Teoremi 1 Teorema di Tellegen Dato un insieme di tensioni e di correnti compatibili col grafo (che soddisfano rispettivamente le LKT e le LKC), la sommatoria, della tensione di lato per le correnti di lato è sempre nulla. 2 1 1 2 3 3 4 4 5 LKC LKT V1 + V2 − V3 = 0 V4 + V5 − V3 = 0 nodo 1 I1 + I 3 + I 5 = 0 nodo 2 - I1 + I 2 = 0 nodo 3 I 4 + I 2 + I3 = 0 Grafo della rete PRESCINDE DAI SUOI COMPONENTI Nel caso particolare in cui V e I siano le tensioni e le correnti di lato Tellegen si riduce al principio di conservazione dell’energia V e I scelte arbitrariamente, purché soddisfino le LK V1 ' = 2 V2 ' = −1 V3 ' = 1 V4 ' = 4 V5 ' = −3 I1 ' = 1 I 2 ' = 1 I 3 ' = −3 I 4 ' = 2 I 5 ' = 2 V1 ' ' = 2 V2 ' ' = 1 V3 ' ' = 3 V4 ' ' = 1 V5 ' ' = 2 I1 ' ' = 2 I 2 ' ' = 2 I 3 ' ' = −3 I 4 ' ' = 1 I 5 ' ' = 1 ∑V ' I ' = 0; ∑V ' ' I ' ' = 0; ∑V ' I ' ' = 0; ∑V ' ' I ' = 0; i =1:5 i i i =1:5 i i i =1:5 i i i =1:5 i i 2 Sovrapposizione degli effetti Per un sistema fisico lineare, per il quale cioè causa ed effetto sono in relazione lineare, si può affermare che l’effetto complessivo dovuto a più cause è uguale alla somma degli effetti che ciascuna causa determina singolarmente. La corrente in un lato della rete dovuta all’azione di n elementi attivi è la somma algebrica delle correnti circolanti nello stesso lato dovute agli elementi attivi agenti separatamente. La differenza di potenziale tra due punti delle rete è la somma algebrica delle differenza di potenziale tra gli stessi punti dovute agli elementi attivi agenti separatamente. 3 N.B. Quando si considera agente nella rete un solo generatore, ¾i generatori di tensione devono essere in cortocircuito (E=0) ¾i generatori di corrente devono essere aperti (I=0) 8Ω 4Ω 6V 8Ω 4Ω 4 ⋅8 V1 = 3 = 8V 4+8 V1 3A V 6V V = V1 + V2 = 10V NON VALE PER LE POTENZE 3A 8Ω 4Ω V2 4 V2 = 6 = 2V 4+8 4 Teorema di Thevenin Data una rete accessibile da 2 morsetti, formata da generatori e resistori lineari, ai fini della corrente che circola in un suo tronco o della tensione ai suoi capi, è sempre possibile schematizzare la restante rete con un solo generatore ideale di tensione VTh con in serie una resistenza RTh A Rete attiva lineare tronco B A VTh RTh B RTh Resistenza relativa alla stessa rete disattivata tronco Vth tensione a vuoto ai morsetti A e B 5 Dimostrazione Per il principio di sovrapp. degli effetti A VAB= V’AB+ V’’AB V’AB tensione misurata quando A=0 A V’’ tensione misurata quando i AB generatori interni sono disattivati B Rete attiva lineare A Rete attiva V’AB= VAB(0) Tensione a vuoto I Rete Disattivata Req= RAB B A A + I RAB V’’AB B - B A A V’’AB =-RABI 6 VAB= V’AB+ V’’AB= VAB(0)-RABI VTh=VAB(0) RTh= RAB I VTh A RTh B VAB= VTh - RThI 7 Teorema di Norton Data una rete accessibile da 2 morsetti, formata da generatori e resistori lineari, ai fini della corrente che circola in un suo tronco o della tensione ai suoi capi, è sempre possibile schematizzare la restante rete con un solo generatore ideale di corrente IN con in parallelo una conduttanza GN A Rete attiva lineare tronco B A IN GN tronco B GN Conduttanza relativa alla stessa rete disattivata IN corrente di cortocircuito tra i morsetti A e B 8 Dimostrazione I A Rete attiva lineare Per il principio di sovrapp. degli effetti I= I’+ I’’ I’ corrente misurata quando E=0 I’’ corrente misurata quando i generatori interni sono disattivati E B I’ Rete attiva A I’= ICC Corrente di cortocircuito B I’’ A Rete Disattivata GAB I’’ A GAB E B E I’’=-GABE B 9 I= I’+ I’’=ICC - GABE I I = ICC – GAB E IN GN IN A tronco GN B I = IN – GN VAB 10 Osservazioni Æ Un generatore reale di energia può essere schematizzato indifferentemente come generatore di tensione (Thevenin) o di corrente (Norton). VTh RTh I A V R B Equivalente di Norton I IN GN V A R B IN =VTh/ RTh GN=1/ RTh 11 Teorema di Millmann Caso limite di rete con due soli nodi A R1 E1 R2 E2 Ri R3 E3 Ei Rn En ∑G E = ∑G i V AB i i i i B Il valore della d.d.p esistente tra i 2 nodi di una rete binodale è quello espresso dal baricentro delle conduttanze caratterizzanti ciascun lato esistente tra i 2 nodi, considerando le conduttanze in posizione diversa per effetto delle tensioni dei generatori ideali in serie alle conduttanze stesse. 12 Dimostrazione A R1 E1 R2 E2 R3 E3 Ri Ei Rn En B Equivalente di Norton per ciascun ramo ∑G E = ∑G i V AB i i i i A A G1 B E1G1 Gn EnGn ∑G i i B ∑E G i i 13 i TEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA a THEVENIN RTh VTh R b I R p b VTH p = RI = R ⋅ RTH + R a 2 pmax 2 RTh R Si ha la massima potenza trasferita al carico quando la resistenza del carico e’ uguale alla resistenza di Thevenin vista dal carico: R = Rth Dimostrazione: 2 dp 2 (RTH + R ) − 2 R ( RTH + R ) = VTH =0 ⇒ 4 dR (RTH + R ) RTH + R − 2 R = 0 ⇒ ⇒ pmax = 2 VTH 4RTH R = RTH 14 1 Rendimento in potenza: p η= p max R RTH pcarico p generatore Se R = RTH allora: 1 pcarico = pmax 2 VTH = 4 RTH p generatore = VTH ⋅ I = VTH 1 ⇒ η= 2 2 ETH VTH = ⋅ RTH + R 2 RTH IN CONDIZIONI DI MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA SI HA UN RENDIMENTO PARI AL 50% 15
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