Dispense TDR - Università degli Studi Roma Tre

CORSO DI:
LABORATORIO DI FISICA TERRESTRE
TIME DOMAIN REFLECTOMETRY
Elena Pettinelli
Elisabetta Mattei
Andrea Di Matteo
Anno Accademico 2008/2009
1
1 Introduzione alla tecnica TDR
Le equazioni fondamentali nella teoria delle linee di trasmissione sono le seguenti:
∂V
∂I
= − L0
∂z
∂t
∂I
∂V
= −C0
∂z
∂t
(1a)
(1b)
E sono valide per qualunque linea di trasmissione composta da due (o più)
conduttori purché la sezione della linea rimanga invariata man mano che si procede
nella direzione di propagazione z.
Le caratteristiche generali di queste linee sono:
i.
In una linea di trasmissione a due (o più) fili è sempre possibile trovare un modo
ρ ρ
dove E e B sono completamente trasversali alla direzione di propagazione del
flusso di energia (la direzione z del nostro sistema di coordinate). Questo modo
detto principale o modo trasversale elettromagnetico (TEM) è quello per cui si
applicano le equazioni (1). Ci sono modi di ordine più elevato ma essi sono
ρ
ρ
caratterizzati dal fatto che sia E che B hanno una componente lungo z.
ii.
L’onda TEM trasmette energia a tutte le frequenze fino a includere la frequenza
zero.
iii.
Quando si possono trascurare le perdite nel conduttore, cioè nei limiti di un
conduttore perfetto, la velocità di fase dell’onda è indipendente dalla frequenza
(non c’è dispersione). Il suo valore è lo stesso della velocità in assenza di
conduttori ed è v = c . In termini di induttanza e capacità per unità di lunghezza è
data da v = (L0 C 0 )
−1
2
.
2
iv.
Quando la penetrazione dei campi nei conduttori può essere trascurata, cosa che
è fattibile ad alte frequenze, la configurazione istantanea dei campi elettrici e
magnetici è la stessa che si avrebbe con delle cariche e delle correnti continue
opportunamente distribuite lungo la linea. E’ proprio questa proprietà che
permette di calcolare C 0 e L0 dalle equazioni (1) come se fossero applicabili
direttamente l’elettrostatica e la magnetostatica.
Line a coassiale e linea bifilare
Linea coassiale
Il modo TEM in una linea coassiale ha il campo elettrico che è puramente radiale e un
campo magnetico che è puramente azimutale come illustrato in Figura 1
Figura 1
Per determinare le caratteristiche di una linea coassiale, o di qualsiasi linea di
trasmissione a due conduttori, è necessario determinare la capacità C 0 e l’induttanza L0
per unità di lunghezza. Nello specifico caso si ha che :
3
L0 =
C0 =
µ0  a 
ln  
2π  b 
2πε 0
a
ln  
b
(2a)
(2b)
(Per una dimostrazione rigorosa si veda, ad esempio, il testo di Campi ed Onde
nell’elettronica per le comunicazioni di Ramo e collaboratori, 1994 – Franco Angeli
Editore)
Le sonde TDR coassiali in genere operano come linee non bilanciate. Queste
linee sono non bilanciate perché sono costituite da un conduttore interno e da un
conduttore esterno che è collegato a terra. Il conduttore centrale trasporta l’energia e
quello esterno impedisce che questa energia venga irradiata nello spazio.
Il loro vantaggio principale è la capacità di minimizzare le perdite radiative. I
campi magnetico ed elettrico sono confinati nello spazio tra il conduttore interno e
quello esterno, il “guscio” messo a massa previene l’introduzione di rumore da sorgenti
esterne.
L’impedenza caratteristica di una linea coassiale, in ohm, è data da
a
b
con d il diametro del conduttore interno e D quello del conduttore esterno.
Z 0 = 138log
L’impedenza caratteristica di una linea di trasmissione coassiale ideale dipende quindi
solo dalla geometria della linea.
Linea bifilare
Una linea bifilare costituita da due fili conduttori rettilinei e paralleli, a sezione
circolare di raggio d, la cui distanza è D>>d. Il modo TEM in una linea bifilare ha il
campo elettrico e il campo magnetico diretti come mostrato in Figura 2
4
Figura 2
L’induttanza e la capacità per unità di lunghezza si ricavano dalla geometria della linea
e risultano essere approssimativamente
L0 ≈
C0 ≈
µ0 2 D
ln
π
d
πε 0
ln ( 2 D d )
(3a)
(3b)
Si tratta di espressioni approssimate che possono comunque essere considerate valide
per usi pratici.
La linea parallela bifilare è una linea di trasmissione bilanciata; il suo limite
consiste nella presenza di perdite radiative, fenomeno che diventa tanto più importante
quanto più alta è la frequenza del segnale trasmesso.
L’impedenza caratteristica di una linea bifilare, in ohm, è data da Z 0 = 2 × 138 log 2 D
d
dove d è il diametro delle bacchette conduttrici e D è la loro distanza.
5
2 Generalità sulla tecnica TDR
La reflettometria nel dominio del tempo (Time Domain Reflectometry - TDR) è una
tecnica elettromagnetica ampiamente utilizzata ed affermata, originariamente usata per
localizzare e determinare i difetti su linee di trasmissione (in particolar modo sui cavi
telefonici). Il Radar, sviluppato intorno agli anni ‘30, può essere considerato un
antesignano del TDR; infatti, il suo stesso principio di funzionamento può essere
applicato al TDR (Figura 3). In questo caso, però, le onde elettromagnetiche emesse
dallo strumento sono guidate e si propagano all’interno di una linea di trasmissione.
Qualsiasi variazione delle proprietà elettriche della linea di trasmissione, lungo la quale
si propaga l’impulso elettromagnetico, produce una riflessione delle onde emesse.
Figura 3 Analogia tra GPR e TDR
La strumentazione permette di misurare il tempo che intercorre tra l’emissione delle
onde e la loro rilevazione, dopo che queste si sono propagate all’interno di una linea di
trasmissione e sono state riflesse da una discontinuità della linea. La conoscenza della
velocità di propagazione del segnale nella linea permette di ricavare la posizione della
discontinuità, mentre un’analisi dell’ampiezza del segnale riflesso permette di ricavare
6
informazioni sulla natura della discontinuità. In base a queste considerazioni intorno
agli anni ‘40 il TDR fu applicato a linee di trasmissione coassiali, e fu utilizzato per
testare i cavi telefonici, localizzando ed individuando la natura di eventuali difetti. Alla
fine degli anni ‘60 Fellner-Feldegg per primo utilizzò la tecnica TDR per misurare le
proprietà elettriche dei materiali, esaminando diversi “alcoli”, posti in cilindri coassiali.
Nel 1980 Topp e collaboratori, estesero questa tecnica ai suoli, attraverso la
determinazione del contenuto volumetrico d’acqua di terreni, posti sempre in contenitori
coassiali, mostrandone così tutte le potenzialità nelle applicazioni geofisiche.
Successivamente, gli stessi ricercatori svilupparono un sistema TDR adatto a misurare
in situ le proprietà elettriche dei terreni utilizzando una linea di trasmissione bifilare,
formata da due conduttori paralleli, immersi nel materiale investigato. Sebbene negli
ultimi venti anni la tecnica TDR, grazie al fatto di essere una tecnica non distruttiva e
priva di rischi legati all’emissione di radiazioni, abbia trovato la sua principale
applicazione nell’agricoltura, nella ricerca idrogeologica e nella ricerca ambientale,
dove viene utilizzata soprattutto per misurare il contenuto d’acqua e per identificare
eventuali rischi chimici dei terreni, questa risulta essere ancora utilizzata per valutare
semplicemente e rapidamente la permettività e la conducibilità elettrica di soluzioni o
materiali granulari.
Le misure con tecnica TDR di proprietà elettriche dei materiali vengono a tutt’oggi
effettuate utilizzando lo stesso apparato strumentale utilizzato per testare i cavi di
trasmissione, il cosiddetto “metallic cable tester”.
7
Metallic Cable Tester
Un Metallic Cable Tester (MCT) generalmente consiste in quattro parti: un generatore
d’impulso a gradino, un cavo coassiale, un campionatore ed un oscilloscopio. La
strumentazione in dotazione presso il Laboratorio di Geofisica del Dipartimento è il
Cable Tester Tektronix 1502C
Cable Tester Tektronix 1502C
Figura 4 Rappresentazione schematica degli elementi del MCT
8
Generatore di impulsi a gradino
Il generatore di impulsi a gradino produce delle onde elettromagnetiche
sinusoidali che coprono un’ampia banda in frequenza. La sovrapposizione dell’ onda
sinusoidale fondamentale con le armoniche di ordine superiore, produce un’onda quadra
periodica, detta impulso a gradino; tuttavia, quando la frequenza dell’ armonica di
ordine massimo risulta superiormente limitata, l’onda risultante sarà soltanto
approssimativamente quadra. Questo è cosa succede nel caso di generatori di impulsi a
gradino dove ci sono limiti di natura strumentale che determinano la massima frequenza
raggiungibile dall’ armoniche di ordine superiore. In Figura 5a è mostrato il tipo d’onda
quadra generata dall’apparecchio MCT Tektronix 1502C.
Figura 5a Segnale a gradino generato dal MCT
Il gradino di tensione è prodotto dalla sovrapposizione di onde sinusoidali che
vanno dalla frequenza di 5 KHz (fondamentale) a quella di 1.75 GHz. Ciascun gradino
di tensione viene trasmesso per 25 µs con una pausa di 200 µs tra un gradino ed il
successivo.
La figura 5b mostra la forma ideale e reale dell’impulso emesso dal metallic
cable tester.
9
Figura 5b
Cavo coassiale
Il generatore di impulso ed il campionatore sono collegati attraverso un cavo
coassiale di impedenza Z=50 Ω. Lo schermo (calza) del cavo coassiale è collegato a
terra. Le onde elettromagnetiche prodotte dal generatore vengono lanciate sul
conduttore del cavo coassiale con una caduta di tensione tra conduttore e schermo di
300 mV.
Il campionatore
A seconda del tipo di dielettrico, le onde elettromagnetiche viaggiano all’interno
di un cavo o di una guida a diversa velocità. Se il dielettrico è rappresentato dal vuoto
queste si propagheranno alla velocità della luce, mentre se il dielettrico è rappresentato
dal polietilene, come nel caso del coassiale da noi utilizzato, la loro velocità sarà ridotta
al 66% della velocità della luce. Ne consegue che il tempo che intercorre tra l’inizio
della trasmissione delle onde da parte del generatore e l’inizio della loro ricezione nel
10
campionatore è molto breve. Il campionatore è costituito da due parti: un sistema di
temporizzazione ed un voltmetro ad alta precisione. Quando il campionatore riceve le
onde elettromagnetiche comincia a misurare la tensione tra lo schermo ed il conduttore
a intervalli di tempo prefissati, così da ottenere un insieme di dati rappresentanti la
differenza di potenziale come funzione del tempo
L’oscilloscopio
L’oscilloscopio mostra su uno schermo a cristalli liquidi le misure simultanee di tempo
e tensione ottenute dal campionatore, tracciando una curva caratteristica del processo in
esame (la traccia TDR) (Figura 6)
Figura 6 Esempio di traccia sull’oscilloscopio del MCT
segnale inviato
ampiezza
2000
1000
0
-1000
-2000
-3000
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
tempo(ns)
tdr+lineabifilare
tdr+balun
tdr
Figura 6b Segnale d’ingresso
11
In Figura 6b è mostrato il segnale d’ingresso dello strumento.
La curva denominata tdr (in blu) corrisponde al segnale visualizzato sullo
schermo dell’oscilloscopio quando si accende lo strumento, senza averlo collegato ad
una linea di trasmissione: il gradino viene totalmente riflesso, in controfase, in
corrispondenza del connettore.
La curva tdr+ balun (in rosso) mostra la riflessione nel caso in cui al Tektronix
1502C sia stato collegato il balun: la riflessione in questo caso è in fase.
La curva tdr+ linea bifilare (in nero) è relativa alla situazione in cui al balun sia
stato collegato il cavo bifilare: la riflessione, in fase, avviene in corrispondenza
dell’estremità del cavo.
L’ampiezza del segnale dopo la riflessione finale non è pari al doppio del
segnale d’ingresso (riflessione da una linea aperta) in quanto il segnale viene in parte
attenuato dal balun.
Il balun (balanced-unbalanced) è un adattatore di impedenza, che permette di
convertire in modo appropriato un segnale che passa da una linea non bilanciata ad
una linea bilanciata e permette di ottenere un adattamento tra linee con impedenze
differenti. Se non si facesse uso del balun, il campo si modificherebbe comunque da
non bilanciato a bilanciato, ma in modo graduale.
12
3 Principio di funzionamento del TDR
Nella reflettometria nel dominio del tempo un impulso a gradino di
tensione è propagato lungo una linea di trasmissione, che a secondo della
sua configurazione, può essere riempita o immersa nel mezzo del quale si
vogliono indagare le caratteristiche elettriche. L’impulso di tensione si
propaga come un’onda elettromagnetica, viaggiando nel mezzo e guidata
dai conduttori.
Figura 7 Principio di funzionamento del TDR
13
La propagazione di un’onda elettromagnetica all’interno di una linea di
trasmissione è legata alle caratteristiche di impedenza della linea. Consideriamo una
linea di trasmissione avente un’impedenza caratteristica Z 0 ; nel momento in cui
poniamo fra le superfici conduttrici un materiale uniforme, avente permettività elettrica
complessa ε e permeabilità magnetica complessa µ , la sua impedenza diverrà:
Zs = Z0
µ
ε
(4)
Quando la linea di trasmissione riempita è connessa al sistema TDR, avente
un’impedenza di uscita Z u , il disadattamento di impedenza tra Z u e Z s produce la
riflessione di parte del segnale TDR che arriva al campione, mentre il resto del segnale è
trasmesso all’interno del campione. Il coefficiente di riflessione è dato dalla:
ρ=
( Z s − Zu )
( Z s + Zu )
(5)
e rappresenta il rapporto delle ampiezze dei segnali TDR incidente e riflesso. Il
coefficiente di trasmissione a sua volta sarà dato dalla:
τ = 1+ ρ
(6)
Esempi di riflessione sono mostrati in Figura 8
Figura 8
14
Consideriamo la riflessione e la trasmissione dell’impulso in un mezzo
multistratificato, come mostrato in Figura 9a:
Figura 9
Assumiamo che il potenziale in ingresso al campione sia V0 . Ad ogni superficie
di separazione tra i vari strati del campione, parte del segnale sarà riflesso indietro,
mentre parte sarà trasmesso in avanti fino alla successiva superficie di separazione. Il
potenziale riflesso tornerà indietro fino alla sorgente del segnale (all’ interno del TDR),
dove sarà rilevato. Il valore Vi (vedi figura), dove il pedice i indica un intervallo di
tempo discreto, sarà determinato dalla sovrapposizione dei segnali riflessi e del
potenziale in ingresso V0 . L’intervallo di tempo ti è il tempo necessario affinché il
segnale percorra, andata e ritorno, lo strato j, avente spessore LJ , e, supponendo che il
mezzo sia non magnetico e verifichi la condizione ε ′′ << ε ′ , sarà dato da
1/ 2
t i = 2LJ ( ε′J )1 / 2 / c , dal momento che v J = 2LJ / t i e v J = c / ε′J . La sequenza degli
15
intervalli di tempo specifica la posizione sull’asse orizzontale (o asse dei tempi) della
traccia TDR, mentre l’asse verticale caratterizza l’ ampiezza del segnale.
In prima approssimazione possiamo calcolare il potenzialeVi ignorando le
riflessioni secondarie o di ordine maggiore (rappresentate in figura dalle linee con le
frecce).Utilizzando questo approccio otteniamo:
V1 = V0 (1 + ρ1 )
V2 = V1 + V0 (1 + ρ1 )(1 − ρ1 ) ρ2
V3 = V2 + V0 (1 + ρ1 )(1 − ρ1 )(1 + ρ2 )(1 − ρ2 ) ρ3
i −1
(
Vi = Vi −1 + V0ρi ∏ 1 − ρJ
J =1
2
(7)
)
dove i=1, 2, 3,…,n e n è il numero di interfacce del campione.
Includiamo ora anche le riflessioni secondarie e di ordine successivo. In figura 9b un
nodo di intersezione fra i raggi è indicato con Vij . Quattro raggi, denotati con Vijk , con
k=1, 2, 3, 4, convergono nel nodo Vij , come mostrato in Figura 9b
Figura 9
16
Il pedice i denota l’intervallo di tempo; il pedice j denota la posizione del nodo relativa
allo strato, avente impedenza Z j e posto a destra del nodo. Ogni nodo è connesso ai
quattro nodi vicini da quattro raggi. Il pedice k=1, 2, 3, 4 è l’indice che denota i raggi
convergenti nel nodo. Dalla struttura caratterizzante la Figura 9b si evince che:
Vi +1, j −1,1 = Vi , j ,4
(8a)
Vi , j +1,2 = Vi , j ,3
(8b)
Applicando i coefficienti di riflessione e trasmissione, al tempo i e nella posizione j, si
ottengono le relazioni aggiuntive:
Vi , j ,3 = − ρ jVi , j ,1 + (1 + ρ j ) Vi , j ,2
(9a)
Vi , j ,4 = + ρ jVi , j ,2 + (1 − ρ j )Vi , j ,1
(9b)
Risulta quindi che il segnale ricevuto dal campionatore TDR è la serie che somma le
tensioni riflesse Vi ,1, 4 . Quindi il segnale letto al tempo i sarà dato da:
i
Vi = V0 + ∑ Vm,1,4
(10)
m =1
Notiamo che nel caso di strati non conduttivi e terminanti con uno strato
infinitamente resistivo (per il quale si ha ρn = 1) il valore di Vi per i >> n è uguale a
2V0 . Nel momento in cui andiamo a considerare un campione costituito da un solo
mezzo dielettrico uniforme, terminante con un circuito aperto (quindi ρ2 =1) e tenendo
conto del coefficiente di riflessione e di trasmissione, la (10) diventa:
i

( j −2) 
Vi = V0 (1 + ρ ) + (1 − ρ 2 ) ∑ ( − ρ )

j =2


(11)
17
Consideriamo ora questo specifico caso, ed andiamo a vedere la forma d’onda
del segnale TDR in funzione del tempo. Per far ciò, supponiamo che il nostro apparato
strumentale abbia la configurazione mostrata nelle Fig 10 e 11.
Oscilloscope
Pulse
generator
matched
impedence
Impedence
mismatch
Sampler
Z
1
A
Z
1
Balun
Z
2
Open
end
Z
B
3
coaxial line
parallel balanced lines
t=0
C
Z >Z
2 3
t=t
A
(a)
t=2t
(b)
AB
t=2tAB+ 2t
BC
(c)
Figura 10 Sovrapposizione delle onde trasmesse e riflesse
18
Z
A
1
Z
B
C
2
Z >Z
2
1
Line a c oa ssia le
V
tA < t < tB
(a)
0 .3 0 0
0
V
tA < t < tB
U r,1
0 .3 0 0
(b)
U t,1
0
V
t =
t
(c)
B
2 U t,1
0 .3 0 0 + U
r, 1
0
V
t
<
B
t <
t
C
U t,2
U r,2
0 .3 0 0 + U
r, 1
0
V
0.3 00 + U
(d)
2 U t,1
=
t
t
C
+ U t,2
r,1
2 U t,1 + 2 U r,2
(e)
0
Figura 11 Esempio di riflessione lungo la linea di trasmissione
Nel punto A il cable tester è collegato ad un cavo coassiale dello stesso tipo di quello
interno (Zu=50 Ω). Nel punto B la configurazione del cavo viene modificata in modo
tale da presentare un’impedenza caratteristica diversa da 50 Ω (in questo caso
l’impedenza risulta ridotta). Nel punto C si ha la fine del cavo (aperto); quindi
19
l’impedenza a destra di C tende ad infinito. Le variazioni d’impedenza in B ed in C
inducono,come detto, delle riflessioni delle onde elettromagnetiche.
Tempo t=0
Al tempo t=0 il generatore inizia ad emettere onde elettromagnetiche, la cui
sovrapposizione origina un gradino pari a 0.300 V. Allo stesso istante il campionatore
comincia a misurare sia il tempo che la tensione creando un set di dati (t,V). Questo
viene fatto a piccoli intervalli di tempo e l’oscilloscopio mostra tali valori. Al tempo t=0
il fronte del gradino di tensione non ha ancora raggiunto il campionatore per cui questo
misura una tensione nulla.
t=tA
Quando il fronte del gradino raggiunge il campionatore questo registra una tensione tra
cavo interno e schermo di 0.300 V. Sull’oscilloscopio questo viene mostrato come un
istantaneo innalzamento del valore della tensione da 0.0 V a 0.300 V (figura 10(a)).
Allo stesso istante in cui il campionatore riceve il fronte del gradino (t=tA) il fronte entra
nel cavo.
tA<t<tB (figura 11(a))
Il gradino di tensione viaggia nel cavo sino a raggiungere il punto B. Durante questo
intervallo il campionatore misura sempre un gradino di tensione pari a 0.300 V.
tA<t<tB ad un tempo maggiore (figura 11(b))
Al punto B una parte del gradino di tensione viene riflesso indietro verso il cable tester
(Ur,1) mentre parte di esso viene trasmesso nel cavo a diversa impedenza (Ut,1). Poiché
l’impedenza del cavo che si trova oltre il punto B è minore di quella del cavo prima del
punto B, le onde elettromagnetiche verranno riflesse in controfase rispetto a quelle
trasmesse dal cable tester. Quando le onde riflesse e trasmesse si sovrappongono ne
20
risulterà una caduta di ampiezza rispetto a quella del gradino di tensione originario.
L’ampiezza del gradino di tensione trasmesso è pari a (0.300V + Ur,1)= Ut,1, poiché deve
sempre esserci la stessa tensione da una parte e dall’altra di una discontinuità.
t=tB (figura 11(c))
Il gradino di tensione trasmesso (Ut,1) continua ad avanzare verso il punto C dove viene
totalmente riflesso in fase poiché l’impedenza oltre tale punto tende ad infinito (linea
aperta). Quindi l’ampiezza nel punto C diventa 2Ut,1. Al tempo t=tB il fronte del gradino
di tensione riflesso (Ur,1) ha raggiunto il campionatore, e questo rileva una caduta di
tensione tra il cavo centrale e lo schermo.
tB<t<tC (figura 11(d))
Dopo un certo tempo la riflessione del gradino di tensione (Ut,1) raggiunge il punto B.
Poiché l’impedenza è minore nel cavo da cui il gradino sta provenendo, la riflessione
parziale (Ur,2) delle onde elettromagnetiche che viaggia nuovamente verso C sarà in
fase. Il gradino di tensione trasmesso (Ut,2) verso il cable tester sarà anch’esso in fase
ed avrà un valore pari a Ut,1+ Ur,2.
t=tC (figura 11(e))
Il gradino di tensione riflesso (Ur,2) raggiunge il punto C e viene totalmente riflesso in
fase come è stato per Ut,1. Al tempo t=tC il gradino di tensione trasmesso (Ut,2)
raggiunge il campionatore nel punto A. Poiché Ut,2 è in fase con le onde trasmesse dal
cable tester, il campionatore registra un aumento di tensione tra conduttore e schermo.
Dalla figura 10 (c) si osserva che il tempo necessario perché l’impulso a gradino
percorra la distanza tra B e C e torni indietro è pari a tC-tB. La riflessione totale (Ur,2) nel
punto C raggiungerà nuovamente B dove sarà parzialmente trasmessa verso il punto A e
21
parzialmente riflessa verso il punto C. Queste riflessioni multiple danno origine al
segnale a scaletta osservabile in figura 11(c), fino a completo esaurimento.
4 Misure dei parametri elettromagnetici con il TDR
Misure di velocità e permettività
La forma d’onda mostrata sull’oscilloscopio rappresenta la sovrapposizione
delle onde incidenti (il segnale a gradino emesso dal generatore) e le onde riflesse (in
fase o in controfasce) generate ad ogni disadattamento di impedenza nel sistema. In
Figura 12 (b) è mostrato l’andamento di una forma d’onda ideale TDR in relazione alle
impedenze caratteristiche Z i delle differenti sezioni.
Figura 12
22
Tutti i tempi misurati sono relativi al tempo t1 (associato al punto A dove il
gradino generato è rivelato dal campionatore). Il tempo di transito, diviso per due, di
andata e ritorno nel cavo tra i punti A e B è ∆t AB , corrispondente a t 2 − t1 . Il tempo di
transito di andata e ritorno, diviso per due, legato alla propagazione del segnale tra il
punto di inizio B e il punto finale C della sonda TDR è ∆t BC corrispondente a t 3 − t 2 .
Questo valore viene utilizzato per calcolare la velocità di propagazione del segnale nel
materiale, tramite la relazione
v=
L
∆t BC
(11)
dove L è la lunghezza fisica della sonda TDR.
Nelle applicazioni TDR, dal momento che solitamente vengono esaminati
materiali non magnetici, la misura della velocità di propagazione del segnale viene
utilizzata per calcolare la permittività elettrica dei mezzi. Come enunciato
precedentemente, la velocità di propagazione di un’onda elettromagnetica che viaggia
con frequenza angolare ω in una linea di trasmissione immersa in un materiale
dielettrico non magnetico, dissipativo e dispersivo, può essere espressa come
v=
c
 1 + (1 + tan 2 δ ) 1 2 
e
ε r′

2


1
(12)
2
Nel caso in cui il materiale abbia poche perdite, ovvero tan δ e << 1 , la (12) si riduce
1
alla ben nota espressione v = c (ε r′ ) 2 .
In questo caso la costante dielettrica ε r′ = ε r del mezzo può essere calcolata dall’analisi
della componente orizzontale della traccia TDR, misurando l’intervallo di tempo ∆t BC :
23
 c∆t 
ε r =  BC 
 L 
2
(13)
Nel caso di materiali magnetici in cui non sia possibile trascurare le perdite (sia
dielettriche che magnetiche), l’espressione (12) assume la forma generale già introdotta:
v=
2
 µ ′ 2 + µ ′′2 ε ′2 + ε ′′ 2 + ε ′µ ′ − ε ′′µ ′′ 
e


1
(14)
2
e in questo caso risulta impossibile separare i contributi dati a v dalla parte reale e dalla
parte immaginaria della permittività dielettrica e della permeabilità magnetica. Nella
letteratura TDR si usa spesso indicare la permettività misurata con il termine di
permettività apparente εa.
Nei processi di misura le forme d’onda a gradino della traccia TDR assumono,
nel caso reale, una forma arrotondata e irregolare, dovuta alla combinazioni di vari
effetti dispersivi (Figura 13). Questa forma non ideale rende la determinazione
dell’intervallo di tempo presente nell’equazione (13) particolarmente delicata,
condizionando l’accuratezza delle misure di velocità e costante dielettrica.
Figura 13 Forma teorica della curva TDR
24
Quindi un punto particolarmente critico nelle misure TDR di permettività e
velocità risulta essere l’identificazione di quei punti della traccia usati per determinare il
tempo di transito dell’onda elettromagnetica nel mezzo sotto indagine. Differenti
procedure sono state utilizzate da vari autori per determinare tale intervallo di tempo, ed
in alcuni casi è stato stimato anche l’errore associato a tale determinazione. E’
importante sottolineare, comunque, che tutti i metodi presenti in letteratura sono in
linea di principio equivalenti, e affetti da un errore non facilmente valutabile.
Nelle misure di laboratorio effettuate in questo corso, l’analisi della forma
d’onda TDR viene eseguita semiautomaticamente utilizzando un programma
computerizzato (Redman, 1996), tramite il quale i punti t 2 e t 3 vengono trovati
attraverso il cosiddetto metodo delle tangenti, illustrato schematicamente nelle Figure
14a e 14b:
Figure 14a e 14b
25
In questo programma, quattro finestre temporali vengono scelte manualmente lungo la
forma d’onda: la prima e la seconda nelle immediate vicinanze, rispettivamente subito
prima e subito dopo, del punto valutato qualitativamente come punto di discontinuità
caratterizzante l’inizio delle sonde; la terza prima del finale cambiamento di pendenza e
la quarta subito dopo tale cambiamento di pendenza, caratterizzante la fine delle sonde;
i.
in ciascun intervallo, è stato effettuato automaticamente un fit lineare
(con il metodo dei minimi quadrati), ed è stata tracciata la retta ottenuta;
ii.
l’intersezione fra le prime due rette è stata usata per determinare t 2 e
l’intersezione fra le ultime due è stata usata per determinare t 3 .
Quando una forma particolarmente critica della curva TDR può portare ad una
identificazione non del tutto corretta delle finestre temporali (per esempio nel caso di
misure con sonde bifilari di materiali in cui la velocità di propagazione risulta essere
piuttosto alta), i valori ottenuti per t1 e t 2 con il metodo delle tangenti possono essere
confrontati con quelli ottenuti con il metodo delle derivate, che si basa sull’utilizzo della
derivata prima per determinare l’intervallo di tempo ∆t .
Figura 15
26
Facendo riferimento alla Figura 15, il punto iniziale di riflessione, il punto C, è
definito come l’intersezione delle tangenti alla curva, E e F, passanti rispettivamente per
i punti, in corrispondenza dei quali, la derivata prima risulta avere un massimo ed un
minimo, zona A in figura. Il punto finale di riflessione, punto D, è determinato
dall’intersezione della retta tangente al minimo globale della curva e della retta tangente
alla curva e passante per il punto, in corrispondenza del quale, la derivata prima risulta
essere massima, punto B in figura.
Sottolineiamo che questi due metodi sono concettualmente equivalenti, e
possono essere utilizzati entrambi nei casi in cui si vuole verificare che, l’arbitrarietà
della scelta delle finestre temporali nel primo metodo, non influenzi la determinazione
di ∆t .
Le Figure 16 (a,b,c) mostrano, a titolo esemplificativo, le curve relative a misure TDR
effettuate con una sonde bifilari aventi diverso diametro, con distanza costante (26 mm)
tra gli elettrodi. La Figura 17 mostra, invece, le diverse curve TDR ottenute in diverse
misture di palline di vetro.
aria; distanza sonde: 26 mm
1200
ampiezza
1000
800
s3; 26mm
600
s4; 26mm
s5; 26mm
400
200
0
15
15.5
16
16.5
17
17.5
tempo (ns)
(a)
27
etanolo; distanza sonde: 26 mm
ampiezza
500
0
s3; 26mm
s4; 26mm
s5; 26mm
-500
-1000
14
16
18
20
22
tempo (ns)
(b)
H2O; distanza sonde: 26 mm
ampiezza
500
0
s3;26mm
s4;26mm
s5;26mm
-500
-1000
14
16
18
20
22
24
tempo (ns)
(c)
Figura 16 Curve TDR ottenute con sonde di diverso diametro a distanza 26 mm per aria (a),
etanolo (b) e acqua demineralizzata (c)
Infine, la Figura 18 mostra la dipendenza della velocità dalla bulk density, in misture
anidre di palline di vetro e magnetite.
28
Figura 17 Curve TDR ottenute con sonda bifilare in misture palline di vetro + aria e/o acqua
tutti i campioni
0,200
0,180
velocità (m/ns)
0,160
0,140
0,120
0,100
0,080
0,060
0,040
0,020
0,000
1,100
1,300
1,500
1,700
1,900
2,100
3
densità bulk (g/cm )
Figura 18 Andamento della velocità in funzione della densità bulk per misture di magnetite
e palline di vetro. I punti si riferiscono a i valori ottenuti dalle misure utilizzando tutte le
granulometrie, tutte le concentrazioni di magnetite e tutte le sonde a disposizione.
29
Relazione tra permittività e contenuto volumetrico d’acqua
Topp e collaboratori hanno ottenuto un’equazione empirica che descrive
l’andamento del contenuto d’acqua in funzione della permittività, per suoli granulari:
ε a = 3.03 + 9.3θ v + 146.0θ v2 − 76.7θ v3
(15)
Questa equazione è vincolata a passare per il punto (81,5;1), corrispondente all’acqua
pura a 20°C (Figura 19).
Per l’applicazione ai suoli, questa curva può essere usata come calibrazione empirica
per la determinazione del contenuto d’acqua, con un errore di stima standard pari a circa
1.3% sull’intero intervallo di contenuti d’acqua.
In pratica, però, in genere si misura la permittività εa e si vuole determinare il contenuto
volumetrico d’acqua θv. L’equazione che segue, ottenuta con gli stessi dati della (15),
assume che εa sia nota:
θ v = −5.3 × 10−2 + 2.92 × 10−2 ε a − 5.5 × 10−4 ε a2 + 4.3 × 10−6 ε a3
(16)
Figura 19 Correlazione fra permettività e contenuto volumetrico d’acqua secondo diversi modelli
30
Misure di attenuazione e conducibilità elettrica
La misura del coefficiente di attenuazione di un mezzo è possibile attraverso la
misura dell’ ampiezza del segnale riflesso, valutabile attraverso una analisi della
componente verticale della traccia TDR.
Quando un’onda elettromagnetica trasversale (TEM) si propaga lungo le sonde del TDR
immerse in un mezzo, l’energia del segnale decresce in maniera dipendente dal
coefficiente di attenuazione caratterizzante il mezzo in cui queste sono immerse.
I primi risultati sistematicamente utilizzati per la determinazione del coefficiente
di attenuazione di un mezzo furono ottenuti da Dalton nel 1984, il quale inoltre
dimostrò che il tempo di transito e l’attenuazione del segnale lanciato in un materiale
sono sufficientemente indipendenti da poter permettere di calcolare tale tempo di
transito e l’attenuazione dell’onda simultaneamente. In accordo con la teoria dei campi
elettromagnetici, l’ampiezza di un segnale che percorre una distanza nota, nel nostro
caso pari a due volte la lunghezza “L” delle sonde TDR, in un mezzo caratterizzato da
un coefficiente di attenuazione α , diminuirà esponenzialmente e, assumendo una
riflessione totale, il segnale riflesso sarà dato da:
Vr = Vt exp( −α2L )
(17)
dove Vt sarà l’ ampiezza del segnale che entra nella sonda immersa nel mezzo e Vr sarà
l’ ampiezza del segnale riflesso alla terminazione aperta caratterizzante la fine delle
sonde; i valori Vt e Vr sono leggibili direttamente dalla traccia TDR come mostrato
nelle Figure 20a e 20b.
31
Figura 20a
Figura 20b
32
Quindi, dalla (17), otteniamo per il coefficiente di attenuazione l’espressione
α=
1 Vt
ln
2 L Vr
(18)
Tuttavia il metodo di analisi utilizzato da Dalton risulta essere eccessivamente
approssimato per fornire una valutazione attendibile di α , in quanto presuppone che la
tensione Vr rilevata dal campionatore coincida con quella riflessa totalmente alla fine
delle sonde, non tenendo quindi conto degli effetti di riflessione multipla, descritti nel
paragrafo precedente, a cui è soggetto il segnale.
Per superare questi limiti presenti nel metodo di Dalton, Yanuka e Topp (1988)
svilupparono un modello che tenesse conto di questi effetti. Tale metodo introdotto è
essenzialmente una modifica del metodo sopra descritto, che tiene conto delle riflessioni
multiple (Figura 21).
Figura 21
33
In un mezzo attenuante l’ampiezza del segnale EM decresce di un fattore
exp ( −αx ) nel momento in cui esso si propaga nella direzione delle x positive. Nel
nostro caso utilizziamo un fattore di attenuazione f definito come:
f = exp( −α 2 L)
(19)
dove 2L è la distanza che il segnale EM ha percorso nel mezzo e α .
Consideriamo nuovamente un mezzo multistratificato, come precedentemente
descritto. Al fine di considerare l’attenuazione, caratterizziamo ciascun strato del
campione, di spessore LJ , con una costante di attenuazione α J e con un fattore di
attenuazione fJ . L’espressione
i −1
Vi = Vi −1 + V0 ρi ∏ (1 − ρ 2j )
(20)
j =1
precedentemente ricavata, considerando sempre soltanto il primo ordine di riflessioni,
diverrà
i −1
Vi = Vi −1 + V0ρi ∏ (1 − ρJ2 ) fJ2
(21)
J =1
Nel caso particolare in cui andiamo a considerare un mezzo avente un solo
strato, e terminante con un circuito aperto, otterremo
i

( j − 2 ) 2( j −1) 
Vi = V0 (1 + ρ ) + (1 − ρ 2 ) ∑ ( − ρ )
f

j =2


(22)
34
L’equazione (22) può, in linea di principio essere risolta per f se Vi e ρ sono
note. In pratica, tuttavia, tale equazione può essere risolta agevolmente per f in due
casi, quando i=2 e quando i= ∞
•
caso i=2: Possiamo porre V1 = Vt e V2 = Vr .In questo caso
avremo
f = (Vr − Vt ) / V0 (1 − ρ2 )
(23)
dove Vr e Vt sono i valori del potenziale definiti in precedenza.
•
caso i= ∞ : Possiamo porre Vi = Vf dove Vf è l’altezza del segnale TDR
preso a tempi molto lunghi (circa 10 volte il tempo impiegato dal segnale
a percorrere le sonde), quando cioè non risultano essere più apprezzabili
le differenze fra due riflessioni successive. In questo caso avremo
f =  A / (1 − Aρ ) 
1/ 2
(24)
dove:
A = {(Vf / V0 ) − (1 + ρ )} / (1 − ρ2 )
Combinando la (18) con la (23) e la (24), otteniamo per la costante di attenuazione del
mezzo rispettivamente le:
α=
1
2L
ln
V0 (1 − ρ2 )
(25)
Vr − Vt
35
Vf 

 1+ ρ − ρ 
V0 
1 
ln 
α=

V
2L  f − (1 − ρ ) 
 V0

(26)
Nel caso in cui i materiali investigati abbiano caratteristiche elettriche simili (materiali
anidri) la stima dell’attenuazione può essere fatta utilizzando la (25), poiché risultano
valutabili solo i valori di Vr , mentre quelli di V f risultano essere entro l’errore
praticamente uguali.
Si noti che, nel caso particolare di materiali magnetici in cui non sia possibile
trascurare le perdite (sia dielettriche che magnetiche), l’espressione dell’attenuazione
assume la forma generale, e in questo caso risulta impossibile, così come nel caso della
velocità, separare i contributi dati a α dalla parte reale e dalla parte immaginaria della
permittività dielettrica e della permeabilità magnetica.
Per materiali non magnetici, una volta nota la costante di attenuazione, e la
permettività dielettrica del mezzo, è possibile calcolare la conducibilità elettrica
partendo dalla relazione precedentemente dimostrata:
α=
60πω ( ε r′′ + σ DC ω )
 ( ε r′ )

⋅ 1 + 1 + tan 2 δ e 

 2

{
}
1
(27)
2
Nel caso in cui il materiale abbia poche perdite, ovvero tan δ e << 1 , la (27) si riduce
alla espressione:
α=
60π (ωε 0ε r′′ + σ DC )
ε r′
(28)
36
Come possiamo vedere le informazioni sulla conducibilità elettrica che possiamo
ricavare sono in realtà riferite ad una conducibilità elettrica efficace, che non coincide
con la conducibilità elettrica statica σDC , ma ad essa è legata dalla relazione:
σ eff = σ DC + ωε 0ε r′′
(29)
Combinando la (28) e la (29) con la (25) e la (26), otteniamo per la conducibilità
elettrica efficace del mezzo rispettivamente la:
σ eff =
ε r′
V −V
ln r t 2
120π L V0 (1 − ρ )
(30)
solitamente indicata in letteratura come σ T (conducibilità elettrica calcolata con il
metodo di Topp), che si ottiene quando consideriamo solamente la prima riflessione
(caso i=2), e la:
σ eff
V 

1+ ρ − ρ f 

ε r′
V0

=
ln 
V
120π L  f

 V − (1 + ρ ) 
 0

(31)
solitamente indicata in letteratura come σ Y (conducibilità elettrica calcolata con il
metodo di Yanuka), che si ottiene quando consideriamo il potenziale che si ha per tempi
molto lunghi, quando tutte le riflessioni sono terminate e il segnale è costante (caso
i= ∞ ).
Queste equazioni possono anche essere espresse in funzione dei soli valori del
potenziale, in modo da poter essere usate anche quando non si conosca l’impedenza
caratteristica della sonda TDR, considerando il coefficiente di riflessione nella forma
37
ρ=
Vt − V0
(32)
V0
In tal caso la (30) e la (31) divengono le:
σT =
σY =
V ( 2V0 − Vt )
ε r′
ln t
120π L V0 (Vr − Vt )
VtV f − V0 (Vt + V f ) 
ε r′
ln 

120π L  V0 (Vt − V f ) 


(33)
(34)
In letteratura sono presentate anche altre tecniche atte a misurare la conducibilità
elettrica del mezzo nel quale sono immerse le sonde TDR. Tra queste, la tecnica
maggiormente diffusa è il metodo di Giese-Tiemann per la determinazione della
conducibilità elettrica. Giese e Tiemann sono stati i primi che hanno determinato la
resistenza di un campione utilizzando le forme d’onda del TDR. Il metodo da loro
utilizzato equivale a misurare la resistenza, a basse frequenze, del mezzo in cui sono
immerse le sonde del TDR; quindi verosimilmente ci fornisce una stima della σDC ,
ovvero della conducibilità elettrica statica (cioè in un regime di corrente continua).
Questa procedura verrà utilizzata nel corso delle esercitazioni con il TDR.
Una misura della resistenza del mezzo presente tra le sonde del TDR, come è
dimostrabile nel caso di una linea di trasmissione terminante con un circuito puramente
resistivo, è data dalla :
38
Rl = Z cavo
1 + ρ∞
1 − ρ∞
(35)
dove R L è la resistenza di carico della linea di trasmissione ( Ω ) immersa nel mezzo che
stiamo investigando, Z cavo è l’impedenza del cavo che collega l’MCT alle sonde, e ρ ∞
è il coefficiente di riflessione preso sulla forma d’ onda ad un tempo infinito, ovvero ad
un punto della traccia dove il coefficiente di riflessione si è stabilizzato ad un valore
massimo. La conducibilità elettrica del mezzo, ad una data temperatura dipenderà, oltre
che dalla resistenza del mezzo, come sopra definito, dal fattore geometrico (g (m)) della
sonda dalla quale è indagato, e sarà data da:
σ DC =
1
RL g
(36)
Tale costante di geometrica della cella (m-1), K G = 1 / g , presente nella (36), può
essere caratterizzata attraverso l’espressione:
KG =
Z0
120π L
(37)
dove Z 0 è l’impedenza caratteristica delle sonde e L è la loro lunghezza.
L’impedenza caratteristica delle sonde può essere determinata sperimentalmente,
immergendo la sonda in acqua deionizzata, ed utilizzando la relazione:
1+ ρ 
Z 0 = Z cavo ε M 

 1 − ρ M
(38)
39
dove ε M è la costante dielettrica del mezzo non conduttivo (acqua deionizzata) nel
quale abbiamo immerso le sonde e ρ è il coefficiente di riflessione definito
precedentemente, e caratterizzante il mezzo usato. Si noti che la (38) si ottiene
combinando la
(39)
Z0 = ε M ZM
dove Z M è l’impedenza delle sonde immerse nel mezzo di costante dielettrica ε M , con
la
1+ ρ 
Z M = Z cavo 

 1 − ρ M
(40)
Z M − Z cavo
Z M + Z cavo
(41)
ottenuta invertendo la
ρ=
In conclusione la conducibilità elettrica statica del mezzo in cui sono immerse le
sonde risulta essere data dalla:
σ GT = σ DC =
KG
Z cavo
 1 − ρ∞ 


 1 + ρ∞ 
(42)
Considerando il coefficiente di riflessione nella forma
ρ∞ =
V f − V0
V0
(43)
dove V f e V0 sono i valori del potenziale precedentemente definiti, possiamo esprimere
la conducibilità elettrica, una volta fissata l’impedenza del cavo e le caratteristiche
geometriche della sonda, in funzione dei soli valori del potenziale nella forma :
40
σ GT =
KG
Z cavo
 2V0 − V f

 Vf



(44)
L’effetto della differente conducibilità sulla forma d’onda del TDR è mostrato
schematicamente in Figura 22.
Figura 22
Misure TDR in acqua
Quando si utilizza una sonda TDR, devono essere sempre effettuate delle misure
di calibrazione su materiali aventi proprietà elettriche note. Tale calibrazione è
finalizzata a verificare la presenza di eventuali fonti di errore dovute allo strumento e/o
alle modalità di misura ed interpretazione del segnale TDR nel determinare la velocità
di propagazione e l’attenuazione (o la conducibilità) del materiale sotto indagine. Qui di
41
seguito vengono presentati i risultati relativi alla calabrazione di una sonda coassiale in
aria ed in acqua demonizzata (Tabella 1). In questi materiali, la velocità di propagazione
di un’onda elettromagnetica dipende unicamente dalla permettività dielettrica del
mezzo, secondo la relazione
ε r* =
c2
v2
(45)
e dal momento che, per entrambi i materiali
(46)
ε r′′ << ε r′
si ha
ε r′ ≅
c2
v2
(47)
dove ε r′ = ε r è la cosiddetta costante dielettrica del mezzo.
Tabella 1
SONDA COASSIALE (20,9 cm)
MATERIALE
εr+∆εr
(TDR)
εr
(RIF.)
v±∆v
(m/ns)
vRIF
(m/ns)
Aria
1,1 ± 0,1
1,000 (a)
0,29 ± 0,01
0,299
78 ± 3
78,60 (b)
0,0339 ±
0,0006
0,03381
Acqua
42
Le calibrazioni per l’attenuazione o per la conducibilità sono, di solito, effettuate
utilizzando soluzioni elettrolitiche. A titolo esemplificativo vengono mostrate qui le
calibrazioni effettuate su soluzioni di acqua bidistillata e Cloruro di Potassio (KCl),
aventi molarità compresa tra 0,005M e 0,020M. La figura 24 mostra le curve ottenute in
soluzioni di KCl con una sonda coassiale da 10 cm.
SONDA COASSIALE (10,9 cm)
KCl1
KCl2
KCl3
KCl4
KCl5
2500
Ampiezza
2000
1500
1000
500
37,59
35,74
33,89
32,04
30,19
28,35
26,50
24,65
22,80
20,95
19,10
17,25
15,41
13,56
11,71
9,86
8,01
6,16
4,31
2,46
0,62
-1,23
0
Tempo (ns)
Figura 23
I risultati ottenuti sono mostrati in tabella 2. Il valore di conducibilità elettrica
indicato con E.C.(DC) si riferisce al valore di conducibilità elettrica statica calc Nel
caso della sonda coassiale sono stati utilizzati per la determinazione del potenziale
riflesso, i due differenti criteri precedentemente descritti. È stato indicato con E.C.(eff.)1
il valore ottenuto attribuendo al potenziale riflesso la tensione caratterizzante il segnale
a tempi corrispondenti all’inizio della riflessione, mentre con E.C.(eff.)2 è stato indicato
43
il valore ottenuto dall’aver preso il potenziale riflesso a tempi corrispondenti alla fine
della riflessione. Sono stati presi due differenti valori per il potenziale riflesso appunto
per sottolineare la dipendenza del valore di conducibilità elettrica ottenuto dalla scelta,
peraltro arbitraria e specifica della configurazione strumentale utilizzata, dei punti della
traccia TDR da considerare. calcolato tramite la (44), mentre il valore E.C.(eff.) si
riferisce alla conducibilità elettrica efficace, calcolata tramite la (33). I valori
E.C.(cond.) si riferiscono ai valori di conducibilità elettrica statica misurati con il
conduttivimetro, qui utilizzati come valori di riferimento.
Tabella 2
SONDA COASSIALE
σRIF§.
Conc.
σEFF2 ± ∆σEFF2
KCl
(S/m)
(S/m)
(S/m)
(S/m)
(g/l)
TDR
TDR
TDR
Condutt.
KCl 1
0,37
0,09 ± 0,01
0,052 ± 0,007
0,065 ±
0,007
0,057
KCl 2
0,74
0,17 ± 0,01
0,118 ± 0,009
0,13 ± 0,01
0,128
KCl 3
1,11
0,23 ± 0,02
0,17 ± 0,01
0,20 ± 0,02
0,191
KCl 4
1,48
0,29 ± 0,02
0,22 ± 0,02
0,26 ± 0,02
0,255
KCl 5
1,85
0,32 ± 0,03
0,27 ± 0,02
0,32 ± 0,03
0,304
SOLUZIONE
σEFF ± ∆σEFF σDC ± ∆σDC
44
La Figura 24 mostra l’andamento delle misure di conducibilità effettuate con il TDR
rispetto a quelle effettuate con il conduttivimetro ed assunte come valore “vero” di
riferimento.
SONDA COASSIALE
E.C. (eff.)2
E.C. (eff.)1
E.C. (DC)
E.C. (cond.)
conducibilità elettrica (S/m)
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
conducibilità elettrica conduttivimetro (S/m)
Figura 24
Gli errori associati ai valori di conducibilità elettrica misurati con la tecnica TDR, sono
stati ottenuti tramite la formula di propagazione dell’errore massimo.
Come si può vedere le incertezze associate ai valori misurati risultano essere
notevolmente grandi, a testimonianza della scarsa sensibilità della tecnica TDR nelle
misure di conducibilità elettrica. Si noti anche come i valori ottenuti dipendano in
maniera critica dai criteri utilizzati per la scelta dei potenziali sulla traccia TDR.
Notiamo tuttavia come, una volta fissata la configurazione strumentale e i criteri
utilizzati per l’interpretazione della curva, l’andamento dei valori misurati sia funzione
lineare della conducibilità elettrica statica del mezzo indagato. Quindi, possiamo
45
evincere che la tecnica TDR, fissata la configurazione delle sonde e i criteri
interpretativi, ci fornisce per la conducibilità elettrica valori dipendenti dalla
conducibilità elettrica statica del mezzo tramite una relazione lineare del tipo
E.C.(TDR)=aE.C.(DC)+b .
Questo comporta che, determinati sperimentalmente i coefficienti a e b, la tecnica TDR
risulti essere, anche se in un intervallo limitato, notevolmente affidabile per la misura
delle variazioni relative di conducibilità elettrica di un campione, come riportato da vari
autori in letteratura. Se ne deduce che la tecnica TDR risulta essere adatta per effettuare
misure relative di conducibilità elettrica, ma non per effettuare delle misure assolute.
Cenni sulla distribuzione del campo e sulla sensibilità spaziale
La tecnica TDR è ampiamente usata nella determinazione della permittività
relativa e quindi del contenuto volumetrico d’acqua di un suolo. Inizialmente
l’utilizzazione era limitata agli esperimenti in situ, ma si è poi affermata anche negli
esperimenti in laboratorio nei quali diventa rilevante considerare diametro e distanza
delle sonde. È quindi utile conoscere la sensibilità spaziale delle misure, cioè quale
volume di suolo è influenzato dalle misure TDR e qual è la distribuzione della
sensibilità in questo volume. Nel caso della sonda coassiale, il campo elettromagnetico
è confinato nella regione anulare compresa tra il conduttore esterno e quello interno.
Negli altri tipi di sonde, il campo non è confinato e può assumere configurazioni
diverse, come mostrato in Figura 25.
Gli studi sulla distribuzione del campo e sulla sensibilità delle sonde sono
diversi, ma non portano a risultati univoci. Nel caso di una sonda bifilare, ad esempio, si
suppone che la sezione di suolo campionata sia un cilindro con asse tra le due sonde e
diametro pari a 1.4 volte la distanza tra esse, tuttavia l’esperienza dimostra che i
46
contributi di zone più esterne non sempre sono trascurabili. Una discussione estesa su
questi argomenti esula, tuttavia, dallo scopo di queste note.
Figura 25
Analisi del segnale TDR nel dominio della frequenza.
Nei paragrafi precedenti è stato discusso come usare il TDR per misurare la
permittività apparente dal tempo di transito nella sonda e la conducibilità dall’analisi
dell’ampiezza del segnale. Questi due tipi di misura sono i più usati in letteratura e, in
alcuni casi, possono essere sufficienti a caratterizzare il mezzo sotto esame. Dal
momento che la permittività è una grandezza che dipende dalla frequenza, nel caso di
mezzi dispersivi, è necessario passare nel dominio della frequenza per analizzare
47
adeguatamente il materiale indagato. In questo modo è possibile ottenere maggiori
informazioni dalla forma d’onda TDR riguardo le proprietà del dielettrico.
La risposta r(t) ad una funzione di input impulsiva (delta di Dirac, δ(t)) è data
dalla convoluzione tra δ(t) e la cosiddetta funzione di trasferimento (o scatter function)
s(t). In regime lineare, un input generico x(t) può essere idealmente rappresentato come
una serie di δ(t) in modo che la risposta possa essere pensata come convoluzione tra x(t)
e s(t). In formule:
+∞
r (t ) = x(t ) ⊗ s (t ) =
∫ x(t − τ )s(τ )dτ .
(48)
−∞
Nel caso di misure TDR, s(t) rappresenta la funzione di trasferimento della sonda
riempita con il materiale da analizzare e r(t) è la risposta TDR che contiene tutte le
informazioni sul sistema e sulle proprietà elettromagnetiche del campione. La risposta
nel dominio della frequenza può essere ottenuta applicando il teorema della
convoluzione alla (48):
R( f ) = X ( f ) S ( f )
(49)
dove R ( f ) , X ( f ) e S ( f ) sono le trasformate di Fourier della risposta, dell’input e
della funzione di trasferimento, rispettivamente. Nel caso ideale in cui l’input sia un
gradino, la funzione di trasferimento è immediatamente ottenibile come s(t ) = r&(t ) . In
un sistema reale, invece, la s(t) può essere ottenuta applicando la trasformata di Fourier
inversa alla S(f) data dalla (49). Poiché x(t) non tende a zero per tempi lunghi, è
opportuno usare la proprietà delle derivate secondo la quale:
F&( f ) = i 2πF ( f )
(50)
con F ( f ) e F&( f ) trasformata di Fourier di f(t) e di f&(t ) , rispettivamente. In questo
modo la (49) può essere riscritta come:
48
S( f ) =
R&( f )
X&( f )
(51)
dove R&( f ) e X&( f ) sono le trasformate di r&(t ) e x&(t ) . La (51) permette di calcolare
S(f) note x(t) e r(t). Un esempio di funzioni r(t) e x(t), usate per fare prima la derivata e
poi la trasformata, è riportato in Figura 26: le tracce TDR sono prese fino al
raggiungimento del proprio valore asintotico.
La funzione di trasferimento teorica per una sonda coassiale aperta è data da:
S( f ) =
ρ * + exp(−2γL)
1 + ρ * exp(−2γL )
(52)
dove ρ* è il coefficiente di riflessione che, nel caso di materiali non magnetici, può
essere riscritto in questa forma:
ρ* =
1− z εr *
1+ z εr *
(53)
dove
z = Zc / Z0
(54)
è il rapporto tra l’impedenza del cavo coassiale (Zc=50 Ω) e Z0 è quella della sonda in
aria e, ovviamente, ε r * è la permittività del materiale da analizzare. Nel caso di
materiali magnetici, il coefficiente di riflessione dipende anche dalla permeabilità
complessa µ r * e la (53) deve essere sostituita con:
1− z
ρ* =
εr *
µr *
ε *
1+ z r
µr *
(55)
49
r(t)
x(t)
traccia TDR
4
3
2
0
10
20
t (ns)
30
Figura 26 Esempio di input, x(t), e di funzione risposta, r(t), usati per il calcolo della S(f). Le funzioni sono troncate nel
tempo una volta raggiunto il proprio livello asintotico. La tensione è espressa in unità arbitrarie.
Se è nota la relazione funzionale che lega la permittività alla frequenza, è
possibile effettuare il fit della funzione di trasferimento sperimentale, calcolata dalla
(51), con quella teorica, data dalla (52). Per molti materiali, questa relazione funzionale
è fornita dalla curva di rilassamento di Debye:

ε r * ( f ) = ε ∞ +


σ DC
.
−i
1 + i ( f / f rel )  2πfε 0
εs −ε∞
(53)
il fit permette di stimare i parametri elettromagnetici, ε ∞ , ε s , f rel , σ DC che compaiono
nella (53) e di trovare l’andamento della permittività in funzione della frequenza.
Inoltre, il fit consente la determinazione del tempo di andata e ritorno all’interno della
50
sonda: le frequenze a cui corrispondono i minimi della parte reale della funzione di
trasferimento sono date da:
fn =
(2n − 1)c
4 ε * ( f )L
con n = 1, ...∞
(54)
e il tempo di andata e ritorno è legato alle frequenze dalla relazione:
∆t =
1
.
f n +1 − f n
(55)
La Figura 2.11 riporta gli andamenti della parte reale ed immaginaria della
funzione di trasferimento al variare della frequenza di rilassamento e della permittività.
Re(S)
1
εs=30
0
-1
1
Im(S)
εs=4
frel=100GHz
frel=17GHz
εs=79
frel=2GHz
frel=2GHz
frel=100GHz
εs=4
0
εs=30
frel=17GHz
-1
0.0
εs=79
0.5
f (GHz)
0.0
0.5
f (GHz)
Figura 27 Andamento della parte reale e immaginaria della funzione di trasferimento al variare della frequenza di
rilassamento (sinistra) e della permittività elettrica statica (destra).
51

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