Lezione 3 (1,3MB)

Laboratorio di restauro
Topografia e rilevamento
Dott. Andrea Piccin
[email protected]
Lezione n.3 : Operazioni
topografiche, elaborazione e
rappresentazione delle misure
Misure e coordinate
La misura degli angoli: il teodolite
La poligonale
La celerimensura
L’intersezione in avanti
Richiami alle lezioni precedenti (1)
Le unità di misura: angoli
Tutte le strumentazioni topografiche moderne
impiegano il sistema centesimale: il grado
centesimale è definito come 1/400 dell’angolo
giro ed è chiamato anche gon (g). Un angolo
retto è quindi pari a 100 g e un angolo piatto
a 200 g . I sottomultipli sono il primo
centesimale (c), definito come la centesima
parte del gon, ed il secondo centesimale (cc),
definito come la decimillesima parte del gon.
Il milligon (mgon) è definito come millesima
parte del gon.
N.B.: in topografia si assume come positivo il senso di
rotazione orario.
Richiami alle lezioni precedenti (2)
relazioni tra lati e angoli
(teorema dei seni - Eulero):
teorema di Carnot:
teorema di Nepero:
TRIANGOLI QUALSIASI
Richiami alle lezioni precedenti (3)
accuratezza e precisione delle misure
a) 10 m
b) 10,2 m
c) 10,26 m
accuratezza
d) 10263 mm
1) 31,26 m
2) 31,25 m
3) 31,27 m
4) 31,26 m
precisione
Richiami alle lezioni precedenti (4)
errori nelle misure
Nelle operazioni di misura si ha normalmente a che fare con tre differenti
tipologie di errore:
·
Errori grossolani
(operatore)
·
Errori sistematici
(strumento)
·
Errori accidentali
(procedura)
Richiami alle lezioni precedenti (5)
trattamento statistico delle misure
media
d
1
d1ì
ºS
n
d1 '+ d1 ' '+ d1 ' ' '
3
con n = numero di misure eseguite
Operatore
Misure effettuate di d1
A
6,42m
6,38m
6,40m
Valore medio = 6,40m
B
6,50m
6,30m
6,40m
Valore medio = 6,40m
varianza :
S ( d1 '- d 1 ) 2
s =
n -1
2
sommatoria degli scarti al quadrato /
(numero di misure effettuate – 1)
Scarto quadratico medio
S(d 1 '- d 1 ) 2
= s 2 =s
n -1
Più è piccolo lo SQM più le misure
sono precise (meno sono disperse)
Richiami alle lezioni precedenti (6)
distribuzione statistica delle misure
±1s = incertezza = percentuale di
probabilità 68,3%
± 2s = affidabilità= percentuale di
probabilità 95%
± 3s = tolleranza= percentuale di
probabilità 99,7%
m ± 3s rappresenta la massima variazione possibile dei valori, per cui si
può affermare che la misura che non ricade in questo intervallo è affetta da
errore grossolano, e quindi va scartata.
Richiami alle lezioni precedenti (7)
sistemi di riferimento
Disegno di un edificio
SISTEMA DI RIFERIMENTO
Vincoli (3 incognite):
Coordinate di un punto rigido (XA, YA)
Distanza AB=
(X
2
A
- XB
) + (Y
2 2
2
A
- YB
)
2 2
Direzione di riferimento AB (Azimut, J)
XB - XA
YB - YA
tg J AB =
Edificio ABCD: 8 incognite (XD,YD;XA,YA;XC,YC;XB,YB )
soluzione con 8 (incognite) - 3 (vincoli) = 5 misure
AB =
BC =
CD =
DA =
AC =
(X
(X
(X
(X
(X
2
A
- XB
2
B
2
C
2
D
A
2
- XD
- XC
- YB
2
- YC
2
- YD
2
- YA
2
- YC
2 2
B
2 2
C
2 2
D
2 2
A
)
)
)
)
)
2 2
2
A
- XC
- XA
) + (Y
) + (Y
) + (Y
) + (Y
) + (Y
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Trasformazione da misure a coordinate
Per determinare le coordinate di B,
occorre conoscere le coordinate di
A, misurare la distanza AB e
determinare l’angolo J AB
XB = XA + AB sen J AB
YB = YA + AB cos J AB
Considerando anche la quota, occorre
introdurre il terzo asse cartesiano (Z).
Nel piano Z si ha che:
zAB + zBA= 200g
ZB=ZA+BP= ZA + ABmisurata·coszAB
z = angolo zenitale (angolo formato da AB
rispetto alla verticale).
Distanza ridotta AB = ABmisurata × sinz AB
Le coordinate altimetriche
Per determinare le coordinate
X,Y,Z, di B, occorre misurare tre
valori (2 angoli e 1 distanza) e
determinare le 3 equazioni:
XB = XA + ABm sinzAB sin J AB
YB = YA + ABm sinzAB cos J AB
ZB = ZA + ABm coszAB
Per l’altimetria, l’effetto della curvatura
terrestre ha i seguenti valori:
·
in 100 m =
1 mm
·
in 200 m =
3 mm
·
in 400 m = 13 mm
·
in 1000 m = 78 mm
·
in 40000 m = 125 m
Le metodologie di rilievo (1)
Fase I
scheletro esterno
del rilievo
Fase II
scomposizione in
triangoli
Fase III
legami di
ridondanza
determinazione dei
punti ausiliari (1-12)
e dei 4 angoli (90° o
misurati)
tracciamento dei
segmenti che
uniscono tutti i punti
notevoli (1-12 e A-N)
tracciamento dei
segmenti che
intersecano tutti i lati
dei triangoli
Le metodologie di rilievo (2)
Fase IV
rilievo dell’interno
dell’edificio
determinazione dei
punti ausiliari interni
(13-14) e del relativo
allineamento
Attenzione
è opportuno individuare
triangoli il più possibile
equilateri e senza lati
troppo brevi, per evitare
una eccessiva influenza
dell’errore strumentale
(bindella ca 1 cm) sulle
misure corte
b) pendenza
di un muro
Altri schemi di
misura
a) pianta rotonda
c) rilievo di
un arco
La misura degli angoli: il teodolite
1) messa in stazione: allineamento dell’asse primario secondo la verticale
(filo a piombo o livella torica)
2) collimazione: agendo sulle regolazioni degli assi primario e secondario
(grandi movimenti - puntamento, piccoli movimenti - collimazione) si punta il
bersaglio e si legge sul display il valore angolare misurato.
Misura di angoli sul piano orizzontale (azimutali) e sul piano verticale (zenitali)
La misura degli angoli
Angolo azimutale
angolo solido compreso fra due piani che
hanno per sostegno la verticale del punto di
stazione (asse primario).
Il primo piano passa per il punto collimato P
(lettura orizz. 94g.1872), e il secondo per il
punto collimato Q (lettura orizz. 43g.0931).
a = P - Q =94g.1872 - 43g.0931 = 51g.0941
L‘accuratezza di 0.0001 gon corrisponde a
stimare a 1 km di distanza due punti lontani
tra loro 1,5 mm.
Angolo zenitale
angolo sul piano verticale compreso fra la
verticale del punto di stazione (zenit) e la
direzione collimata. Per questa misura è
sufficiente una sola lettura, perché lo zenit è
già fissato dalla messa in stazione dello
strumento. Occorre però tenere conto
dell’altezza strumentale.
La Poligonale
Metodo di misura topografica planimetrica utilizzato per determinare le
coordinate di punti non allineati (1 - 4), note le coordinate di alcuni punti
di partenza (A,P e B,Q). In ambiti ristretti si può utilizzare anche per
determinare l’altimetria. La poligonale può essere aperta o chiusa.
Si utilizzano teodolite e distanziometro (o la bindella).
Poligonale aperta
Poligonale chiusa
La Poligonale aperta (1)
Stazione sul punto A: si collimano
con il teodolite il punto P e il punto
1; per differenza di direzioni si
esegue la misura dell’angolo aA.
Impiegando il distanziometro si
misura la distanza obliqua A1 e
con l’angolo zenitale z A1 si
determina la distanza ridotta
A1 =A1sin z A1.
Si staziona ora sul punto 1: da questa stazione devono essere visibili i
punti A e 2; collimando A e 2 e si misurano l’angolo a1, la distanza 1A e il
relativo angolo zenitale. Si trova così un nuovo valore per la distanza
ridotta 1A: quest’ultimo deve ovviamente concordare con il precedente A1,
così da poterne calcolare la media da utilizzare per l’elaborazione futura.
Si prosegue misurando 12 e il relativo angolo zenitale, ottenendo 12 .
Proseguendo con stazione in 2 e sui punti successivi, si misurano gli
angoli azimutali e le distanze ridotte, avanti e indietro, in modo da ottenere
sempre almeno due misure della stessa distanza. In B è sufficiente
misurare l’angolo aB e la distanza B 4 , dato che Q è di coordinate note.
La Poligonale aperta (2)
Con questo schema sono state
effettuate 6 misure di angoli
azimutali (1-7 necessarie e I-III
ridondanti) e 5 doppie misure di
distanza ridotta (2-8 necessarie e II
ridondante), determinando così 4
vertici, di cui si dovranno calcolare
le 8 coordinate planimetriche.
Facendo sei stazioni, quattro sui vertici da determinare (1,2,3,4) e due sui
vertici estremi di coordinate note (A,B) si misurano 6 angoli e 5 distanze,
ovvero si hanno disposizione 11 misure da impiegare per determinare 8
incognite.
La ridondanza delle poligonazioni in planimetria è sempre pari a 3.
Si tratta ora di determinare le coordinate dei quattro vertici incogniti e
sfruttare nel modo più idoneo le tre ridondanze
La Poligonale aperta (3)
Innanzitutto, con i valori noti di
coordinate di A e P si possono
calcolare: XP - XA
,ricordando che
J AP= arctg ×
YP - YA
nella fattispecie dovrà risultare:
300g< J AP<400g
Analogamente, per B e Q si avrà
J BQ= arctg ×
XQ - XB
YQ - YB
e dovrà risultare: 0g< J BQ <100g
Per essere certi di valutare correttamente gli angoli, è sempre
opportuno eseguire un disegno della situazione
La Poligonale aperta (4)
Lavorando con gli angoli di direzione misurati, si applica la
formula di trasporto dell’azimut J
J A1 = J AP + a A (- 400 )
J12 = J A1 + 200 + a1 (- 400 )
J23 = J12 + 200 + a 2 (- 400)
J34 = J23 + 200 + a 3 (- 400 )
J4 B = J34 + 200 + a 4 (- 400)
JBQ = J4 B + 200 + a B (- 400 )
L’operazione tra parentesi va
eseguita nel caso in cui risulti
J >400g
La Poligonale aperta (5)
Dal calcolo precedente (formula di trasporto dell’azimut), dovrebbe risultare
che J BQ calcolato dovrebbe corrispondere al J BQ desunto dalle coordinate
note di B e Q. Questo in generale non accade a causa degli errori introdotti
nella serie di misure angolari effettuate tra A e B.
La differenza e a = JBQ - J BQ si definisce “errore di chiusura angolare”.
se ea > tolleranza, occorrerà ripetere le misure.
se ea < tolleranza, occorre distribuire l’errore totale sulle singole misure.
Ricordiamo che la tolleranza = 3 × s a × n , dove s rappresenta la
precisione strumentale mentre n è il numero dei vertici della poligonale
ea
In modo empirico, si può apportare ad ogni misura la correzione ca =
n
dove n = numero dei vertici della poligonale.
,
Reintroducendo nei calcoli il valore corretto di a (a A = a A + c a ), si otterrà il
valore corretto dell’azimut ( J BQ = J 4 B + a B - 400 g ) che corrisponderà ora
perfettamente, a meno di errori nei calcoli, al valore desunto dalle coordinate
(
)
La Poligonale aperta (6)
A questo punto si può lavorare con le distanze, applicando la
formula di trasporto delle coordinate
X 1 = X A + d A1 × sinJ A1
Y1 = YA + d A1 × cos J A1
per i valori dA1 si impiega la media
ottenuta da dA1 e d1A (ossia le
distanze ridotte di andata e ritorno)
Applicando la formula si ricavano le coordinate di tutti i vertici della
poligonale: confrontando le coordinate di B così calcolate con quelle note, si
ottiene X B - X B = DX e YB - Y B = DY , da cui DL2 = DX 2 + DY 2 , detto
“errore di chiusura laterale”: se DL < t L = p × L + q × L = tolleranza laterale,
in cui L = S15 d = d A1 + d12 + d 23 + d 34 + d 4 B , mentre p e q sono due parametri
stabiliti a priori in funzione della precisione richiesta (si trovano tabulati sui
manuali tecnici), si può distribuire l’errore di chiusura laterale sulle misure.
La Poligonale aperta (7)
La distribuzione dell’errore di chiusura laterale ( u X = DX
L
e
uY =
DY
L
),
si effettua empiricamente in proporzione alla lunghezza di ciascuna misura:
X 1 = X A + d A1 × sinJ A1 - d A1 × u X
e
Y 1 = Y A + d A1 × cosJ A1 - d A1 × uY
X 2 = X 1 + d12 × sinJ 12 - d12 × u X
,
Y 2 = Y 1 + d12 × cosJ 12 - d12 × uY
fino a
X B = X 4 + d 4 B × sinJ 4 B - d 4 B × u X
Alla fine, i valori corretti di
in partenza.
Y B = Y 4 + d 4 B × cosJ 4 B - d 4 B × uY
X B e di Y B dovranno corrispondere a quelli noti
La Poligonale aperta (8)
Considerazioni per l’Altimetria:
hs A + D A1 = QA1 + hP ® QA1 = hs A + D A1 - hP1
dove QA1
è il dislivello fra A e 1
QA1 = hs A + A1 × cos z A1 - hP1
Dato che ogni lato è misurato nei due sensi (avanti e indietro), si ha che
Q1 A = hs1 + 1A × cos z 1 A - hP A e dovrebbe risultare QA1 = -Q1 A ® QA1 + Q1 A = 0
Dato che in generale ciò non avviene, una volta verificato che il valore di
(Q - Q )
DQ sia inferiore alla tolleranza, si calcola la media DQA1 = A1 1 A e la si
2
inserisce nell’equazione Q1 = Q A + DQ A1 per ogni dislivello.
Al termine anche qui, come già visto, in generale sarà Q B ¹ Q B .
Una volta verificato che QB - Q B = DQ £ t q , dove t q = 3 × s q × n , con σq
pari alla precisione dello strumento relativamente al dislivello e n=numero
di dislivelli considerati, si definisce DQ (errore di chiusura altimetrico) e si
apporta a ciascuna misura la correzione altimetrica U DQ = D Q
,
n
ottenendo cosi i valori corretti delle coordinate X,Y,Z
di tutti i punti della poligonale.
La Poligonale
Nel caso di poligonale chiusa, in cui cioè
il vertice di inizio A corrisponde a quello
finale B e il punto ausiliario P con quello
Q, si applica la stessa procedura vista
per la poligonale aperta, anche se gli
angoli aA e aB vengono misurati
contemporaneamente.
La poligonale (aperta o chiusa che sia),
rappresenta un metodo di rilevamento
estremamente versatile, in grado di
adattarsi alle caratteristiche del rilievo da
effettuare e di penetrare all’interno degli
edifici anche su più livelli.
Necessita solo di avere visuale tra due
vertici contigui e di un punto di partenza
a coordinate note (caposaldo)
La Celerimensura (1)
Per ambiti edificati ristretti, in cui è ammissibile trascurare l’effetto della
curvatura della terra sull’altimetria, si possono eseguire i rilievi con
metodologie “semplificate”.
Uno di questi metodi è detto “delle coordinate cilindriche” o “celerimensura”
A partire da un punto A di coordinate X,Y,Z
note, e con l’ausilio di un punto B di cui siano
note le coordinate planimetriche X,Y, con
teodolite e distaziometro si effettua un rilievo
plani-altimetrico di esecuzione ed
elaborazione più veloce, anche se meno
rigorosa, della poligonale.
Con stazione in A, e con riferimento a B si
collimano i vertici 1-3, misurando gli angoli
azimutali, zenitali e le distanze oblique
(utilizzando il prisma riflettente).
Misurando zA1 e le altezze strumentale (hSA)
e del prisma (hp1), rendiamo altimetrico il
rilievo.
La Celerimensura (2)
Determinando JAB con la nota relazione
JAB = arctg
XB - XA
YB - YA
, e misurando aB1
posso calcolare JA1 = JAB + aB1 (- 400g) e,
applicando il trasporto delle coordinate,
calcolare X 1 = X A + d A1 × sinJ A1
e
Y1 = YA + d A1 × cos J A1
dove d A1 = A1 sin J A1
Considerando anche l’altimetria
Q A1 = Q A + hs A + A1 × cos z A1 - hP1
si ottengono le coordinate X,Y,Z del punto 1
Il sistema non è ridondante, ma è di veloce esecuzione
La Celerimensura (3)
Nello schema celerimetrico si
determina preliminarmente una
opportuna poligonale esterna, dai cui
vertici (detti alle centinaia) si
definiscono i punti esterni caratteristici
dell’edificio (denominati secondo il
vertice da cui sono stati collimati): ogni
punto è rilevato indipendentemente
dagli altri.
Dalla poligonale esterna si può anche
entrare all’interno dell’edificio con una
nuova poligonale che permette di
rilevare gli ambienti interni. Dalla
poligonale ci si può staccare con vertici
isolati (sbracci) che permettono di
entrare in ambienti laterali. È meglio
non avere più di uno sbraccio per uno
stesso vertice della poligonale.
Intersezione in avanti (1)
Un ulteriore metodo di rilievo topografico “semplificato” è rappresentato
dalla cosiddetta “Intersezione in avanti”. Tale metodo è caratterizzato dalla
misura di soli angoli e pertanto è sufficiente l’utilizzo del teodolite.
Dati due punti noti A e B, di cui si conoscono XA,
YA, QA, XB, YB e QB e la distanza AB.
2
2
d AB = ( X B - X A ) + (YB - YA )
JAB = arctg
XB - XA
YB - YA
JBA = JAB + 200g
in figura 100g<JAB<200g
in figura 300g<JBA<400g
Volendo rilevare P, si fa stazione in
A, e si misurano l’angolo azimutale
aA e l’angolo zenitale zAB.
Si ripete l’operazione in B, misurando
aB e zBA. Le tre incognite (XP,YP,QP)
possono essere determinate avendo
4 misure (sistema ridondante).
Intersezione in avanti (2)
aP = 200g - aA - aB
d AP
d AB
=
applicando il teorema dei seni:
sina B sina P
sina B
da cui: d AP = d AB
sina P
ed anche: d BP = d AB
sina A
sina P
Il triangolo ABP è ora completamente noto
JAP = JAB - aA (- 400)
applicando il trasporto delle coordinate:
XP = XA + dAP sin JAP
YP = YA + dAP cos JAP
Il triangolo ABP deve essere vicino ad un
triangolo equilatero, ovvero aP non deve
essere troppo piccolo.
Intersezione in avanti (3)
Problema altimetrico: i due punti di stazione A
e B non sono in generale alla stessa quota.
Nel triangolo rettangolo OHP risulta:
OH = HP × tge ® e = z AP
Da A: Q ' P = Q A + hsA +
d AP
tgz AP
Da B: Q' ' P = QB + hsB +
In generale Q ' P ¹ Q ' ' P
QP =
OH
® HP =
tgz AB
d BP
tgz BP
(DQ= ca 2-3 mm)
Q ' P +Q ' ' P
2
A questo punto è determinata anche QP
e il punto P completamente definito.
Intersezione in avanti (4)
Con questo schema di rilievo, mantenendo ferma la base AB e rispettando
le condizioni geometriche descritte, si possono misurare e determinare tutti i
punti, ad esempio, della facciata di un edificio.

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