Distribuzione delle tensioni nel terreno e cedimenti

Corso di Laurea a ciclo Unico in Ingegneria Edile‐Architettura
Geotecnica e Laboratorio
Distribuzione delle tensioni nel terreno per effetto di carichi in superficie ‐ Cedimenti
Prof Ing Marco Favaretti
Prof. Ing. Marco Favaretti
e‐mail: [email protected]
website: www.marcofavaretti.net
1
Con il termine cedimento si intende uno spostamento verso il basso di una
fondazione superficiale o profonda, di un'opera in terra (rilevato stradale o
f
ferroviario,
i i rilevato
il
arginale,
i l diga
di in
i terra, ecc.)) o di una qualsiasi
l i i opera civile.
i il
Il cedimento totale viene schematizzato come somma di tre differenti contributi
s t  si  s c  ss
si: cedimento elastico (?) immediato : cedimento elastico (?) immediato
(distorsione)
sc: cedimento di consolidazione primaria (funzione del tempo)
(f
d l
)
ss: cedimento per compressione secondaria (funzione del tempo)
(
p )
2
CEDIMENTI
Il cedimento immediato si verifica subito dopo l'applicazione di un carico esterno; pur essendo dovuto a deformazioni di natura sia elastica (reversibile qualora il carico venga rimosso) sia plastica (irreversibile), viene generalmente calcolato ricorrendo alla teoria dell'elasticità, ipotizzando il terreno come un mezzo omogeneo, elastico ed isotropo. In tal modo il cedimento immediato è g
,
p
dovuto ad una distorsione del terreno sottostante il carico, che si deforma e cambia forma a volume costante
cambia forma a volume costante. Il cedimento immediato coincide pressoché con il cedimento totale nei terreni granulari (ghiaie sabbie e mescolanze di ghiaia e sabbia) mentre è
granulari (ghiaie, sabbie e mescolanze di ghiaia e sabbia), mentre è generalmente una parte trascurabile del cedimento totale nel caso di terreni coesivi (argille e limi).
i i ( ill li i)
3
CEDIMENTI
Il cedimento di consolidazione primaria è dovuto all'espulsione di una parte dell'acqua
dell
acqua interstiziale (l
interstiziale (l'acqua
acqua che riempie i vuoti del terreno) per effetto che riempie i vuoti del terreno) per effetto
dell'eccesso di pressione neutrale (pressione dell'acqua) prodotto da una variazione di tensione efficace nel terreno
variazione di tensione efficace nel terreno. Nei terreni coesivi inorganici costituisce generalmente la parte più rilevante del cedimento; a causa della modesta permeabilità dei terreni coesivi il cedimento di
d ll
d
bili à d i
i
i i il di
di consolidazione primaria si sviluppa più o meno lentamente nel tempo. Il processo è tanto più lento quanto maggiore è la plasticità del terreno.
4
CEDIMENTI
Il cedimento di compressione secondaria è dovuto a fenomeni di natura viscosa, a scorrimenti interparticellari ed alla riorientazione dei grani; è caratteristico dei terreni coesivi organici e dei terreni torbosi. Si sviluppa a tensione verticale efficace costante ed è indipendente dal processo di consolidazione primaria.
Di direzione opposta al cedimento è il rigonfiamento, dovuto ad un eventuale
Di direzione opposta al cedimento è il rigonfiamento, dovuto ad un eventuale scarico tensionale conseguente allo scavo fino al piano di fondazione.
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Calcolo del cedimento ‐ sequenza
Determinazione delle condizioni iniziali
profilo stratigrafico e stato tensionale iniziale (v0 – u0 ‐ ’v0)
proprietà dei terreni (cc – cR – cv – c)
proprietà dei terreni (c
Determinazione della geometria e dell’entità dei carichi agenti sulla fondazione
Valutazione delle variazioni delle tensioni negli strati compressibili
1‐D: v = q0
3‐D: teoria dell’elasticità/metodo 2:1 Stima della pressione di preconsolidazione ’p e del rapporto OCR
Calcolo del cedimento di consolidazione primaria sc
Stima dei tempi di consolidazione
Stima dell’entità e della velocità dell’eventuale cedimento per comprex secondaria ss
Stima del cedimento immediato (o per distorsione) s
Stima
del cedimento immediato (o per distorsione) si
terreno coesivo: teoria dell’elasticità
terreno granulare: metodi empirici
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Metodo empirico 2:1
q 0  B 1
carico
P
z 


B  z  1 B  z  1
area
1
q 0  B  L 
carico
P
z 


B  z   L  z  B  z   L  z 
area
2
(1) F d i
(1) Fondazione
continua ti
(2) F d i
(2) Fondazione
i l t
isolata
7
Esempio 01
2 metri di riempimento di terra vengono stesi e compattati ( = 2.04 Mg/m3). Sopra del riempimento viene realizzata una fondazione rettangolare (3 m x 4 m) che trasmette sul terreno un carico di 1.200 kN. Ipotizza una densità iniziale del terreno di fondazione di 1 68 M / 3. Non sia presente falda freatica. 1.68 Mg/m
N
i
t f ld f ti
8
Esempio 01
9
Teoria di Boussinesq (1885)
La teoria dell’elasticità viene usata per stimare le tensioni nel sottosuolo. Il terreno non deve presentare necessariamente un comportamento
presentare necessariamente un comportamento elastico, almeno per quel che concerne la valutazione delle le tensioni verticali. Le deformazioni sono considerate all’incirca proporzionali alle tensioni. Carico puntiforme
SEMISPAZIO LINEARMENTE ELASTICO OMOGENEO, ISOTROPO
z 
   Q  NB
2
2
2 5/ 2
z
2    r  z 
Q  3  z3
La tensione verticale è indipendente dalle
proprietà del terreno.
Boussinesq ha ricavato anche i valori delle
tensioni radiali, tangenziali e di taglio.
B = Boussinesq
B
Boussinesq
W = Westergaard
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Teoria di Boussinesq (1885)
SEMISPAZIO LINEARMENTE ELASTICO OMOGENEO, ISOTROPO
2  P z3 Q
z 


 Nw
4
2
 x
z
Carico lineare
P
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Area di forma circolare (raggio R) caricata uniformemente
12
Striscia continua (larghezza 2a) caricata uniformemente
13
Newmark (1935)
Integrando l’espressione della dia 10 su una superficie uni‐
f
formemente
caricata di i
di
forma rettangolare si ottiene:
z  q 0  I
x
m
z
y
n
z
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Esempio 02
Sia caricata un’area di forma rettangolare (5 m x 10 m) con una pressione uniforme di i
if
di
100 kPa.
15
Superficie di forma circolare caricata con una pressione uniforme q0
16
Carico trapezoidale di lunghezza infinita 17
Carico triangolare di lunghezza finita 18
Abaco di Newmark, 1942
19
Esempio 03
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Teoria di Westergaard (1938)
Altra teoria utilizzabile, specie in presenza di terreni stratificati, è quella di Westergaard, che considera le tensioni su un mezzo elastico, nel quale le deformazioni orizzontali sono impedite. EEssa conduce a valori della d
l i d ll
tensione verticale minori di quelli ottenuti da Boussinesq. La soluzione di Boussinesq
fornisce tuttavia risultati soddisfacenti anche in
soddisfacenti anche in presenza di terreni stratificati e caratterizzati da costanti elastiche molto diverse
elastiche molto diverse.
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Confronto tra teorie di Boussinesq e di Westergaard
Per r/z < 1.5 i valori di (B) P
/ < 1 5 i l i di (B)
sono maggiori di quelli di (W).
Per r/z 
Per
r/z  1.5 le teorie 1 5 le teorie
forniscono valori confrontabili
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Confronto tra teorie di
teorie di Boussinesq e di Westergaard
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Pressione di contatto
Finora è stato esaminato il problema del calcolo dei cedimenti quasi sempre
nell’ipotesi che l’area caricata sia flessibile.
Il calcolo dei cedimenti nell’ipotesi di area caricata flessibile e facendo
riferimento ad una distribuzione delle tensioni verticali alla Boussinesq, indica
dei cedimenti del piano di fondazione sottoposto a carico uniforme,
uniforme distribuiti
con i valori massimi nella zona centrale e i valori minimi ai bordi, poiché questa è
anche la distribuzione delle tensioni verticali sui piani orizzontali.
In realtà l’area è spesso caricata da un’opera che ha una sua rigidezza data dalla
struttura di fondazione e da quella in elevazione.
L’opera con la sua rigidezza influisce sulla distribuzione dei carichi sulle
fondazioni e sull’entità e distribuzione della pressione di contatto, cioè della
pressione unitaria esistente in ciascun punto di appoggio di una fondazione sul
terreno.
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Pressione di contatto
La pressione di contatto è generalmente considerata uniforme per i calcoli di
strutture sotto carichi di esercizio, cioè per carichi lontani dal carico di rottura.
Ma qual è l’andamento della distribuzione reale di questa pressione con i carichi
di esercizio e al momento della rottura, limitandosi al caso di fondazione rigida,
cioè di fondazione che dà luogo ad un cedimento uniforme?
Poiché il cedimento della base di una struttura perfettamente rigida è
necessariamente
i
t uniforme,
if
l ripartizione
la
i ti i
d ll pressione
della
i
sulla
ll base
b
è identica
id ti
alla ripartizione del carico che produce una distribuzione delle tensioni verticali
nel terreno, tale da dar luogo ad un cedimento uniforme della superficie
caricata.
Per ottenere un cedimento uniforme è quindi necessario spostare parte del
carico dal centro ai bordi in modo che la pressione di contatto sulla base di una
struttura rigida vada aumentando dal centro ai bordi.
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Pressione di contatto
Per una fondazione rigida di larghezza B, su terreno elastico ed omogeneo fino a
grande profondità, e sottoposta a un carico uniforme q, la pressione di contatto
determinata con la teoria di Boussinesq, indica valori un po
po’ inferiori a 0,76q al
centro ed un valore infinito al bordo. Nel caso di una piastra circolare al centro la
pressione di contatto è pari a 0,5q.
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Pressione di contatto
Se la fondazione poggia su un materiale reale la pressione sul bordo non può
oltrepassare un certo valore finito qc a partire dal quale il materiale passa allo
stato plastico. La ripartizione corrispondente a materiale coesivo in assenza di
drenaggio ( = cu) è rappresentata in figura dalla curva c.
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Pressione di contatto
Se si aumenta il carico, lo stato di equilibrio plastico si propaga a partire dai
bordi e la ripartizione della pressione di contatto si modifica. Se la base della
fondazione è liscia, la ripartizione diviene uniforme quando il terreno cede per
scorrimento plastico. La curva c rappresenta la pressione di contatto in questo
momento e la curva c2 la pressione in un momento intermedio.
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Pressione di contatto
Se una fondazione rigida poggia su un materiale non coesivo l’intensità della
pressione di contatto per un carico q diminuisce, a partire da un valore massimo,
al centro della fondazione per annullarsi ai bordi come indicato in figura. In
realtà, abbastanza spesso, la fondazione è più o meno flessibile e la
distribuzione della pressione di contatto non è uniforme, ma ha un andamento
meno marcato di quello corrispondente ad una fondazione rigida.
rigida
Questa ripartizione dipende dall’intera‐
zione
i
tra terreno e fondazione
f d i
ed
d è
questo che rende difficile lo studio della
pressione di contatto. Come è stato detto,
l’ostacolo in genere viene superato
adottando una ripartizione uniforme, che
può essere in p
p
parte ggiustificata tenendo
conto dell’elasticità non lineare del
terreno e della non completa rigidità della
struttura.
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Pressione di contatto
La distribuzione della pressione di contatto influenza quindi il comportamento
della struttura di fondazione e della sovrastruttura. Il problema viene spesso
semplificato considerando solo ll’interazione
interazione fondazione
fondazione‐terreno,
terreno, trascurando la
rigidezza della struttura in elevazione. Tale ipotesi è accettabile se la rigidezza
della sovrastruttura è < a quella della fondazione. Nell’interazione fondazione‐
terreno le condizioni di equilibrio e di congruenza devono essere soddisfatte
nella struttura di fondazione, nel terreno e all’interfaccia.
E perciò necessario rappresentare la fondazione ed il terreno con modelli
semplici.
li i Nello
N ll scegliere
li
il modello
d ll sii deve
d
t
tenere
conto
t principalmente
i i l
t delle
d ll
possibilità di analisi con i vari metodi a disposizione (analitici, numerici, ecc.), del
significato fisico dei parametri che caratterizzano il modello e delle possibilità di
determinarli e del fatto che le risposte del modello siano sufficientemente
aderenti al comportamento reale. La fondazione è solitamente formata da un
elemento strutturale abbastanza semplice (trave, piastra) per il quale in genere
si ha a disposizione l’equazione differenziale che ne descrive il comportamento
elastico. A questa equazione se ne deve associare un’altra che rappresenti il
comportamento
p
del terreno,, cioè indichi ggli spostamenti
p
all’interfaccia in
funzione della distribuzione della pressione di contatto.
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Modello alla Winkler
Un modello semplice è quello di Winkler che caratterizza il terreno con una
relazione lineare tra la pressione di contatto p in un punto ed il cedimento s del
punto stesso:
p  Kr s
Kr è una costante
t t detta
d tt “modulo
“ d l o coefficiente
ffi i t di reazione”
i
” e la
l reazione
i
d l
del
terreno (pressione di contatto p) è proporzionale al cedimento s. La relazione si
basa sull’ipotesi che il cedimento di ogni elemento dell’area caricata sia
indipendente dal carico sugli elementi vicini (serie di molle indipendenti
accostate). Nella realtà, per una fondazione di dimensioni usuali, poggiante sul
terreno, il rapporto tra pressione/cedimento (p/s) diminuisce all’aumentare del
carico e può variare per punti diversi della base di fondazione.
L’utilizzazione del modello di Winkler richiede q
quindi una valutazione di Kr
appropriata al singolo caso; appare accettabile fare riferimento ad un Kr dato dal
rapporto tra la pressione media p e il cedimento s calcolato per il caso in esame.
31
Modello alla Winkler
Terzaghi ha proposto di fare riferimento ad un modulo Kp corrispondente ad una
piastra quadrata di 0,3 m di lato ed ha indicato per Kp i valori medi riportati nella
tabella per sabbie e per argille.
Kp
32
Modello alla Winkler
Ha poi proposto per le sabbie la relazione
Con “b” larghezza della piastra e “B” la larghezza della fondazione continua e per
larghezza della fondazione continua e per le argille la relazione
 Bb
Kr  Kp 

 2B 
Kr 
2
Kp  b
1,5  B
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Cedimento immediato
Avviene immediatamente dopo l’applicazione del carico, principalmente per
distorsione (variazione di forma ma non di volume) del terreno di fondazione.
La maggior parte del cedimento di un terreno granulare è del tipo immediato.
Nei terreno coesivi il cedimento per distorsione non è elastico, sebbene esso
venga spesso valutato mediante espressioni basate sulla teoria dell’elasticità.
si 


q0  B
 1   2  Is
Eu
B: dimensione caratteristica della superficie caricata con pressione q0
: rapporto di Poisson
Eu: modulo di Young non drenato
Is: fattore di forma e di rigidezza
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Cedimento immediato
Il coefficiente Is prende in considerazione la forma e la rigidezza dell’area caricata e
dipende dalla posizione dal punto su cui si desidera valutare il cedimento
immediato. Nella tabella 10.4 a e b sono indicati i valori di Is per due casi distinti:
(A) Strato di spessore infinito
(B) Strato di spessore illimitato soprastante un substrato rigido
Dobbiamo ovviamente considerare a quale dei due casi virtuali la applicazione in
esame più si avvicina. E’ necessario valutare i parametri elastici Eu e .
Per argille
g
sature  = 0.5 ((distorsione senza variazione di volume),
), mentre 
=0.25÷0.33 per argille non sature.
Difficile la stima di Eu. Il disturbo arrecato ai provini per prove di resistenza lal taglio
in laboratorio (es.: TX UU)può determinare una sottostima del parametro e quindi
una sovrastima del cedimento.
cedimento
35
Cedimento immediato
Campo di valori del modulo non drenato delle argille
Consistenza
Eu/pa
Molle
15÷40
Media
40÷80
Elevata
80÷200
Campo di valori del modulo drenato delle sabbie
Densità
Ed/pa
Bassa
100÷200
Media
200÷500
200
500
Elevata
500÷1000
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Cedimento immediato
37
Cedimento immediato
38
Cedimento immediato
Effetto della profondità del piano di posa
Per aree caricate ad una certa profondità D dal piano campagna si può usare l’abaco riportato a fianco.
p
q0  B
s i   0  1 
Eu
Effetto della distanza tra piano di posa e substrato rigido
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Cedimento di consolidazione
Le usuali espressioni utilizzate per il calcolo dei cedimenti di consolidazione si basano su coefficienti derivati sperimentalmente da prove edometriche
p
p
(prove di (p
consolidazione ad espansione laterale impedita). Nella realtà il terreno il più delle volte può deformarsi anche lateralmente, essendo le tensioni tangenziali molto più
volte può deformarsi anche lateralmente, essendo le tensioni tangenziali molto più elevate di quelle agenti sui provini in laboratorio. Nelle argille OC l'incremento di pressione dei pori u prodottosi dopo il carico e le variazione di volume V
pressione dei pori u, prodottosi dopo il carico, e le variazione di volume V, conseguenti alla consolidazione, sono fortemente ridotti dall'aumento di d f
deformazioni di taglio: questo tipo di terreni presenta un comportamento i i di t li
t ti di t
i
t
t
t
dilatante, ossia tende ad aumentare di volume per effetto delle tensioni di taglio. Conseguentemente la variazioni di volume che si verificano sono molto minori di quelle stimate con metodi edometrici, specialmente nella zona immediatamente al di sotto della fondazione (tensioni tangenziali molto elevate).
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Cedimento di consolidazione
Skempton e Bjerrum hanno così suggerito di utilizzare un coefficiente correttivo µ, pari al rapporto tra cedimento reale e cedimento edometrico, e funzione del coefficiente della pressione dei pori A e della geometria della fondazione e del
coefficiente della pressione dei pori A e della geometria della fondazione e del rapporto H/B
Sc    Sed
B
H
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