
S
1
Ω
∇ ⋅ Κ dΩ ,
∫∫∫
Ω
(59)
per il Teorema di Gauss, etc. (v. Eq. (48) in vectR3);
____________________
∇ ×Κ ≡
1  ∂
∂
1  ∂
∂


(h v Κ v )  ˆt u +
(h u Κ u ) −
(h w Κ w )  ˆt v +
 (h w Κ w ) −

↲
∂w
∂u
h vh w  ∂v
h wh u  ∂w


↳
1

≡  lim
Ω →0 Ω

∫∫ (d S ) ×  Κ
S
+
1  ∂
∂

(h v Κ v ) −
(h u Κ u )  ˆt w

∂v
h u h v  ∂u

≡ lim
Ω →0
1
Ω
∫∫ d S × Κ
S
≡ lim
Ω →0
1
Ω
∇ × Κ dΩ ,
∫∫∫
Ω
(60)
per l’identità (51) in vectR3, etc..
____________________
Inoltre, se il Teorema di Stokes vale lungo la frontiera C di una superficie infinitesima S , il
rotore di Κ in r ≡ r (u , v , w ) , essendo r un punto interno di S , è rappresentabile come
integrale di linea, risultando
∇ × Κ (r ) ≡
1  ∂
∂
1  ∂
∂


(h v Κ v )  ˆt u +
(h u Κ u ) −
(h w Κ w )  ˆt v +
 (h w Κ w ) −

↲
h v h w  ∂v
∂w
h w h u  ∂w
∂u


↳
1

≡  nˆ (r ) lim
S →0 S

∫
C
+
1  ∂
∂

(h u Κ u )  ˆt w ≡
 (h v Κ v ) −
h u h v  ∂u
∂v

1

ˆ (r ) lim
(d ξ ) ⋅  Κ (r ) ≡ n
S →0 S

∫
Κ (ξ ) ⋅ d ξ .
(61)
C
■■■
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
19
APPLICAZIONI
Non esiste, per sé, alcuna ragione formale perché il sistema di coordinate rettangolari in R 3 sia
da privilegiare come fondamentale rispetto a tutti gli altri; però, ne esiste certamente una pratica,
apparendo sensato e conveniente fissare come prioritario un sistema di riferimento ortogonale le
cui linee coordinate, oltre a costituire immagini geometriche intuitive di R , sono rette, i.e., linee
illimitate a curvatura nulla ovunque, per le quali, le superfici coordinate associate sono piani, i.e.,
superfici illimitate a curvature principali (v. AM, vol. 2, p. 478) nulle ovunque. Questa scelta
richiama, in un certo senso, esempî analoghi, come l’assegnazione primitiva (benché arbitraria)
delle posizioni delle immagini numeriche vs. quella dello zero sulla retta numerica rappresentativa.
Le relazioni formali generali ricavate nelle pagine precedenti dovrebbero rispondere in modo
sufficiente ai problemi applicativi di trasformazione 3D più frequenti in ambito sia classico che
quantistico non-relativistico.
Come esempi, sono presentati i risultati relativi alle tre rappresentazioni coordinate di maggior
interesse e ricorrenza, quelle rettangolare, cilindrico-circolare e sferica, e ne sono indicate le
equazioni-sorgente generali rispettive.
In ogni caso, l’eseguibilità dei calcoli relativi a trasformazioni di coordinate ortogonali qualsiasi
dipende dalla conoscenza delle dipendenze funzionali (1) delle coordinate rettangolari, necessarie
per la rappresentazione (7) di r , e, quindi, dalla determinazione, con le Eq. (9.1), dei fattori di
scala appropriati. L’attività computazionale – generalmente elementare – si riduce all’adattamento
delle relazioni formali già ricavate alle geometrie specifiche.
COORDINATE RETTANGOLARI
Le coordinate rettangolari sono trasformate ordinatamente in se stesse,
(x ; y ; z ) ֏ (u ; v ; w ) ≡ (x ; y ; z ) ,
(62)
dall’operatore identità, rappresentabile mediante la matrice jacobiana identità
 ∂ x / ∂x

J (x , y , z ) ≡  ∂y /∂x
 ∂ z /∂ x

∂x /∂y
∂y /∂x
∂z /∂y
∂ x /∂ z
∂y /∂z
∂ z /∂ z
 1 0 0
 

 =0 1 0 .

 
 0 0 1
(62.1)
Ovviamente, il determinante jacobiano e il suo inverso (v. Eq. (20)) valgono entrambi 1 ,
J − 1 (x , y , z ) ≡
1
= 1 ≡ hx hy h z .
J (x , y , z )
(63)
Dalle Eq. (9) e (6), la base ortonormale dei versori tangenti localmente si scrive
 1 ∂r 1 ∂r 1 ∂r   1 ˆ 1 ˆ 1
{ ˆt x , ˆt y , ˆt z } ≡ 
,
,
 ≡ h x , h y , h
h
∂
x
h
∂
y
h
∂
z
x
y
z
y
z

  x
ˆz  .

(64)
Quindi, uguagliando gli elementi ordinatamente, le identificazioni
ˆt x ≡ xˆ ,
ˆt y ≡ ˆy ,
hx = hy = h z ≡ 1
sono immediate (e scontate).
ˆt z ≡ ˆz ,
(65)
(66)
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
20
Analogamente, dall’Eq. (11), la base ortonormale dei versori normali localmente è data da
1
1
1
1
1
 1
ˆy ,
{ nˆ x , nˆ y , nˆ z } ≡  ∇ x , ∇ y , ∇ z  =  xˆ ,
ηy
η z  η x
ηy
ηz
η x
ˆz  ,

(67)
con le conclusioni evidenti
ˆt x ≡ xˆ ,
ˆt y ≡ ˆy ,
ˆt z ≡ ˆz ,
ηx = ηy = ηz ≡ 1 .
(69)
Le superfici coordinate rettangolari sono costituite dalla terna parametrica di piani
{x
= c 1 (:= 0), y = c 2 (:= 0), z = c 3 (:= 0)} ,
(70)
mentre l’elemento differenziale infinitesimo di linea assume, attraverso le Eq. (41) e (42), le
rappresentazioni scalare e vettoriale ovvie
dr =
∂r
dα = xˆ dx + ˆy dy + ˆz dz ,
= x , y , z ∂α
∑
α
ds ≈ d r =
(71.1)
(dx )2 + (dv )2 + (dw )2 .
(71.2)
L’elemento differenziale infinitesimo di volume e i tre elementi differenziali infinitesimi d’area
corrispondenti si ottengono adattando le Eq. (43) e (44.1), (44.2), (44.3). Risultano
d Ω = J (x , y , z )dx dy dz = 1 ⋅ dx dy dz ≡ dx dy dz ,
(72)
 d S x = xˆ h y h z dy dz = xˆ dy dz ,

 d S y = ˆy h x h z dx dz = ˆy dx dz ,

 d S z = ˆz h x h y dx dy = ˆz dx dy .
(73)
Circa le forme derivate fondamentali, le Eq. (44), (48), (52) e (54) si riducono elementarmente alle
espressioni rispettive ben note,
∇ψ ≡
∂ψ
∂ψ
∂ψ
ˆy +
ˆz ,
xˆ +
∂x
∂y
∂z
∇ ⋅Κ ≡
∂Κ x
∂x
+
∂Κ y
∂y
+
 ∂Κ z ∂Κ y
−
∂z
 ∂y
ˆy
xˆ
∇ ×Κ ≡ 
≡
∂Κ z
∂z
(74)
,

 ∂Κ x ∂Κ z 
 ∂Κ y ∂Κ x
−
−
 ˆy + 
 xˆ + 
∂x 
∂y
 ∂z

 ∂x
ˆz
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Κx
Κy
Κz
(75)

 ˆz

,
(76)
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ
∇ ψ ≡
+
+
.
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(77)
2
■
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
21
COORDINATE CILINDRICO-CIRCOLARI
La trasformazione delle coordinate rettangolari in quelle cilindrico-circolari (cilindriche) è
(x ; y ; z ) ֏ (u ; v ; w ) ≡ ( ρ ; ϕ ; z ) ,
(78)
essendo ρ ∈ R 0+ (≡ R + ∪ { 0 }) , ϕ ∈ [ 0, 2π ) , z ∈ R ;
Eq. (1) ⇒
 x ≡ x ( ρ , ϕ , z ) := ρ cos ϕ ,

 y ≡ y ( ρ , ϕ , z ) := ρ sin ϕ ,
 z ≡ z ( ρ , ϕ , z ) := z ,

(79)
Eq. (2) ⇒
∂ x /∂ ρ
J ( ρ , ϕ , z ) = ∂y /∂ ρ
∂ z /∂ ρ
∂x /∂ϕ
∂y /∂ϕ
∂z /∂ϕ
∂ x /∂ z
cos ϕ
∂y /∂z = sin ϕ
∂ z /∂ z
0
− ρ sin ϕ 0
ρ cos ϕ 0 = ρ ;
0
1
(80)
Eq. (3) ⇒
invertendo le Eq. (79), si ottiene il sistema di equazioni scalari
 ρ ≡ ρ (x , y , z ) = (x 2 + y 2 )1 / 2 ,

 ϕ ≡ ϕ (x , y , z ) = tan −1 (y /x ) ,

 z ≡ z (x , y , z ) = z ;
(81)
Eq. (4) ⇒
∂ ρ /∂ x
∂ ρ /∂y ∂ ρ /∂z
x /(x 2 + y 2 )1 2 y /(x 2 + y 2 )1 2
J −1 (x , y , z ) = ∂ϕ /∂x
∂ϕ /∂y
−y /(x 2 + y 2 )
x /(x 2 + y 2 )
∂ z /∂ x
∂z /∂y
0
0
2 −1 / 2
= (x + y )
2
∂ϕ /∂z =
∂ z /∂ z
≡ ρ ;
−1
0
0
1
(82)
Eq. (5) ⇒
la terna di superfici coordinate parametriche
{ ρ (x , y , z ) = c 1 , ϕ (x , y , z ) = c 2 , z (x , y , z ) = c 3 } ,
(83)
è costituita, rispettivamente, da una superficie cilindrica (a sezione circolare) illimitata secondo il
suo asse (l’asse Z ), da un piano contenente l’asse Z e da un piano parallelo al piano X ×Y .
Eq. (7) ⇒
r = xˆ ρ cos ϕ + ˆy ρ sin ϕ + ˆz z ;
(84)
Eq. (9.1) ⇒
Tenendo conto che la base ortonormale rettangolare è invariante sia nelle direzioni che nei versi
dei suoi elementi, si calcolano, a partire dall’Eq. (84),
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
∂r
= xˆ cos ϕ + ˆy sin ϕ ,
∂ρ
∂r
= − xˆ ρ sin ϕ + ˆy ρ cos ϕ ,
∂ϕ
∂r
= ˆz
∂z
22
(85.1)
e, quindi, i fattori di scala cilindrici sono
h ρ ≡ ∂ r /∂ ρ = 1 ,
h ϕ ≡ ∂ r /∂ ρ = ρ ,
h z ≡ ∂ r /∂z = 1 .
(85.2)
Segue che
Eq. (9) ⇒
 1 ∂r 1 ∂r 1 ∂r 
{ ˆt ρ , ˆt ϕ , ˆt z }:= { ρˆ , ϕˆ , ˆz } ≡ 
,
,
,
 h ρ ∂ρ h ϕ ∂ϕ h z ∂z 
(86)
i.e., dalle Eq. (85.1), (85.2) e (39), si ottengono le identità
 ρˆ = xˆ cos ϕ + ˆy sin ϕ ≡ ( ρˆ ⋅ xˆ ) xˆ + ( ρˆ ⋅ ˆy ) ˆy + ( ρˆ ⋅ ˆz ) ˆz

 ϕˆ = − xˆ sin ϕ + ˆy cos ϕ ≡ (ϕˆ ⋅ xˆ ) xˆ + (ϕˆ ⋅ ˆy ) ˆy + (ϕˆ ⋅ ˆz ) ˆz .

 ˆz = ˆz ≡ (ˆz ⋅ xˆ ) xˆ + (ˆz ⋅ ˆy ) ˆy + (ˆz ⋅ ˆz ) ˆz
(87)
Le identità (87) possono essere poste sinteticamente nella forma matriciale
 ρˆ   cos ϕ
ˆ 
 ϕ  =  − sin ϕ
 ˆz   0
  
sin ϕ
cos ϕ
0
0
0
1
 xˆ 
 ˆ  .
 y 
 
 ˆz 
(88)
Poiché la matrice (quadrata) nell’Eq. (88) ha i termini reali e il suo determinante è generalmente
non-nullo, essa risulta invertibile per trasposizione riga colonna, i.e.,
 xˆ   cos ϕ
ˆ 
 y  =  sin ϕ
 ˆz   0
  
− sin ϕ
cos ϕ
0
0
0
1
 ρˆ 
 ˆ  .
 ϕ 
 
 ˆz 
(89)
La forma matriciale (89) corrisponde al sistema lineare di identità inverse vs. le Eq. (87)
 xˆ = ρˆ cos ϕ − ϕˆ sin ϕ ≡ (xˆ ⋅ ρˆ ) ρˆ + (xˆ ⋅ ϕˆ )ϕˆ + (xˆ ⋅ ˆz ) ˆz

 ˆy = ρˆ sin ϕ + ϕˆ cos ϕ ≡ (ˆy ⋅ ρˆ ) ρˆ + ( ˆy ⋅ ϕˆ )ϕˆ + ( ˆy ⋅ ˆz ) ˆz .

 ˆz = ˆz ≡ (ˆz ⋅ ρˆ )ρˆ + (ˆz ⋅ ϕˆ )ϕˆ + (ˆz ⋅ ˆz ) ˆz
(90)
È opportuno disporre anche delle derivate dei versori cilindrici vs. le coordinate cilindriche.
Mediante le Eq. (87), si calcolano
∂ρˆ
= 0,
∂ρ
∂ϕˆ
= 0,
∂ρ
∂ ˆz
= 0,
∂ρ
∂ρˆ
= ϕˆ ,
∂ϕ
∂ϕˆ
= − ρˆ ,
∂ϕ
∂ ˆz
= 0,
∂ϕ
∂ρˆ
= 0;
∂z
∂ϕˆ
= 0;
∂z
∂ ˆz
= 0;
∂z
(91.1)
(91.2)
(91.3)
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
23
Eq. (41) ⇒
d r = ρˆ d ρ + ϕˆ ρ d ϕ + ˆz dz ;
(92)
Eq. (42) ⇒
(dρ )2 + ( ρdϕ )2 + (dz )2 ;
ds ≈
(93)
Eq. (43) ⇒
d Ω = ρ dρ dϕ dz ;
(94)
Eq. (44.1), (44.2), (44.3) ⇒
d Sρ =

 d Sϕ =
d S =
 z
ρˆ h ϕ h z d ϕ dz = ρˆ ρ dϕ dz
ϕˆ h ρ h z d ρ dz = ϕˆ dρ dz
;
(95)
ˆz h ρ h ϕ d ρ d ϕ = ˆz ρ dρ d ϕ
Eq. (45) ⇒
∂

1 ∂
∂ 
+ ϕˆ
+ ˆz ψ ;
∇ψ =  ρˆ
∂
ρ
ρ
∂
ρ
∂z 

(96)
Eq. (49) ⇒
∂Κ ϕ

1 ∂
∂
(ρ Κ ρ ) +
+ ( ρΚ z ) 

ρ  ∂ρ
∂ϕ
∂z

Κ ρ ∂Κ ρ 1 ∂Κ ϕ ∂Κ z
≡
+
+
+
;
ρ
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
∇ ⋅Κ =
(97)
Eq. (49) ⇒
∇ ×Κ =
≡

 ∂Κ ρ ∂Κ z
1  ∂Κ z
∂
− ( ρ Κ ϕ )  ρˆ + 
−

ρ  ∂ϕ ∂z
∂ρ

 ∂z
ˆz
ρˆ
ϕˆ ρ
∂
ρ ∂ρ
∂
∂ϕ
1
Κρ
∂
∂z
∂Κ ρ

1 ∂
(ρ Κ ϕ ) −
 ϕˆ + 
ρ  ∂ρ
∂ϕ

;

 ˆz

(98)
Κϕρ Κz
Eq. (49) ⇒
1  ∂  ∂ψ  ∂  1 ∂ψ  ∂  ∂ψ
ρ
+
+ ρ
ρ  ∂ρ  ∂ρ  ∂ϕ  ρ ∂ϕ  ∂z  ∂z
1 ∂  ∂ψ  1 ∂ 2ψ ∂ 2ψ
≡
+
+
ρ
.
ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
∇ 2ψ =



(99)
■
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
24
COORDINATE SFERICHE
La trasformazione delle coordinate rettangolari in quelle sferiche è
(x ; y ; z ) ֏ (u ; v ; w ) ≡ (r ; θ ; ϕ ) ,
(100)
essendo r ∈ R 0+ , θ ∈ [ 0, π ] , ϕ ∈ [ 0, 2 π ) ;
Eq. (1) ⇒
 x ≡ x (r , θ , ϕ ) := r sin θ cos ϕ ,

 y ≡ y (r , θ , ϕ ) := r sin θ sin ϕ ,
 z ≡ z (r , θ , ϕ ) := r cos θ ;

(101)
Eq. (2) ⇒
∂x /∂r
J (r , θ , ϕ ) = ∂y /∂r
∂z /∂r
∂x /∂θ
∂y /∂θ
∂z /∂θ
∂x /∂ϕ
∂y /∂ϕ
∂z /∂ϕ
sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ
= sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ
cos θ
− r sin θ
− r sin θ sin ϕ
r sin θ cos ϕ = r 2 sin θ ;
0
(102)
Eq. (3) ⇒
invertendo le Eq. (101), si ottiene il sistema di equazioni scalari
 r ≡ r (x , y , z ) = (x 2 + y 2 + z 2 )1 2 ,

−1
2
2 12
 θ ≡ θ (x , y , z ) = tan ((x + y ) /z ) ,

−1
 ϕ ≡ ϕ (x , y , z ) = tan (y /x );
(103)
Eq. (4) ⇒
∂r /∂x
J (x , y , z ) = ∂θ /∂x
∂ϕ /∂x
∂r /∂y
∂θ /∂y
∂ϕ /∂y
−1
∂r / ∂ z
∂θ /∂z
∂ϕ /∂z
x
y
(x + y + z )
2
2
2 12
xz
=
2
2
(x + y + z 2 ) (x 2 + y 2 )1 2
−
y
(x + y 2 )1 2
2
z
(x + y + z )
2
2
2 12
2
2
2
yz
2
2
(x + y + z 2 ) (x 2 + y 2 )1 2
(x 2 + y 2 )1 2
− 2
x + y2 + z2
x
(x + y 2 )1 2
0
2
1
(x + y + z ) (x 2 + y 2 )1 2
1
1
1
;
≡
≡ 2
= 2
2
2 12
2 12
r (r − z )
r (1 − (cos θ ) )
r sin θ
=
(x + y + z 2 )1 2
2
2 12
(104)
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
25
Eq. (5) ⇒
la terna di superfici coordinate parametriche
{r (x , y , z ) = c 1 , θ (x , y , z ) = c 2 , ϕ (x , y , z ) = c 3 } ,
(105)
è costituita, rispettivamente, da una superficie sferica, da una superficie conica avente l’asse Z
come asse di simmetria e da un piano contenente l’asse Z ;
Eq. (7) ⇒
r = xˆ r sin θ cos ϕ + ˆy r sin θ sin ϕ + ˆz r cos θ ;
(106)
Eq. (9.1) ⇒
Tenendo conto che la base ortonormale rettangolare è invariante sia nelle direzioni che nei versi
dei suoi elementi, si calcolano, a partire dall’Eq. (106),
 ∂r
 ∂r = xˆ sin θ cos ϕ + ˆy sin θ sin ϕ + ˆz cos θ ,

 ∂r
= xˆ r cos θ cos ϕ + ˆy r cos θ sin ϕ − ˆz r sin θ ,

θ
∂

 ∂r
 ∂ϕ = − xˆ r sin θ sin ϕ + ˆy r sin θ cos ϕ

(107.1)
e, quindi, i fattori di scala sferici sono
h r ≡ ∂ r /∂r = 1 ,
h θ ≡ ∂ r /∂θ = r ,
h ϕ ≡ ∂ r /∂ϕ = r sin θ .
(107.2)
Segue che
Eq. (9) ⇒
 1 ∂r 1 ∂r 1 ∂r 
{ ˆt r , ˆt θ , ˆt ϕ }:= { rˆ , θˆ , ϕˆ } ≡ 
,
,
,
 h r ∂r h θ ∂θ h ϕ ∂ϕ 
(108)
i.e., dalle Eq. (107.1), (107.2) e (39), si ottengono le identità
 rˆ = xˆ sin θ cos ϕ + ˆy sin θ sin ϕ + ˆz cos θ ≡ ( rˆ ⋅ xˆ ) xˆ + (rˆ ⋅ ˆy ) ˆy + (rˆ ⋅ ˆz ) ˆz ,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
 θ = xˆ cos θ cos ϕ + ˆy cos θ sin ϕ − ˆz sin θ ≡ (θ ⋅ xˆ ) xˆ + (θ ⋅ ˆy ) ˆy + (θ ⋅ ˆz ) ˆz ,
 ϕˆ = − xˆ sin ϕ + ˆy cos ϕ ≡ (ϕˆ ⋅ xˆ ) xˆ + (ϕˆ ⋅ ˆy ) ˆy + (ϕˆ ⋅ ˆz ) ˆz ,

(109)
le quali possono essere poste sinteticamente nella forma matriciale
 rˆ   sin θ cos ϕ
 ˆ 
 θ  =  cos θ cos ϕ
 ϕˆ   − sin ϕ
  
sin θ sin ϕ
cos θ sin ϕ
cos ϕ
cos θ  xˆ 
 
− sin θ  ˆy  .
 ˆz 
0 

(110)
Poiché la matrice (quadrata) nell’Eq. (110) ha i termini reali e il suo determinante è generalmente
non-nullo, essa risulta invertibile per trasposizione riga colonna, i.e.,
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
 xˆ   sin θ cos ϕ
ˆ 
 y  =  sin θ sin ϕ
 ˆz   cos θ
  
cos θ cos ϕ
cos θ sin ϕ
− sin θ
− sin ϕ   rˆ 
 
cos ϕ   θˆ  .
 ϕˆ 
0 

26
(111)
La forma matriciale (111) corrisponde al sistema lineare di identità inverse vs. le Eq. (109)
 xˆ = rˆ sin θ cos ϕ + θˆ cos θ cos ϕ − ϕˆ sin ϕ ≡ (xˆ ⋅ rˆ ) rˆ + (xˆ ⋅ θˆ ) θˆ + (xˆ ⋅ ϕˆ ) ϕˆ ,

 ˆy = rˆ sin θ sin ϕ + θˆ cos θ sin ϕ + ϕˆ cos ϕ ≡ (ˆy ⋅ rˆ ) rˆ + ( ˆy ⋅ θˆ ) θˆ + ( ˆy ⋅ ϕˆ ) ϕˆ ,

ˆ
ˆ ˆ
 ˆz = rˆ cos θ − θ sin θ ≡ (ˆz ⋅ rˆ ) rˆ + (ˆz ⋅ θ ) θ + (ˆz ⋅ ϕˆ ) ϕˆ .
(112)
È opportuno disporre anche delle derivate dei versori cilindrici vs. le coordinate cilindriche.
Mediante le Eq. (109), si calcolano
∂ rˆ
= 0,
∂r
∂θˆ
= 0,
∂r
∂ϕˆ
= 0,
∂r
∂ rˆ
= θˆ ,
∂θ
∂θˆ
= − rˆ ,
∂θ
∂ϕˆ
= 0,
∂θ
∂ rˆ
= ϕˆ sin θ ;
∂ϕ
∂θˆ
= ϕˆ cos θ ;
∂ϕ
∂ϕˆ
= − rˆ sin θ − θˆ cos θ ;
∂ϕ
(113.1)
(113.2)
(113.3)
Eq. (41) ⇒
d r = rˆ dr + θˆ rdθ + ϕˆ r sin θ dϕ ;
(114)
Eq. (42) ⇒
(dr )2 + (r dθ )2 + (r sin θ dϕ )2 ;
(115)
dΩ = r 2 sin θ drdθ dϕ ;
(116)
 d S r = rˆ h θ h ϕ dθ dϕ = rˆ r 2 sin θ dθ dϕ ,

 d S θ = θˆ h r h ϕ drdϕ = θˆ r sin θ drdϕ ,

 d S ϕ = ϕˆ h r h θ drdθ = ϕˆ r drdθ ;
(117)
ds ≈
Eq. (43) ⇒
Eq. (44.1), (44.2), (44.3) ⇒
Eq. (45) ⇒

∂
1 ∂
1
∂ 
+ θˆ
+ ϕˆ
ψ;
∇ψ =  rˆ
∂
∂
θ
r
r
r sinθ ∂ϕ 

Eq. (49) ⇒
∇ ⋅Κ =
1
r sin θ
2
∂
∂
 ∂ 2

 ∂r (r Κ r sin θ ) + ∂θ (r Κ θ sin θ ) + ∂ϕ (r Κ ϕ ) 


(118)
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
≡
1 ∂ 2
1
(r Κ r ) +
2
r ∂r
r sin θ
∂Κ ϕ 
 ∂
(Κ θ sin θ ) +

 .
∂ϕ 
 ∂θ
27
(119)
Eq. (49) ⇒
∂
 ∂

 ∂θ (r Κ ϕ sin θ ) − ∂ϕ (r Κ θ )  rˆ + ↲


∂Κ r 

1  ∂Κ r
∂
1 ∂
(r Κ ϕ sin θ )  θˆ +  (r Κ θ ) −
+
−
 ϕˆ

↳ r sin θ  ∂ϕ
∂r
r  ∂r
∂θ 

rˆ
θˆ r ϕˆ r sinθ
1
∂
∂
∂
≡ 2
;
(120)
r sin θ ∂r ∂θ
∂ϕ
Κ r Κ θ r Κ ϕ r sinθ
∇ ×Κ =
1
r sin θ
2
Eq. (49) ⇒
 ∂  2
∂ψ  ∂ 
∂ψ  ∂  1 ∂ψ  
 ∂r  r sin θ ∂r  + ∂θ  sin θ ∂r  + ∂ϕ  sin θ ∂r  





 
 1 ∂  2 ∂ 
1
1
∂ 
∂ 
∂2 
r
sin
θ
≡ 2
+
+
 ψ (r ) .




2
∂θ  r 2 ( sin θ )2 ∂ϕ 2 
 r ∂r  ∂r  r sin θ ∂θ 
∇ 2ψ =
1
r sin θ
2
(121)
Si noti l’identità alternativa generale (i.e., valida se r ֏ ψ (r ) , una funzione scalare di vettore)
1 ∂  2 ∂ψ (r )  1 ∂ 2
(r ψ (r )) ,
r
 ≡
∂r  r ∂r 2
r 2 ∂r 
(122)
confrontandola con il caso scalare radiale puro r ֏ ψ (r ) dell’ESERCIZIO 8, 8.6.
■
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
28
ESERCIZI
ESERCIZIO 1
Un caso particolare delle Eq. (1) è quello in cui w = c , con c costante, i.e.,
 x ≡ x (u , v , c ) ≡ x (u , v )

 y ≡ y (u , v , c ) ≡ y (u , v ) .
 z ≡ z (u , v , c ) ≡ z (u , v )

In tale circostanza, il vettore-posizione r ≡ x (u , v ) xˆ + y (u , v ) ˆy + z (u , v ) ˆz ≡ r (u , v ) rappresenta
la superficie 3D Σ : w (x , y , z ) = c , sulla quale sono definite le coordinate curvilinee u e v .
1.1
Si dimostri che le linee coordinate di equazioni rispettive u = c 1 e v = c 2 sono localmente
ortogonali se e solo se
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
+
+
= 0;
∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v
1.2
(123)
si dimostri che l’elemento differenziale infinitesimo di lunghezza d’arco lungo una linea
generalmente regolare, giacente su Σ e rappresentata dalle equazioni t - parametriche
 u = u (t )
,

 v = v (t )
è dato da (cfr/c Eq. (42))
ds ≈
E du 2 + 2 F du dv + G dv 2 ,
(124)
dove sono definiti i parametri di 2.o ordine
E := ∂ r /∂u 2 , F := (∂ r /∂u ) ⋅ (∂ r /∂v ) , G := ∂ r /∂v 2 , du 2 ≡ (du )2 , dv 2 ≡ (dv )2 ;
1.3
si dimostri che se F ≡ 0 , allora le coordinate u , v su Σ sono mutuamente ortogonali;
1.4
si dimostri che l’area A di Σ vale
A =
∫∫Σ
⌠⌠ ∂ r ∂ r
EG − F 2 dudv ≡ 
dudv ≡
×
⌡⌡Σ ∂u ∂v
∫∫Σ
det ( A AT ) du dv ,
(125)
dove la 2 × 3 - matrice A – che deve avere caratteristica 2 affinché sia garantita la regolarità
di Σ – è definita (cfr/c AM, 2, p. 439, Eq. (1.3)) come
 ∂x /∂u ∂y /∂u ∂z /∂u 
A := 
.
 ∂x /∂v ∂y /∂v ∂z /∂v 
(125.1)
ESERCIZIO 2
Usando coordinate ortogonali curvilinee generiche {u , v , w } , si determini la rappresentazione del
laplaciano vettoriale (v. vectR3, Eq. (34.1))
∇ 2 Κ ≡ (∇ ⋅∇ )Κ = ∇ (∇ ⋅ Κ ) −∇ × (∇ × Κ ) .
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
29
ESERCIZIO 3
Dal confronto tra le scomposizioni ortogonali rettangolare vs. cilindrica del campo vettoriale Κ
generico,
 Κ x xˆ + Κ y ˆy + Κ z ˆz
,
Κ ≡ 
 Κ ρ ρˆ + Κ ϕ ϕˆ + Κ z ˆz
mediante le Eq. (87) e (90), si verifichino le identità matriciali (e, da queste, le relazioni lineari
scalari ordinatamente corrispondenti)
 Κ ρ   cos ϕ

 
 Κ ϕ  =  − sin ϕ
 Κ z   0


 Κ x   cos ϕ

 
 Κ y  =  sin ϕ
 Κ z   0


sin ϕ
cos ϕ
0
− sin ϕ
cos ϕ
0
0  Κ x 


0  Κ y  ,
1   Κ z 
(126.1)
0 Κ ρ 


0  Κ ϕ  ,
1   Κ z 
(126.2)
portando alla conclusione che le rappresentazioni rettangolare e cilindrica di Κ si trasformano
l’una nell’altra come le basi vettoriali unitarie rispettive (ciò vale, peraltro, per una coppia
qualsiasi di scomposizioni ortogonali di Κ ).
ESERCIZIO 4
Dal confronto tra le scomposizioni ortogonali rettangolare vs. sferica del campo vettoriale Κ
generico,
 Κ x xˆ + Κ y ˆy + Κ z ˆz
,
ˆ
 Κ r rˆ + Κ θ θ + Κ ϕ ϕˆ
Κ ≡
mediante le Eq. (109) e (112), si verifichino le identità matriciali (e, da queste, le relazioni lineari
scalari ordinatamente corrispondenti)
 Κ r   sin θ cos ϕ

 
 Κ θ  =  cos θ cos ϕ
 Κ ϕ   − sin ϕ


 Κ x   sin θ cos ϕ

 
 Κ y  =  sin θ sin ϕ
 Κ z   cos θ


sin θ sin ϕ
cos θ sin ϕ
cos ϕ
cos θ cos ϕ
cos θ sin ϕ
− sin θ
cos θ  Κ x 


− sin θ  Κ y  ,
0   Κ z 
(127.1)
− sin ϕ   Κ r 


cos ϕ   Κ θ  ,
0   Κ ϕ 
(127.2)
concludendo che le rappresentazioni rettangolare e sferica di Κ si trasformano l’una nell’altra
come le basi vettoriali unitarie rispettive (ciò si verifica, peraltro, nel caso di una coppia qualsiasi
di scomposizioni ortogonali di Κ ).
ESERCIZIO 5
Mediante prodotto matriciale (composizione di trasformazioni lineari) tra i termini delle Eq. (110)
e (89) e, poi, tra i termini delle Eq. (88) e (111), si verifichi che le trasformazioni diretta e inversa
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
30
tra le basi vettoriali ortonormali cilindrica e sferica sono rappresentabili mediante le equazioni
 rˆ   sin θ
 ˆ 
 θ  =  cos θ
 ϕˆ   0
  
 ρˆ   sin θ
ˆ 
ϕ  =  0
 ˆz   cos θ
  
cos θ  ρˆ 
 
0 − sin θ  ϕˆ  ,
 ˆz 
1
0 

(128.1)
0   rˆ 
 
1   θˆ  .
0   ϕˆ 
(128.2)
0
cos θ
0
− sin θ
Si scrivano le equazioni lineari a cui ciascuna di queste corrisponde, ottenendo le rappresentazioni
dei versori sferici in termini di quelli cilindrici, e viceversa.
ESERCIZIO 6
Si verifichino le espressioni trasformate sferiche degli operatori scalari rettangolari di derivazione,
∂
∂ cos θ cos ϕ ∂
sin ϕ ∂
,
= sin θ cos ϕ
+
+
∂x
∂r
∂θ r sin θ ∂ϕ
r
(129.1)
∂
∂ cos θ sin ϕ ∂
cos ϕ ∂
,
= sin θ sin ϕ
+
+
∂y
∂r
∂θ r sin θ ∂ϕ
r
(129.2)
∂
∂ sin θ ∂
.
= cos θ
−
∂z
∂r
r ∂θ
(129.3)
ESERCIZIO 7
Si verifichino le identità di trasformazione seguenti, la prima cilindrico-rettangolare, la seconda
sferico-rettangolare:
7.1
( ρˆ cot ϕ − ϕˆ ) cos ϕ ≡ (x /y ) xˆ ;
7.2
1
y xˆ − x ˆy
ϕˆ ≡ − 2 2 .
r sin θ
x +y
ESERCIZIO 8
Rispetto al sistema consueto di coordinate sferiche {r , θ , ϕ } , si determinino i risultati seguenti:
r∇ θ
;
sin θ
8.1
∇ (1/r ) = ∇ × (cos θ ⋅∇ϕ );
8.2
∇ϕ =
8.3
∇ f (r ) = rˆ f ′(r ) ;
8.4
∇ ⋅ ( f (r ) r ) = 3 f (r ) + r f ′(r ) ;
8.5
∇ × ( f (r ) r ) = 0 ;
8.6
∇ 2 f (r ) =
2
f ′(r ) + f ′′(r ).
r
ESERCIZIO 9
Rispetto al sistema consueto di coordinate cilindriche { ρ , ϕ , z } , si provi che
∇ ln ρ = ∇ × (ˆzϕ ) .
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
31
ESERCIZIO 10
Assegnati il campo scalare armonico ψ ≡ ψ (r ) (i.e., tale che ∇ 2ψ (r ) = 0 ) e il campo vettoriale
derivabile Κ = ∇ × (ψ r ) , si verifichi, in coordinate sferiche, che
Κ ⋅∇ × Κ =
1  ∂ψ ∂ 2ψ
∂ψ ∂ 2ψ 
−

 .
sin θ  ∂ϕ ∂θ ∂r ∂θ ∂ϕ ∂r 
Inoltre, se ψ (r ) è separabile totalmente vs. le tre variabili scalari (i.e., ψ (r ) ≡ R (r )Θ (θ )Φ (ϕ ) ),
allora, si provi che Κ ⋅∇ × Κ = 0 , i.e., che Κ ⊥ ∇ × Κ .
ESERCIZIO 11
Per il sistema di coordinate ellittico-cilindriche, la trasformazione delle coordinate rettangolari,
(x ; y ; z ) ֏ (u ; v ; w ) ≡ (u ; ϕ ; z ) , è tale che u ∈ R 0+ , ϕ ∈ [ 0, 2 π ) , z ∈ R .
Assegnata la costante a ∈ R + , le equazioni di trasformazione delle coordinate rettangolari sono
 x ≡ x (u , ϕ , z ) := a cosh u cos ϕ ,

 y ≡ y (u , ϕ , z ) := a sinh u sin ϕ ,
 z ≡ z (u , ϕ , z ) := z .

11.1
(130)
Si verifichi che le famiglie di superfici coordinate sono
●
cilindri ellittici confocali in ( ± a ; 0; z ) :
u = c1 ,
●
cilindri iperbolici:
●
piani paralleli al piano X ×Y :
ϕ = c2 ,
z = c3 ;
11.2
si verifichi che tale sistema di coordinate è ortogonale;
11.3
si verifichi che i fattori di scala ellittico-cilindrici sono dati da
h u = h ϕ = a (( sinh u )2 + ( sin ϕ )2 )1 / 2 ,
hz = 1 .
(131)
ESERCIZIO 12
Per il sistema di coordinate parabolico-cilindriche, la trasformazione delle coordinate rettangolari,
(x ; y ; z ) ֏ (u ; v ; w ) ≡ (u ; v ; z ) , è tale che {u , z } ⊂ R , v ∈ R 0+ .
Le equazioni di trasformazione delle coordinate rettangolari sono
 x ≡ x (u , v , z ) := uv ,

2
2
 y ≡ y (u , v , z ) := (v − u )/2 ,
 z ≡ z (u , v , z ) := z .

12.1
Si verifichi che le famiglie di superfici coordinate sono
●
cilindri parabolici confocali sull’asse Z :
u = c1 ,
●
cilindri parabolici confocali sull’asse Z :
v = c2 ,
piani paralleli al piano X ×Y :
si verifichi che tale sistema di coordinate è ortogonale;
●
12.2
(132)
z = c3 ;
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
12.3
32
si verifichi che i fattori di scala parabolico-cilindrici sono dati da
h u = h v = (u 2 + v 2 )1 / 2 ,
hz = 1 .
(133)
ESERCIZIO 13
Per il sistema di coordinate prolato-sferoidali, la trasformazione delle coordinate rettangolari,
(x ; y ; z ) ֏ (u ; v ; w ) ≡ (u ; θ ; ϕ ) , è tale che u ∈ R 0+ , θ ∈ [ 0, π ] , ϕ ∈ [ 0, 2 π ) .
Assegnata la costante a ∈ R + , le equazioni di trasformazione delle coordinate rettangolari sono
 x ≡ x (u , θ , ϕ ) := a sinh u sin θ cos ϕ ,

 y ≡ y (u , θ , ϕ ) := a sinh u sin θ sin ϕ ,
 z ≡ z (u , θ , ϕ ) := a cosh u cos θ .

13.1
(134)
Si verifichi che le famiglie di superfici coordinate sono
●
sferoidi prolati:
u = c1 ,
●
iperboloidi a due falde:
θ = c2 ,
ϕ = c3 ;
13.2
semi-piani originanti dall’asse Z :
si verifichi che tale sistema di coordinate è ortogonale;
13.3
si verifichi che i fattori di scala prolato-sferoidali sono dati da
●
h u = h θ = a (( sinh u )2 + ( sin θ )2 )1/ 2 ,
h ϕ = a sinh u sin θ .
(135)
ESERCIZIO 14
Per il sistema di coordinate oblato-sferoidali, la trasformazione delle coordinate rettangolari,
(x ; y ; z ) ֏ (u ; v ; w ) ≡ (u ; α ; ϕ ) , è tale che u ∈ R 0+ , α ∈ [− π /2, π /2 ] , ϕ ∈ [ 0, 2 π ) .
Assegnata la costante a ∈ R + , le equazioni di trasformazione delle coordinate rettangolari sono
 x ≡ x (u , α , ϕ ) := a cosh u cos α cos ϕ ,

 y ≡ y (u , α , ϕ ) := a cosh u cos α sin ϕ ,
 z ≡ z (u , α , ϕ ) := a sinh u sin α .

14.1
(136)
Si verifichi che le famiglie di superfici coordinate sono
●
sferoidi oblati:
u = c1 ,
●
iperboloidi a una falda:
●
semi-piani originanti dall’asse Z :
α = c2 ,
ϕ = c3 ;
14.2
si verifichi che tale sistema di coordinate è ortogonale;
14.3
si verifichi che i fattori di scala oblato-sferoidali sono dati da
h u = h α = a (( sinh u )2 + ( sin α )2 )1/ 2 ,
h ϕ = a cosh u cos α .
(137)
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
33
ESERCIZIO 15
Per il sistema di coordinate paraboloidali, la trasformazione delle coordinate rettangolari,
(x ; y ; z ) ֏ (u ; v ; w ) ≡ (u ; v ; ϕ ) , è tale che {u , v} ⊂ R 0+ , ϕ ∈ [0, 2 π ) .
Assegnata la costante a ∈ R + , le equazioni di trasformazione delle coordinate rettangolari sono
 x ≡ x (u , v , ϕ ) := uv cos ϕ ,

 y ≡ y (u , v , ϕ ) := uv sin ϕ ,
 z ≡ z (u , v , ϕ ) := (v 2 − u 2 )/2 .

15.1
(138)
Si verifichi che le famiglie di superfici coordinate sono
●
paraboloidi simmetrici vs. semi-asse Z + :
u = c1 ,
●
paraboloidi simmetrici vs. semi-asse Z + :
θ = c2 ,
ϕ = c3 ;
15.2
semi-piani originanti dall’asse Z :
si verifichi che tale sistema di coordinate è ortogonale;
15.3
si verifichi che i fattori di scala paraboloidali sono dati da
●
h u = h v = (u 2 + v 2 )1/ 2 ,
15.4
h ϕ = uv ;
(139)
si verifichi che vale il prodotto vettoriale uˆ × vˆ = − ϕˆ tra i versori di linea tangenti.
ESERCIZIO 16
Per il sistema di coordinate bipolari, la trasformazione delle coordinate rettangolari, (x ; y ; z ) ֏
֏ (u ; v ; w ) ≡ (ϕ ; κ ; z ) , è tale che ϕ ∈ [ 0, 2π ) , κ ∈ R , z ∈ R .
Assegnata la costante a ∈ R + , le equazioni di trasformazione delle coordinate rettangolari sono
a sinh κ

 x ≡ x (ϕ , κ , z ) := cosh κ − cos ϕ ,

a sin ϕ
 y ≡ y (ϕ , κ , z ) :=
,

cosh κ − cos ϕ

 z ≡ z (ϕ , κ , z ) := z .
16.1
(140)
Si verifichi che le famiglie di superfici coordinate sono
●
ϕ = c1 ,
●
κ = c2 ,
z = c3 ;
piani contenenti l’asse Z :
● coppie di cilindri circolari con gli assi di simmetria
ortogonali, rispettivamente, all’asse X e all’asse Y :
piani paralleli al piano X ×Y :
16.2
si verifichi che tale sistema di coordinate è ortogonale;
16.3
si verifichi che i fattori di scala bipolari sono dati da
hϕ = hκ =
a
,
cosh κ − cos ϕ
hz = 1 .
(141)
Sistemi 3D reali di Coordinate Curvilinee Ortogonali –
34
ESERCIZIO 17
Si consideri una superficie torica di sezione circolare, avente l’asse Z cartesiano come asse
concentrico di simmetria, non-interno al volume del toro. La sezione torica sia ortogonale al piano
X ×Y e sia tagliata da questo in due semicerchi contenuti, rispettivamente, nei semi-spazi Z − e
Z + . Inoltre, sia ρ = ρ 0 la distanza radiale, sul piano X ×Y , tra l’origine e il centro della sezione
circolare del toro.
Per il sistema di coordinate toriche, la trasformazione delle coordinate rettangolari, (x ; y ; z ) ֏
֏ (u ; v ; w ) ≡ (ξ ; ϕ ; β ) , è tale che ξ ∈ [ 0, ρ 0 ] , ϕ ∈ [ 0, 2 π ) , β ∈ [ 0, 2 π ) .
Le equazioni di trasformazione delle coordinate rettangolari sono
 x ≡ x (ξ , ϕ , β ) := ( ρ 0 + ξ cos β ) cos ϕ ,

 y ≡ y (ξ , ϕ , β ) := ( ρ 0 + ξ cos β ) sin ϕ ,

 z ≡ z (ξ , ϕ , β ) := ξ sin β .
17.1
Si verifichi che le famiglie di superfici coordinate sono
●
sezioni toriche circolari ortogonali al piano X ×Y
e centrate sulla circonferenza ρ = ρ 0 sul piano X ×Y :
piani contenenti l’asse Z e le sezioni toriche:
● piani passanti localmente per i centri
delle sezioni toriche e ortogonali ad esse:
●
17.3
(142)
ξ = c1 ,
ϕ = c2 ,
β = c3 ;
si verifichi che il sistema inverso di equazioni vs. la trasformazione (142) è dato da
 ξ ≡ ξ (x , y , z ) = (x 2 + y 2 + z 2 + ρ 02 − 2 ρ 0 (x 2 + y 2 )1 2 )1 / 2 ,

−1
 ϕ ≡ ϕ (x , y , z ) = tan (y /x ),

z

 β ≡ β (x , y , z ) = tan −1 
2
2
1
2

;

x
y
(
)
ρ
+
−
0



17.3
si verifichi che tale sistema di coordinate è ortogonale;
17.4
si verifichi che i fattori di scala torici sono dati da
hξ = 1,
17.5
h ϕ = ρ 0 + ξ cos β ,
hβ = ξ .
(143)
(144)
si verifichi che il volume Ω e l’area S della superficie del toro, la cui sezione circolare
abbia raggio ξ = a , valgono, rispettivamente,
Ω = 2 π 2a 2 ρ 0 ,
(145.1)
S = 4π a ρ 0 .
(145.2)
2
La geometria delle coordinate toriche è, indubbiamente, quella più appropriata alla rappresentazione di proprietà
dinamiche del plasma in un tokamak, il modello di reattore a fusione nucleare di maggior sviluppo e interesse
applicativo.
■■■

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