Esercizi di autovalutazione

Esercizi interattivi di Matematica Generale.
Calcolo Differenziale in due variabili
Grazia Messineo – Salvatore Vassallo
3 aprile 2014
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Istruzioni
Per iniziare i quiz cliccare “Inizio Test”, quando si è finito, per ottenere la valutazione, cliccare su “Fine Test”.
Dove viene richiesta una risposta scritta usare le seguenti regole:
• Usare * per indicare la moltiplicazione: scrivere 4*x per 4x;
• Usare ^ per indicare le potenze: scrivere 4*x^3 per 4x3 ; 12*x^-6 per 12x−6 ;
• Usare parentesi per delimitare l’argomento di una funzione; cioè scrivere cos(x) e non cos x;
• Usare parentesi per indicare il risultato di un’operazione: scrivere 4*x*(x^2+1)^3 per 4x(x2 +
1)3 ; 4^(2*x+1) per 42x+1 ; (cos(x))^2 per (cos(x))2 . Non scrivere cos^2(x) per cos2 (x),
scrivere (cos(x))^2!
JJ J
I II
• Si possono usare parentesi quadre [ ] o graffe { }, per delimitare un’espressione matematica.
• Funzioni che possono essere usate:
– Trigonometriche: sin (seno), cos (coseno), tan (tangente), cot (cotangente), sec (secante), csc (cosecante);
Indietro
– Trigonometriche Inverse: asin (arcoseno), acos (arcocoseno), atan (arcotangente);
– Logaritmiche: ln (logaritmo naturaleg), o log;
– Esponenziale: la funzione esponenziale ex , può essere immessa come exp(x) o come e^x.
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
– Il valore assoluto, abs(·) può anche essere scritto nel modo solito |·|; cioè si può scrivere
abs(x) o |x|.
√
– Altre: sqrt, si scrive sqrt(x) per x (o si usa la notazione esponenziale: x^(1/2)).
Quando la risposta viene immessa il programma fa un qualche controllo per determinare se è un’espressione matematica corretta: per esempio, se si scrive san(x), la funzione ‘san’ non sarà riconosciuta come un’espressione valida e ci sarà un messaggio di errore e la risposta non è considerata
errata. C’è anche un controllo sulle parentesi: ((x^4+1) + sin(x)^2 sarà indicato come errore di
sintassi.
Importante: Nella risposta bisogna sempre usare la variabile indipendente data nel testo dell’esercizio: se il testo usa x, si usa x; se l’enunciato del problema usa t, si usa t nella risposta. Immettere
una funzione di t quando il programma si aspetta una funzione di x, avrà certamente come risultato
“risposta sbagliata”.
Importante: Dopo aver dato la risposta premere il tasto invio o cliccare col mouse su un’area
vuota della pagina.
Simboli: Nelle correzioni il simbolo 4 indica che lo studente ha dato la risposta corretta; un 8,
indica una risposta errata, in questo caso, la risposta corretta è indicata con l.
Se il quiz ha una soluzione, la casella della risposta esatta ha un riquadro verde: cliccando e
premendo Shift sulla casella si va alla pagina della soluzione.
Nel caso di risposta scritta, la risposta esatta appare in un riquadro in fondo all’esercizio.
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Alcuni esercizi qui contenuti sono tratti da prove intermedie: ringraziamo pertanto chi li ha
elaborati.
Quiz n. 1
Per iniziare il quiz cliccare “Inizio Test”. Al termine, per ottenere la valutazione, cliccare su
“Fine Test”.
Rispondere a tutte le domande del quiz. È sempre possibile (prima di cliccare su “Fine Test”)
modificare le proprie risposte.
1. La seguente figura
y=2
JJ J
I II
−2
3
Indietro
rappresenta l’insieme di esistenza della funzione
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
f (x, y) = ln[(y − 2)(−x2 + x + 6 + y)]
f (x, y) = ln[(y + 2)2 (−x2 + x + 6 + y)]
f (x, y) = ln[(y − 2)2 (x2 − x − 6 + y)]
f (x, y) = ln[(y − 2)2 (−x2 + x + 6 + y)]
2. La seguente figura
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
rappresenta l’insieme di esistenza della funzione
s
x + 2y
f (x, y) = log 13
x − 3y
s
x + 2y
f (x, y) = log3
x − 3y
x + 2y
f (x, y) = log 13
x − 3y
s
x + 2y
f (x, y) =
x − 3y
3. La seguente figura
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
rappresenta l’insieme di esistenza della funzione
p
x2 + y 2 − 9 · ln(y + 2x)
f (x, y) =
xy − 1
p
2
9 − x − y 2 · ln(y − 2x)
f (x, y) =
xy + 1
p
f (x, y) =
p
f (x, y) =
9 − x2 − y 2 · ln(y + 2x)
xy − 1
9 − x2 − y 2 · ln(y + 2x)
xy + 1
4. La seguente figura
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
rappresenta l’insieme di esistenza della funzione
s
4x2 − y 2 − 4
f (x, y) =
4 − x2 − y 2
s
4x2 + y 2 − 4
f (x, y) =
4 − x2 − y 2
s
4x2 + y 2 + 4
4 − x2 − y 2
s
4x2 − y 2 − 4
4 + x2 + y 2
f (x, y) =
f (x, y) =
5. La seguente figura
−2
JJ J
I II
2
rappresenta il dominio della funzione
f (x, y) =
ln(4 − x2 − y 2 )
p
y − x2
Indietro
Vero
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Falso
6. La seguente figura
−3
JJ J
4
I II
rappresenta il dominio della funzione
p
y − x2 + x + 12
f (x, y) =
xy
Indietro
Vero
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Falso
Quiz n. 2
Per iniziare il quiz cliccare “Inizio Test”. Al termine, per ottenere la valutazione, cliccare su
“Fine Test”.
Rispondere a tutte le domande del quiz. È sempre possibile (prima di cliccare su “Fine Test”)
modificare le proprie risposte.
1. La rappresentazione grafica del dominio della funzione:
f (x, y) = p
è:
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
xy
4 − x2 − y 2
+
p
4
y − 3x
2. La rappresentazione grafica del dominio della funzione:
ln(y − 2x2 )
f (x, y) = √
1−x−y
è:
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
3. La rappresentazione grafica del dominio della funzione:
√ 2 2
1
f (x, y) = e 9−x −y + √
3y − 4
è:
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
4. La rappresentazione grafica del dominio della funzione:
1+x
f (x, y) = ln(1 − x2 − y 2 ) + p
3y − x2
è:
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Quiz n. 3
Per iniziare il quiz cliccare “Inizio Test”. Al termine, per ottenere la valutazione, cliccare su
“Fine Test”.
Rispondere a tutte le domande del quiz. È sempre possibile (prima di cliccare su “Fine Test”)
modificare le proprie risposte.
1. Il gradiente della funzione f (x, y) = x6 e2y è:
6x5 e2y , 2x6 e2y
12x5 e2y , 2x6 e2y
2. Il gradiente della funzione f (x, y) = x5 ln(y 3 ) è:
4
3x5
15x
,
y
y
5
4
5x ln y 3 , 3xy
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
3. Il gradiente della funzione f (x, y) =
3
y +3 3y 2
,
4
2
x
x
y 3 +3 3y 2
−2 x3 , x2
6x5 e2y , x6 e2y
6x5 , 2 e2y
5x4 3x5
y , y
5x4 3∗x5
y , y3
3
y3 + 3
è:
x2
4. Il gradiente della funzione f (x, y) = y 3 ln(x4 ) è:
3
y
2
4
x4 , 3y ln(x )
3
y
3y 2
x4 , x4
2
3y
−2 y x+3
4 , 2x
−6y 2 3y 2
,
x3
x4
ln(x4 )
3
4y
2
4
x , 3y ln(x )
y3
2
4x3 , 3y
5. Il gradiente della funzione f (x, y) = x4 (4x + 3y) è:
4x3 (4x + 3y), 3x4
20x4 , 3x4
4x3 (5x + 3y), 3x4 y
4x3 (5x + 3y), 3x4
6. Il gradiente della funzione f (x, y) = y 3 (5x + 3y) è:
5y 3 , 3y 2 (5x + 4y)
5y 3 , 3y 2 (5x + 3y)
5y 3 , 12y 3
5, 12y 3
7. Il gradiente della funzione f (x, y) = ln x2 + 3y è:
1
2x
3
1
,
,
2
2
2
2
x +3y x +3y
x +3y x +3y
2
3y
x
2x 3
,
,
2
2
2
x +3y x +3y
x
3y
8. Il gradiente della funzione f (x, y) = ex
4
4
ex +y , ex +y
4
4
(4x3 + 1) ex +y , ex +y
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
4
+y
è:
4x3 ex
4x3 ex , ey
4
4
+y
, ex
4
+y
Quiz n. 4
Per iniziare il quiz cliccare “Inizio Test”. Al termine, per ottenere la valutazione, cliccare su
“Fine Test”.
Rispondere a tutte le domande del quiz. È sempre possibile (prima di cliccare su “Fine Test”)
modificare le proprie risposte.
1. Il gradiente della funzione f (x, y) = ln(xy 2 ) + exy calcolato nel punto (1, 1) è:
(1 + e, 2 + e)
(e, e)
(1 + e, 1 + e)
2
non esiste
x
2. Il gradiente della funzione f (x, y) = ln(xy + y ) + e calcolato nel punto (1, 1) è:
1+2 e 3
1+e 3
e, 32
non esiste
2 , 2
2 , 2
2
2
3. Il gradiente della funzione f (x, y) = x + y ln(x + y) calcolato nel punto (1, 1) è:
(1 + ln(2), 1 + ln(2))
JJ J
Indietro
(2 ln(2), 2 ln(2))
4. Il gradiente della funzione f (x, y) = x2 ln(1 + y) + x2 y 2 calcolato nel punto (1, 1) è:
2 + 2 ln(2), 52
2 + 2 ln(2), 23
2 ln(2), 52
1 + 2 ln(2), 25
5. Il gradiente della funzione f (x, y) = ln x2 y 2 + exy calcolato nel punto (1, 1) è:
(2 + e, 2 + e)
(1 + e, 1 + e)
(2, 2)
2
6. Il gradiente della funzione f (x, y) = ln x y + e
Pieno Schermo
(2 + e, 2 + e)
(2, 2 ln 2)
(2 + e, 1 + e)
ln (1 + x) calcolato nel punto (1, 1) è:
(ln 2, 2 ln 2)
2
(e, e)
calcolato nel punto (1, 1) è:
(2, 1)
2
(2 + ln 2, ln 2)
3
Uscire
xy
(1 + e, 1 + e)
7. Il gradiente della funzione f (x, y) = x + y
Chiudere
(1, 1)
(1 + 2 ln(2), 1 + 2 ln(2))
I II
(2 + ln 2, 2 ln 2)
2
8. Il gradiente della funzione f (x, y) = x + y − 3x − 2y calcolato nel punto P (1, 1) è:
(−3, 2)
(1, 2)
(−3, 0)
(0, 0)
9. Il gradiente della funzione f (x, y) = x3 + y 3 − 12xy − 3 calcolato nel punto P (1, 2) è:
(−3, 2)
(0, 21)
(−21, 0)
(0, 0)
2 2
10. Il gradiente della funzione f (x, y) = x y + x − 2xy − 4 calcolato nel punto P (−1, −1) è:
(0, 1)
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
(1, 2)
(0, 0)
(1, 0)
Quiz n. 5
Per iniziare il quiz cliccare “Inizio Test”. Al termine, per ottenere la valutazione, cliccare su
“Fine Test”.
Rispondere a tutte le domande del quiz. È sempre possibile (prima di cliccare su “Fine Test”)
modificare le proprie risposte.
1. La derivata parziale seconda fxy della funzione f (x, y) = −2x3 e−2y è:
−12x2 e−2y
12x2 e−2y
−6x2 e−2y
0
2. La derivata parziale seconda fxx della funzione f (x, y) = sin(4x) ln(3y) è:
−12 cos(4x) ln(3y)
16 sin(4x) ln(3y)
−16 sin(4x) ln(3y)
3. La derivata parziale seconda fyy della funzione f (x, y) = 2 e
2 xy
2y e
JJ J
I II
2 xy
2x e
+8
2x e
Uscire
0
4. La derivata parziale seconda fyx della funzione f (x, y) = 2x cos(3y) è:
12x sin(3y)
−12x cos(3y)
1
2x2 y
1
2x2 y
−
0
ln(5x)
è:
2y
1
10x2 y
ln(2x)
è:
6. La derivata parziale seconda fxy della funzione f (x, y) =
5y
1
1
1
−
−
2xy 2
2x2 y 2
5xy 2
−
Chiudere
+4x è:
2 xy
5. La derivata parziale seconda fxx della funzione f (x, y) =
Pieno Schermo
0
2
2
−12x sin(3y)
Indietro
xy
−
1
20x2 y 2
−
1
10xy 2
Quiz n. 6
Per iniziare il quiz cliccare “Inizio Test”. Al termine, per ottenere la valutazione, cliccare su
“Fine Test”.
Rispondere a tutte le domande del quiz. È sempre possibile (prima di cliccare su “Fine Test”)
modificare le proprie risposte.
1. Sia f : R2 → R dotata di derivate parziali prime e seconde continue in R2 . Se (x0 , y0 ) è un
00
00
punto stazionario di f , fyy
(x0 , y0 ) = 0 e fxy
(x0 , y0 ) 6= 0 allora il punto (x0 , y0 ) non può essere
un punto di minimo locale.
Vero
Falso
2
2. Sia f : R → R dotata di derivate parziali prime e seconde continue in R2 . Se det Hf (x0 , y0 ) > 0
allora il punto (x0 , y0 ) è un punto estremo.
Vero
JJ J
I II
Falso
2
3. Sia f : R → R dotata di derivate parziali prime e seconde continue in R2 . Se ∇f (x0 , y0 ) = (0, 0)
e det Hf (x0 , y0 ) > 0 allora il punto (x0 , y0 ) è un punto di minimo locale.
Vero
Indietro
Falso
2
4. Sia f : R → R dotata di derivate parziali prime e seconde continue in R2 . Se ∇f (x0 , y0 ) = (0, 0)
e det Hf (x0 , y0 ) > 0 allora il punto (x0 , y0 ) è un punto di massimo locale.
Vero
Falso
2
Pieno Schermo
5. Sia f : R → R dotata di derivate parziali prime e seconde continue in R2 . Se (x0 , y0 ) è un
00
punto stazionario di f , fxx
(x0 , y0 ) < 0 e det Hf (x0 , y0 ) > 0 allora il punto (x0 , y0 ) è un punto
di massimo locale.
Vero
Falso
2
Chiudere
6. Sia f : R → R dotata di derivate parziali prime e seconde continue in R2 . Se (x0 , y0 ) è un
punto stazionario di f e det Hf (x0 , y0 ) < 0 allora il punto (x0 , y0 ) è un punto di sella.
Vero
Uscire
Falso
7. Sia f : R2 → R dotata di derivate parziali prime e seconde continue in R2 . Se det Hf (x0 , y0 ) < 0
allora il punto (x0 , y0 ) è un punto di sella.
Vero
Falso
8. Sia
f (x, y) = y 3 − 7y 2 + 12y + 2xy + 2x2
allora:
Il punto (−2, 4) è di minimo relativo e il punto (− 21 , 1) è di sella.
Il punto (−2, 4) è di massimo relativo e il punto (− 12 , 1) è di sella.
Il punto (−2, 4) è di minimo relativo e il punto (− 12 , 1) è di massimo relativo.
I punti (−2, 4) e (− 12 , 1) sono entrambi di minimo relativo.
JJ J
I II
9. Si consideri la funzione:
f (x, y) = 2 + 8x2 + 4xy + 5y 2
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
Indietro
L’origine è punto di massimo relativo.
L’origine è punto di sella.
L’origine è punto di minimo relativo.
Il punto (0, 1) è punto di minimo relativo.
10. Sia
Pieno Schermo
f (x, y) = 2y + x − 2xy − 2y 2 + 4x2 − x3 − 6
allora:
Il punto(3, −1) è di minimo relativo e il punto (0, 21 ) è di sella.
Chiudere
Il punto (3, −1) è di massimo relativo e il punto (0, 12 ) è di minimo relativo.
Il punto (3, −1) è di massimo relativo e il punto (0, 12 ) è di sella.
Uscire
I punti (3, −1) e (0, 12 ) sono entrambi di massimo relativo.
11. Si consideri la funzione:
f (x, y) = −6x2 + 4xy − 9y 2 + 1
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
L’origine è punto di massimo relativo.
L’origine è punto di sella.
L’origine è punto di minimo relativo.
Il punto (1, 0) è punto di minimo relativo.
12. Si consideri la funzione:
f (x, y) = x2 + 4x + y 2 + 8y
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Il punto (−2, −4) è punto di massimo
relativo.
Il punto (−2, −4) è punto di minimo
relativo.
Il punto (2, 4) è punto di sella.
Il punto (2, 4) è punto di minimo relativo.
Quiz n. 7
Per iniziare il quiz cliccare “Inizio Test”. Al termine, per ottenere la valutazione, cliccare su
“Fine Test”.
Rispondere a tutte le domande del quiz. È sempre possibile (prima di cliccare su “Fine Test”)
modificare le proprie risposte.
1. Sia
f (x, y) = 2 + 2x2 + 4xy − y 2 + (2x + y)3 .
Allora l’origine è:
punto di massimo relativo
punto di minimo relativo
punto di sella
non è un punto stazionario
2. Sia
JJ J
f (x, y) = 2 + 5x2 + 4xy + 2y 2 + (2x + y)3 .
I II
Allora l’origine è:
Indietro
punto di massimo relativo
punto di minimo relativo
punto di sella
non è un punto stazionario
3. Sia
f (x, y) = 2 + 6x2 + 4xy + 3y 2 + (2x + y)3 .
Allora l’origine è:
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
punto di massimo relativo
punto di minimo relativo
punto di sella
non è un punto stazionario
4. Sia
f (x, y) = 2 − 2x2 + 4xy − 5y 2 + (2x + y)3 .
Allora l’origine è:
punto di massimo relativo
punto di minimo relativo
punto di sella
non è un punto stazionario
5. Sia
f (x, y) = 1 − 2x2 + 4xy − 4y 2 − (3x − y)3 .
Allora l’origine è:
punto di massimo relativo
punto di minimo relativo
punto di sella
non è un punto stazionario
6. Sia
JJ J
I II
Indietro
f (x, y) = 1 + 3x2 + 4xy + y 2 − (3x − y)3 .
Allora l’origine è:
punto di massimo relativo
punto di minimo relativo
punto di sella
non è un punto stazionario
7. Sia
f (x, y) = 2 + x2 + 4xy − 2y 2 + (2x + y)3 .
Allora l’origine è:
Pieno Schermo
punto di massimo relativo
punto di minimo relativo
punto di sella
non è un punto stazionario
8. Sia
Chiudere
Uscire
f (x, y) = 1 + 4x2 + 4xy + 2y 2 − (3x − y)3 .
Allora l’origine è:
punto di massimo relativo
punto di minimo relativo
punto di sella
non è un punto stazionario
9. Si consideri la funzione
f (x, y) = x3 − 25y 2 + 5y − 15x
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
√ 1
) è un punto di massimo
Il punto (− 5, 10
relativo
√ 1
) è un punto di sella
Il punto (− 5, 10
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
√ 1
Il punto ( 5, 10
) è un punto di minimo
relativo
√ 1
Il punto ( 5, 10
) è un punto di massimo
relativo
Quiz n. 8
Per iniziare il quiz cliccare “Inizio Test”. Al termine, per ottenere la valutazione, cliccare su
“Fine Test”.
Rispondere a tutte le domande del quiz. È sempre possibile (prima di cliccare su “Fine Test”)
modificare le proprie risposte.
1. Determinare il carattere dei punti stazionari della funzione
f (x, y) = −4 ln(xy) + x2 − 3y
JJ J
I II
Indietro
√
√
− 2, − 43 punto di massimo
− 2, − 43 punto di minimo
√ 4
√ 4
√
√
2, 3 punti di massimo
2, 3 punti di minimo.
− 2, − 43 e
− 2, − 43 e
2. Si consideri la funzione
f (x, y) = x3 − 9y 2 + 3y − 9x
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
√
Il punto ( 3, 16 ) è un punto di massimo
relativo
√
Il punto ( 3, 16 ) è un punto di sella
√
Il punto ( 3, 16 ) è un punto di minimo
relativo
√
Il punto (− 3, 16 ) è un punto di minimo
relativo
3. Determinare il carattere dei punti stazionari della funzione
Pieno Schermo
f (x, y) = 2x − 2y 2 + e−2x+3y
Chiudere
Uscire
9 3
8, 4
punto di minimo locale
9 1
8 , 16
9 3
8, 4
punto di sella
9 1
8 , 16
ln 32 punto di minimo locale
− 12 ln 32 punto di sella
−
1
2
4. Determinare il carattere dei punti stazionari della funzione
f (x, y) = 2x + 3y 2 − ln(3x + 2y)
19 2
54 , 9
19
54 , 9
2
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
punto di minimo locale
punto di sella
19 2
54 , 9
2
9 , 54
19
punto di massimo locale
punto di minimo locale
Quiz n. 9
Per iniziare il quiz cliccare “Inizio Test”. Al termine, per ottenere la valutazione, cliccare su
“Fine Test”.
Rispondere a tutte le domande del quiz. È sempre possibile (prima di cliccare su “Fine Test”)
modificare le proprie risposte.
1. Sia f (x, y) =
p
x2 + 3y 2 . Il punto (0, 0) è:
punto di minimo assoluto
punto di massimo assoluto
punto di sella
nessuna delle altre risposte è corretta
2
2
2. Sia f (x, y) = ln x + y . Il punto (0, 0) è:
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
punto di minimo assoluto
punto di massimo assoluto
punto di sella
nessuna delle altre risposte è corretta
2
3. Sia f (x, y) = ln x2 − y . Il punto (0, 0) è:
punto di minimo assoluto
punto di massimo assoluto
punto di sella
nessuna delle altre risposte è corretta
2
2
4. Sia f (x, y) = −5x − 4y . Il punto (0, 0) è:
punto di minimo assoluto
punto di massimo assoluto
punto di sella
nessuna delle altre risposte è corretta
5. Sia f (x, y) = ln(xy). Il punto (0, 0) è:
punto di minimo assoluto
punto di massimo assoluto
punto di sella
nessuna delle altre risposte è corretta
Chiudere
Uscire
Risposte di questa pagina:
6. Sia f (x, y) = 2x2 y 2 . Il punto (0, 0) è:
punto di minimo assoluto
punto di massimo assoluto
punto di sella
nessuna delle altre risposte è corretta
2 2
7. Sia f (x, y) = −3x y . Il punto (0, 0) è:
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
punto di minimo assoluto
punto di massimo assoluto
punto di sella
nessuna delle altre risposte è corretta
Quiz n. 10
Per iniziare il quiz cliccare “Inizio Test”. Al termine, per ottenere la valutazione, cliccare su
“Fine Test”.
Rispondere a tutte le domande del quiz. È sempre possibile (prima di cliccare su “Fine Test”)
modificare le proprie risposte.
1. Data la funzione f (x, y) = 3x + 2y − 4 soggetta al vincolo: g(x, y) = x2 + y 2 − 4 = 0, allora il
massimo vincolato si trova:
Nel primo quadrante
Nel secondo quadrante.
Nel terzo quadrante.
JJ J
I II
2. Data la funzione f (x, y) = 3x + 2y − 4 soggetta al vincolo: g(x, y) = x2 + y 2 − 4 = 0, allora il
minimo vincolato si trova:
Nel primo quadrante
Nel secondo quadrante.
Nel terzo quadrante.
Indietro
Uscire
Nel quarto quadrante.
4. Data la funzione f (x, y) = 2x − 3y + 2 soggetta al vincolo: g(x, y) = x2 + y 2 − 9 = 0, allora il
minimo vincolato si trova:
Nel primo quadrante
Nel secondo quadrante.
Nel terzo quadrante.
Chiudere
Nel quarto quadrante.
3. Data la funzione f (x, y) = 2x − 3y + 2 soggetta al vincolo: g(x, y) = x2 + y 2 − 9 = 0, allora il
massimo vincolato si trova:
Nel primo quadrante
Nel secondo quadrante.
Nel terzo quadrante.
Pieno Schermo
Nel quarto quadrante.
Nel quarto quadrante.
Quiz n. 11
Per iniziare il quiz cliccare “Inizio Test”. Al termine, per ottenere la valutazione, cliccare su
“Fine Test”.
Rispondere a tutte le domande del quiz. È sempre possibile (prima di cliccare su “Fine Test”)
modificare le proprie risposte.
1. La funzione
f (x, y) = −x2 − (y − 2)2
soggetta al vincolo y + 2x = 3
JJ J
I II
ammette minimo assoluto nel punto ( 52 , 11
5 )
ammette massimo assoluto nel punto ( 13 , 73 )
ammette minimo assoluto nel punto ( 13 , 37 )
ammette massimo assoluto nel punto
( 25 , 11
5 )
2. La funzione
f (x, y) = −5y − 3(x − 3)2
soggetta al vincolo y + 3x = 5
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
ammette minimo assoluto nel punto
−23
( 11
2 , 2 )
ammette massimo assoluto nel punto
−23
( 11
2 , 2 )
ammette minimo assoluto nel punto
−55
( 65
6 , 2 )
ammette massimo assoluto nel punto
−55
( 65
6 , 2 )
3. La funzione
f (x, y) = x2 + (y − 2)2
soggetta al vincolo 2y − 5x = 3
5 56
ammette minimo assoluto nel punto ( 29
, 29 )
ammette massimo assoluto nel punto
5 56
( 29
, 29 )
ammette minimo assoluto nel punto
ammette massimo assoluto nel punto
1
1
( −1
,
)
( −1
3 14
3 , 14 )
4. La funzione
f (x, y) = 5y + 2(x − 3)2
soggetta al vincolo 2y − 2x = 5
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
ammette minimo assoluto nel punto ( 14 , 11
4 )
ammette massimo assoluto nel punto
( 41 , 11
4 )
ammette minimo assoluto nel punto ( 74 , 17
4 )
ammette massimo assoluto nel punto
( 47 , 17
4 )
Quiz n. 12
Per iniziare il quiz cliccare “Inizio Test”. Al termine, per ottenere la valutazione, cliccare su
“Fine Test”.
Rispondere a tutte le domande del quiz. È sempre possibile (prima di cliccare su “Fine Test”)
modificare le proprie risposte.
2
1. Si consideri la funzione f (x, y) = e(x−2)
delle seguenti affermazioni è corretta?
+y 2
e la regione S = (x, y) ∈ R2 : 2x − y = 3 . Quale
La funzione non ammette né massimo né minimo in S
La funzione ammette minimo in S in corrispondenza al punto
in S
JJ J
I II
Indietro
La funzione ammette massimo in S in corrispondenza al punto
in S
8 1
5, 5
e non ammette massimo
8 1
5, 5
e non ammette minimo
La funzione ammette minimo in S in corrispondenza al punto (2, 0)
p
2. Si consideri la funzione f (x, y) = x2 + (y − 3)2 e la regione S = (x, y) ∈ R2 : 3x − y = 2 .
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
La funzione non ammette né massimo né minimo in S
Pieno Schermo
La funzione ammette massimo in S in corrispondenza al punto
in S
La funzione ammette minimo in S in corrispondenza al punto
in S
3 5
2, 2
3 5
2, 2
e non ammette massimo
La funzione ammette minimo in S in corrispondenza al punto (0, 3)
Chiudere
Uscire
e non ammette minimo
3
3. Si consideri la funzione f (x, y) = − x2 + (y − 2)2 e la regione S = (x, y) ∈ R2 : 2x − y = 1 .
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
La funzione non ammette né massimo né minimo in S
La funzione ammette massimo in S in corrispondenza al punto
in S
La funzione ammette minimo in S in corrispondenza al punto
in S
6 7
5, 5
6 7
5, 5
e non ammette minimo
e non ammette massimo
La funzione ammette minimo in S in corrispondenza al punto (0, 2)
4. Si consideri la funzione f (x, y) = e−(x−3)
delle seguenti affermazioni è corretta?
2
−y 2
e la regione S = (x, y) ∈ R2 : 3x − y = 1 . Quale
La funzione non ammette né massimo né minimo in S
JJ J
I II
La funzione ammette minimo in S in corrispondenza al punto
in S
La funzione ammette massimo in S in corrispondenza al punto
in S
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
3 4
5, 5
e non ammette massimo
3 4
5, 5
e non ammette minimo
La funzione ammette minimo in S in corrispondenza al punto (3, 0)
5. Si consideri la funzione f (x, y) = ln x2 + (y − 3)2 e la regione S = (x, y) ∈ R2 : 3x − y = 1 .
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
La funzione non ammette né massimo né minimo in S
La funzione ammette massimo in S in corrispondenza al punto 56 , 13
e non ammette
5
minimo in S
La funzione ammette minimo in S in corrispondenza al punto 65 , 13
5 e non ammette massimo
in S
La funzione ammette minimo in S in corrispondenza al punto (0, 3)
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Quiz n. 13
Per iniziare il quiz cliccare “Inizio Test”. Al termine, per ottenere la valutazione, cliccare su
“Fine Test”.
Rispondere a tutte le domande del quiz. È sempre possibile (prima di cliccare su “Fine Test”)
modificare le proprie risposte.
(A) Si consideri la funzione
f (x, y) = 2x2 y + 4x2 + y 2 + 2y
1. l’insieme di definizione è R2
falso
vero
2. La funzione è positiva in ogni punto del dominio
JJ J
I II
falso
vero
3. La funzione non ammette punti stazionari liberi
falso
vero
(B) Si consideri la funzione
x2 + y 2 − 19
f (x, y) = ln 2 − 2
x + y2 − 4
Indietro
p
2x − y + 1.
1. l’insieme di definizione è R2
Pieno Schermo
Chiudere
falso
vero
2. La funzione è positiva in ogni punto del dominio
falso
vero
3. La funzione ammette infiniti punti di minimo assoluto, appartenenti alla retta di equazione
y = 2x + 1, al di fuori del cerchio di equazione x2 + y 2 = 4
falso
Uscire
vero
Soluzioni dei Quiz
Soluzione della domanda 1 del quiz n. 1: Per la funzione
f (x, y) = ln[(y − 2)2 (−x2 + x + 6 + y)]
l’insieme di esistenza è dato dall’unione delle soluzioni dei seguenti sistemi:

2

(y − 2) > 0


(−x2 + x + 6 + y) > 0
oppure
(
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
(y − 2)2 < 0
(−x2 + x + 6 + y) < 0
L’area tratteggiata in figura (la parte di piano al di sopra della parabola y = x2 − x − 6, con
l’esclusione dei punti appartenenti alla retta y = 2) rappresenta proprio l’unione delle soluzioni dei
due sistemi.
Fine Quiz
Soluzione della domanda 2 del quiz n. 1: Per la funzione
s
x + 2y
f (x, y) = log 13
x − 3y
l’insieme di esistenza è dato dalla soluzione del seguente sistema:

x + 2y


>0


x
 − 3y


x + 2y


≥0
log 13
x − 3y
che equivale a:
JJ J
I II

x + 2y


>0
x − 3y
x + 2y


≤1
x − 3y
L’area tratteggiata in figura (la parte di piano compresa tra la retta di equazione y =
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
delle ascisse) rappresenta proprio l’intersezione delle soluzioni delle due disequazioni.
1
x e l’asse
2
Fine Quiz
Soluzione della domanda 3 del quiz n. 1: Per la funzione
p
9 − x2 − y 2 · ln(y + 2x)
f (x, y) =
xy − 1
l’insieme di esistenza è dato dalla soluzione del seguente sistema:

2
2

9 − x − y ≥ 0
y + 2x > 0


xy − 1 6= 0
che equivale a:
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire


x2 + y 2 ≤ 9


y > −2x


y 6= 1
x
L’area tratteggiata in figura (la parte di piano compresa tra la retta di equazione y = −2x e la
circonferenza con centro nell’origine e raggio 3, con l’esclusione dei punti appartenenti all’iperbole
1
di equazione y = ) rappresenta proprio l’intersezione delle soluzioni delle due disequazioni.
x
Fine Quiz
Soluzione della domanda 4 del quiz n. 1: Per la funzione
s
4x2 + y 2 − 4
4 − x2 − y 2
l’insieme di esistenza è dato dall’unione delle soluzioni dei seguenti sistemi:

2
2

4x − y − 4 ≥ 0


4 − x2 − y 2 > 0
oppure
(
4x2 − y 2 − 4 < 0
4 − x2 − y 2 < 0
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
L’area tratteggiata in figura (la parte di piano compresa tra l’ellisse con centro nell’origine e semiassi
lunghi, rispettivamente, 1 e 2, e la circonferenza con centro nell’origine e raggio 2) rappresenta
proprio l’unione delle soluzioni dei due sistemi.
Fine Quiz
Soluzione della domanda 5 del quiz n. 1:
Si ha
(
y − x2 > 0
4 − x2 − y 2 > 0
Il sistema è verificato da tutti i punti compresi tra la parabola di equazione y = x2 e la circonferenza
di equazione
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 6 del quiz n. 1:
Si ha

2

y − x + x + 12 ≥ 0
x 6= 0


y 6= 0
Il sistema è verificato da tutti i punti al di sopra della parabola di equazione y = x2 − x − 12
(compresi i punti lungo il bordo), esclusi gli assi cartesiani.
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 5 del quiz n. 3:
Si ha
∂f
= 4x3 (4x + 3y) + 4x4 = 4x3 (5x + 3y)
∂x
e
∂f
= 3x4
∂y
quindi il gradiente risulta
3
4x (5x + 3y)
∇f =
3x4
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 6 del quiz n. 3:
Si ha
∂f
= 5y 3
∂x
e
∂f
= 3y 2 (5x + 3y) + 3y 3 = 3y 2 (5x + 4y)
∂y
quindi il gradiente risulta
5y 3
∇f =
2
3y (5x + 4y)
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 7 del quiz n. 3:
Si ha
1
2x
∂f
= 2
· 2x = 2
∂x
x + 3y
x + 3y
e
∂f
1
3
= 2
·3= 2
∂y
x + 3y
x + 3y
quindi il gradiente risulta
∇f =
2x x2 +3y
3
x2 +3y
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 8 del quiz n. 3:
Si ha
4
4
∂f
= ex +y ·4x3 = 4x3 ex +y
∂x
e
4
∂f
= ex +y
∂y
quindi il gradiente risulta
"
4
4x3 ex +y
∇f =
4
ex +y
#
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 8 del quiz n. 4:
Si ha
∂f
= 3x2 − 6x
∂x
e
∂f
= 2y − 2
∂y
Il gradiente di f nel punto P (1, 1) risulta
∇f (1, 1) =
−3
0
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 9 del quiz n. 4:
Si ha
∂f
= 3x2 − 12y
∂x
e
∂f
= 3y 2 − 12x
∂y
Il gradiente di f nel punto P (1, 2) risulta
∇f (1, 2) =
−21
0
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 10 del quiz n. 4:
Si ha
∂f
= 2xy 2 + 1 − 2y
∂x
e
∂f
= 2x2 y − 2x
∂y
Il gradiente di f nel punto P (−1, −1) risulta
∇f (1, 2) =
1
0
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 1 del quiz n. 6: Sicuramente si ha det Hf (x0 , y0 ) < 0.
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
00
(x0 , y0 ).
Soluzione della domanda 3 del quiz n. 6: Non si sa il segno di fxx
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Fine Quiz
00
(x0 , y0 ).
Soluzione della domanda 4 del quiz n. 6: Non si sa il segno di fxx
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Fine Quiz
Soluzione della domanda 7 del quiz n. 6:
primo ordine.
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Non si sa se sono soddisfatte le condizioni del
Fine Quiz
Soluzione della domanda 8 del quiz n. 6:
Si ha
∂f
= 2y + 4x
∂x
e
∂f
= 3y 2 − 14y + 12 + 12x
∂y
Il gradiente si annulla in (−2, 4) e in − 21 , 1 .
Inoltre, la matrice Hessiana risulta
4
2
H=
2 6y − 14
Poiché
H(−2, 4) = 36 e
JJ J
I II
∂2f
>0
∂x2
il punto (−2, 4) è di minimo per f .
Inoltre, poiché
1
H − , 1 = −36
2
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
il punto − 12 , 1 è di sella.
Fine Quiz
Soluzione della domanda 1 del quiz n. 10:
Usando il metodo delle curve di livello si ottiene:
3x + 2y − 4 = k
k
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
s
cr e
ti
cen
Fine Quiz
Soluzione della domanda 2 del quiz n. 10:
Usando il metodo delle curve di livello si ottiene:
3x + 2y − 4 = k
k
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
s
cr e
ti
cen
Fine Quiz
Soluzione della domanda 3 del quiz n. 10:
Usando il metodo delle curve di livello si ottiene:
2x − 3y + 2 = k
ti
cen
I II
r es
kc
JJ J
Fine Quiz
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 4 del quiz n. 10:
Usando il metodo delle curve di livello si ottiene:
2x − 3y + 2 = k
ti
cen
I II
r es
kc
JJ J
Fine Quiz
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 1 del quiz n. 11:
Sostituendo y = 3 − 2x nell’espressione della funzione si ottiene la funzione di una variabile g(x) =
f (x, 3 − 2x) = −x2 − (1 − 2x)2 = −5x2 + 4x − 1 il cui grafico è una parabola con concavità rivolta
verso il basso e vertice in x = 2/5. Quindi la funzione g ha un punto di massimo in x = 2/5.
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 2 del quiz n. 11:
Sostituendo y = 5 − 3x nell’espressione della funzione si ottiene la funzione di una variabile g(x) =
f (x, 5 − 3x) = −5(5 − 3x) − 3(x − 3)2 = −3x2 + 33x − 52 il cui grafico è una parabola con concavità
rivolta verso il basso e vertice in x = 11/2. Quindi la funzione g ha un punto di massimo in
x = 11/2.
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 3 del quiz n. 11:
Sostituendo y = 25 x + 32 nell’espressione della funzione si ottiene la funzione di una variabile g(x) =
2
5
1
2
f x, 52 x + 32 = x2 + 52 x − 12 = 29
4 x − 2 x + 4 il cui grafico è una parabola con concavità rivolta
verso l’alto e vertice in x = 5/29. Quindi la funzione g ha un punto di minimo in x = 5/29.
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 4 del quiz n. 11:
Sostituendo y = x + 52 nell’espressione della funzione si ottiene la funzione di una variabile g(x) =
61
2
2
f x, x + 52 = 5x + 25
2 + 2(x − 3) = 2x − 7x + 2 il cui grafico è una parabola con concavità rivolta
verso l’alto e vertice in x = 7/4. Quindi la funzione g ha un punto di minimo in x = 7/4.
Fine Quiz
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 1 del quiz n. 13:
La funzione è razionale intera, per cui il dominio è costituito da tutti i punti di R2 .
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Fine Quiz
Soluzione della domanda 2 del quiz n. 13:
La funzione può essere fattorizzata come segue:
f (x, y) = (y + 2)(y + 2x2 )
Essa è positiva per:


(y + 2) > 0

 2
(2x + y) > 0
oppure
(
(y + 2) < 0
(2x2 + y) < 0
L’area tratteggiata nella figura rappresenta proprio l’unione delle soluzioni dei due sistemi.
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Fine Quiz
Uscire
Soluzione della domanda 3 del quiz n. 13:
Si ha:
∂f
= 8x + 4xy
∂x
∂f
= 2y + 2x2 + 2
∂y
Il gradiente si annulla nei seguenti punti:
A(0, −1); B(1, −2); C(−1; −2)
La matrice Hessiana risulta:
4y + 8
H=
4x
4x
2
In corrispondenza dei punti precedentemente determinati si ha:
JJ J
I II
• A(0,-1): Det(H) = 8;
∂f
= 4 ⇒ A è punto di minimo;
∂x
• B(1,-2): Det(H) = −16 ⇒ B è punto di sella;
Indietro
• C(-1,-2): Det(H) = −16 ⇒ C è punto di sella.
Fine Quiz
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 4 del quiz n. 13:
L’insieme di definizione è tratteggiato in figura: sono compresi i punti sulla retta ed esclusi quelli
sulla circonferenza.
y
x2 + y 2 = 4
x
y = 2x + 1
JJ J
I II
e si ottiene risolvendo il sistema


2 −
Indietro


Pieno Schermo
x2 +y 2 −19
x2 +y 2 −4
>0
2x − y + 1 ≥ 0
che è equivalente a
(
x2 + y 2 − 4 > 0
2x − y + 1 ≥ 0
Fine Quiz
Chiudere
Uscire
Soluzione della domanda 5 del quiz n. 13:
15
> 0 e quindi per ogni punto
+ y2 − 4
dell’insieme di definizione, tranne che sui punti della retta di equazione y = 2x + 1, su cui la
funzione è nulla.
Fine Quiz
La funzione è positiva se 2 −
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire
x2 +y 2 −19
x2 +y 2 −4
> 1, cioè se
x2
Soluzione della domanda 6 del quiz n. 13:
Dalla discussione del punto precedente si deduce che i punti di minimo sono i punti della retta di
2
2
equazione y = 2x
√ + 1 al di fuori del
√ cerchio di equazione x + y = 4 e quindi i punti su tale retta
2
19
2
19
con x < − −
ex>− +
.
Fine Quiz
5
5
5
5
JJ J
I II
Indietro
Pieno Schermo
Chiudere
Uscire

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