IL DIAGRAMMA DI POTIER ED IL MODELLO DI BEHN

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Zeno Martini (admin)
IL DIAGRAMMA DI POTIER ED IL MODELLO DI
BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA
SINCRONA
10 April 2014
Abstract
Nel passaggio da vuoto a carico la tensione ai morsetti di macchina si modifica.
Ciò è dovuto, in primo luogo, alla reazione di indotto, cioè al campo magnetico
prodotto dalle correnti di carico che, combinandosi con il campo di eccitazione, altera
il flusso magnetico preesistente modificando la tensione indotta negli avvolgimenti.
Tale tensione inoltre, non coincide con la tensione ai morsetti per la caduta sulla
resistenza, e per le tensioni di autoinduzione dovute ai flussi magnetici che si
concatenano con i soli conduttori dell'avvolgimento.
Con il diagramma di Potier è possibile stabilire il valore della corrente di eccitazione
che consente di ottenere la desiderata tensione sul carico in una macchina a poli lisci,
anche in condizioni di saturazione del circuito magnetico, mentre Behn-Eschenburg
definisce un semplificato modello circuitale per la macchina a poli lisci e non satura.
Reattanza di dispersione
Oltre al flusso considerato nella reazione di indotto, che si concatena anche con gli
avvolgimenti induttori, esistono flussi che si concatenano con i soli avvolgimenti di
statore. Sono chiamati flussi dispersi, e generano, nei conduttori, tensioni di cui si
può tenere conto per mezzo di coefficienti di autoinduzione e relative reattanze.
La reattanza di dispersione globale di una fase è data da
Xd = Xc + Xt + Xδ
I tre addendi rappresentano le reattanze corrispondenti, rispettivamente, ai flussi di
dispersione alle cave, alle testate, al traferro le cui tipiche linee sono schematizzate
nella seguente figura.
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L'espressione di ogni reattanza è del tipo
dove ω è la pulsazione, N il numero totale dei conduttori dell'avvolgimento,
permeanza che può essere calcolata con le formule
Λ una
• per le testate
con
τ semipasso polare;
• per il traferro
con
L lunghezza assiale;
• per cave del tipo schematizzato in figura
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La relazione precedente si può dimostrare ricordando che l'induttanza di un
insieme di conduttori è data dal rapporto tra il quadrato del loro numero e
la riluttanza del circuito magnetico in cui si stabilisce il flusso con cui si
concatenano. Nella figura sono rappresentate le linee di flusso che interessano
n conduttori nella cava, che si suppongono uniformemente distribuiti per
l'altezza h1. Si considera allora un generico tubo di flusso all'ascissa x, di
sezione Ldx che si concatena con
conduttori. Trascurando la riluttanza
gli
del percorso in ferro, resta la riluttanza del tratto in aria e rame corrispondente
b della cava. Si ricava l'induttanza relativa a tale insieme di
conduttori, che è funzione di x, e la si integra tra 0 ed h1. Si trova in questo
alla larghezza
modo una parte del coefficiente di autoinduzione totale dei conduttori in una
cava, quella relativa ai flussi che interessano parte dei coduttori di cava; bisogna
ora aggiungervi quella relativa al flusso che attraversa la parte alta della cava,
di altezza
h2 e che si concatena con tutti i conduttori di cava. Il coefficiente di
autoinduzione per l'avvolgimento sarà quello trovato moltiplicato per l numero
dei conduttori che formano l'intero avvolgimento, cioè
2pq (p:coppie polari;
q:numero di cave per polo e per fase)
Una formula empirica proposta dal Rebora che dà risultati soddisfacenti per
macchine a poli sporgenti è la seguente
dove c è un coefficiente empirico dipendente da
q secondo la tabella
q 2 3 4 5 6 8 10 12 14
c 3,1 2,9 2,75 2,6 2,4 2,2 2 1,85 1,8
NB: si assume che le unità di misura siano tutte nel sistema internazionale
Resistenza
Per la resistenza di una fase occorre considerare che quando i conduttori hanno
notevole sezione, il flusso disperso in cava determina perdite addizionali dovute alle
correnti parassite, quindi occorre tenere in conto di un coefficiente che aumenta la
resistenza ohmica ricavabile da lunghezza e sezione. Per limitare le correnti parassite
è opportuno adottare conduttori a sezione rettangolare con il lato minore investito
dal flusso.
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Il diagramma di Potier
Tenendo dunque conto delle cadute ohmiche e induttive dovute ai flussi dispersi,
possiamo tracciare il seguente diagramma fasoriale.
Nota - Il diagramma è valido nell'ipotesi che l'effetto della reazione di indotto
sia indipendente dalla posizione che essa assume rispetto agli assi polari. E'
un'ipotesi che può ritenersi valida per macchine a poli lisci. Per le macchine a
poli sporgenti sarà necessario ricorrere alla teoria della doppia reazione, che
sdoppia la reazione di indotto in una parte che agisce secondo l'asse polare ed
in un'altra che agisce secondo l'asse interpolare. Il diagramma che ne deriva è il
diagramma di Blondel.
V è la tensione di fase sul carico; I la corrente assorbita, sfasata dell'angolo
rispetto alla tensione. E è la tensione indotta dal flusso risultante dovuto alla
contemporanea azione della forza magnetometrice di eccitazione e di quella di
reazione di indotto. La E è in quadratura di ritardo con la Mr; il valore di quest'ultima
può essere ricavato dalla caratteristica di magnetizzazione della macchina. La forza
I e vale, come si è visto, Mi
= 1,35nqk1I. Poiché vettorialmente Mr = Mi + Me, sottraendo Mi ad Mr si
ottiene Me, cioè la forza magnetomotrice di eccitazione. La tensione a vuoto da
essa prodotta, è al solito, in quadratura di ritardo con Me ed il suo valore si può
determinare dalla caratteristica di magnetizzazione. Ora si può dunque tracciare E0.
magnetomotrice di reazione è in fase con la corrente
Si completa in questo modo il diagramma di Potier.
γ è l'angolo che stabilisce la posizione della Mi, rispetto alla Me, visto nell'articolo
sulla reazione di indotto; δ, detto angolo di coppia o di potenza, è l'angolo elettrico
corrispondente alla diversa posizione che assume la ruota polare a vuoto ed a carico.
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Nella figura che segue sono tracciati i diagrammi nel caso in cui il carico sia
puramente induttivo, puramente capacitivo e puramente resistivo, nell'ipotesi di
poter trascurare la resistenza di avvolgimento.
Nel caso puramente induttivo la reazione è completamente smagnetizzante,
completamente magnetizzante nel caso puramente capacitivo. L'angolo di coppia è
nullo in entrambi i casi, mentre, nel caso puramente resistivo, coincide con
all'aumetare della corrente tende a
γ ed
π / 2.
Autoeccitazione
Se il carico è capacitivo la reazione di indotto può dar luogo al fenomeno
dell'autoeccitazione. Se si fa ruotare la macchina alla velocità nominale con
eccitazione nulla, se si alimenta un carico capacitivo si ottiene una tensione crescente
al crescere della corrente erogata, con un andamento simile alla caratteristica a
vuoto. La corrente del carico si comporta infatti come una corrente di eccitazione.
Il magnetismo residuo del rotore fa sì che già in assenza di carico sia presente una
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Er la quale farà circolare una corrente sul carico capacitivo che aumenterà
la tensione stessa. L'aumento si arresta quando la tensione sul carico Vc diventa
tensione
uguale alla tensione prodotta, ciò che avviene nel punto P della figura seguente,
intersezione tra la caratteristica di autoeccitazione della macchina con quella del
carico capacitivo, che è una retta passante per l'origine.
I valori di corrente e di tensione che si hanno in P, che aumentano all'aumentare di C,
possono superare i valori nominali della macchina.
E' una situazione che si può verificare quando un alternatore alimenta lunghe linee
a vuoto per le quali, in prima approssimazione, si può considerare una capacità
chilometrica di
Modello di Behn-Eschenburg
Il diagramma di Potier vale anche nel caso di macchina in zona di saturazione.
Se la macchina non è in saturazione, c'è proporzionalità diretta tra forze
magnetomotrici e tensioni indotte. Ne deriva che, nella figura che segue, il triangolo
OAB, formato dalle forze magnetomotrici, è simile al triangolo OA'B'. In quest'ultimo
triangolo, il lato B'A' rappresenta la forza elettromotrice dovuta alla reazione di
indotto
Mi = 1,35nqIk1 ricavabile dalla caratteristica a vuoto, analogamente ad E0 ed E.
Il rapporto
è dunque interpretabile come reattanza dovuta alla reazione di
indotto.
La somma di tale reattanza con la reattanza di dispersione
denominata reattanza sincrona, mentre
X s = X i + X d, è
Zs = R + jXs è l'impedenza sincrona.
Nota dunque l'impedenza sincrona di una macchina, si può tracciare il diagramma
di sole cadute di tensione, come mostrato nella figura, detto diagramma di Behn-
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Eschemburg, che corrisponde al modello circuitale rappresentato, dove, come versi
positivi di tensione e corrente si è adottata la convenzione del bipolo generatore.
Esercizio
Un alternatore trifase a rotore liscio con collegamemto delle fasi a stella, ha i
seguenti dati
Prova a vuoto
E0 ( V ) 28 122 185 212 230 243 250
Ie ( A ) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
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• Determinare la corrente di eccitazione e la caduta di tensione percentuale nel
funzionamento con carico nominale e con un carico capacitivo con fattore di
potenza pari a 0,5 che assorbe la corrente nominale alla tensione nominale.
Soluzione
Osservazione: il testo assume implicitamente che la reattanza sincrona sia una
costante e la soluzione adotterà questa ipotesi. Come sarà meglio illustrato nel
paragrafo seguente, l'impedenza sincrona si può ritenere costante solo lontano
dalla saturazione.
La corrente nominale vale
Adottando il modello di Beh-Eschemburg avremo
Assumiano a fase zero la tensione
quindi il fasore della corrente del carico nominale è
L'impedenza sincrona, facendo l'ipotesi di
Xs costante vale
Quindi la tensione a vuoto vale
La caduta percentuale di tensione è
Approssimando la caratteristica a vuoto con un segmento di retta nel piano Ie,
che unisce i punti (2,5;243) e
interpolazione lineare
E 0,
(3,0;250) ricaviamo la corrente di eccitazione per
Per il carico capacitivo basta ripetere il procedimento, modificando il fasore della
corrente
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quidi sarà
La variazione percentuale di tensione è allora
Eseguendo l'interpolazione lineare tra i punti
(1,5;212) e (2,0;230) otteniamo
Determinazione dell'impedenza sincrona
L'impedenza sincrona si ricava dal rapporto tra la tensione a vuoto e la corrente di
cortocircuito.
Nella seguente figura sono tracciati i diagrammi vettoriali relativi al cortocircuito,
con R > 0 in c) ed R = 0 in d). In a) sono tracciati gli andamenti della tensione
a vuoto e della corrente di cortocircuito in funzione della corrente di eccitazione,
nonché il rapporto tra le due che rappresenta l'impedenza sincrona. La macchina è
mantenuta alla velocità di sincronismo.
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Il grafico della corrente è rettilineo in quanto, essendo la reazione di indotto
completamente smagnetizzante, la tensione effettiva
E è molto minore ad E0 per
cui la macchina lavora lontano dalla zona di saturazione; se ne discosta solo per
valori molto alti dell'eccitazione. L'impedenza sincrona si può ritenere praticamente
costante prima del ginocchio della curva della tensione, che corrisponde all'inizio
della saturazione, poi decresce. La resistenza R si può in genere trascurare.
Le considerazioni precedenti sono da tenere presenti se si adotta Behn-Eschemburg
come modello. Si possono adottare valori diversi dell'impedenza sincrona, a seconda
del valore della corrente di eccitazione della macchina nel caso particolare che si
esamina. In generale si può ritenere che, ad esempio, nel calcolo della variazione di
tensione da vuoto a carico, si ottengano valori più alti di quelli reali.
Esercizio
In un alternatore trifase con collegamento delle fasi a stella, con
la corrente di eccitazione è mantenuta al valore che produce, a vuoto, la tensione
nominale.
Calcolare la tensione sul carico, quando la macchina eroga la corrente nominale con
fattore di potenza pari a
1.
2.
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3.
Soluzione
L'esercizio è, sostanzialmente, simile al precedente risolto per via simbolica.
In questo caso ricaviamo le formule risolutive per via grafica.
Nella figura che segue, è tracciato il diagramma di Behn-Eschemburg relativo ad un
generico angolo di ritardo della corrente sulla tensione.
Ricaviamo la relazione tra
E0 che è mantenuta costante e la tensione di uscita V che
varia in funzione di
da cui la relazione cercata
dove basta sostituire i valori di
per i tre casi richiesti, oltre ovviamente, ai valori di
ed
1)
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2)
3)
Bibliografia
• Appunti di macchine elettriche - Ciro Di Pieri - Ed. CLEUP - Ia ed. settembre
1970; ristampa novembre 1991
• Macchine elettriche rotanti - M.Andriollo - G. Martinelli - A. Morini - CLEUP ,
1998
• Elementi di costruzione delle macchine elettriche - Giovanni Someda - Patron,
Bologna - terza edizione, 1954
• Fondamenti di macchine elettriche - Vittorio Isastia Cimino - Praise Worthy
Prize, gennaio 2012
• Appunti per il corso di Centrali Elettriche - Renzo Rova - Cleup , aprile 1972
• Lezioni di Trasmissione dell'energia elettrica - Antonio Paolucci - Cleup, 1998
• Macchine Elettriche - Franco Cottignoli - Calderini, 1989
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