Rappresentazione Ingresso-Uscita

Trasformata di Laplace
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TRASFORMAZIONI
Le trasformazioni in matematica sono spesso utilizzate per aggirare le rilevanti difficoltà che si presentano nello
svolgere direttamente i calcoli richiesti. Per esempio:

nella esecuzione di calcoli come prodotti e divisioni

nella risoluzione di equazioni come quelle biquadratiche e differenziali.
Un prodotto è convertito in somma mediante la trasformazione Logaritmo. Il percorso della trasformazione è più
lungo, ma meno difficoltoso.
Una equazione biquadratica è risolvibile con una semplice sostituzione:
1
Trasformata di Laplace
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Una equazione differenziale lineare si può risolvere più facilmente con delle opportune trasformazioni.

Se le variabili di ingresso sono sinusoidali e interessa la soluzione a regime si può ricorrere alla
trasformazione di Steinmetz: (proposta per risolvere i circuiti elettrici in corrente alternata)
Osservazioni: questa trasformazione


non fornisce informazioni sul funzionamento durante il transitorio in quanto
presuppone che l’ingresso sinusoidale sia applicato da talmente tanto tempo da essersi
esauriti tutti i transitori

ha permesso, se non la comparsa, certamente una migliore gestione del concetto di
impedenza (che non esiste nel dominio del tempo).
Per le variabili di ingresso che hanno andamenti generici e sono nulle per t <= 0 è stato elaborato un
procedimento noto col nome di Trasformata di Laplace
Osservazione:
La soluzione descrive il funzionamento del circuito a partire da t = 0, comprendendo quindi
oltre al regime, anche il transitorio (in quanto si segue l’ingresso sin dalla sua prima
applicazione al sistema: cioè per t >= 0).
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TRASFORMAZIONE DI LAPLACE
Alcune trasformate:
L k  t  e a t  
k
s  a 2
Trasformata della derivata:
L  df ( t )  = s  F(s)  f (0)
 dt 
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ANTITRASFORMAZIONE DI LAPLACE
Data una funzione di Laplace F(s), si definiscono:

zeri di F(s) i valori di s che annullano il numeratore

poli di F(s) i valori di s che annullano il denominatore.
Antitrasformazioni immediate:

F(s) 

F(s) 

F(s) 
6
s
f (t)  6
5
s
f (t) 
3
6
s2
5 2
t
2
f ( t )  6  e 2t
Antitrasformazioni per fratti semplici:
Esempio:
F(s) 
s4
2
s s2
calcolare: f(t)
Una funzione razionale (rapporto tra polinomi) può essere scomposta in somma di fratti semplici:
Da cui è immediata la antitrasformazione:
f ( t )  R 1  e s1 t  R 2  e s 2 t
4
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Quindi:

calcolo dei poli di F(s):
risulta: s1 = 2,

calcolo dei residui relativi ai poli:
s2 = - 1.
conviene scrivere il denominatore di F(s) come prodotto di binomi:
F(s) 
s4
s4

s  s1  s  s 2  s  2 s  1


 s4 
s4
24
R 1  s  s1  

2

 
s  s1  s  s 2  ss1  s   1 s2 2  1



s4
1 4
s  4
R 2  s  s 2  


 1


s  s1  s  s 2  s s 2  s  2  s 1  1  2

Infine:
Esercizio:
F(s) 
2
1

s  2 s 1
F(s) 
5
(s  2)  (s  3)
da cui:
f ( t )  2  e 2t  e 1t
f ( t )  5  e 2t  5  e 3t
5
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Esercizio:
F(s) 
Esercizio:
F(s) 
Esercizio:
F(s) 
1
s2
f (t) 
2  s2  s 1
1
11
f ( t )   e  t   e  4t  3  e  2t
3
3
s2  2  s  2
3
2
s  7  s  14  s  8
s 1
s2  5  s
5 2 t 1 1t
e  e
6
3
f (t) 
1 4 5t
 e
5 5
6
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F(s) 
Esercizio:
4s  2
s(s  3)
2

R3
R1 R 2


s s  3 (s  3) 2
NB:


il calcolo dei residui R2 e R3 non è più possibile con le formule viste in precedenza, occorre introdurre
delle variazioni, oppure seguire un altro metodo;
mentre R1 può essere calcolato senza problemi:

4s  2 
2
R 1  s 

2
9
s
(
s

3
)

 s  0

isolatamente:

oppure insieme a R2 e R3.
Calcolo dei residui R2 e R3:
F(s) 
4s  2
s(s  3) 2

R3
(R 1  R 2 )  s 2  (6R 1  3R 2  R 3 )  s  9R 1
R1 R 2



s s  3 (s  3) 2
s(s  3) 2
 R1  R 2  0

6R 1  3R 2  R 3  4
 9R  2
1

2

R 2   9

10
 R3 
3

R  2
1
9

Risultato: f ( t ) 
Esercizio: F(s) 
2 2  3t 10
  e   t  e3t
9 9
3
2
s(s  3) 2

R3
(R 1  R 2 )  s 2  (6R 1  3R 2  R 3 )  s  9R 1
R1 R 2



s s  3 (s  3) 2
s(s  3) 2
Calcolo dei residui:
 R1  R 2  0

6R 1  3R 2  R 3  0
 9R  2
1

Risultato:
f (t) 
2

R 2   9

2
R 3  
3

R  2
1
9

2 2 3 t 2
  e   t  e 3 t
9 9
3
Osservazione: un numeratore di F(s) diverso si riflette solo in residui diversi.
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Antitrasformazione in presenza di poli complessi coniugati:
Se i poli sono complessi coniugati, tali risultano anche i residui:
Esercizio:
F(s) 
s 1
Poli:
2
s  4  s  13
F(s) 
Quindi:
s1  2  j  3
s 2  2  j  3
R1
R2

s   2  j3 s   2  j3
Residui:


s 1
 2  j3  1
 1  j3  1  j3   j6 1
1
R 1  s  s1  



 j

s  s1  s  s 2  ss1  2  j3  2  j3
j6
36
2
6



s 1
 2  j3  1
 1  j3  1  j3   j6 1 1
R 2  s  s 2  



 j

s  s1  s  s 2  ss2  2  j3  2  j3  j6
36
2 6

Calcolo k:
2
2
5
1 1
k      
 0.527
18
2 6


Fase R1:   arctg



1

6   0.322 rad
1

2
f ( t )  2  0.527  e 2t  cos3  t  0.322
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Trasformata di Laplace
Esercizio:
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F(s) 
2
s2  2  s  5
Poli:
s1  1  j  2
Residui: R 1   j  0.5
s 2  1  j  2
R 2  j  0.5
k  0 .5
  - 90


f ( t )  2  0.5  e  t  cos 2  t  
2

Esercizio:
F(s) 
s2
2
s  2s  5
Poli:
s1  1  j  2
Residui: R 1  0.5  j  0.25
k  0.56
s 2  1  j  2
R 2  0.5  j  0.25
  - 0.464 rad
f ( t )  2  0.56  e  t  cos2  t  0.464
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SOLUZIONE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Esempio:
Circuito RL
Equazione differenziale del circuito:
Trasformazione:
Da cui:
I ( s) 
L di (t )
e(t )

 i (t ) 
R dt
R
L
E (s)
 s  I ( s )  i (0)   I ( s ) 
R
R
1
L  i (0)
 E ( s) 
sL  R
sL  R
Per la antitrasformazione occorre definire la forma d’onda del segnale di ingresso e(t):
Esempio:
ipotesi:
e(t) = k costante,
Risulta:
I(s) 
k
L  i ( 0)

s  sL  R  sL  R
Infine:
i( t ) 
t
t
 

k 
1  e    i ( 0)  e 

R


quindi:
E (s) 
k
s
E (s) 
k
s
Circuito RC
Equazione differenziale:
Trasformazione:
Da cui:
RC 
dvC (t )
 vC (t )  e(t )
dt
RC  s  VC (s)  v C (0)   VC (s)  E (s)
VC (s) 
RC  v C (0)
1
 E(s) 
1  sRC
1  sRC
ipotesi:
e(t) = k costante,
Infine:
t
t

 

v C ( t )  k   1  e    v C ( 0)  e 




quindi:
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Scomposizione della risposta del sistema
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RISPOSTA FORZATA E RISPOSTA LIBERA
La risposta di un sistema si può scomporre in:


y ( t )  y FORZATA ( t )  y LIBERA ( t )
Componente FORZATA: componente della risposta che dipende direttamente dall’azione forzante,
cioè dall’ingresso (corrisponde alla risposta del sistema quando quest’ultimo è, nell’istante iniziale,
allo stato zero)
Componente LIBERA: componente della risposta che non dipende direttamente dall’ingresso (è la
risposta che il sistema produce nonostante l’ingresso sia nullo; è diversa da zero solo se il sistema
ha accumulato energia in precedenza)
Esempio: circuito RL, ingresso x(t) = e(t) = k
Esempio: circuito RC, ingresso e(t) = k
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Rappresentazione Ingresso - Uscita
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FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
La scomposizione in componente forzata e componente libera della risposta di un sistema è possibile anche nel
dominio di Laplace:
Y (s )  YFORZATA (s )  YLIBERA (s )
E (s) 
Esempio: circuito RL, ingresso e(t) = k
k
s
L
Ipotesi: componente libera nulla, cioè i(0) = 0
Il rapporto
quindi:
I(s)  I FORZATA (s) 
1
 E(s)
sL  R
I(s) I FORZATA (s)
1


 H (s)
E (s)
E (s)
sL  R
rappresenta la funzione di trasferimento del sistema; essa:


In generale:
H (s) 
dipende solo dai parametri del sistema (R, L), ed
esprime il rapporto tra la componente forzata dell’uscita e l’ingresso, nel
dominio di Laplace.
YF (s)
X (s)
Questa relazione è importante in quanto conoscendo H(s) è possibile ricavare la componente forzata
dell’uscita:
YF (s )  H (s )  X (s )
NB: La funzione di trasferimento nasce all’inizio degli anni ’40 del ‘900 nell’ambito di ricerche volte a rappresentare il
funzionamento di sistemi lineari con blocchi interconnessi.
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Rappresentazione Ingresso - Uscita
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ALGEBRA DEGLI SCHEMI A BLOCCHI
Serie (cascata):
Parallelo:
Retroazione:

Positiva

Negativa
Sovrapposizione degli effetti:
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Calcolo delle funzioni di trasferimento dei componenti elettrici elementari
RESISTORE
i( t ) 
e( t )
R
I ( s) 
E ( s) 1
  E ( s)
R
R
H (s ) 
I (s ) 1

E (s ) R
la funzione di trasferimento è una conduttanza.
INDUTTORE
L’uscita i(t) è espressa come incognita di una equazione
differenziale.
di( t )
dt
e( t )  L
E(s)  sL  I(s)
I ( s) 
1
 E ( s)
sL
H(s) 
I(s)
1

E(s) sL
sL rappresenta l’impedenza induttiva in regime generico, per cui
la funzione di trasferimento è una ammettenza.
CONDENSATORE
i( t )  C
de( t )
dt
v C (t )
I(s)  sC  E(s)
H(s) 
I(s)
 sC
E(s)
1/sC rappresenta l’impedenza capacitiva in regime generico, per cui la
funzione di trasferimento è una ammettenza.
NB

Le funzioni di trasferimento devono sempre presentare un denominatore di grado superiore al
numeratore. In caso contrario esse non descrivono in modo completo il funzionamento del sistema in
tutto l’intervallo di frequenza

La risoluzione dei circuiti elettrici può essere svolta utilizzando le leggi dell’elettrotecnica.
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Rappresentazione Ingresso - Uscita
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Relazione Poli - Costanti di tempo
Esempio:
Le costanti di tempo e i poli della fdt sono in relazione reciproca.
ingresso e(t), uscita i(t), calcolo della costante di tempo
Si tratta di un sistema del 1° ordine, quindi con una sola
costante di tempo.
Occorre calcolare la funzione di trasferimento.
H(s) 
La costante di tempo corrisponde a:
I(s)
1
1


E (s) Z(s) sL  R

polo di H(s):
s
R
L
1
L

polo
R
ESERCIZI

Esercizio: Calcolare l’espressione della costante di tempo (Ingresso: e(t))
H(s) 
I(s)
1

E (s) Z(s)
Polo si H(s):
Costante di tempo:
Z(s) 
s

sLR 1  R 2   R 1  R 2
sL  R 2
R1  R 2
L  R 1  R 2 
LR 1  R 2 
R1  R 2

Esercizio: Calcolare l’espressione della costante di tempo (Ingresso: e(t))
  RC
H(s) 
sR 1R 2 C  R 1  R 2
sR 2 C  1

R 1R 2 C
R1  R 2

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Rappresentazione Ingresso - Uscita
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Esercizio: Calcolare la corrente I(s) nel dominio di Laplace:
I(s) 
E(s)
sC
 E(s)  2
Z(s)
s LC  sRC  1
I(s) 
E(s)
sC  (sL  R )
 E(s)  2
Z(s)
s RLC  sL  R
I(s) 
E(s)
sRC  1
 E(s)  2
Z(s)
s RLC  s  L  R
I(s) 
s 2 R 2 LC  s  (L  R 1R 2 C)  R 1  R 2
E(s)
 E(s) 
Z(s)
s 2 R 1R 2 LC  sR 1L  R 1R 2

Esercizio: Calcolare la corrente I(s) e la tensione VC(s) nel dominio di Laplace:
VC (s)  E(s) 
I(s)  E(s) 
s  L2  R 2
s CL1L 2  s C(L1R 2  L 2 R1 )  s  (R1R 2C  L1  L 2 )  R1  R 2
3
2
s 2 L 2C  s  R 2C  1
s CL1L 2  s C(L1R 2  L 2 R1 )  s  (R1R 2C  L1  L 2 )  R1  R 2
3
2

Esercizio: Calcolare la tensione VC(s) nel dominio di Laplace:
VC (s) 
 E(s) 
s 2  L 2 R1C  s  R1R 2 C  R1
s 3CL1L 2  s 2 C(L1R 2  L 2 R1  L1R1 )  s  (R1R 2 C  L1 )  R1

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