limiti : forme indeterminate

FORME INDETERMINATE
Nel calcolo di limiti , rappresentano
soluzioni non determinate. Esse sono:
!
!
+! " !
0i!
!
1
0
0
0
0
!
0
PER “TOGLIERE L’INDETERMINAZIONE”
uso procedimenti che dipendono dai vari casi
TUTORIAL DELLA PROF.SSA PAOLA BARBERIS - agg. 2014
F. RAZIONALE INTERA: Forma Ind
lim x 3 # 2x 2 + x # 4
x!+"
sostituisco
=
+ " # " + " # 4 = +" # "
+∞- ∞
Forma Indeterminata
I METODO Per eliminare l’indeterminazione: RACCOLGO la X di grado max
2
$
2x
x 4'
3
lim x &1# 3 + 3 # 3 )
x !+"
x x (
% x
raccolgo x3 e,dentro la parentesi,
divido i monomi per x3
$
2
1
4'
lim x &1# + 2 # 3 )
x !+"
%
x x
x (
IMPORTANTE : dentro la parentesi
DEVO SEMPLIFICARE
E poi “ passo a l limite “ sostituendo
3
$
2
1
4 '
= (+!) " &1#
+
#
) = +! " (1# 0 + 0 # 0) = +!
% +! +! +! (
II METODO ( VELOCE) : considero INFINITO DI ORDINE SUPERIORE*
3
lim x # 2x + x # 4 = lim x = (+") = +"
3
Il
x!+"
2
3
3
x!+"
* La x con esponente più alto
Es1) F. IND. +∞- ∞
lim " 8x " 2x + 7
5
2
x!"#
sostituisco
=
lim " 8x 5 " 2x 2 + 7
x!"#
+ # " # + 7 = +# " #
I METODO : RACCOLGO LA X DI GRADO MASSIMO (x5)
2
$
2x
7'
2
7'
5
5$
lim x &"8 " 5 + 5 ) = lim x &"8 " 3 + 5 ) =
x !"#
x
x ( x !"# %
x
x (
%
Ora “passo al limite” (sostituendo) e ottengo:
= (!") # (!8 ! 0 + 0) = !" # (!8) = +"
5
II METODO ( VELOCE) : considero INFINITO DI ORDINE SUPERIORE
lim " 8x " 2x + 7 = lim " 8x = "8("#) = "8("#) = +#
5
x!"#
2
5
x!"#
5
Es2) F. IND +∞- ∞
lim 2x + 5x + x + 3
4
2
x!"#
lim 2x + 5x + x + 3 = +# + # " # + 3 = +# " #
4
2
x !"#
I METODO: RACCOLGO LA X DI GRADO MASSIMO (x4)
$ 5x 2 x 3 '
lim x &2 + 4 + 4 + 4 ) =
x !"#
x
x x (
%
5 1 3'
4$
lim x &2 + 2 + 3 + 4 ) =
x !"#
% x x x (
4
semplifico
dentro la parentesi.
Ora “passo al limite” e
sostituisco -∞ al posto della x
= (!") # (2 + 0 + 0 + 0) = +" # 2 = +"
4
II METODO ( VELOCE) : considero INFINITO DI ORDINE SUPERIORE
lim 2x + 5x + x + 3 = lim 2x = 2("#) = +#
4
x!"#
2
4
x!"#
4
∞/∞ FUNZIONE RAZIONALE FRATTA
x 3 + 3x 2 # 2 "
lim 2
=
x !+" x # 7x # 4
"
I METODO:
RACCOLGO
LA X DI
GRADO MAX
II METODO
veloce
CONSIDERO
INFINITI
ORDINE SUP
% 3x 2 2 (
% 3 2(
x # '1+ 3 $ 3 *
x1 # '1+ $ 3 *
1
x
x )
&
& x x ) (+") # (1+ 0 $ 0)
lim
= lim
=
= +"
x !+"
x
!+"
%
(
%
(
7x 4
7 4
1# (1$ 0 $ 0)
x 2 # '1$ 2 $ 2 *
1# '1$ $ 2 *
& x
& x x )
x )
3
x + 3x # 2
x
x
lim 2
! lim 2 = lim = +"
x!+" x # 7x # 4
x!+" x
x!+" 1
3
2
3
REGOLA PRATICA
Se gradoNUM > gradoDEN il risultato è infinito ∞
Il
Se gradoNUM
= gradoDEN il risultato è finito l
Se gradoNUM < gradoDEN il risultato è zero 0
Es 1: FORMA IND ∞/∞
9x + 3x + 7 "
lim
=
2
x!+" 5x + 6x # 1
"
2
I METODO:
RACCOLGO
LA X DI
GRADO MAX
$
x # &9 +
%
lim
x !+"
2 $
x # &5 +
%
2
$
3x
7 '
+ 2)
1# & 9 +
2
%
x
x (
= lim
6x
1 ' x !+" $
* 2)
1# & 5 +
2
%
x
x (
PASSANDO AL LIMITE
LE FRAZIONI CON DEN INFINITO
TENDONO A 0
II METODO:
CONSIDERO
INFINITI
Il
ORDINE SUP
GradoNUM=gradoDEN
3
7'
+ 2)
x
x (
=
'
6
1
* 2)
x
x (
1! ( 9 + 0 + 0 ) 9
=
=
1! ( 5 + 0 " 0 ) 5
9x + 3x + 7
9x
9 9
lim 2
! lim 2 = lim =
x!+" 5x + 6x # 1
x!+" 5x
x!+" 5
5
2
2
Es 2: FORMA IND. ∞/∞
"x + 4x + 2 #
lim 5
=
x!"# 3x " 7x + 4
#
3
2
I METODO:
RACCOLGO LA X
DI GRADO
MAGGIORE
GRADO DEL NUMERATORE
MINORE DI QUELLO DEL
DENOMINATORE
2
%
4x
2(
4 2(
3
%
x $ ' "1 + 3 + 3 *
1$ ' "1 + + 3 *
x
x )
&
&
x x )
lim
= lim
=
x!"#
x!"#
7x 4 (
7 4(
5 %
2 %
x $' 3" 5 + 5 *
x $' 3" 4 + 5 *
&
)
&
x
x
x x )
1! ( "1 " 0 " 0 )
"1
"
=
=
=
0
("#)2 ! ( 3 " 0 " 0 ) +#
II METODO:
CONSIDERO
INFINITI
Il ORDINE
SUPERIORE
"x
"1
"1
"1 "
lim 5 = lim 2 =
=
=0
2
x!"# 3x
x!"# 3x
3("#) +#
3
∞/∞ METODO VELOCE
RAPPORTO FRA INFINITI DI ORDINE SUPERIORE
cioè le x di grado maggiore. Esempi:
+4x + x # 1
+4x
+4
+4
+4 #
lim
! lim
= lim
=
= =0
4
4
x!+" #9x + 7
x!+" #9x
x!+" #9x
#9(+") #"
3
a)
2
3
2x " 5x + 1
2x
2x
2("#)
b) lim
! lim
=
=
= "#
x!"#
x!"# +8x
"2 + 8x
8
8
4
4
3
3
c)
4 # 7x
#7x
#7
lim 3
! lim 3 =
= #7
x!+" x + 2x
x!+" x
1
d)
6x 3 + x + 1
6x 3
3
3
3
"
Il
lim
!
lim
=
!
=
=
0
x!"# "2x 5 + x " 2
x!"# "2x 5
"x 2 "("#)2 "(+#)
3
3
0/0 FUNZIONE RAZIONALE FRATTA
x " 4x + 3x 0
lim
=
2
x!3
x "9
0
3
2
Forma INDETERMINATA
SCOMPONGO NUMERATORE e DENOMINATORE
o con le regole di scomposizione (se possibile)
o con Ruffini (sempre possibile con K= valore a cui tende x )
x(x " 3)(x + 1)
x(x + 1) 12
lim
= lim
=
=2
x! 3 (x + 3)(x " 3)
x! 3 (x + 3)
6
Otterrò sempre un FATTORE
Ilche SI SEMPLIFICA, in questo caso (x-3),
“MANDANDO VIA” L’INDETERMINAZIONE
Es 1 -
FORMA IND: 0/0
x3 + 4x2 + 4x 0
lim 2
=
x !2
x " 3x + 2
0
Forma INDETERMINATA
SCOMPONGO NUMERATORE e DENOMINATORE
x(x " 2)
x(x " 2) 0
lim
= lim
= =0
x !2 (x " 2)(x "1)
x !2 (x "1)
1
2
IL FATTORE (x-2) SI SEMPLIFICA
Il
E “MANDA VIA” L’INDETERMINAZIONE
2- FORMA IND: 0/0
Es
x 3 " 2x 2 " 32 0
lim
=
2
x !4
x " 3x " 4
0
Forma INDETERMINATA
SCOMPONGO con RUFFINI [ k=4 ]
e poi semplifico (x-4)
1
K=4
1
-2
0
-32
4
8
+32
2
8
0
1
K=4
1
-3
-4
4
4
1
0
(x " 4)(x + 2x + 8)
x + 2x + 8 32
lim
= lim
=
x !4
x !4
(x " 4)(x + 1)
(x + 1)
5
2
Il
2
Es
3 - FORMA IND: 0/0
x 4 " x 2 " 12 0
lim 5
=
x! "2 x + x + 34
0
Forma INDETERMINATA
SCOMPONGO con RUFFINI e poi semplifico
1
K=-2
0
-2
1
-2
-1
+4
+3
0
-12
-6
+12
-6
0
1
K=-2
1
0
0
0
1
+34
-2
4
-8
+16
-34
-2
4
-8
+17
0
(x + 2)(x " 2x + 3x " 6)
28
lim
="
4
3
2
x!"2 (x + 2)(x " 2x + 4 x " 8x + 17)
81
3
Il
2

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