Esercizi sul calcolo dei limiti di funzioni.

Corso di Analisi Matematica T-1
Ingegneria Edile, Anno Accademico 2014/15
M. Manfredini
LIMITI DI FUNZIONI: prima parte
Calcolare i seguenti limiti (qualora esistano) utilizzando eventualmente le stime
asintotiche:
senx ∼ x;
1 − cosx ∼
senx = x + o(x) per
x → 0;
x2
x2
; cosx = 1 −
+ o(x2 ) per x → 0;
2
2
ex − 1 ∼ x; ex = 1 + x + o(x) per x → 0;
log(x + 1) ∼ x; log(x + 1) = x + o(x) per x → 0.
Per ogni α ∈ R si ha:
(1 + x)α − 1 ∼ αx; (1 + x)α = 1 + αx + o(x) per x → 0 (α ∈ R \ N)
(log x)α
= 0 ∀β > 0,
x→+∞
xβ
lim
lim |x|β (log |x|)α = 0 ∀β > 0,
x→0
(log x)α = o(xβ ) per x → +∞;
(log |x|)α = o(
1
) per x → 0;
|x|β
xα
= 0 ∀a > 1,
xα = o(ax ) per x → +∞.
x→+∞ ax
(Si ricorda che ´e possibile usare l’∼ solo con prodotti e quozienti)
lim
e5x − 1
e5x − 1
e5x − 1
log(x + 5); 2) lim
; 3) lim
;
x→0
x→+∞
x→−∞
x
x
x
1) lim
x sin x
ecos x − e
ex − 1
4) lim+
; 5) lim
; 6) lim
;
x→0 1 − cos x
x→0
x→0
x
x2
2
log(cos x) x+2
(1 + x)13 − 1
log(1 + sin x)
√ ; 8) lim
7) lim+ √
e ; 9) lim+
;
2
+
x→0
x→0
x→0
x
sin x
x sin x
2
esin x − 1
sin(x + x4 )
sin(x2 )
; 11) lim
;
12)
lim
;
10) lim+
x→0 log(1 + 3x2 )
x→0
x→0 cos x − 1
x3 − x
Soluzioni: 1) 5 log 5; 2) +∞; 3) 0; 4)0; 5) 2; 6)− 2e ; 7) 13; 8) − 21 e2 ; 9) 1 ; 10)-2 ; 11) 13 ; 12) -1
√
√
x − 1 − x2 + 2x − 3
x3 − x2 + x
x3 − x2 + x
√
1) lim
; 2) lim
;
3)
lim
;
x→1
x→0
x→−∞ x5 + 6x + 4
x5 + 6x
(x − 1)(x + 2)
x3 − x2 + x
x3 − senx
sen(2x) + x + x4
;
5)
lim
;
6)
lim
;
x→−∞ 2x3 + 6x + 4
x→+∞ x3 + cosx
x→0+
x5 − 6x
4) lim
1
cos(3x) − 1 + x4
log(1 + x) + x
; 8) lim √
; 9) lim x(e x − 1);
2
x
2
5
x→0 e
x→0
x→+∞
− 1 + 2x + x
1+x−1
7) lim
√
√
senx
esenx + 3x + x2
; 12) lim ( 1 + x2 − 1 + x); 13) lim+
;
x→0 tan(2x)
x→+∞
x→0
log(1 + x)
11) lim
15) lim+
x→0
1
1
cos2 x − 1 + 2x2
; 16) lim+ xsenx ; 17) lim x 1−x ; 18) lim+ (cosx) x ; 19) lim (xcosx).
x
2
2
x→1
x→+∞
x→0
x→0
e (sen x + x )
g(x) )
(Gli esercizi 16)-18) sono del tipo f (x)g(x) con f > 0, scrivere f (x)g(x) = elog(f (x)
eg(x) log(f (x)) ).
20) lim x2 log
x→+∞
=
√
√
x+2
log(x + 5) − log 5
4
; 21) lim
; 22) lim ( x2 + x − x4 + x3 ).
x→0
x→+∞
x+1
x
23) lim+
x→0
sin2 (x2 + x3 ) + 2x4
;
x4 + x5
Soluzioni: 1) −1
; 2) 16 ; 3) 0; 4) 13 ; 5) 1; 6) − 21 ; 7) − 32 ; 8) 4; 9) 1; 11) 21 ;
12) +∞;
3
1
1
1
1
13) +∞; 15) 2 ; 16) 1; 17) e ; 18) 1; 19) non esiste; 20) +∞; 21) 5 ; 22) 4 ; 23) 3

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