VSd

Documento #:
Doc_a9_(3_b).doc
(*)ESEMPIO 9 (procedura di verifica). Sia data la travata a due campate analizzata
all’esempio 4 e riportata, per comodità di lettura, in figura 11.40. La sezione trasversale della
travata sia 30 cm x 50 cm e sia stata confezionata con un conglomerato C20/25 e con acciai
nervati S440. La massima sollecitazione flettente di progetto è stata valutata attorno a
MSd = 15, 5 tm , tenendo conto di una traslazione del diagramma dei momenti flettenti pari a
al = z = 0,9 h 40 cm .
Nota per la composizione: prego disporre figura su intera pagina per agevolare la lettura!!!
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_40.tif
Figura 11.40 – Travata a due luci da verificare a flessione e al taglio. Diagramma del taglio riportato
solo su metà campata.
Verificare speditamente le armature a flessione e al taglio, utilizzando la EN 1992-1-1.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 113daN / cm2 (tab. 9.3_b);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 MPa (tab. 9.3_b);
fctm = 22daN / cm 2 (tab. 9.3_b);
fctd = 10 daN / cm2 (tab. 9.3_b);
acciai (S440):
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri:
h h = c + staffe + long / 2 = (2, 5 cm) + (0, 8 cm) + (2, 0 cm) / 2 = 4, 50 cm .
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h = (50 cm) (4,50 cm) = 45,50 cm ;
Per la verifica della armature a flessione, si veda procedimento all’analogo esempio 4.
Le armature effettivamente presenti sono:
(F f ) eff = ( Ff) eff = 4 20 = 4 ( 3,14 cm2 ) = 12, 57 cm2 .
Le armature longitudinali verificano le prescrizioni della Normativa. Infatti:
Ff = Ff = 12, 57 cm 2 b H 0, 04 = 60, 0 cm2 ;
Infine, calcolata la larghezza della sezione tesa, che per sezione rettangolare risulta bm = b =
30 cm, si ha:
663
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Ftraz
(2,2 MPa)
f
0, 26 ctm b m h = 0, 26 (30 cm) (45, 5 cm) 1, 77 cm2
fyk
(440 MPa)
= 12, 57 cm 2
0, 0013 bm h = 0,0013 (30 cm) ( 45, 5 cm) 1, 77 cm .
2
In particolare, nelle sezioni agli incastri, in virtù dell’innesco di una resistenza ad arco-tirante
l’armatura minima longitudinale (barre disposte inferiormente alla casseratura e compresse
rispetto al verso della sollecitazione flettente all’incastro) deve essere:
V
(15500 daN )
Ffmin = Sd =
4,05 cm 2 .
2
fyd (3830 daN / cm )
Risulta un quantitativo effettivo sufficiente: Ff = 12, 57 cm 2 > Ffmin = 4,05 cm 2 .
Calcolo minimi armature al taglio.
0, 08 fck [MPa]
A Dalla relazione: sw [cm 2 / m] = 100 bm [cm] sin ,
s min
fyk [MPa]
per le staffe ( sin = 1 ), si calcola:
0, 08 (20 MPa)
Asw 2
(30 cm) 2,44 cm 2 / m .
[cm / m] = 100 s min
(440 MPa)
Inoltre, il passo massimo per le staffe deve essere:
ts max = 0,75 h (1+ cotg ) = 0,75 (45, 5 cm) 34 cm .
Il vincolo per la distanza trasversale dei bracci di un insieme di staffe in una sezione:
0,75 h = 0,75 ( 45, 5 cm) 34cm
s trasv min 60 cm
è inutile perché 34 cm > bm = 30 cm .
Verifica armature al taglio
Verifica nei confronti dello schiacciamento del puntone.
Si assume: 1,0 < cotg < 2,5 . Per la verifica delle bielle compresse di calcestruzzo si fissa
cotg = 2, 5 (con 21° 48 e sen 2 = 0,138 ), in modo da ottenere per VRd max il valore
minimo: VRd max = cw bm 0,9 h fcd 2, 5 0,138 0, 30 cw bm h fcd .
Si calcola, intanto:
(20 MPa) f [MPa]
0, 55 ;
= 0,6 1 ck
= 0,6 1 250 250 e cw = 1, 0 per assenza di forze assiali. Pertanto, si ha:
VRd max = 0, 30 cw bm h fcd = 0, 30 1 (30 cm) ( 45, 5 cm) 0, 55 (113daN / cm2 ) 25450 daN.
Risultando (vedere andamento del taglio su metà campata, in figura 11.40):
VSd = 15500 daN < VRd max = 25450 daN ,
la verifica a non schiacciamento è positiva.
Verifica sezione su taglio massimo
1
1
VSd = 15500 daN bm h fcd = (30 cm) (45, 5 cm) 0,55 (113daN / cm 2 ) 42400 daN
2
2
Verifica staffatura
664
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Doc_a9_(3_b).doc
Nel primo tratto da filo pilastro fino alla sezione z* = 65 cm è presente una staffatura in
ragione di 18 / 10 con un taglio massimo di calcolo pari a VSd = 15500 daN . La staffatura si
dimostra sufficiente, in quanto (assunto = 45° e con f1s = 2 8 = 2 (0, 50 cm 2 ) ):
VRds =
f1s
2 (0, 50 cm2 )
0, 9 h f yd =
0,9 (0, 455 m) (3830 daN / cm2 ) 15600 daN ,
ts
(0,10 m)
risulta: VRds = 15600 daN > VSd = 15500 daN .
Nei rimanenti tratti verso la campata ( z* > 65 cm , con VSd (z * ) = 12100 daN ), la staffatura
presente in ragione di 18 / 20 è insufficiente se si assume = 45° :
VRds =
f1s
2 (0, 50 cm2 )
0, 9 h f yd =
0,9 (0, 455 m) (3830 daN / cm2 ) 7800 daN .
ts
(0, 20 m)
Infatti, risulta: VRds = 7800 daN < VSd = 12100 daN .
Essendo però per cotg = 2, 5 verificata la VRd max > VSd , ponendo VRds = VSd = 12100 daN , si
calcola il valore effettivo di cotg :
VSd ts
(12100 daN) (20 cm)
cotg =
=
1, 54 .
2
f1 s 0,9 h fyd (1, 0 cm ) 0,9 (45, 5 cm) (3830daN / cm2 )
Risultando cotg = 1, 54 compreso all’interno dell’intervallo cotg [1, 0; 2, 5] , la staffatura
18 / 20 è idonea e le sezioni, dalla z* = 65 cm in poi, possono dirsi verificate. Andrà
comunque constatato che le armature longitudinali coprano il diagramma dei momenti
flettenti traslato in funzione del valore cotg = 1, 54 .
La staffatura 18 / 20 con passo più ampio verifica i minimi di armatura:
f1s 2 (0, 50 cm 2 )
A =
= 5,0 cm2 / m > sw = 2,44 cm 2 / m ;
s min
ts
(0, 20 m)
ts = 20 cm < ts max = 34 cm .
Nota. Quest’ultima verifica poteva condursi anche sfruttando direttamente il concetto di
grado di assorbimento del taglio (vedere fine paragrafo 11.12.4):
(12100 daN)
VSd
=
1, 55 = cotgeff [1, 0; 2, 5] .
VRds, =45° (7800 daN )
Se fosse stato presente, ad esempio, un passo maggiore (25 cm), si sarebbe calcolato
immediatamente:
(25 cm)
cotg eff = 1,54
1, 93 < 2,5 ;
(20 cm)
quindi, diminuisce l’armatura per le staffe ma aumenta l’armatura per le barre longitudinali;
aumentano le tensioni oblique di compressione nell’anima della trave: tendendo a valori
prossimi a 2,5, ad aumenti progressivi dei carichi, ci si avvicina alla rottura per fragilità.
Mantenendo una staffatura abbondante ( il più possibile prossimo a 1), si conferisce al
conglomerato compresso anche il mantenimento di una buona cerchiatura.
(*)ESEMPIO 10 (progetto condizionato). Sia data la travata dell’esempio precedente. Si
progetti l’armatura di cucitura al taglio mediante una staffatura con staffe a due bracci del
diametro di 8 mm. Si mantengano le medesime ipotesi sui materiali e sulle armature
longitudinali. Si tenga presente quanto verificato nell’esempio 9. Si rispettino le indicazioni e
le prescrizioni sui minimi di armatura date nella EN 1992-1-1.
665
Documento #:
Doc_a9_(3_b).doc
SOLUZIONE. La sezione da asse pilastro in cui la sollecitazione tagliante assume il valore
di 7800 daN si calcola in virtù della linearità del taglio. In particolare, detta con z** la sezione
da asse pilastro in cui risulta appunto VSd (z ** ) = 7800 daN , si calcola:
(7800 daN) VSd (z ** ) **
z = z 1 = 150 cm ;
= ( 300 cm) 1 (15600 daN) V
Sd
essendo z = 300 cm la distanza dell’annullamento della sollecitazione tagliante, rispetto
all’asse del pilastro. Inoltre, il massimo taglio di progetto che può coprire una staffatura in
ragione di 18 / 15 è la seguente (mantenendo = 45° ):
f1s
2 (0, 50 cm2 )
VRds =
0, 9 h f yd =
0,9 (0, 455 m) (3830 daN / cm2 ) 10400 daN ,
ts
(0,15 m)
a cui corrisponde una sezione distante da filo pilastro pari a:
(10400 daN) V (z) z = z 1 Sd = (300 cm) 1
= 100 cm .
(15600 daN) V Sd
Arrotondando sia per sicurezza che per semplicità di disposizione dei passi delle staffe in
cantiere, i due valori calcolati, rispettivamente, a z** = 170 cm e z = 110 cm , è possibile
adottare le seguenti staffature (mantenendo per le staffe il diametro di 8 mm):
18 / 10 ;
da filo pilastro fino alla sezione z* = 110 cm :
(risultando VRds = 15600 daN > VSd = 15500 daN > VSd (z) = 10400 daN);
18 / 15 ;
dalla sezione z** = 110 cm fino alla sezione z** = 170 cm :
(risultando VRds = 10400 daN > VSd (110 cm) > 7800 daN);
18 / 20 ;
nelle rimanenti sezioni in campata:
(risultando VRds = 7800 daN > VSd (170 cm)).
Le staffature adottate rispettano i minimi prescritti dalle Norme (vedere esempio precedente).
Si riporta, di seguito nella figura 11.41, una proposta di carpenteria esecutiva della travata a
due campate progettata.
Nota per la composizione: prego disporre figura su intera pagina per agevolare la lettura!!!
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_41.tif
Figura 11.41 – Proposta di carpenteria esecutiva della travata progettata.
666
Documento #:
Doc_a9_(3_b).doc
Come si può notare dal semidiagramma della sollecitazione tagliante (riportata solo su metà
della prima campata), le armature di cucitura al taglio disposte coprono completamente il
diagramma del taglio.
Verifica prescrizioni di Normativa.
Verifica sezione sul taglio massimo:
1
VSd = 15600 daN bm h v fcd = 0,5 (30 cm) ( 45, 5 cm) 0, 55 (113daN / cm 2 ) 42400 daN.
2
Il metodo dell’inclinazione variabile delle bielle compresse impone di verificare per ogni
staffatura che:
f
f1s 0,5 cw bm fcd
= 0, 5 cw bm cd .
ts
sin fyd
fyd
Si esegue la verifica per la sola staffatura con passo minore 18 / 10 . La verifica è positiva,
risultando:
f1s (1, 0 cm 2 )
(113daN / cm2 )
=
= 0,1 cm2 / cm < 0, 5 1 0,55 ( 30 cm) 0,24 cm2 / cm .
ts
(10 cm)
(3830daN / cm 2 )
Verifiche prescrizioni generali.
Verifica percentuale minima armature al taglio
Si verifica la staffatura con passo maggiore: 18 / 20 . Si ha:
Asw
f1 s
2 (0, 50 cm2 )
=
=
0,00167 .
s bm sin ts bm sin (90°) (20 cm) (30 cm)
Risultando:
0,08 fck [MPa] 0,08 (20 MPa)
w = 0,00167 wmin =
=
0,0008 .
f yk [MPa]
(440 MPa)
w =
Verifica distanze minime armature trasversali.
Si esegue la verifica sul tratto staffato con passo massimo ( 18 / 20 ):
s st = 20 cm s lmax = 0,75 h (1+ cotg ) = 0,75 (45, 5 cm) 34 cm .
Verifica massima distanza trasversale tra i bracci delle staffe.
Deve risultare:
0,75 h 34 cm
s s max = 60 cm.
Utilizzando staffe a due bracci di diametro 8 mm su una larghezza della sezione pari a b = 30
cm e avendo previsto un ricoprimento delle armature trasversali di 2,5 cm, risulta una distanza
tra i bracci delle staffe (asse-asse) pari a:
d s = b 2 c staffa = ( 30 cm) 2 (2, 5 cm) (0, 8 cm) 24 cm .
Risultando d s = 24 cm < s s max = 34 cm , la staffatura adottata rispetta la prescrizione di
Normativa.
(*)ESEMPIO 11 (progetto condizionato). Sia data una travata a due campate di luce L =
6,0 m e di sezione 30 cm x 50 cm. La travata sia sottoposta alle seguenti massime
sollecitazioni di progetto:
MSd = 12 tm = 1, 2 10 6 daNcm (agli incastri e in mezzeria);
VSd = 10 t = 10000 daN (taglio nullo alla distanza di z = 300 cm da asse pilastro).
667
Documento #:
Doc_a9_(3_b).doc
Sapendo che il massimo ricoprimento previsto per le armature più esterne è pari a c = 2,5 cm,
valutare speditamente le armature longitudinali e le armature trasversali, utilizzando per i ferri
delle staffe barre di diametro 8 mm. I materiali utilizzati siano: C20/25 per il conglomerato e
S440 per gli acciai nervati. Si ipotizzi che in cantiere siano disponibili, per le sole armature
longitudinali, barre del diametro di 12 mm e 16 mm. Si seguano le indicazioni e le prescrizioni
sui minimi di armatura date nella EN 1992-1-1.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 113daN / cm2 (tab. 9.3_b);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 MPa (tab. 9.3_b);
fctm = 22daN / cm 2 (tab. 9.3_b);
fctd = 10 daN / cm2 (tab. 9.3_b);
acciai (S440):
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri:
h h = c + staffe + long / 2 = (2, 5 cm) + (0, 8 cm) + (1, 6 cm) / 2 = 4,10 cm .
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h = (50 cm) (4,10 cm) = 45,90 cm ;
Per la procedura di calcolo delle armature longitudinali, si rimanda all’esempio 6. In
particolare, le armature disposte nella figura 11.35 verificano i minimi e le prescrizioni da
Normativa. Si riporta di seguito, per comodità di lettura nella figura 11.42, il semidominio di
progetto delle sezioni così progettate.
668
Documento #:
Doc_a9_(3_b).doc
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_42.tif
Figura 11.42 – Semidominio resistente delle sezioni progettate.
Come si può notare, il punto della sollecitazione di progetto (nSd ; mSd ) (0,00; 0,18) è
perfettamente allineato alla retta che separa i campi di rottura 2 e 3. Pertanto, la rottura è in
condizioni di massima duttilità ( c = 3,5 ‰ con f = 10 ‰ ).
Verifica armature al taglio
Verifica nei confronti dello schiacciamento del puntone.
Si assume: 1,0 < cotg < 2,5 . Per la verifica delle bielle compresse di calcestruzzo si fissa
cotg = 2, 5 (con 21° 48 e sen 2 = 0,138 ), in modo da ottenere per VRd max il valore
minimo: VRd max = cw bm 0,9 h fcd 2, 5 0,138 0, 30 cw bm h fcd .
Si calcola, intanto:
669
Documento #:
Doc_a9_(3_b).doc
(20 MPa) f [MPa]
0, 55 ;
= 0,6 1 ck
= 0,6 1 250 250 e cw = 1, 0 per assenza di forze assiali. Pertanto, si ha:
VRd max = 0, 30 cw bm h fcd = 0, 30 1 (30 cm) ( 45, 9 cm) 0,55 (113daN / cm2 ) 25670 daN.
Risultando VSd = 10000 daN < VRd 2 = 25670 daN , la verifica a non schiacciamento è positiva.
Progetto e verifica staffatura
Tenendo conto che a rottura, nei pressi degli incastri, le lesioni sono a 45°, si assume per il
progetto delle armature longitudinali cotg = 1 .
Si calcola, quindi, il passo minimo delle staffe nei pressi degli incastri (staffe a due bracci di
diametro 8 mm con f1s = 2 8 ):
0,9 h fyd
0,9 (0,459 m) (3830 daN / cm 2 )
2
ts min = f1s = [2 (0,50 cm )] 0,16 m = 16 cm .
VSd
(10000 daN)
Nei pressi degli incastri si adotta, quindi, una staffatura in ragione di 18 / 15 . Infatti:
VRsd =
f1s
[2 (0,50 cm2 )]
0, 9 h fyd =
0,9 (0,459 m) (3830 daN / cm 2 ) 10500 daN ,
ts
(0,15 m)
con VRsd > VSd = 10000 daN . Invece, una staffatura in ragione di 18 / 25 porta un taglio
massimo pari a:
f
[2 (0,50 cm2 )]
VRsd = 1s 0, 9 h fyd =
0,9 (0, 459 m) (3830 daN / cm 2 ) 6300 daN .
ts
(0,25 m)
Tale valore del taglio si ha nella sezione distante da asse pilastro di:
(6300 daN ) V (z * ) z* = z 1 Sd
= 111 cm ,
= (300 cm) 1
VSd (10000 daN) che si arrotonda al valore z* = 120 cm . In particolare, supponendo dei pilastri di sezione 30
cm x 30 cm, tale sezione dista da filo pilastro di 120 cm – (30 cm)/2 = 105 cm. Pertanto, una
staffatura possibile è la seguente:
da filo pilastro fino a z* = 105 cm si adotta una staffatura in ragione di 18 / 15 ;
nelle sezioni in campata, a valle della sezione z* , si adotta una staffatura in ragione di
18 / 25 .
Verifica prescrizioni di Normativa.
Verifica sezione sul taglio massimo:
1
VSd = 10000 daN bm h v fcd = 0,5 (30 cm) ( 45, 9 cm) 0,55 (113daN / cm 2 ) 42790 daN.
2
Il metodo dell’inclinazione variabile delle bielle compresse impone di verificare per ogni
staffatura che:
f
f1s 0,5 cw bm fcd
= 0, 5 cw bm cd .
ts
sin fyd
fyd
Si esegue la verifica per la sola staffatura con passo minore 18 / 15 . La verifica è positiva,
risultando:
f1s (1, 0 cm 2 )
(113daN / cm 2 )
=
= 0, 06 cm2 / cm < 0,5 1 0, 55 ( 30 cm) 0,24 cm 2 / cm .
ts
(15 cm)
(3830daN / cm2 )
Verifiche prescrizioni generali.
Verifica percentuale minima armature al taglio
670
Documento #:
Doc_a9_(3_b).doc
Si verifica la staffatura con passo maggiore: 18 / 25 . Si ha:
Asw
f1 s
2 (0, 50 cm 2 )
w =
=
=
0, 00133 .
s bm sin ts bm sin (90°) (25 cm) (30 cm)
Risultando:
0,08 fck [MPa] 0,08 (20 MPa)
w = 0,00133 w min =
=
0, 0008 .
fyk [MPa]
( 440 MPa)
Verifica distanze minime armature trasversali.
Si esegue la verifica sul tratto staffato con passo massimo ( 18 / 25 ):
s st = 25 cm sl max = 0,75 h (1+ cotg ) = 0,75 (45, 9 cm) 34, 4 cm .
Verifica massima distanza trasversale tra i bracci delle staffe.
Deve risultare:
0,75 h 34, 4 cm
s s max = 60 cm.
Utilizzando staffe a due bracci di diametro 8 mm su una larghezza della sezione pari a b = 30
cm e avendo previsto un ricoprimento delle armature trasversali di 2,5 cm, risulta una distanza
tra i bracci delle staffe (asse-asse) pari a:
d s = b 2 c staffa = ( 30 cm) 2 (2, 5 cm) (0, 8 cm) 24 cm .
Risultando d s = 24 cm < s s max = 34, 4 cm , la staffatura adottata rispetta la prescrizione di
Normativa. Si riporta, nella figura 11.43, una proposta di carpenteria esecutiva delle armature
così progettate.
Nota per la composizione: prego disporre figura su intera pagina per agevolare la lettura!!!
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_43.tif
Figura 11.43 – Proposta di carpenteria esecutiva della travata progettata.
(*)ESEMPIO 12 (verifica). Sia data una travata a spessore a due campate di luce L = 6,0 m e
di sezione 120 cm x 24 cm. La travata sia sottoposta alle medesime sollecitazioni di progetto
dell’esempio precedente:
671
Documento #:
Doc_a9_(3_b).doc
MSd = 12 tm = 1, 2 10 6 daNcm (agli incastri e in mezzeria);
VSd = 10 t = 10000 daN (taglio nullo alla distanza di z = 300 cm da asse pilastro).
Sapendo che il massimo ricoprimento previsto per le armature più esterne è pari a c = 2,5 cm,
verificare speditamente le armature longitudinali e le armature trasversali, utilizzando la
carpenteria esecutiva proposta in figura 11.45. I materiali utilizzati siano: C20/25 per il
conglomerato e S440 per gli acciai nervati. Si ipotizzi che in cantiere siano disponibili, per le
sole armature longitudinali, barre del diametro di 20 mm. Si seguano le indicazioni date nella
EN 1992-1-1.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 113daN / cm2 (tab. 9.3_b);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 MPa (tab. 9.3_b);
fctd = 10 daN / cm2 (tab. 9.3_b);
acciai (S440):
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b);
Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri:
h h = c + staffe + long / 2 = (2, 5 cm) + (0, 8 cm) + (2, 4 cm) / 2 = 4, 50 cm .
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h = (24 cm) (4,50 cm) = 19,50 cm ;
Per la verifica delle armature longitudinali, si rimanda all’analogo esempio 7. Le armature
disposte verificano i minimi e le prescrizioni da Normativa. Inoltre, sono in numero
sufficiente da poter essere sistemate uniformemente sui bordi orizzontali delle staffe,
consentendo alle bielle di conglomerato compresso di estrinsecare al meglio il meccanismo
del traliccio resistente al taglio. Si riporta di seguito, per comodità di lettura nella figura
11.44, il semidominio di progetto delle sezioni così progettate.
672
Documento #:
Doc_a9_(3_b).doc
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_44.tif
Figura 11.44 – Semidominio resistente delle sezioni progettate.
Come si può notare, il punto della sollecitazione di progetto (nSd ; mSd ) (0,00; 0,25) si trova
all’interno del campo di rottura 2, a metà tra la condizione di rottura bilanciata ( c = 3,5 ‰
con f = yd ) e la condizione di rottura duttile ( c = 3,5 ‰ con f = 10 ‰ ). Pertanto,
l’allungamento unitario degli acciai inferiori tesi sarà circa uguale al seguente valore medio:
yd + 10 ‰ ( fyd / E f ) + 10 ‰
f =
6 ‰ .
2
2
673
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Doc_a9_(3_b).doc
In particolare, dal grafico in figura 11.44, la frontiera del semidominio di rottura interseca
l’asse delle ordinate nel punto (0,00; 0,40). Conseguentemente, il coefficiente di sicurezza a
rottura può valutarsi immediatamente da rapporto:
0,40
CS 1, 6 1 .
0,25
Il valore assunto è sufficientemente alto, in modo tale che la travata non presenti particolari
problemi in fase di esercizio, quali fessurazioni, tensioni elevate e deformate eccessive. In
ogni caso, in questo esempio, per semplicità di trattazione, non si eseguono le verifiche allo
stato limite di esercizio.
Nota per la composizione: prego disporre figura su intera pagina per agevolare la lettura!!!
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_45.tif
Figura 11.45 – Proposta di carpenteria esecutiva della travata progettata.
Calcolo minimi armature al taglio.
0, 08 fck [MPa]
A Dalla relazione: sw [cm 2 / m] = 100 bm [cm] sin ,
s min
fyk [MPa]
per le staffe ( sin = 1 ), si calcola:
0, 08 (20 MPa)
Asw 2
(30 cm) 2,44 cm 2 / m .
[cm / m] = 100 s min
(440 MPa)
Inoltre, il passo massimo per le staffe deve essere:
ts max = 0,75 h (1+ cotg ) = 0,75 (19, 5 cm) 15 cm .
Il vincolo per la distanza trasversale dei bracci di un insieme di staffe in una sezione:
0,75 h = 0,75 (19, 5 cm) 15 cm
s trasv min 60 cm
Nota. Come si può subito notare dai particolari in figura 11.45, il vincolo sulle distanze
trasversali dell’insieme di staffe in una qualsiasi sezione non è verificato. La struttura non
rispetta le prescrizioni sulla corretta disposizione delle staffe. Malgrado ciò, a puro titolo di
esempio, si continua la verifica per la sola resistenza allo SLU per taglio dell’elemento.
Verifica armature al taglio
Verifica nei confronti dello schiacciamento del puntone.
Si assume: 1,0 < cotg < 2,5 . Per la verifica delle bielle compresse di calcestruzzo si fissa
cotg = 2, 5 (con 21° 48 e sen 2 = 0,138 ), in modo da ottenere per VRd max il valore
minimo: VRd max = cw bm 0,9 h fcd 2, 5 0,138 0, 30 cw bm h fcd .
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Si calcola, intanto:
(20 MPa) f [MPa]
0, 55 ;
= 0,6 1 ck
= 0,6 1 250 250 e cw = 1, 0 per assenza di forze assiali. Pertanto, si ha:
VRd max = 0, 30 cw bm h fcd = 0, 30 1 (120 cm) (19, 5 cm) 0, 55 (113daN / cm2 ) 43600 daN.
Risultando VSd = 10000 daN < VRd 2 = 43600 daN , la verifica a non schiacciamento è positiva.
Verifica sezione sul taglio massimo
1
VSd = 10000 daN bm h v fcd = 0,5 (120 cm) (19, 5 cm) 0, 55 (113daN / cm2 ) 72700 daN.
2
Verifica staffatura
Per la verifica delle armature trasversali si parte ponendo cotg = 1 . Si calcola, quindi, il
passo minimo delle staffe nei pressi degli incastri (staffe a quattro bracci di diametro 8 mm
con f1s = 4 8 = 4 (0, 50 cm 2 ) ):
0,9 h fyd
0, 9 (0, 195 m) (3830daN / cm 2 )
0,13 m = 13 cm .
VSd
(10000 daN )
Nei pressi degli incastri è presente una staffatura in ragione di 28 / 10 . Essa è verificata:
ts min = f1s VRsd =
= [ 4 (0, 50 cm 2 )] f1s
[4 (0,50 cm 2 )]
0, 9 h fyd =
0,9 (0,195 m) (3830daN / cm2 ) 13400 daN ,
ts
(0,10 m)
con VRsd > VSd = 10000 daN .
Invece, compatibilmente con il passo massimo consentito alle staffe, una staffatura in ragione
di 28 / 15 porta un taglio pari a:
f1s
[4 (0, 50 cm 2 )]
0, 9 h fyd =
0,9 (0, 195 m) (3830daN / cm2 ) 8960 daN .
ts
(0, 15 m)
Tale valore del taglio si ha nella sezione distante da asse pilastro di:
(8960 daN ) V (z * ) z* = z 1 Sd
= 32 cm ,
= (300 cm) 1
VSd (10000 daN) VRsd =
che si arrotonda al valore z* = 40 cm . In particolare, supponendo dei pilastri di sezione 30 cm
x 30 cm, tale sezione dista da filo pilastro di 40 cm – (30 cm)/2 = 25 cm < 95 cm. Pertanto, ai
fini della sola resistenza allo stato limite ultimo, la staffatura è verificata.
(*)ESEMPIO 13 (verifica). Si verifichi una sezione rettangolare 30 cm x 50 cm di una trave
confezionata con un conglomerato C20/25 e con gli acciai nervati del tipo S440. La sezione
sia armata con staffe a due bracci in ragione di 18 / 10 . Si assuma una sollecitazione di
progetto pari a VSd = 25000 daN e una distanza del baricentro delle armature pari a
h = 4 cm . Calcolare, il massimo quantitativo di armatura al taglio efficace, tralasciando le
verifiche sui minimi di armatura trasversale.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 113daN / cm2 (tab. 9.3_b);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 N / mm 2 (tab. 9.3_b);
fctd = 10 daN / cm2 (tab. 9.3_b);
675
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fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
acciai (S440):
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h = (50 cm) (4 cm) = 46 cm ;
Calcolo area staffe effettiva:
f1s 2 (0, 50 cm 2 )
= 10, 0 cm2 / m .
=
(0, 10 m)
ts eff
Verifica nei confronti dello schiacciamento del puntone
Si assume: 1,0 < cotg < 2,5 . Per la verifica delle bielle compresse di calcestruzzo si fissa
cotg = 2, 5 (con 21° 48 e sen 2 = 0,138 ), in modo da ottenere per VRd max il valore
minimo: VRd max = cw bm 0,9 h fcd 2, 5 0,138 0, 30 cw bm h fcd .
Si calcola, intanto:
(20 MPa) f [MPa]
0, 55 ;
= 0,6 1 ck
= 0,6 1 250 250 e cw = 1, 0 per assenza di forze assiali. Pertanto, si ha:
VRd max = 0, 30 cw bm h fcd = 0, 30 1 (30 cm) ( 46 cm) 0, 55 (113daN / cm2 ) 25730 daN.
Risultando: VSd = 25000 daN < VRdmax = 25730 daN , la verifica a non schiacciamento è
positiva.
Verifica quantitativo armatura al taglio
Calcolo del valore minimo di VRds (quindi per cotg = 1, 0 ):
(VRds )min = f1s 0, 9 h fyd = (10, 0 cm 2 / m) 0, 9 (0, 46 m) ( 3830daN / cm2 ) 15860 daN .
ts eff
Calcolo del valore massimo di VRds (quindi per cotg = 2, 5 ):
(VRds )max = f1s 0,9 h fyd cotg =
ts eff
= (10,0 cm2 / m) 0,9 (0, 46 m) (3830 daN / cm2 ) 2, 5 39640 daN .
Risultando, solo in funzione del valore dell’inclinazione del puntone compresso
( cotg [1, 0; 2, 5] ):
VRd max > VSd
( VRds )min = 15860 daN < VSd = 25000 daN < ( VRds ) max = 39640 daN,
le armature al taglio verificano la sezione.
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OSSERVAZIONI. In particolare, essendo il valore della sollecitazione tagliante di calcolo
tale che ( VRds )min < VSd , allo stato limite ultimo il taglio è equilibrato dalle armature ormai
snervate; quindi l’equilibrio è mantenuto da un maggiore cimento del puntone compresso(1) e
anche dalla presenza di un’idonea armatura longitudinale, supposta essere ancora sufficiente
all’aumento del tratto di traslazione dei momenti flettenti per trazione anticipata(2):
0,9 h
s
y* =
(cotg cotg ) + .
2
2
Si può, quindi, affermare che la rottura dell’elemento strutturale avverrà (ad un’ulteriore
incremento dei carichi) per schiacciamento improvviso del puntone compresso; cioè quando:
VSd = VRd max = VRds .
Infine, la massima area efficace di armatura al taglio per sole staffe è:
cotg = 1, 0
Asw max 0, 5 cw bm fcd
s sin
fyd
efficace
Quindi, sostituendo i valori numerici:
0, 5 1 0,55 (30 cm) (113daN / cm2 )
Aswmax ==
0,24 cm2 / cm = 24 cm2 / m .
1
(3830daN / cm 2 )
s efficace
Quantitativi di armatura maggiori sono del tutto inutili, perché la massima resistenza del
puntone (per cotg = 1, 0 ) non è in grado di sostenere ulteriori contributi dell’armatura.
(*)ESEMPIO 14 (verifica). Si verifichi una sezione rettangolare 60 cm x 24 cm di una trave
a spessore confezionata con un conglomerato C20/25 e con gli acciai nervati del tipo S440. La
sezione sia armata con staffe a 4 bracci in ragione di 18 / 10 . Supponendo una distanza del
baricentro delle armature dai casseri pari a h = 4 cm e un taglio di calcolo pari a
VSd = 25000 daN , verificare la sezione al taglio. Si tralasci la verifica sui minimi di armatura
trasversale.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 113daN / cm2 (tab. 9.3_b);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 MPa (tab. 9.3_b);
fctd = 10 daN / cm2 (tab. 9.3_b);
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
acciai (S440):
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h = (24 cm) (4 cm) = 20 cm ;
Calcolo sezione armatura resistente al taglio (nell’interasse ts = 10 cm ):
f1s = 4 (0,50 cm2 ) = 2,0 cm 2 .
Calcolo area effettiva della staffatura:
f1s (2, 0 cm 2 )
= 20 cm2 / m .
=
ts eff (0, 10 m)
Si calcola, intanto:
1
A causa dello snervamento delle armature al taglio, gli ulteriori incrementi dei carichi causano degli incrementi delle
sollecitazioni flessionali sul puntone inclinato. Alla rottura, il puntone si schiaccia improvvisamente mentre le armature
sono in deformazione a tensione costante (modello elastico e perfettamente plastico: diagramma senza incrudimento).
2
Vedere paragrafo 11.4.
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(20 MPa) f [MPa]
0, 55 ;
= 0,6 1 ck
= 0,6 1 250 250 e cw = 1, 0 per assenza di forze assiali.
Calcolo resistenza minima al taglio del puntone compresso ( cotg = 2, 5 ):
VRd max = 0, 30 cw bm h fcd = 0, 30 1 (60 cm) (20 cm) 0, 55 (113daN / cm2 ) 22300 daN.
Risultando: VSd = 25000 daN < VRdmax = 25730 daN , la verifica a non schiacciamento è
positiva.
Fissata l’area effettiva della staffatura, il valore minimo della resistenza ultima portata dalle
armature al taglio (ponendo cotg = 1, 0 ) risulta:
(VRds )min = f1s 0, 9 h fyd = (20, 0 cm 2 / m) 0, 9 (0, 20 m) ( 3830daN / cm 2 ) 13780 daN ;
ts eff
mentre il massimo valore portato dalle armature grazie al maggior cimento del puntone
compresso ( cotg = 2, 5 ) risulta:
(VRds )max = f1s 0,9 h fyd cotg =
ts eff
= (20, 0 cm 2 / m) 0, 9 (0, 20 m) (3830 daN / cm 2 ) 2, 5 34470 daN .
Risultando:
VRd max > VSd con cotg = 2,5
( VRds )min < VSd < ( VRds )max
la sezione può considerarsi verificata. Infatti, ponendo VSd = VRds si ottiene il valore effettivo
per cotg :
VSd ts
(25000 daN) (10 cm)
cotg =
=
1, 81
2
f1 s 0,9 h fyd (2, 0 cm ) 0, 9 (20 cm) (3830 daN / cm2 )
che rientra nel limite imposto dalla Norma: 1,0 cotg 2,5 . Andrà comunque accertato che
le armature longitudinali coprano il diagramma dei momenti flettenti traslato in funzione del
valore cotg = 1, 81 .
(*)ESEMPIO 15(3) (verifica). Verificare una sezione rettangolare di una trave a spessore di
sezione 60 cm x 24 cm armata al taglio con staffe a 4 bracci in ragione di 18 / 7, 5 e soggetta
ad un taglio di calcolo pari a VSd = 29000 daN e con un’altezza utile pari a h = 20 cm. Si
verifichi la sezione al taglio, supponendo per essa le seguenti resistenze di progetto dei
materiali:
fcd = 130 daN / cm2 ;
conglomerato:
fcd = 77, 5daN / cm 2 ;
fyd = 3740daN / cm2 .
acciai:
Si omettano le verifiche sui minimi delle armature trasversali.
SOLUZIONE. Calcolo sezione armatura resistente al taglio (nell’interasse ts = 7, 5 cm ):
f1s = 4 (0,50 cm2 ) = 2,0 cm 2 .
Calcolo armatura al taglio effettiva:
3
Esempio rielaborato dal testo: Il cemento armato; Aurelio Ghersi; Dario Flaccovio.
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f1s (2, 0 cm 2 )
= 26, 7 cm 2 / m .
=
ts eff (0,075 m)
Calcolo resistenza minima al taglio del puntone compresso ( cotg = 2, 5 ):
VRd max = 0, 30 cw bm h fcd = 0, 30 1 (60 cm) (20 cm) (77, 5 daN / cm 2 ) 27900 daN.
Risultando: VSd = 29000 daN > VRdmax = 27900 daN , la verifica a non schiacciamento è
negativa: l’equilibrio potrebbe essere possibile per valori minori dell’inclinazione del puntone
compresso e quindi per sufficienti quantitativi di armatura ( VRds > VSd ).
Stante la costanza del quantitativo di armatura, per cotg = 2, 5 si ha VRds = ( VRds )max . Quindi,
se risultasse subito VRds = ( VRds )max < VSd , la verifica si chiuderebbe immediatamente con esito
negativo.
Per poter sfruttare il più possibile i materiali, si controlla quindi che VRds > VSd almeno per
cotg = 2, 5 :
cotg = 2, 5
f f (VRds ) max = 1s 0,9 h fyd 2,5
1s
ts eff
VRds = t 0,9 h fyd cotg
s eff
Sostituendo, infatti, i valori numerici si ottiene:
f (VRds ) max = 1s 0,9 h fyd 2,5 =
ts eff
= (26, 7 cm 2 / m) 0, 9 (0, 20 m) (3740 daN / cm 2 ) 2, 5 44900 daN .
Poiché si ha (VRds ) max = 44900 daN > VSd = 29000 daN > VRd max = 27900 daN , si va a verificare
se esiste quel particolare valore dell’angolo * d’inclinazione del puntone compresso (che
rispetti i limiti di Norma: 1,0 cotg* 2,5 ) che porta l’elemento strutturale in condizioni di
rottura bilanciata. Pertanto, l’equilibrio allo stato limite ultimo in condizioni di rottura
bilanciata deve essere cercato per un valore di * comune sia a VRd max = VRd max (*) che a
VRds = VRds ( *) e che verifichi l’uguaglianza VRd max (*) = VRds (*) . Si dimostra che tale valore
dell’angolo cercato è:
fcd bm
cotg * =
1.
( As / s) fyd sin
In particolare, avendo utilizzato solo staffe ( sin = 1 ), sostituendo i valori numerici si
ottiene:
cotg * =
(77, 5 daN / cm 2 ) (60 cm)
1 1, 91 .
(0,267 cm2 / cm) ( 3740daN / cm 2 )
Con il valore appena calcolato, si determina il valore del taglio ultimo che le armature
presenti possono portare:
A
VRds, * = sw 0, 9 h f yd cotg* =
sst
= (26, 7 cm 2 / m) 0, 9 (0, 20 m) (3740 daN / cm 2 ) 1, 91 34330 daN ,
la verifica è negativa perché non risulta anche VRds,* > VSd . Infatti:
VRds,* = 34330 daN < VSd = 35000 daN .
OSSERVAZIONI. La procedura di verifica poteva essere condotta anche sfruttando la
procedura 2), introdotta alla fine del paragrafo 11.12.4:
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Calcolo VRds, =45° :
Asw
0,9 h fyd = (26, 7 cm 2 / m) 0, 9 (0, 20 m) (3740 daN / cm 2 ) 17970 daN .
sst
Calcolo angolo inclinazione del puntone in condizioni di rottura bilanciata:
VRd max,
(27900 daN )
cotg * =
1 =
1 1, 92 [1, 0; 2, 5] .
0,33 (17970 daN)
VRds, =45°
VRds, =45° =
Non risulta, però, cotg * > cotg eff . Infatti:
cotg * = 1, 92 <
VSd
VRds, =45°
=
(35000 daN)
1, 948 = cotg eff ,
(17970 daN)
in altri termini: * = (1 / 1, 92) = 0, 52 > eff = (1 / 1, 948) = 0, 51 , la sezione non è verificata.
680

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