Esercizi - foglio 6
Esercizio 1. Verificare usando le definizioni i seguenti limiti:
1. limn→+∞ k = k
n
2. limn→+∞ 21 = 0
3. limn→+∞ n3 = +∞
Esercizio 2. Usando i teoremi sulle successioni (per esempio il Teorema del
sandwich) individuare gli eventuali limiti delle seguenti successioni:
o
n
√
1. cos(n)
n
2. {nn }
n
o
n
3. (−)1
n!
Esercizio 3. Calcolare il limite delle seguenti successioni:
n√ o
3
2)
n2
1)
n 5o
n
o
3) n− 6
4) 1 + n1 · 3 + √1n
3
2
2
5
5) {n
n −3 n +o1} (sol : +∞) 6) {1
n + n 4− no}
1−n
+1
7) 5n3n
(sol : 3/5) 8) n3 −n
3
2
2 +n−1
n 2 +n +1o
3n +1 2n +n+3
9)
(sol : 0)
10) 2·3n +2
5
n n2n+1 n o
n√
√ o
3 7
n +2n2 + 3 n
+1
√
11) e e−3e
(sol : 0)
12)
3
3n +1
2
n + n
1 n
5
1
(sol : −∞)
(sol : −∞)
(sol : 1/2)
(sol : +∞)
Esercizio 4. Dimostrare le seguenti propriet`a delle successioni.
1. Se la successione {xn } converge a x allora la successione {αxn } converge
ad αx per ogni α ∈ R.
2. Se la successione {xn } diverge a +∞ e la successione {yn } diverge a
−∞ allora la successione {xn · yn } diverge a −∞.
3. Se la successione {xn } converge a x e la successione {yn } converge a y
allora la successione {xn · yn } converge a x · y.
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