Contents
1 Comportamento elasto–plastico e strategie numeriche
1.1 Elasto–Plasticit`a incrementale . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Il postulato di Drucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Elasto–Plasticit`a olonoma . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Il Principio di Haar–Karman . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Formulazione alternativa . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Percorsi Estremali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Analisi elasto–plastica incrementale . . . . . . . . . . . .
1.6 Risposta elasto–plastica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Algoritmo numerico di ritorno . . . . . . . . . . .
1.6.2 Calcolo della risposta nodale . . . . . . . . . . . .
1.7 Soluzione iterativa dell’equilibrio . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Schema iterativo di Riks . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Formulazione esplicita . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Processo adattativo di analisi . . . . . . . . . . .
2 Cam–clay
2.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Meccanica dei Terreni allo Stato Critico
2.4 Derivazione del Cam–clay . . . . . . . .
2.4.1 Funzione di snervamento . . . . .
2.4.2 Incrudimento . . . . . . . . . . .
2.5 Deformazioni volumetriche e Postulato di
2.6 Cam–clay modificato . . . . . . . . . . .
2.7 Implementazione . . . . . . . . . . . . .
2.8 Le costanti caratteristiche . . . . . . . .
2.8.1 Caratteristiche di deformabilit`a .
2.8.2 La costante frizionale M . . . . .
2.8.3 Indice dei vuoti ecs . . . . . . . .
1
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Drucker
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3 Modello F.E.M.
3.1 Modello compatibile . .
3.2 Elementi isoparametrici .
3.3 Elementi triangolari . . .
3.4 Condizioni non drenate .
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4 Risultati numerici
4.1 Generalit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Tensioni in situ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Opzioni di analisi e output . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Risultati numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Fondazione circolare su Cam-clay . . . . . .
4.5.2 Fondazione circolare su Cam-clay modificato
4.5.3 Fondazione adiacente ad un pendio . . . . .
4.5.4 Un confronto . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A Programmazione orientata agli oggetti e F.E.M.
A.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Alcuni concetti basilari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Ereditariet`a e metodi virtuali . . . . . . . . . . . .
A.3 Implementazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Programmazione agli oggetti in ambiente Windows
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Chapter 1
Comportamento elasto–plastico
e strategie numeriche
1.1
Elasto–Plasticit`
a incrementale
Il comportamento elasto–plastico dei materiali pu`o essere inquadrato in una
teoria (Elasto–Plasticit`
a Incrementale) ormai consolidata. Sin dalle sue prime
formulazioni `e stato possibile verificare come tale teoria sia capace di un trattamento razionale non solo della risposta meccanica dei metalli ma anche del
legame tensione–deformazione dei terreni. Ovviamente la descrizione matematica del ”materiale suolo” pu essere pi`
u o meno sofisticata – Critical State Soil
Mechanics oppure criterio di Mohr-Coulomb – ma invariabilmente i concetti
basilari della teoria Elasto–Plastica costituiscono delle ottime linee guida.
La teoria `e basata sui seguenti concetti primitivi.
Irreversibilit`
a delle deformazioni. Sottoponendo un materiale ad un ciclo
di carico e scarico non tutta la deformazione subita viene recuperata. Formalizzando ci`o in termini di incrementi di deformazione si ottiene
ε˙ = ε˙e + ε˙p
(1.1)
dove la prima componente rappresenta la deformazione o il recupero elastico e
la seconda la deformazione plastica. Solo la deformazione elastica `e legata agli
incrementi di tensione
σ˙ = E ε˙e
(1.2)
Funzione di snervamento. Nell’ambito di una descrizione puramente elastica del comportamento dei materiali tutti i valori di tensione sono ammissibili.
Nella teoria Elasto–Plastica si assume invece che in ogni punto del corpo la tensione σ := {σxx, σxy , · · · , σzz } debba appartenere ad un dominio dello spazio
delle tensioni, chiamato Dominio Elastico del materiale
De := {σ : f [σ, h] ≤ 0}
3
(1.3)
Tale relazione `e anche nota come Condizione di ammissibilit`
a plastica. La
funzione di snervamento f [σ, h] contiene oltre al valore della tensione alcuni
parametri di stato (h in generale `e un vettore di parametri) in grado di tener
conto delle variazioni di comportamento del materiale a seguito di processi meccanici o termici (incrudimento, fatica, ecc...). Si assume inoltre che all’interno
del Dominio Elastico la componente di deformazione plastica ε˙p sia nulla e che
possa essere diversa da zero solo se σ e h sono tali da individuare un punto
sulla frontiera di De
ε˙p = 0 solo se f [σ, h] = 0
(1.4)
Legge d’incrudimento. La descrizione matematica del fenomeno fisico dello
incrudimento richiede una definizione pi`
u articolata della funzione di snervamento e per tale motivo sono stati introdotti i parametri h. Tali parametri,
dipendenti dalla plasticizzazione subita dal materiale, possono determinare o
la dimensione del Dominio Elastico – Incrudimento Isotropo – o la posizione
di quest’ultimo nello spazio delle tensioni – Incrudimento Cinematico – o entrambi. Il primo tipo d’incrudimento `e meno realistico ma viene usato pi`
u
spesso perch`e pi`
u facile da formulare e, comunque, non costituisce un’ipotesi
troppo restrittiva se il carico `e applicato monotonicamente.
Nella risoluzione dei problemi, al legame costitutivo sommariamente esposto bisogna aggiungere le equazioni di equilibrio e di compatibilit`a cinematica ottenendo cos`ı un problema anolonomo: la presenza di deformazioni residue
fa si che lo stato di tensione e deformazione presente nel corpo dipenda non
solo dall’entit`a finale del carico ma anche dalle modalit`a di applicazione di
quest’ultimo.
1.2
Il postulato di Drucker
La teoria finora esposta pu`o essere completata caratterizzando in modo pi`
u
netto il comportamento del materiale. Secondo Drucker un materiale si dice
stabile se soddisfa il seguente postulato:
• Si supponga di applicare alla struttura e successivamente di rimuovere un
sistema di forze addizionali. Si ha:
1. durante la fase di carico, le forze addizionali compiono lavoro non–
negativo;
2. durante l’intero ciclo di carico e scarico, il lavoro complessivo delle
forze addizionali `e ancora non–negativo.
Considerando un ciclo di carico e scarico che porti la tensione nel punto dal
valore iniziale σa (necessariamente ammissibile, cio`e contenuto in De ) ad un
4
punto σy posto sulla sua frontiera e quindi di nuovo a σa , il postulato fornisce:
(σy − σa )ε˙p ≥ 0
(1.5)
Per la genericit`a di σa questa condizione porta a concludere che:
• Il dominio elastico De `e convesso.
• La deformazione plastica ε˙p `e diretta secondo la normale esterna alla
frontiera di De (superfice di snervamento) nei punti regolari di questa,
ovvero `e compresa nel cono delle normali nei punti irregolari.
Il postulato di Drucker determina quindi la direzione dell’incremento di deformazione plastica dando luogo, se verificato, a quello che viene detto un legame
associato. Invertendo l’ordine del ragionamento, cio`e assumendo un legame
associato, non `e per`o assicurata la verifica del postulato.
In generale ε˙p viene assunta proporzionale ad un vettore, r[σ, h], denominato
direzione di flusso plastico. A sua volta r[σ, h] `e legato ad una funzione g,
distinta da f , che svolge il ruolo di Potenziale Plastico
˙
h] = γ˙
ε˙p = γr[σ,
∂g
∂σ
(1.6)
Lo scalare γ˙ prende il nome di moltiplicatore plastico.
1.3
Elasto–Plasticit`
a olonoma
La formulazione del problema elasto–plastico esposta nella sezione precedente,
in termini di rapporto tra infinitesimi di tensione e di deformazione , permette
di conseguire risultati globali di grande interesse. Risulta per`o di uso scomodo
nel caso si voglia costruire l’andamento in termini finiti della soluzione elasto–
plastica al variare del carico. Tale risultato pu`o essere ottenuto integrando nel
tempo le equazioni che reggono il problema, ma ci`o `e un compito estremamente
oneroso sia per la complessit`a delle equazioni coinvolte (equazioni differenziali
e disequazioni) sia per l’irregolarit`a della soluzione cercata (discontinuit`a nella
derivata).
Pertanto fin dai primi sviluppi della teoria si `e cercato di impostare il problema della elasto–plasticit`a finita in termini olonomi , cio`e nei termini seguenti:
• Dato uno stato iniziale σ0 ed ε0 ed una assegnato incremento di carico
∆p, determinare la relativa soluzione elasto–plastica di fine passo.
5
Come si vede, tra i dati del problema sono presenti solo le condizioni iniziale e finale mentre manca del tutto l’informazione su come in effetti venga
realizzato l’incremento di carico, in realt`a necessaria dato il carattere non reversibile del comportamento elasto–plastico. Al suo posto `e presente l’ipotesi
che l’evoluzione del carico avvenga in modo sufficientemente ”dolce” da renderne irrilevante l’effetivo andamento rispetto al legame, espresso in termini
finiti, tra incrementi di tensione e di deformazione. In quest’ottica le equazioni
(1.1), (1.2) e (1.5) possono essere riscritte nel modo seguente:
∆ε = ∆εe + ∆εp
∆σ = E ∆εe
(σy − σa )T ∆εp ≥ 0
(`e implicitamente presente l’ipotesi che non avvengano ritorni in fase elastica
in punti che hanno subito plasticizzazioni).
Nel caso di legame elastico-perfettamente plastico l’approccio olonomo al
problema incrementale sopra esposto ´e realizzabile ed una sua formulazione `e
fornita dal principio di Haar–Karman.
1.3.1
Il Principio di Haar–Karman
Un modo per definire il comportamento elasto–plastico olonomo `e quello di
esprimere direttamente le equazioni della teoria incrementale in termini di incrementi finiti (Haar–Karman). La soluzione `e in tal caso caratterizzata dalla
seguente condizione di estremo:
Π[σ] :=
1
2
σ T E −1 σ dv +
B
B
σ T εp0 dv −
(Nσ)T u
¯ ds
(1.7)
∂B
sotto le condizioni:
σ: equilibrata , f [σ] ≤ 0
p
0
rappresenta una distorsione anelastica iniziale. Il principio pu`o essere dimostrato in modo semplice. Posto infatti:
ε = εe + εp
σ = Eεe
(σ − σa)T ∆εp ≥ 0
dove ∆εp = εp − εp0, possibile esprimere una variazione del funzionale Π[σ] per
una generica variazione ammissibile della tensione
δσ = σ a − σ
6
rispetto alla soluzione elasto–plastica σ: si otterr`a
δσ T (εe + εp0) dv −
δΠ =
B
δσ T ε dv −
=
B
(Nδσ)T u
¯ ds −
∂B
=
B
(Nδσ)T u
¯ ds
B
δσ T ∆εp dv
B
(σ − σa)T ∆εp dv ≥ 0
Resta cos`ı dimostrato l’assunto che la soluzione elasto–plastica corrisponda ad
un punto di minimo del funzionale (1.7). Il principio pu`o essere espresso come
segue:
• La soluzione elasto–plastica minimizza l’energia complementare totale del
sistema sotto le condizioni di equilibrio e di ammissibilit`
a plastica.
1.3.2
Formulazione alternativa
Indicando con σE la soluzione elastica ottenuta a partire dalle condizioni di
inizio passo assegnate, il principio di Haar–Karman pu`o essere formulato come
segue:
1
(σ − σE )T E −1 (σ − σE ) dv = minimo
(1.8)
Π[σ] :=
2
B
sotto le condizioni:
σ: equilibrata , f [σ] ≤ 0
Il funzionale Π[σ] corrisponde, in una metrica espressa dall’energia di deformazione, al quadrato della distanza tra σ e σE ; il principio pu`o essere pertanto
enunciato come:
• La soluzione elasto–plastica σ `e la pi`
u vicina (in una metrica energia),
tra quelle equilibrate e plasticamente ammissibili, alla soluzione elastica
σE dello stesso problema.
Questo punto di vista `e particolarmente conveniente sia sotto l’aspetto
teorico che applicativo poich`e la soluzione pu`o essere caratterizzata facilmente.
Se il punto σE `e contenuto nel dominio elastico, σ coincide con σE . Altrimenti,
σ corrisponde al punto di tangenza tra due superfici convesse: la frontiera del
dominio elastico e una linea di livello della energia di deformazione. Essendo
quest’ultima strettamente convessa, ne risulta dimostrata l’unicit`a.
7
1.4
Percorsi Estremali
La teoria dei percorsi estremali, formulata da Ponter e Martin [12], consente
di inquadrare i rapporti tra teoria incrementale e teoria olonoma.
La teoria fornisce il seguente risultato: fra tutti i percorsi elasto–plastici
incrementali che partono da assegnati campi iniziali σ0 ed ε0, esistono dei
percorsi estremali tali da realizzare contemporaneamente il massimo lavoro
complementare (a parit`a di tensione finale σ1 raggiunta) ed il minimo lavoro di
deformazione (a parit`a di deformazione finale ε1 raggiunta). L’uso dei percorsi
estremali stabilisce un legame olonomo nel passo che, indicando con indice 1 e
2 due generiche soluzioni di fine passo, soddisfa (per materiali stabili secondo
Drucker)le condizioni:
0 ≤ (σ2 − σ1 )T (ε2 − ε1) ≤ (ε2 − ε1 )T E(ε2 − ε1)
(1.9)
Per materiali elastici perfettamente plastici la soluzione `e individuata dalla
condizione di Haar–Karman.
Consideriamo ora pi`
u in dettaglio alcuni aspetti della teoria dei percorsi
estremali. Sia σ[t] un percorso nello spazio delle tensioni tra σ0 e σ1 e sia
ε[t] il corrispondente percorso nello spazio delle deformazioni, immagine di σ[t]
secondo il legame costitutivo. Il lavoro complementare lungo σ[t] `e definito
dalla
εσ˙ dt
(1.10)
U [σ[t]] :=
σ[t]
(si tralascia di riportare la deformazione nella forma pi`
u corretta, εT , per non
appesantire la notazione delle formule successive). Sono detti estremali i percorsi σ
ˆ [t] caratterizzati dalla condizione
ˆ [σ1] := U [ˆ
U
σ[t]] ≥ U [σ[t]]
(1.11)
ˆ si pone:
Per completare il dominio di definizione di U
ˆ [σ1] := +∞
U
(1.12)
nei casi in cui non esista alcun percorso ammissibile tra σ0 e σ1. In tal modo,
ˆ [σ1] individua una funzione, che chiameremo potenziale elasto–plastico esU
tremale, definita su tutto lo spazio delle σ.
Dall’ipotesi di decomponibilit`a della deformazione totale ε = εe + εp nelle
sue due componenti elastica e plastica, segue la decomponibilit`a del lavoro
complementare in parte elastica U e [σ] e plastica U p [σ]. Solo quest’ultima,
data da
εp σ˙ dt
(1.13)
U p [σ[t]] :=
σ[t]
8
dipende dal particolare percorso seguito. Per sottrazione risulta quindi definito
il potenziale plastico estremale
ˆ p [σ1] = Uˆ [σ1] − U e [σ1]
U
(1.14)
Convessit`
a di Uˆ :
Consideriamo ora un percorso estremale tra σ0 e σ1 ed un ulteriore percorso
composto da un primo tratto estremale tra σ0 e σ2 e da un secondo tratto lineare
σ L[t] tra σ2 e σ1 . Si ottiene:
ˆ [σ2] +
Uˆ [σ1] ≥ U
1
0
(εˆ2 + ∆εL)(σ1 − σ2 ) dt
ˆ [σ2] + εˆ2(σ1 − σ2) +
=U
1
0
∆εL(σ1 − σ2) dt
(1.15)
L’ultimo termine a secondo membro pu`o essere riscritto
1
0
∆εL(σ1 − σ2) dt =
1
ε˙L σ˙ L dt
(1.16)
0
ed q
`uindi non–negativo per materiali stabili secondo Drucker per i quali vale
la condizione σ˙ ε˙ ≥ 0. Si ottiene cos`ı la seguente diseguaglianza fondamentale:
Uˆ [σ1] − Uˆ [σ2] − εˆ2 (σ1 − σ2) ≥ 0
(1.17)
Da questa si ricava:
1. Uˆ [σ1] `e un funzionale convesso.
ˆ di U
ˆ:
2. La deformazione εˆ `e contenuta nel subdifferenziale ∂ U
ˆ [σ1] := {η : U
ˆ [σ2] − U
ˆ [σ1] − η(σ2 − σ1) ≥ 0 , ∀σ2}
εˆ[σ1] ∈ ∂ U
(1.18)
In modo analogo si dimostra la convessit`a del solo potenziale estremale plastico
ˆ p [σ1] e la normalit`a della deformazione plastica εˆp
U
ˆ p [σ1]
εˆp [σ1] ∈ ∂ U
(1.19)
Principio di minimo:
Se indichiamo con σ la soluzione elasto–plastica estremale e con σeq il
generico campo di tensione equilibrato agli stessi carichi, vale la condizione
(estremale)
ˆ [σ] − εˆ[σ](σeq − σ) ≥ 0
Uˆ [σeq ] − U
(1.20)
9
ma, essendo σeq − σ un campo di autotensioni, risulta dal principio dei lavori
virtuali:
εˆ[σ](σeq − σ) dv −
N (σeq − σ)¯
u ds = 0
(1.21)
B
∂B
Pertanto, integrando sul dominio B la (1.20)
B
ˆ [σeq ] dv −
U
ˆ [σ] dv −
U
B
B
εˆ[σ](σeq − σ) dv ≥ 0
(1.22)
ed utilizzando la (1.21) si ottiene:
Uˆ [σ] dv −
B
Nσ u
¯ ds ≤
∂B
B
ˆ [σeq ] dv −
U
∂B
Nσeq u
¯ ds
(1.23)
che pu`o enunciarsi come segue:
• La soluzione elastoplatica estremale minimizza il potenziale elasto–plastico
estremale fra tutti i campi di tensione equilibrati.
L’enunciato corrisponde al principio della minima energia complementare per
un materiale elasto–plastico alla Drucker che soddisfa la condizione di normalit`a
ˆ [σ]
εˆp [σ] ∈ ∂ U
(1.24)
Per materiali elastoplastici perfetti, essendo qualsiasi σ ammissibile raggiungibile mediante percorsi elastici e valendo la condizione σ˙ ε˙ ≥ 0, i percorsi
estremali tra le tensioni σ0 e σ plasticamente ammissibili sono percorsi puramente elastici. Si ha pertanto:
ˆ [σ] =
U
Ue
+∞
se f [σ] ≤ 1
se f [σ] > 1
(1.25)
da cui l’equivalenza col principio di Haar–Karman.
1.5
Analisi elasto–plastica incrementale
La risposta dei terreni modellati con legami del tipo Cam–clay pu`o essere calcolata solo attraverso un processo incrementale che permetta l’applicazione
graduale del carico assegnato. Il motivo di ci`o risiede nella forte dipendenza
del comportamento del modello dallo stato tensionale interno, il che rende assolutamente improponibile anche l’obbiettivo minimo della ricerca di un carico
di collasso tramite analisi limite.
Stabilita quindi la necessit`a di procedere per via incrementale, la soluzione
del problema `e affrontabile in diversi modi (algoritmi incrementali con estrapolazione alla Eulero; metodo Newton-Raphson; metodo dell’arco di curva). Nel
10
presente lavoro `e stata adottata una strategia basata sul metodo dell’arco di
curva [13, 6], e gi`a collaudata in lavori precedenti [5, 4]. Tale approccio, rispetto
al metodo incrementale alla Eulero implementato nel programma CRISP [1],
`e certamente pi`
u affidabile sia in accuratezza del percorso di equilibrio valutato, sia per la mancanza di problemi di convergenza in prossimit`a del punto
di collasso.
Assegnato programma di carico p[λ], si pone il seguente problema: determinare una successione sufficientemente fitta di punti (uk , λk ) del percorso
di equilibrio della struttura che permetta una sua accurata ricostruzione per
interpolazione. Il problema pu`o essere decomposto nei due sottoproblemi:
• Note le condizioni di inizali ed assegnato il vettore u degli spostamenti
di fine passo, determinare il corrispondente vettore s[u] delle forze nodali
interne di fine passo.
• Assegnato il vettore p dei carichi nodali di fine passo, determinare u tale
che risulti verificata la condizione di equilibrio:
s[u] = p
Il primo sottoproblema richiede una descrizione della risposta elasto–plastica
della struttura mentre il secondo corrisponde ad un problema astratto di soluzione
di una equazione non–lineare implicita.
1.6
Risposta elasto–plastica
La teoria dei percorsi estremali fornisce l’ambito pi`
u conveniniente per affrontare il problema della determinazione della risposta elasto–plastica. In tal
modo si realizza nel passo un effettivo percorso elasto–plastico incrementale,
che gode anzi di qualche vantaggio (uno scostamento piccolo dalla traiettoria
di estremo porta a variazioni piccole –di ordine superiore– nella posizione finale raggiunta). Sfortunatamente per modelli pi`
u complessi dei legami elastici
perfettamente plastici la caratterizzazione di un percorso estremale non `e in
generale disponibile e, spesso, `e necessario integrare numericamente le relazioni
incrementali che descrivono il legame costitutivo elasto–plastico.
Le numerose procedure d’integrazione disponibili sono tutte inquadrabili
come casi particolari delle regole generalizzate del trapezio e del punto medio
[10]. In [10] sono state esaminate le caratteristiche di accuratezza e stabilit`a di
tali schemi d’integrazione e, nel confronto effettuato, gli algoritmi riconducibili
alla regola del punto medio hanno dato risultati migliori. Per la versione completamente implicita di tali algoritmi `e stata inoltre provata una corrispondenza
con i metodi olonomi basati sulla teoria dei percorsi estremali [9]. Tuttavia gli
11
algoritmi pienamente impliciti sono numericamente costosi e in generale non
applicabili poich`e richiedono la valutazione dei gradienti della direzione di flusso
plastico e della normale alla superficie di snervamento.
Un algoritmo che invece si basa unicamente sulle quantit`a presenti nella
definizione del legame costitutivo `e quello proposto in [11]. Lo schema d’integrazione
di Ortiz e Simo `e basato su una operazione di splitting della risposta del materiale ed `e interessante esaminarne lo sviluppo.
1.6.1
Algoritmo numerico di ritorno
Un generico legame costitutivo elasto–plastico pu`o essere sintetizzato nel modo
seguente
ε˙ = ε˙e + ε˙p
σ˙ = E ε˙e
(1.26)
ε˙p = γ˙ r[σ, h]
h˙ = γ˙ h[σ, h]
dove r(σ, h) rappresenta la direzione di flusso plastico e h(σ, h) la funzione
d’incrudimento. La strutturra additiva della deformazione suggerisce di considerare una prima fase in cui il comportamento anelastico del materiale `e
congelato e la deformazione ε˙ `e assegnata:
ε˙
σ˙
ε˙p
h˙
= ε˙e + ε˙p
= E ε˙
=0
=0
(1.27)
tali relazioni definiscono il predittore elastico. Successivamente, a deformazione
totale bloccata, si calcola il correttore plastico
ε˙
σ˙
ε˙p
h˙
= ε˙e + ε˙p = 0
= −E ε˙p
= γ˙ r[σ, h]
= γ˙ h[σ, h]
(1.28)
` interessante notare come sommando i membri di destra delle equazioni (1.27)
E
e (1.28) si riottenga il legame costitutivo (1.26), in conformit`a alla nozione di
operatore di splitting. Il correttore plastico definito dalle (1.28) pu`o essere
riscritto essenzialmente come
σ˙ = −γ˙ E r[σ, h]
h˙ = γ˙ h[σ, h]
12
(1.29)
attuale della superficie di snervamento, sul quale proiettare le stime correnti di
σ e h. Tale proiezione `e definita in base alla matrice elastica E che costituisce
la metrica assunta nello spazio delle tensioni. La formulazione iterativa del
correttore `e la seguente:
= f (j) /(ζ (j) E r(j) − ξ (j) h(j))
∆γ
σ (j+1) − σ (j) = −∆γ E r(j)
(1.31)
h(j+1) − h(j) = ∆γ h(j)
con
ζ=
1.6.2
∂f
∂f
, ξ=
∂σ
∂h
Calcolo della risposta nodale
Sul piano operativo, con riferimento ad una struttura discretizzata in elementi
finiti e trattata mediante integrazione numerica per punti di Gauss, la soluzione
di fine passo pu`o essere ottenuta nel modo seguente:
• Per ciascun punto di Gauss, in funzione della tensione iniziale σ0 e della
deformazione ∆ε = ε[u] − ε0 , si calcola la soluzione elastica:
σE = σ0 + E∆ε
(1.32)
• Se il predittore elastico `e esterno al dominio del materiale si ricava la
soluzione elasto-plastica σ sulla sua frontiera mediante una correzione
di minima distanza alla Haar–Karman ovvero un algoritmo numerico di
ritorno.
• A partire da σ, per integrazione sui punti di Gauss, si ricava il vettore di
forze nodali cercato s[u].
1.7
Soluzione iterativa dell’equilibrio
L’equazione implicita di equilibrio a fine passo
s[u] = p
(1.33)
pu`o essere risolta mediante il seguente schema iterativo sui residui:
rj
= p − s[uj ]
uj+1
˜ −1 rj
= uj + K
(1.34)
14
Lo schema converge se, indicando con Kt [u] = ds[u]/du la matrice di rigidezza
tangente del legame s[u], risulta:
˜
0 < Kt[u] <2K
(1.35)
La diseguaglianza di Ponter e Martin, valida per soluzioni ottenute mediante
percorsi estremali, corrisponde alla condizione:
0 ≤ Kt [u] ≤KE
(1.36)
˜ `e quindi verificata se si assume (come nel metodo
La condizione Kt [u] <2K
initial stress)
˜ := KE
K
(1.37)
˜ si pu`o assumere una
In situazioni pi`
u generali come matrice di iterazione, K,
valutazione locale di KE , che `e variabile, ovvero una stima di Kt [u] che sia in
sicurezza rispetto alla condizione (1.35).
Non si ha comunque convergenza in prossimit`a del collasso dove
Kt [u] → 0
(1.38)
Le difficolt`a di convergenza presenti in zone prossime a punti limite del percorso di equilibrio sono connesse alla rappresentazione parametrica utilizzata
ed assunta nella forma u = u[λ], mentre la curva che si vuol rappresentare non
`e analitica in λ. Tali difficolt`a possono essere aggirate utilizzando una rappresentazione sicuramente analitica che impieghi come parametro descrittore della
curva di equilibrio direttamente l’ascissa curvilinea del percorso d’equilibrio
descritto nello spazio (u, λ).
1.7.1
Schema iterativo di Riks
Lo schema iterativo iterativo di Riks, [13], rappresenta la prima, e ancora
pi`
u efficiente, implementazione del metodo dell’arco di curva. L’idea base del
metodo `e quella di introdurre esplicitamente il parametro di carico λ come
ulteriore variabile da determinare e di aggiungere al contempo una ulteriore
equazione che esprima l’ortogonalit`a (nello spazio allargato {u, λ} ) tra la correzione iterativa
u˙ = uj+1 − uj
(1.39)
˙λ = λj+1 − λj
e la valutazione attuale dell’arco di curva percorso
∆u = uj − u0
(1.40)
∆λ
= λj − λ0
15
Una scelta conveniente in problemi elasto–plastici `e quella di assumere:
M∆u = p
ˆ
µ
=0
(1.43)
Con questa scelta, lo schema pu`o essere riorganizzato nella seguente forma
esplicita:
T
ˆ /ˆ
pT u
ˆ
λj+1 = λj − rj u
(1.44)
−1
˜
p)
uj+1 = uj + K (rj + (λj+1 − λj )ˆ
Procedendo in modo analogo a quanto gi`a fatto per la versione standard del
metodo initial stress, si ottiene la seguente condizione sufficiente di convergenza:
˜ ; ∀u˙ : p
0 < Kt [u] <2K
ˆ T u˙ = 0
(1.45)
del tutto simile a quella fornita dalla versione standard del metodo initial
stress, salvo che le diseguaglianze non devono essere verificate in tutto lo spazio
di definizione delle matrici, ma solo nel sottospazio ortogonale al vettore p
ˆ.
Risultando
p
ˆT u˙ c =
σcT ε˙c dv > 0
(1.46)
B
per ogni meccanismo di collasso u˙ c non nullo, le direzioni di singolarit`a dell’operatore
ˆ e quindi la convergenza globale
Kt[u] non rientrano nello spazio ortogonale a p
dello schema `e assicurata.
1.7.3
Processo adattativo di analisi
Un processo incrementale efficiente deve avere un comportamento adattativo;
deve cio`e essere in grado, sulla base di scelte autonome, di variare i suoi
parametri interni in modo da ridurre l’impegno computazionale dell’analisi
e migliorare l’accuratezza fornita. In particolare, nell’ambito di una analisi
elastoplastica incrementale, il processo deve adattare la lunghezza del passo in
modo da ampliarlo nelle zone di maggiore linearit`a della curva di equilibrio e
ridurlo nelle zone di maggiore nonlinearit`a. Si ha cos`ı una migliore descrizione
` anche auspicabile la
della curva ed un minor numero di punti da calcolare. E
˜ utilizzata nello schema iterativo in modo
possibilit`a di adattare la matrice K
da adeguarla alle necessit`a del momento.
Tale adattamento `e realizzato automaticamente tramite due parametri: β
e ω. Il primo interviene nella estrapolazione iniziale del passo
u1 = u0 + β∆u0
(1.47)
λ1 = λ0 + β∆λ0
17
in cui ∆u0 e ∆λ0 sono gli incrementi totali ottenuti nel passo precedente. Il
˜ che viene
secondo interviene nella valutazione della matrice di iterazione K
assunta proporzionale a KE
˜ =ωKE
(1.48)
K
˜ −1 = K−1
(L’uso di questo scalare non comporta oneri particolari in quanto K
E /ω
e ci`o consente, se permesso dal tipo di problema analizzato, di usare la matrice
KE decomposta una volta per tutte)
L’esperienza, [5, 4], ha messo in luce la convenienza delle seguenti formule:
ωj+1 = ωj
¯
rj T u˙ j
(¯
rj − ¯
rj+1 )T u˙ j
con i limiti 0.5 < ω ≤ 1
(1.49)
(¯
rj = rj + (λj+1 − λj )ˆ
p) da usare al j–esimo ciclo di iterazione;
n−¯
n
βk+1 = βk t 2n¯n
(1.50)
da usare al k–esimo passo del processo incrementale. In quest’ultima, n `e il
numero di cicli iterativi richiesti, n
¯ il valor medio di cicli desiderato e t rappresenta la tolleranza sull’errore relativo di chiusura utilizzato nell’iterazione.
18
Chapter 2
Cam–clay
2.1
Premessa
Nell’ambito di una descrizione elasto-plastica dei suoli la scelta della funzione
di snervamento ricade spesso sul criterio di Mohr-Coulomb (Coulomb 1773) o
su una sua semplificazione quale `e la superfice proposta da Drucker e Prager
(1952). Una scelta che pone per`o alcuni problemi. Infatti applicando a tali
superfici la condizione di normalit`a degli incrementi di deformazione plastica si
ottengono risposte volumetriche di espansione non realistiche o, quantomeno,
non esaustive dell’effettivo comportamento del terreno.
Il legame elasto-plastico noto sotto il nome di Cam-clay risolve il problema
di formulare una descrizione pi`
u efficace delle deformazioni volumetriche del
terreno senza rinunciare alla normalit`a di quest’ultime rispetto al Dominio
Elastico. Ovviamente si potrebbe seguire un’altra via – legame non associato
– ma ci`o di solito comporta la formulazione di modelli meno controllabili sotto
l’aspetto della descrizione del fenomeno fisico.
2.2
Definizioni
Nell’ambito di una teoria elasto–plastica `e utile riformulare le grandezze σij ,
tensore delle tensioni, e εij , tensore delle deformazioni, nei termini delle rispettive componenti sferica e deviatorica.
Per quanto riguarda le tensioni avremo
σij = σ
¯ δij + sij
dove δij `e il tensore unitario mentre σ
¯ , tensione normale media, e sij , tensore
deviatorico, hanno le seguenti espressioni:
1
σ
¯ = σii
3
19
sij = σij − σ
¯ δij
Rispetto al tensore deviatorico `e possibile definire tre quantit`a, gli invarianti,
che rientrano nel calcolo delle tensioni e delle direzioni principali. Per la trattazione che segue ha rilevanza la definizione dell’invariante del secondo ordine:
1
Iσ = sij sij
2
o in termini di componenti di tensione σx , σy , . . . , τxz
Iσ =
1
2
2
2
(σx − σy )2 + (σy − σz )2 + (σz − σx )2 + τxy
+ τyz
+ τzx
6
(si ricordi che anche il criterio di V. Mises `e formulabile a partire da tale
invariante).
Analogamente per le deformazioni si pu`o scrivere
εij = ε¯δij + eij
dove la deformazione media ε¯ `e legata alla deformazione volumetrica v
1
1
ε¯ = v = εii
3
3
mentre per la parte deviatorica si ha
eij = εij − ε¯δij
L’invariante del secondo ordine ha le seguenti formulazioni alternative:
1
Iε = eij eij
2
1
1 2
2
2
(εx − εy )2 + (εy − εz )2 + (εz − εx)2 + (γxy
+ γyz
+ γzx
)
6
4
Utilizzando i tensori deviatorici della tensione e della deformazione, la Legge
di Hooke assume una forma abbastanza semplice
Iε =
v
=σ
¯ /K
(2.1)
eij = sij /(2G)
dove K, il modulo di volume, e G, il modulo a taglio, sono esprimibili in termini
di modulo di Young e coefficiente di Poisson
G=
E
E
, K=
2(1 + ν)
3(1 − 2ν)
20
A questo punto possiamo introdurre i parametri di stato utilizzati nella
formulazione del modello Cam–clay:
p=σ
¯ =σ
¯ −u
q=
(2.2)
3Iσ
(2.3)
V =1+e
(2.4)
nell’ordine pressione media efficace (u = pressione dell’acqua interstiziale),
tensione deviatorica e volume specifico (e = indice dei vuoti). Mentre come
corrispettivi cinematici di p e q si assume:
v = εii
(2.5)
la deformazione volumetrica gi`a introdotta, e
4
Iε
3
=
(2.6)
detta deformazione deviatorica.
2.3
Meccanica dei Terreni allo Stato Critico
Il concetto di stato critico, [16], costituisce sia una valida interpretazione del
comportamento a collasso dei terreni, sia un ambito entro il quale poter formulare modelli elasto-plastici.
Secondo tale teoria in condizioni critiche o di collasso i parametri di stato
(2.2), (2.3) e (2.4) soddisfano le seguenti relazioni:
q = Mp
(2.7)
V = Γ − λ ln p
(2.8)
mentre i parametri cinematici 2.5 e 2.6 verificano le condizioni:
dv
dq
dp
= 0;
= 0;
= 0;
d
d
d
Ovvero in condizioni ultime hanno luogo incrementi della deformazione senza
variazioni di volume o di tensione. Le relazioni (2.7) e (2.8) nello spazio (p, V, q)
definiscono una curva nota come Linea dello Stato Critico, esaminiamole separatamente. La prima equazione nel piano (p, q) rappresenta una retta la cui
pendenza, M, `e una caratteristica del terreno considerato ed ha il significato
di costante frizionale. La seconda equazione, che introduce altre due costanti
21
da cui si pu`o ottenere ˙p ; mentre la deformazione volumetrica `e definita
come
V˙k
v˙ p =
(2.14)
V
3. La relazione (2.13) e la condizione di normalit`a degli incrementi di deformazione plastica forniscono la superficie di snervamento del Cam–clay.
4. La dimensione del Dominio Elastico `e fissata dalla ipotesi che l’intersezione
tra funzione di snervamento ed asse p coincida con la Linea di Consolidazione Normale.
Delle assunzioni riportate l’equazione (2.13) ricopre un ruolo centrale sia nella
generazione del modello sia sotto l’aspetto dell’interpretazione fisica del fenomeno
plastico: le molteplici cause di dissipazione plastica possono essere ridotte ad
un’unica componente tipicamente frizionale. Si considerino ora le conseguenze
delle assunzioni fatte.
2.4.1
Funzione di snervamento
La condizione di normalit`a tra (p,
˙ q)
˙ e (v˙ p, ˙p)
p˙v˙ p + q˙ ˙p = 0
unita alla relazione (2.13) stabilisce un’equazione differenziale la cui integrazione
fornisce l’espressione della funzione di snervamento (fig.2.3):
f (p, q, pc ) = q − Mp ln
pc
≤0
p
(2.15)
pc `e il parametro d’incrudimento del modello come stabilito dalla quarta assunzione.
L’espressione (2.15) `e quanto serve sotto l’aspetto operativo ma `e utile ricavarne una formulazione allargata allo spazio (p, V, q). Utilizzando le relazioni
(2.15), (2.9) e (2.10) `e possibile ottenere il Dominio Elastico nella seguente
forma
Mp
q−
(Γ + λ − κ − V − λ ln p) ≤ 0
(2.16)
λ−κ
anche nota come Superficie di Contorno dello Stato Stabile (fig.2.4). La (2.16)
definisce il Dominio Elastico rispetto al quale `e possibile distinguere:
• Fase Elastica, il punto (p, V, q) rappresentativo dello stato del terreno `e
interno al Dominio;
24
L’entit`a pct della traslazione dovrebbe essere in qualche modo correlata alla
resistenza a trazione del terreno. Valori dell’ordine di 1/100 della pressione di
preconsolidazione iniziale sono tuttavia sufficienti per garantirsi da un comportamentio fragile.
2.7
Implementazione
L’applicazione della sequenza iterativa (1.31) richiede il calcolo di alcune quantit`a che `e opportuno specificare rispetto ai legami Cam–clay e Cam–clay modificato. Fra queste troviamo il vettore di flusso plastico che assume la seguente
forma
∂f ∂p ∂f ∂q
r=
+
(2.22)
∂p ∂σ ∂q ∂σ
dove
T
∂p
= 1/3 1/3 1/3 0 0 0
∂σ
3
∂q
=
sx sy sz 2τxy 2τyz 2τzx
∂σ
2q
(2.23)
T
(2.24)
Per i gradienti ζ e ξ, sempre introdotti tramite le (1.31), si ha
ζ = r, ξ =
∂f
∂pc
(2.25)
mentre la funzione d’incrudimento pu`o essere riscritta come
h[p, q, pc ] =
V pc ∂f
λ − κ ∂p
(2.26)
Si riportano infine le espressioni della funzione di snervamento e delle sue
derivate cos`ı come sono state utilizzate nell’implentazione del programma.
• Cam–clay
f [p, q, pc ] =
pc
q
− ln
Mp
p
1
q
∂f
=
1−
∂p
p
Mp
1
∂f
=
∂q
Mp
∂f
1
=−
∂pc
pc
34
(2.27)
• Cam–clay modificato (pcs = pc /2)
f [p, q, pc ] =
(p − pcs )2
q2
+
−1
p2cs
M 2 p2cs
(2.28)
∂f
2 (p − pcs )
=
∂p
p2cs
2q
∂f
= 2 2
∂q
M pcs
∂f
p
=− 2
∂pc
pcs
2.8
Le costanti caratteristiche
Uno dei requisiti pi`
u apprezzabili dei modelli Cam–clay `e quello di fornire
una descrizione pi`
u articolata del comportamento del terreno utilizzando un
numero relativamente piccolo di costanti caratteristiche del terreno. Non a caso
si utilizza la specifica caratteristica intendendo cos`ı sottolineare l’indipendenza
di tali parametri dalla modalit‘a di applicazione del carico (condizione drenata
o non drenata) e dalla storia precedente (grado di sovraconsolidazione).
Le costanti verranno ora esaminate singolarmente evidenziandone il legame,
quando possibile, con i parametri geotecnici pi`
u usati correntemente [1]. Comunque `e bene ricordare che la prassi corretta per la determinazione di tali
parametri `e sempre quella di eseguire opportune prove di laboratorio.
2.8.1
Caratteristiche di deformabilit`
a
Le costanti λ e κ definiscono, nel piano (lnp, V ), la pendenza della retta di
compressione vergine, (2.9), e la pendenza della famiglia di rette di dilatazione
e ricompressione, (2.10). Sono quindi costanti da determinare con prove edometriche. Fra l’indice di compressione Cc e λ `e facilmente ottenibile la seguente
relazione:
(2.29)
λ = Cc /ln10
Per quanto riguarda κ, spesso viene stimato sulla base di λ assumendo
κ = 0.35λ
35
(2.30)
2.8.2
La costante frizionale M
Anche in questo caso bisogna determinare il coefficiente angolare di una retta
e, questa volta, della retta di stato critico. La costante M dovrebbe essere
ricavata plottando nel piano (p, q) i valori ottenuti eseguendo prove di carico
su campione sino a raggiungere la condizione di stato critico. Se invece si `e
conoscenza dell’inviluppo di Mohr-Coulomb, M pu`o essere determinato mediante la seguente relazione:
6sinφ
M =
(2.31)
3 − sinφ
A riguardo si osserva che l’angolo φ solitamente `e riferito alla resistenza di
picco mentre il parametro M `e relativo alla resistenza ultima in condizioni di
volume costante, [7, 18].
2.8.3
Indice dei vuoti ecs
ecs `e definito come l’indice dei vuoti sulla retta di stato critico per un valore
di p = 1. Per passare al corrispondente volume specifico si utilizza la relazione
gi`a introdotta V = 1 + e. Una stima di ecs , in assenza di dati di laboratorio,
pu`o essere valutata anche per via analitica se sono noti gli altri parametri ed
un valore qualsiasi dell’indice dei vuoti sulla superficie di Stato Stabile. Tale
approccio ha comunque l’inconveniente di fornire rette di stato critico diverse
per il Cam–clay e per il modello modificato e quindi valori diversi di resistenza
ultima.
36
Chapter 3
Modello F.E.M.
3.1
Modello compatibile
Il principio della minima energia potenziale totale pu`o essere utilizzato per la
generazione di modelli discreti basati su elementi finiti di tipo compatibile, [19].
Il modello che si ottiene `e il pi`
u diffuso nell’analisi computazionale delle strutture e anche se formulato nell’ambito della teoria elastica lineare `e comunque
idoneo per una analisi elasto–plastica al passo (in ogni tratto del percorso di
equilibrio si procede con una linearizzazione delle equazioni). Nel seguito vengono riportati i costituenti del modello discreto tralasciando i dettagli della loro
generazione e facendo riferimento ai due tipi di problema cui si `e interessati:
stato piano di deformazione e stato assial–simmetrico di deformazione.
Il campo di spostamento del singolo elemento viene interpolato tramite
opportune funzioni di forma:
d=
dx
dy
= N de
(3.1)
Il vettore de contiene gli spostamenti nodali associati all’elemento, la matrice
N contiene invece le funzioni di forma. Indicando con n il numero di nodi
dell’elemento si ha:
de =
N=
dx1 dy1 · · · dxn dyn
φ1 0 · · · φn 0
0 φ1 · · · 0 φn
37
Il campo di deformazione
εx εy εz γxy
ε=
a seguito della (3.1) assume la forma
ε = B de
(3.2)
La matrice B nel caso di stato piano di deformazione `e data da
B = −
∂φ1/∂x
0
0
∂φ1/∂y
0
0
∂φ1/∂y ∂φ1/∂x
· · · ∂φn /∂x
0
···
0
∂φn /∂y
···
0
0
· · · ∂φn /∂y ∂φn/∂x
Per lo stato assial–simmetrico di deformazione B contiene un contributo non
nullo su εz
B = −
∂φ1/∂x
0
0
∂φ1/∂y
φ1 /x
0
∂φ1/∂y ∂φ1/∂x
· · · ∂φn /∂x
0
···
0
∂φn /∂y
· · · φn /x
0
· · · ∂φn /∂y ∂φn/∂x
il segno meno in ambedue i casi `e dovuto alla convenzione, deformazione di
compressione positiva, normalmente assunta in campo geotecnico. Al solito la
tensione
σ = σx σy σz τxy
`e legata alla deformazione tramite la matrice elastica DE
σ = DE ε = DE B de
(3.3)
La matrice DE `e formulata in termini di modulo volumetrico K e modulo a
taglio G (si veda (2.1) e (2.12)):
DE =
D1 D2 D2 0
D2 D1 D2 0
D2 D2 D1 0
0
0
0 D3
con
4
2
(3.4)
D1 = K + G; D2 = K − G; D3 = G
3
3
` possibile anche definire la matrice elasto-plastica tangente, [19], utilizzata nel
E
corso dell’analisi non lineare per il riassemblaggio della matrice di rigidezza:
nel caso di legame associato si ha la seguente espressione
DEP = DE − DE ζζ T DE A + ζ T DE ζ
38
−1
(3.5)
dove
∂f ∂h
∂f
, A=−
∂σ
∂h ∂γ
In base alle quantit`a introdotte `e possibile definire la matrice di rigidezza
dell’elemento
BT DEP BdA
(3.6)
K=
ζ=
Ωe
il vettore dei carichi nodali dell’elemento
NT wdA +
P=
Ωe
NT p
¯ ds
(3.7)
∂Ωe
ed il vettore delle reazioni nodali equivalenti allo stato tensionale presente
nell’elemento
S=
BT σdA
(3.8)
Ωe
3.2
Elementi isoparametrici
L’integrazione delle relazioni (3.6), (3.7) e (3.8) passa attraverso una descrizione
geometrica del dominio dell’elemento. Un modo flessibile per far questo si basa
sull’interpolazione delle coordinate (x, y) tramite le stesse funzioni di forma
utilizzate per rappresentare il campo di spostamento:
x =
n
i=1
y =
n
i=1
φi [ξ, η]xi
(3.9)
φi [ξ, η]yi
dove (ξ, η) sono coordinate locali dell’elemento. Elementi di questo tipo sono
anche detti elementi isoparametrici.
Nel calcolo degli integrali, che in generale `e effettuato numericamente appoggiandosi su opportuni punti di Gauss, si dovr`a quindi tenere presente la
trasformazione di coordinate (3.9). Introducendo la matrice Jacobiana della
trasformazione
x,ξ y,ξ
J=
(3.10)
x,η y,η
si ottengono i seguenti risultati:
∂φi/∂x
∂φi/∂y
= J−1
∂φi/∂ξ
∂φi/∂η
dA = det(J)dξdη
(3.11)
(3.12)
dove J−1 ha la seguente espressione
J−1 =
1
det(J)
y,η −y,ξ
−x,η x,ξ
39
(3.13)
3.3
Elementi triangolari
Gli elementi utilizzati nel programma implementato con il presente lavoro sono
elementi triangolari di due tipi: a deformazione lineare LST (Linear Strain
Triangle) e a deformazione cubica CuST (Cubic Strain Triangle). Le funzioni
di forma di tali elementi sono esprimibili in termini di coordinate adimensionali
tipiche degli elementi triangolari:
L1 =
A1
A2
A3
, L2 =
, L3 =
Ae
Ae
Ae
(3.14)
Ovviamente ´e soddisfatta la condizione
L1 + L2 + L3 = 1
(3.15)
A sua volta le coordinate areali (L1, L2 , L3 ) sono legate alle coordinate (ξ, η)
introdotte con la (3.9):
L1 = ξ, L2 = η, L3 = 1 − L2 − L3
(3.16)
L’elemento LST `e un elemento a sei nodi caratterizzato dalle seguenti funzioni di forma:
φ1 = L1 (2.0L1 − 1.0)
φ2 = L2 (2.0L2 − 1.0)
φ3 = L3 (2.0L3 − 1.0)
(3.17)
φ4 = 4.0L1 L2
φ5 = 4.0L2 L3
φ6 = 4.0L3 L1
40
[(1 + e)/e]mT ∆ε, dove e indica l’indice dei vuoti. Pertanto l’incremento di
pressione `e esprimibile come
∆u = Kw [(1 + e)/e]mT ∆ε
(3.20)
essendo Kw il modulo volumetrico dell’acqua. La (3.19) pu`o quindi essere
riscritta ottenendo [1]:
∆σ = D ∆ε + Kw [(1 + e)/e]mT ∆ε
(3.21)
L’equazione (3.21) influisce sul programma implementato nei seguenti modi:
• le caratteristiche del materiale fornite nei dati devono riferirsi alle tensioni
caratteristiche;
• nel calcolo della matrice di rigidezza `e necessario aggiungere il termine
legato al modulo volumetrico dell’acqua;
• a soluzione ottenuta gli incrementi di tensione efficace e di pressione vengono calcolati separatamente.
Il coefficiente Kw [(1 + e)/e] non viene calcolato direttamente ma viene stimato assumendolo proporzionale al modulo volumetrico dello scheletro solido
secondo un parametro α assegnato dall’esterno:
Kw [(1 + e)/e] = αK
Per una analisi drenata α = 0, mentre in condizioni non drenate un valore consigliabile `e compreso tra 50 e 500. Tale modo di procedere equivale, per materiali elastici, ad assumere un coefficiente di Poisson prossimo, ma non pari, a 0.5.
Infatti per ν = 0.5 si potrebbero verificare problemi di mal-condizionamento
numerico delle equazioni ottenute con il modello F.E.M. Un ulteriore vantaggio
`e la possibilit`a di calcolare per via diretta le variazioni di pressione.
43
Chapter 4
Risultati numerici
4.1
Generalit`
a
Il lavoro di tesi svolto ha portato all’implementazione di un programma, eseguibile in ambiente Windows, che nelle funzionalit`a ricalca il programma
CRISP (Critical State Program) elaborato a Cambridge ed ampiamente descritto in [1]. I due programmi si differenziano comunque nel modo in cui
viene eseguita l’analisi al passo: il CRISP procede con un semplice approccio alla Eulero, mentre nel presente lavoro la soluzione `e ottenuta mediante
lo schema iterativo Newton-Raphson modificato ed inserito in una strategia
incrementale di Riks (arch-lenght method), cos`ı come descritto nel primo capitolo. Ovviamente questa non `e l’unica differenza ma `e quella pi`
u sostanziale
dal punto di vista dell’analisi.
Verranno ora esposte le caratteristiche del programma seguendo nell’ordine
le tre fasi tipiche di un codice di calcolo agli elementi finiti:preprocessing, analysis e postprocessing.
4.2
Input
Le informazioni da fornire riguardano la geometria della mesh utilizzata per
discretizzare il dominio e le caratteristiche reologiche del materiale. Come dati
geometrici sono sufficienti le coordinate dei nodi posti nei vertici degli elementi
triangolari in quanto i nodi intermedi vengono generati automaticamente interpolando linearmente lungo il lato dell’elemento. Quindi bisogna assegnare
i nodi connessi da ciascun elemento e le condizioni sul contorno della mesh in
termini di spostamenti o carichi assegnati.
In base al tipo di suolo `e possibile assegnare sia delle caratteristiche Camclay sia, se si vuole effettuare una semplice analisi lineare, delle caratteristiche
44
elastiche . La schematizzazione lineare pu`o basarsi su propriet`a elastiche di
tipo anisotropo che legano le deformazioni alle tensioni secondo la relazione
εx
= σx /Eh − νvh σy /Ev − νhh σz /Eh
εy
= −νhv σx /Eh + σy /Ev − νhv σz /Eh
(4.1)
εy
= −νhh σx /Eh − νvh σy /Ev + σz /Eh
γxy = τxy /Ghv
(’h’ sta per horizontal e ’v’ sta per vertical). Per i moduli elastici `e ammissibile
anche una varialibilit`a con la profondit`a y:
E = Eo + m(yo − y)
4.3
(4.2)
Tensioni in situ
La non-linearit`a che caratterizza il legame Cam-clay sia in fase elastica e sia
in fase plastica, impone la necessit`a di conoscere lo stato tensionale precedente
all’applicazione del carico. Il programma gestisce autonomamente la determinazione delle tensioni in situ in base alle distribuzioni assegnate, nelle direzioni
x e y, del peso per unit`a di volume e del coefficiente di spinta laterale a riposo,
Ko . Se il campo geostatico di tensioni cos`ı determinato `e in equilibrio con i
carichi dovuti al peso proprio della mesh tale fase termina, altrimenti si procede
al calcolo non-lineare, mediante una schema iterativo alla Newton-Rapson, di
un ulteriore campo di tensioni correttivo dello squilibrio. In tal modo si riesce a gestire, approssimativamente, situazioni geometriche che renderebbero
complessa l’assegnazione diretta dello stato tensionale di partenza.
4.4
Opzioni di analisi e output
Come gi`a detto `e possibile effettuare analisi di tipo sia lineare sia non-lineare.
Il primo tipo non richiede ulteriori commenti mentre per il secondo bisogna
sottolineare la necessit`a di una accorta taratura dei parametri connessi alla
modalit`a adattativa del procedimento di Riks implementato, a riguardo si veda
la sezione (1.7.3).
L’output fornito si riferisce all’evoluzione dello stato tensionale e del percorso d’equilibrio relativo ad una componente di spostamento di un nodo qual` anche possibile osservare le zone che hanno raggiunto lo
siasi della mesh. E
stato critico tramite il plottaggio della quantit`a η/M dove η = q/p.
45
Appendice A
Programmazione orientata agli
oggetti e F.E.M.
A.1
Introduzione
Il metodo agli elementi finiti `e uno strumento ampiamente usato in molti
campi dell’ingegneria: trasmissione del calore, fluido-meccanica ed in particolare l’analisi strutturale. La ragione di tanta versatilit`a risiede nelle intriseche
potenzialit`a del modello discreto e nel fatto che la sua implementazione conduca, naturalmente, ad una programmazione modulare. Quasi tutti i programmi
agli elementi finiti sono strutturati nei seguenti passi principali:
(i) input dei dati;
(ii) calcolo per ogni elemento della matrice di rigidezza e del vettore dei
carichi;
(iii) assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi globali;
(iv) applicazione delle condizioni di vincolo;
(v) soluzione delle equazioni;
(vi) output dei risultati.
L’ordine esatto in cui tali passi sono effettuati pu`o variare da programma a
programma(ad esempio i passi (iii) e (iv) possono essere compiuti contemporaneamente; lo stesso vale per il (ii) e il (v) se si utilizza il metodo di risoluzione
frontale), ma parimenti costituiscono la base per un programma F.E.M. .
Per tradizione il metodo agli elementi finiti `e stato implementato tramite
il linguaggio Fortran e molti sono i testi sulla programmazione del F.E.M.
81
che riportano ancora codice Fortran. Gli ultimi sviluppi hardware e software
nel campo computazionale hanno generato una diversa ’filosofia’ di programmazione, denominata Programmazione Orientata agli Oggetti (OOP) che `e
progettata intorno ad un concetto semplice: l’esistenza di un legame intrinseco tra i dati e le procedure preposte a manipolarli. Esamineremo ora alcuni
concetti fondamentali della OOP e la loro applicazione all’analisi agli elementi
finiti, [8].
A.2
Alcuni concetti basilari
Nei linguaggi di programmazione tradizionali, come il Fortran, i dati e le procedure sono enti separati e il loro collegamento avviene mediante il passaggio di
alcuni parametri alle procedure. Con la OOP si fa un notevole passo in avanti
stabilendo che dati e procedure aventi un nesso logico costituiscono un oggetto
unico e che tale oggetto pu`o essere utilizzato nel programma solo attraverso
un’interfaccia pubblica. Questa interfaccia pubblica altro non `e che un insieme
di metodi– metodo `e il nome usato nella terminologia OOP per le procedure–
e di dati che sono fruibili dal mondo esterno all’oggetto. Allo stesso tempo
esiste una parte privata dell’oggetto che implementa tutto ci`o che non ha alcuna importanza per l’utente dell’oggetto. Nell’ottica F.E.M. ci`o si traduce
in accorpamento dei dati geometrici e fisici dell’elemento con, ad esempio, la
funzione che restituisce la matrice di rigidezza dell’elemento.
Il collegamento tra dati e metodi costituisce certamente un incentivo per
la scrittura di programmi piu`
u chiari e pi`
u esenti da errori, ma non `e tutto.
Infatti le reali potenzialit`a della OOP diventano evidenti quando si considerano
due ulteriori caratteristiche: ereditariet`
a e metodi virtuali.
A.2.1
Ereditariet`
a e metodi virtuali
La programmazione orientata agli oggetti permette la definizione di oggetti
ereditandoli da altri gi`a esistenti. L’oggetto ’figlio’ riceve dal ’padre’ tutte le
funzionalit`a e i dati visibili tramite il meccanismo dell’ereditariet`a e in pi`
u `e
arrichibile con nuovi elementi, indefferentemente dati o metodi. A completamento dell’ereditariet`a vi sono i metodi virtuali che permettono la semplice
dichiarazione di un metodo demandando la sua definizione agli oggetti figli che,
si presume, abbiano bisogno di una implementazione specializzata della funzione ereditata. Un esempio classico `e fornito sempre dal calcolo della matrice
di rigidezza dell’elemento che varia se si considera un elemento di tipo asta o
un elemento bidimensionale di tipo lastra.
Quindi lo scenario che si delinea vede un elemento base munito di una serie
di metodi virtuali comuni a tutti gli elementi, e tutta una serie di elementi
82
derivati che implementano le funzionalit`a specifiche del problema fisico analizzato.
A.3
Implementazione
Si riporta ora l’implementazione degli elementi usati nel presente lavoro tralasciando le funzioni non rilevanti rispetto al metodo agli elementi finiti. Il liguaggio di programmazione utilizzato `e il linguaggio C++ overro C con classi che,
comunque, non `e l’unico linguaggio che supporta la OOP.
L’elemento base `e munito delle funzioni virtuali per il calcolo della matrice
di rigidezza, il vettrore dei carichi nodali e il reperimento degli indici delle
variabili afferenti all’elemento:
class Element
{ public:
Element();
∼Element();
virtual void GetStiffMatrix(Matrix &StiffM);
virtual void GetLoadVett(Vector &LoadV);
virtual void GetVarList(int ∗VarList, NodesArray &Nodes);
protected:
int ElementType,
MaterialType,
nNodes,
∗NodeList;
};
Nel passo successivo si definisce l’elemento bidimensionale con le funzionalit`a necessarie ad un elemento isoparametrico (si veda il capitolo 3) come
l’acquisizione delle cordinate nodali dell’elemento, il calcolo delle derivate delle
funzioni di forma e il calcolo della matrice Jacobiana (3.10) con il relativo
determinante.
class Element2D : public Element
{ public:
Element2D();
∼Element2D();
virtual void Shape(double xi, double eta, Vector &Shps);
virtual void ShapeDv(double xi, double eta, Matrix &ShpsDv);
virtual void GetElementXY(Matrix &XY, NodesArray &Nodes);
83
virtual void CalcXYDerivs(double xi, double eta,
double &det, Matrix &XYDv, NodesArray &Nodes);
virtual void CalcJacob(double &det, Matrix &Jac,
CMatrix &ShpsDv, NodesArray &Nodes);
};
Nella classe degli elementi bidimensionali rientrano vari tipi di elementi
isoparametrici. Nel nostro caso si `e definito un elemento triangolare per il
quale `e stato necessario specializzare solo i metodi per il calcolo delle funzioni
di forma e delle derivate di quest’ultime:
class TriangElement : public CElement2D
{ public:
TriangElement();
∼TriangElement();
void Shape(double xi, double eta, CVector &Shps);
void ShapeDv(double xi, double eta, CMatrix &ShpsDv);
};
Infine `e stato derivato l’elemento utilizzato nel programma fornendolo della
propria versione specializzata delle funzioni preposte al calcolo della matrice di
rigidezza ed il vettore dei carichi nodali.
class CrispElement :
{
...
};
A.3.1
public TriangElement
Programmazione agli oggetti in ambiente Windows
Le potenzialit`a della OOP, esposte nelle sezioni precedenti riferendosi all’implementazione
di elementi finiti, possono essere convenientemente sfruttate nello sviluppo di
tutti i costituenti di un programma che, in generale, necessita anche di una interfaccia per l’immissione dei dati ed una modalit`a di restituzione dei risultati.
Nella realizzazione del programma si `e fatto uso di una delle famiglie di
classi disponibili in ambiente Windows. Tali famiglie di classi, che generalmente
84
sono organizzate in una struttura ad albero, provvedono alla gestione di tutti
i compiti basilari per il funzionamento di un programma Windows lasciando
al programmatore solo l’onere dello sviluppo delle funzionalit‘a specifiche della
propria applicazione. Pertanto la gestione di compiti come la visualizzazione
di men`
u di comandi, tabelle per l’input, risultati numerici e grafici `e stata
effettuata derivando da un opportuno oggetto della famiglia una classe che,
al solito, `e stata munita dei metodi e degli elementi necessari alla particolare
operazione da svolgere.
I vantaggi di lavorare agganciandosi ad un ambiente di lavoro preconfezionato, come pu`o essere definita una libreria di classi Windows, sono diversi. Le
applicazioni generate in questo modo sono pi`
u facili da mantenere; le classi
derivate, e personalizzate, possono essere riusate in altri programmi (ci`o vale
ovviamente anche per la classe Elemento illustrata in precedenza); infine si
accede, in un modo relativamente semplice, ad un ambiente completamente
grafico come Windows nel quale tutte le risorse del sistema sono condivise
dalle applicazioni e la gestione della memoria non pone particolari problemi
come nell’ambiente DOS. I tipi di risultati ottenibili nell’ambiente Windows
sono rappresentati nelle figure A.1 e A.2 che illustrano due schermate tipiche
del programma sviluppato.
85
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