Metodologie Elettromagnetiche per la geofisica Proprietà elettromagnetiche di suoli e rocce (II) Anno Accademico 2009/2010 Docente:Elena Pettinelli Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Dielettrici e conduttori ε = ε ′ − jε e′′ σ ε e′′ = ε ′′ + s ω σ s è la conducibilità statica del mezzo ε e = permettività efficace Conducibilità equivalente σ e = σ s + ωε ′′ = σ s + σ a σ a = conducibilità dovuta al campo alternato Il termine σe definisce, quindi, la conducibilità elettrica totale data dalla somma di un termine rappresentante la conducibilità elettrica statica e di un termine rappresentante la conducibilità elettrica dovuta alla presenza di un campo elettrico alternato, conducibilità causata dalla rotazione dei dipoli nel momento in cui questi tendono ad allinearsi con il campo elettrico alternato applicato. Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Dielettrici e conduttori σe σ s + ωε ′′ ′ =ε − j ω ω σ ⎞ ⎛ ε = ε ′ − j ⎜ ε ′′ + s ⎟ ω⎠ ⎝ ε = ε′− j σ = (σ s + ωε ′′) + jωε ′ σ = jωε perdite dielettriche + perdite conduttive + Conducibilità complessa Molti materiali dielettrici, come ad esempio il vetro e la plastica, posseggono un valore molto basso della conducibilità statica e si comportano come buoni isolanti, ma se soggetti a campi elettrici alternati esibiscono un elevato valore della componente alternata della conducibilità, dissipando una notevole quantità di energia. Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Dielettrici e conduttori J tot = J ce + J de J ce = σ e E J de = jωε ′E jσ ⎞ ⎛ J tot = jωε ′ ⎜ 1 − e ⎟ E = jωε ′ (1 − j tan δ e ) E ⎝ ωε ′ ⎠ σ σ + σ a σ S ε ′′ = + = tan δ s + tan δ a tan δ e = e = s tangente di perdita effettiva ωε ′ ωε ′ ωε ′ ε ′ σs ωε ′ σ ε ′′ tan δ a = a = ωε ′ ε ′ tan δ s = tangente di perdita statica tangente di perdita alternata Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Dielettrici e conduttori Buoni dielettrici ⎛σ e ⎞ ⎜ ωε ′ ⎟ << 1 ⎝ ⎠ σ ⎞ ⎛ J tot = jωε ′ ⎜1 − j e ⎟ E ≅ jωε ′E ωε ′ ⎠ ⎝ La densità di corrente di spostamento è più grande di quella di conduzione, e la densità di corrente totale è approssimativamente uguale a quella di spostamento. Buoni conduttori ⎛σ e ⎞ ⎜ ωε ′ ⎟ >> 1 ⎝ ⎠ σ ⎞ ⎛ J tot = jωε ′ ⎜1 − j e ⎟ E ≅ σ e E ωε ′ ⎠ ⎝ ωt = σ ε Frequnza di transizione La densità di corrente di conduzione è più grande di quella di spostamento, e la densità di corrente totale è approssimativamente uguale a quella di conduzione. Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Permettività complessa Roccia parzialmente saturata d’acqua Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Misure di permettività dielettrica (in funzione della frequenza) I tot = iωε 0 A ' σ 1 (ε r − iε r" − i )V = (iω C + ω C0ε r" + )V ωε 0 d Rσ Le due ammettenze reali (dissipative) possono essere conglobate in un unico elemento resistivo R Circuito equivalente di un condensatore riempito con materiale di permettivita’ ε* R= 1 1 + ωC0ε r" Rσ = Rσ = " 1 + ωC0ε r Rσ Rσ ωε 0ε r" 1+ σ Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Misure di permettività dielettrica (in funzione della frequenza) Un metodo abbastanza semplice e largamente utilizzato in pratica per caratterizzare materiali nel dominio della frequenza fino a frequenze dell’ordine delle decine di MHz e quello di misurare la capacita’ di un condensatore riempito con il materiale in esame. Dal valore della capacita’ misurata in funzione della frequenza rispetto al valore del condensatore misurato in aria si ottiene lo spettro dielettrico del materiale Per un circuito equivalente parallelo, i valori di Cp e della tangente di perdita δ possono essere ricavati dalle misure della reattanza Xp e della resistenza Rp Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Misure di permettività dielettrica con ponte ad autobilanciamento ≅ Zx rappresenta l'impedenza incognita da misurare. Vgen e' un generatore sinusoidale che applica al circuito un segnale di ampiezza costante ed eventualmente variabile in frequenza. Il voltmetro Vmeter misura la tensione del generatore. La tensione V2 e’ proporzionale alla corrente I1=I2 e viene misurata all’uscita dell’amplificatore in ampiezza e fase rispetto alla tensione del generatore. L'amplificatore A e' un amplificatore operazionale. Il valore di Zx e' quindi dato da: Z = Vgen ⋅ R fb x V2 Notare che essendo misurata anche la fase tra V2 e Vgen , l’impedenza Zx e' determinata in modo complesso. Il sistema di misura e' detto ad autobilanciamento in quanto il circuito di reazione dell'amplificatore fa in modo di mantenere sempre a zero il lato (-) dell'amplificatore (per il principio della terra virtuale) e fa in modo che la corrente che scorre in Zx sia uguale a quella che scorre in Rfb. Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Misure della permettività dielettrica di materiali granulari Sabbia vulcnica + neve di CO2 Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Misure delle permettività dielettriche delle rocce Trachyte 1mm Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Misure delle permettività dielettriche di suoli e rocce Magnetite – glass beads Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Suscettività magnetica I materiali magnetici sono quei materiali che mostrano una polarizzazione magnetica nel momento in cui sono sottoposti ad un campo magnetico esterno applicato POLARIZZAZIONE MAGNETICA dove ∆V è il volume; r 1 M = lim ∆V → 0 ∆V N m ∆V ∑ i =1 r r dmi = N m < dm > Ne il numero di dipoli per unità di volume; dmi sono i vari momenti che si formano nel volume in considerazione. r < dm > dipolo magnetico medio Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.3 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Suscettività magnetica La densità di flusso magnetico attraverso una superficie è aumentata dalla presenza di M così che la densità di flusso magnetico effettiva in ogni punto interno alla superficie è data da r r r B = µ0 H a + M ( ) µ0=4πx10-7 H/m r r B = µs Ha r r M = χmHa χm è una grandezza adimensionale detta suscettività magnetica r r r B = µ0 Ha + χmHa = µ0 (1+ χm ) Ha = µs Ha ( ) µs = µ0 (1+ χm ) µs è la permeabilità magnetica statica del mezzo µs km = =1+ χm km permeabilità magnetica relativa µ0 s s Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.3 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Permeabilità magnetica complessa Analogia circuitale La tensione V applicata all’induttanza genera una corrente di magnetizzazione Im in accordo con la legge d’induzione di Faraday V =L Im = V jω L0 µ′ µ0 =−j V ω L0 km′ dI dt La corrente di magnetizzazione Im è in ritardo di 90° rispetto alla tensione V L è l’induttanza (in presenza di materiale all’interno) ed L0 è l’induttanza del vuoto (induttanza geometrica). Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.3 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Permeabilità magnetica complessa Le permeabilità µ’ e µ0 (4πx10-7 H/m) sono, rispettivamente, la permeabilità magnetica del materiale e del vuoto, e rappresentano la loro magnetizzazione. Il loro rapporto rappresenta la permeabilità relativa del materiale. km ' = µ '/ µ0 A causa della resistenza R delle spire dell’induttore, si produce anche una componente ohmica V/R. Può generasi, in fase con V, una corrente di perdita magnetica Il dovuta alla dissipazione di energia durante il ciclo di magnetizzazione I tot = I m + I l = V jV ( µ '+ j µ ′′) =− L jω L0 km ω 0 ( µ ′2 + µ ′′2 ) µ0 µ = µ ′ − j µ ′′ permeabilità magnetica complessa km = µ = km′′ − jkm′′ permeabilità magnetica complessa relativa µ0 µ ′′ tgδ m = tangente di perdita magnetica µ′ Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.3 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Permeabilità magnetica complessa Le perdite magnetiche tengono conto in particolare della dissipazione per isteresi del ciclo di magnetizzazione, delle correnti parassite indotte per effetto Faraday nel materiale (se conduttivo), e della dissipazione indotta dallo spostamento dei confini dei domini magnetici durante il ciclo di magnetizzazione Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.3 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Permeabilità magnetica complessa La dipendenza dalla frequenza delle proprietà magnetiche di un materiale può essere descritta dall’equazione di Cole-Cole: µ s − µ∞ µ = µ '− j µ " = µ∞ + α 1 + ( jωτ ) µ∞ = limite della permeabilità ad alta frequenza µ s = limite della permeabilità a bassa frequenza ω = pulsazione τ = costante di tempo α = parametro della distribuzione Quando α = 1, il modello Cole-Cole si riduce al modello di rilassamento di Debye. Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.3 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Permeabilità magnetica complessa Spettro magnetico di una ferrite di nichel misurato a T=25°C La permeabilità a bassa frequenza è piuttosto elevata, mentre decresce rapidamente al di sopra dei 100 MHz (dispersività a più bassa frequenza rispetto ai dielettrici polari) Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.3 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Misure di permeabilità magnetica (in funzione della frequenza) Il valore della permeabilita’ magnetica viene ricavata dal confronto tra l’induttanza del solenoide misurata in aria ( a cui corrisponde µr=1 ) e l’induttanza misurata in presenza del materiale Induttanza di un solenoide toroidale N2 N2 L= = µ0 µr* S = µ r* L0 l R R= l S µ0 µ r R è la riluttanza, S e’ la sezione delle spire (area della superficie del piano contenente una spira) ed L0 l’induttanza in aria La permeabilita’ magnetica e’ una quantità complessa, quindi anche l’induttanza L può essere considerata una grandezza complessa Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Misure di permeabilità magnetica (in funzione della frequenza) Circuito equivalente del solenoide toroidale immerso in un materiale magnetico dI VL = L dt VL = iωµ r* L0 I regime armonico caduta di tensione totale ai capi del solenoide Vtot = ( R0 + iωµ r* L0 ) I = ( R0 + iω ( µ r' − i µ r" ) L0 ) I = (iωµ r' L0 + R0 + ωµ r" L0 ) I R0 resistenza addizionale dovuta alla resistenza del filo conduttore con cui e’ costruito l’avvolgimento di spire Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Misure di permeabilità magnetica (in funzione della frequenza) Reattanza Resistenza iω L = iωµ r' L0 + R0 + ωµ r" L0 Circuito equivalente in aria Circuito equivalente con materiale " Z mat µ = ω L0 ' r ' Z mat − R0 µ = ω L0 " r ' " Dove Z mat e Z mat sono la parte reale ed immaginaria dell’impedenza del solenoide misurate in presenza di materiale, mentre R0 ed L0 sono la resistenza e l’induttanza misurate a vuoto Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Misure di permeabilità magnetica con ponte ad autobilanciamento Schema di connessione da effettuare per la misura con un induttore. La corrente misurata dal sistema (quella che fluisce in Rfb) e’ quella che attraversa il solenoide essendo nulla la corrente che e’ assorbita dall’ingresso invertente dell’amplificatore operazionale Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Misure della permeabilità magnetica di materiali granulari Magnetite Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi” Misure della permeabilità magnetica di suoli e rocce Magnetite – glass beads Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.4 Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi”
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