Verità, tautologia [0.07in] e implicazione logica

Condizioni di verit`a delle frasi di LP
Verit`a, tautologia
e implicazione logica
I
Passiamo ora alla terza parte del compito di descrivere il
linguaggio LP:
• Come vengono calcolate le condizioni di verit`a delle formule
ben formate di LP?
Sandro Zucchi
2013-14
S. Zucchi: Filosofia del linguaggio 2014 – Verit`
a, tautologia e implicazione logica
1
Valutazioni
I
I
I
S. Zucchi: Filosofia del linguaggio 2014 – Verit`
a, tautologia e implicazione logica
Come pensare alle valutazioni
Allo scopo di formulare la semantica del linguaggio LP,
introduciamo in primo luogo la nozione di valutazione.
Una valutazione `e una funzione che assegna a ogni lettera
proposizionale un valore di verit`a (il vero o il falso, che
rappresenteremo, rispettivamente, con le lettere maiuscole V
ed F).
Per esempio, questa `e una valutazione:
I
Intuitivamente (anche se non `e del tutto corretto), possiamo
pensare a una valutazione come a un modo in cui le cose
potrebbero stare, a un caso possibile.
I
Supponete che le lettere proposizionali “p”, “q”, “r ”, ecc.
stiano per frasi semplici dell’italiano, come “Gianni `e biondo”,
“Maria `e greca”, “Roma `e la capitale d’Italia”, ecc. Allora,
una valutazione delle lettere proposizionali che assegna a “p”
il falso, a “q” il vero, a “r ” il vero, ecc. ci dice che Gianni non
`e biondo, mentre Maria `e greca, Roma `e la capitale d’Italia,
ecc. E questo `e un modo in cui potrebbero stare le cose.
I
Un’altra valutazione, che assegna a “p” il vero, a “q” il falso,
a “r ” il falso, ecc., ci dice che Gianni `e biondo, Maria non `e
greca, Roma non `e la capitale d’Italia, ecc. E questo `e un
altro modo in cui potrebbero stare le cose.
p1 p2 p3 . . .
V V F ...
I
2
E questa `e un’altra valutazione:
p1 p2 p3 . . .
F V F ...
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a, tautologia e implicazione logica
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S. Zucchi: Filosofia del linguaggio 2014 – Verit`
a, tautologia e implicazione logica
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Condizioni di verit`a per le formule atomiche
I
Possiamo ora formulare le condizioni di verit`a per le formule di
LP facendo uso della nozione di verit`a relativamente a una
valutazione.
I
Per quanto riguarda le lettere proposizionali di LP, diremo
semplicemente che
se A `e una lettera proposizionale, A `e vera in LP,
relativamente a una valutazione ν, se ν assegna ad
A il valore V; e A `e falsa in LP, relativamente a ν, se
ν assegna ad A il valore F.
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Condizioni di verit`a per le formule complesse
5
Il connettivo ∧
I
Passiamo ora alle condizioni di verit`a delle formule complesse
di LP, cio`e delle formule di LP che sono formate a partire delle
formule atomiche per mezzo dei connettivi e delle parentesi.
I
Le regole semantiche di LP ci dicono come calcolare il valore
di verit`a delle formule complesse di LP sulla base del valore
delle verit`a delle formule che le compongono.
I
Vediamo in che modo le regole semantiche di LP assolvono
questo compito.
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a, tautologia e implicazione logica
Funzioni di verit`a
I
I
Un simbolo di LP usato per costruire formule complesse `e il
cuneo rovesciato “∧”.
I
Ecco la regola che stabilisce a quali condizioni una formula
complessa della forma p(A ∧ B )q `e vera relativamente a una
valutazione:
Riflettiamo un momento sulla regola per p(A ∧ B )q:
p(A ∧ B )q `e vera in LP, relativamente a una valutazione ν,
se le formule A e B sono entrambe vere in LP, relativamente
a ν; altrimenti p(A ∧ B )q `e falsa in LP, relativamente a ν.
I
I
p(A ∧ B )q `e vera in LP, relativamente a una
valutazione ν, se le formule A e B sono entrambe vere
in LP, relativamente a ν; altrimenti p(A ∧ B )q `e falsa
in LP, relativamente a ν.
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a, tautologia e implicazione logica
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I
7
Questa regola ci dice che `e possibile calcolare il valore di verit`a di
una formula della forma p(A ∧ B )q a partire dai valori di verit`a di A
e B.
Usando una terminologia di derivazione matematica, si usa
esprimere questo fatto dicendo che il valore di verit`a di una formula
della forma p(A ∧ B )q `e una funzione dei valori di verit`a delle
formule A e B che la compongono.
(L’analogia con le funzioni matematiche `e questa: come in
matematica la funzione associata al simbolo + ci permette, ad
esempio, di associare 5 alla coppia h2, 3i, cos`ı in logica la funzione
associata a “∧” ci permette di associare il valore di verit`a Vero alla
coppia hVero, Veroi).
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Il connettivo ∨
Tavole di verit`a
I
Il fatto che il valore di verit`a di una formula della forma p(A ∧ B )q sia una
funzione dei valori di verit`a di A e di B pu`
o essere visualizzato mediante la
tavola seguente, detta tavola di verit`a:
A B
V V
V F
F V
F F
I
I
Un altro connettivo di LP `e il cuneo “∨”.
I
La sua tavola di verit`a `e questa:
(A ∧ B )
V
F
F
F
A B
V V
V F
F V
F F
In questa tavola “V ” abbrevia “Vero” e “F ” abbrevia “Falso”. Ecco come la si
deve leggere:
• La prima riga ci dice che, se A `e vera e B `e vera (rispetto a una valutazione),
allora p(A ∧ B )q `e vera (in quella valutazione).
• La seconda riga ci dice che, se A `e vera e B `e falsa (rispetto a una valutazione),
allora p(A ∧ B )q `e falsa (in quella valutazione).
• La terza riga ci dice che, se A `e falsa e B `e vera (rispetto a una valutazione),
allora p(A ∧ B )q `e falsa (in quella valutazione).
• La quarta riga ci dice che, se A `e falsa e B `e falsa (rispetto a una valutazione),
allora p(A ∧ B )q `e falsa (in quella valutazione).
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I
9
Il connettivo ⊃
(A ∨ B )
V
V
V
F
In altre parole, p(A ∨ B )q `e falsa in LP, relativamente a una
valutazione ν, se le formule A e B sono entrambe false in LP,
relativamente a ν; altrimenti p(A ∨ B )q `e vera in LP,
relativamente a ν.
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a, tautologia e implicazione logica
Il connettivo ≡
I
Un altro connettivo di LP `e il ferro di cavallo “⊃”.
I
Un altro connettivo di LP `e la tripla sbarra “≡”.
I
La sua tavola di verit`a `e questa:
I
La sua tavola di verit`a `e questa:
A B
V V
V F
F V
F F
I
10
A B
V V
V F
F V
F F
(A ⊃ B )
V
F
V
V
I
In altre parole, p(A ⊃ B )q `e falsa in LP, relativamente a una
valutazione ν, se A `e vera e B `e falsa in LP, relativamente a
ν; altrimenti p(A ⊃ B )q `e vera in LP, relativamente a ν.
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(A ≡ B )
V
F
F
V
In altre parole, p(A ≡ B )q `e falsa in LP, relativamente a una
valutazione ν, se A e B differiscono nel loro valore di verit`a,
relativamente a ν; altrimenti p(A ≡ B )q `e vera in LP,
relativamente a ν.
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Il connettivo ∼
I
I
I
Alcune nozioni
Infine, rimangono da specificare le condizioni di verit`a
associate a formule complesse formate attraverso il connettivo
“∼” di LP, che chiameremo tilde.
Questo connettivo `e diverso dagli altri connettivi che abbiamo
visto finora, in quanto non collega due formule, ma si applica
ad una formula per dar luogo ad un’altra formula.
La sua tavola di verit`a `e questa:
Introduciamo ora alcune nozioni relative al linguaggio LP che ci
saranno utili pi`
u avanti:
∼A
F
V
In altre parole, p∼ Aq `e vera in LP, relativamente a una
valutazione ν, se A `e falsa in LP, relativamente a ν; mentre,
se A `e vera in LP, relativamente a ν, allora p∼ Aq `e falsa in
LP, relativamente a ν.
A
V
F
I
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Tautologia
I
I
tautologia
I
contraddizione
I
implicazione logica
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Un esempio di tautologia
Una formula di LP `e una tautologia se e solo se `e sempre vera
in LP, qualunque sia il valore di verit`a delle lettere
proposizionali che la compongono (vale a dire, una tautologia
`e una formula che `e vera relativamente a qualunque
valutazione).
I
La formula “((p ⊃ q) ∨ (q ⊃ p))” `e una tautologia.
I
Infatti, l’ultima colonna della tavola di verit`a di questa
formula contiene solo V :
p
V
V
F
F
Una tautologia sar`a dunque una formula di LP la cui tavola di
verit`a contiene solo V nell’ultima colonna a destra.
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I
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q
V
F
V
F
(p ⊃ q) (q ⊃ p) ((p ⊃ q)
V
V
F
V
V
F
V
V
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∨ (q ⊃ p))
V
V
V
V
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Contraddizione
I
I
Un esempio di contraddizione
Una formula di LP `e una contraddizione se e solo se `e sempre
falsa in LP, qualunque sia il valore di verit`a delle lettere
proposizionali che la compongono (vale a dire, una
contraddizione `e una formula che `e falsa relativamente a
qualunque valutazione).
I
Infatti, l’ultima colonna della tavola di verit`a di questa
formula contiene solo F :
p
V
F
17
Implicazione logica in LP
I
La formula “(p ∧ ∼ p )” `e una contraddizione.
Una contraddizione `e una formula di LP la cui tavola di verit`a
contiene solo F nell’ultima colonna.
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I
I
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Tavole di verit`a e implicazione logica
Diciamo che una formula A implica logicamente una formula
B in LP se e solo se non esiste una valutazione (ovvero un
assegnamento di valori di verit`a alle lettere proposizionali) che
rende A vera e B falsa in LP.
Pi`
u in generale, diciamo che un insieme di formule X implica
logicamente una formula B in LP se e solo se non esiste una
valutazione (ovvero un assegnamento di valori di verit`a alle
lettere proposizionali) che rende tutte le formule in X vere e
B falsa in LP.
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∼ p (p ∧ ∼ p)
F
F
V
F
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I
Oltre a permetterci di accertare se una formula `e una
tautologia oppure una contraddizione, le tavole di verit`a ci
danno un metodo per verificare in modo del tutto meccanico,
attraverso un numero finito di passi, se una formula A implica
logicamente una formula B in LP.
I
Vediamo come funziona questo metodo.
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Un esempio di implicazione logica in LP?
Come calcolare l’implicazione logica in LP
I
I
Consideriamo le formule (1)-(2):
(1)
((p ∨ q )∧ ∼ p )
(2)
q
I
I
La formula (1) implica logicamente la formula (2) in LP?
I
Vediamo.
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I
(1)
((p ∨ q )∧ ∼ p )
(2)
q
Dunque, per stabilire se (1) implica logicamente (2) in LP,
dobbiamo fare cos`ı:
a. considerare tutti gli assegnamenti possibili di valori di verit`a alle
lettere proposizionali che compaiono in (1)-(2);
b. calcolare per ciascuno di questi assegnamenti quali sono i valori di
verit`a di (1) e (2);
c. controllare se esiste un assegnamento che rende vera (1) e falsa (2)
in LP; se non esiste, (1) implica logicamente (2) in LP.
21
Calcoliamo!
I
Secondo la definizione, (1) implica logicamente (2) (in LP) se e
solo se non esiste una valutazione (un assegnamento di valori di
verit`a alle lettere proposizionali) che rende (1) vera e (2) falsa in
LP:
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Un esempio di implicazione logica in LP
Questa tavola di verit`a calcola il valore di verit`a delle formule
“((p ∨ q )∧ ∼ p )” e “q” per ogni assegnamento possibile di
valori di verit`a alle lettere proposizionali che contengono (cio`e,
per ogni assegnamento di valori di verit`a a “p” e “q”):
I
(1)
((p ∨ q )∧ ∼ p )
(2)
q
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((p ∨ q )∧ ∼ p )
p
V
F
V
F
p q ((p ∨ q ) ∧ ∼ p ) q
V V
F
V
F V
V
V
V F
F
F
F F
F
F
Osservando la tavola, chiediamoci dunque: esiste un
assegnamento che rende vera (1) e falsa (2) in LP?
(1)
L’unico assegnamento alle lettere proposizionali di (1)-(2) che
rende vera (1) in LP `e quello della seconda riga:
I
I
23
((p ∨ q )∧ ∼ p )
F
V
F
F
q
V
V
F
F
Questo assegnamento rende vera anche (2) in LP:
(2)
I
q
V
V
F
F
q
Dunque, non esiste una valutazione che rende vera (1) e falsa
(2) in LP.
Dunque, (1) implica logicamente (2) in LP.
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Uomini, asini, e bastoni nell’angolo
I
I
I
Il ritorno di Pseudo-Scotus
In universam logicam quaestiones `e un trattato medioevale di
logica che discute una serie di questioni suggerite dall’Isagoge di
Porfirio e dall’Organon di Aristotele. Un tempo questo trattato era
attribuito a John Duns Scotus, ma oggi viene attribuito a uno
Pseudo-Scotus.
Ora, questo Pseudo-Scotus scrive nelle Quaestiones:
“Da Socrate esiste e Socrate non esiste, che implica una
contraddizione nella forma, segue Un uomo `e un asino o
C’`e un bastone nell’angolo, e cos`ı per qualsiasi altra
cosa.”
25
Rammentiamo le definizioni
I
La definizione di implicazione logica in LP conferma il
principio enunciato da Pseudo-Scotus.
I
Una contraddizione implica logicamente (in LP) qualunque
formula.
I
Vediamo perch´e.
Questo fatto, secondo Pseudo-Scotus, `e un caso del seguente
principio generale:
“Da qualunque proposizione che implica una
contraddizione nella forma segue formalmente qualunque
altra proposizione.”
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I
I
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Prova del principio di Pseudo-Scotus
I
Abbiamo detto che una formula A implica logicamente una
formula B (in LP) se e solo se non esiste una valutazione che
rende A vera e B falsa in LP.
Secondo la definizione di contraddizione, se A `e una
contraddizione, non esiste una valutazione che rende vera A in
LP.
I
Inoltre, abbiamo detto che una formula di LP `e una
contraddizione se e solo se qualunque valutazione la rende
falsa.
Se non esiste una valutazione che rende vera A in LP, a
maggior ragione, data una qualunque formula B, non esiste
una valutazione che rende vera A e falsa B in LP.
I
Dunque, per la definizione di implicazione logica, se A `e una
contraddizione, A implica logicamente qualunque formula in
LP.
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a, tautologia e implicazione logica
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Un esempio
I
I
Notazioni alternative
Possiamo illustrare il ragionamento precedente in questo modo.
Consideriamo la contraddizione “(p ∧ ∼ p)” e la formula “q”.
Si consideri ora la tavola di verit`a seguente:
p
V
F
V
F
I
I
I
∼ p (p
F
V
F
V
∧ ∼ p)
F
F
F
F
q
V
F
F
V
I simboli che abbiamo usato come connettivi di LP sono “∧”,
“∨”, “⊃”, “≡” e “∼”.
I
Altre versioni della logica proposizionale usano simboli diversi
con le stesse tavole di verit`a.
Per facilitare le cose, riportiamo qui alcune varianti
notazionali:
• p ∧ q, p&q, p · q, Kpq.
• p ∨ q, Apq.
• p ⊃ q, p → q, Cpq.
• p ≡ q, p ↔ q, Epq.
• ∼ p, ¬p, Np.
I
Come si vede dalla colonna che corrisponde a “(p ∧ ∼ p)”, non
esiste alcuna riga che rende questa formula vera in LP.
Dunque, non esiste alcuna valutazione che rende “(p ∧ ∼ p)”
vera e “q” falsa in LP.
Dunque, “(p ∧ ∼ p)” implica logicamente la formula “q” in LP.
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