Esercizi - foglio 6 Esercizio 1. Verificare usando le definizioni i seguenti limiti: 1. limn→+∞ k = k n 2. limn→+∞ 21 = 0 3. limn→+∞ n3 = +∞ Esercizio 2. Usando i teoremi sulle successioni (per esempio il Teorema del sandwich) individuare gli eventuali limiti delle seguenti successioni: o n √ 1. cos(n) n 2. {nn } n o n 3. (−)1 n! Esercizio 3. Calcolare il limite delle seguenti successioni: n√ o 3 2) n2 1) n 5o n o 3) n− 6 4) 1 + n1 · 3 + √1n 3 2 2 5 5) {n n −3 n +o1} (sol : +∞) 6) {1 n + n 4− no} 1−n +1 7) 5n3n (sol : 3/5) 8) n3 −n 3 2 2 +n−1 n 2 +n +1o 3n +1 2n +n+3 9) (sol : 0) 10) 2·3n +2 5 n n2n+1 n o n√ √ o 3 7 n +2n2 + 3 n +1 √ 11) e e−3e (sol : 0) 12) 3 3n +1 2 n + n 1 n 5 1 (sol : −∞) (sol : −∞) (sol : 1/2) (sol : +∞) Esercizio 4. Dimostrare le seguenti propriet`a delle successioni. 1. Se la successione {xn } converge a x allora la successione {αxn } converge ad αx per ogni α ∈ R. 2. Se la successione {xn } diverge a +∞ e la successione {yn } diverge a −∞ allora la successione {xn · yn } diverge a −∞. 3. Se la successione {xn } converge a x e la successione {yn } converge a y allora la successione {xn · yn } converge a x · y. 2
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