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Corso di AERODINAMICA E GASDINAMICA
Anno Accademico 2013/2014
- Lezione N.11-
Prof. Ing. Renato RICCI
Vortex Sheet-Generalità
Un vortice Libero può essere visto come la proiezione su di un piano di un
filamento vorticoso che si estende all’infinito ed avente intensità costante
lungo tutta la sua lunghezza.
Un insieme di filamenti vorticosi genera un Piano di Vortici o
Vortex Sheet. Questi possono essere opportunamente disposti
in modo tale da seguire la forma di un profilo alare.
La velocità indotta in un punto P dal piano di vortici è
pari alla somma vettoriale delle velocità infinitesime
indotte dalla forza locale del vortice.
Linea vorticosa e potenziale
 = (s) è la forza del piano di
vortici per unità di lunghezza ds
b
    ds
a
a
b
è la forza complessiva del piano di
vortici nel tratto ab.
La velocità infinitesima indotta nel
punto P dal segmento di vortici ds
sarà:
dV  
 ds
2 r
Come per la determinazione della velocità del punto P, indotta dal Piano Vorticoso, è possibile definire il Potenziale di
P come:
  ds 
1 b
 ( x , z )   d    
  
  ds

2 
2 a
a
a
b
b
Vortex Sheet e Velocità Tangenziale
Il Vortex Sheet presenta una discontinuità sulla velocità tangenziale attraverso il Piano di Vortici.
d   ( v2 dn  u1ds  v1dn  u2 ds)  (u1  u2 ) ds  (v1  v2 ) dn   ds
Per dn che tende a zero otteniamo:
  u1  u2
La relazione   u1  u2 ci consente di affermare che il salto di velocità tangenziale sul piano dei vortici è pari alla
forza locale di quest’ultimo.
Vortex Sheet e rappresentazione di un Profilo Alare
Il concetto di Vortex Sheet è fondamentale per la rappresentazione di un profilo alare mediante la teoria dei Flussi
Potenziali; il Vortice infatti è il flusso elementare che induce Circuitazione, e quindi Portanza, ma nella sua forma
elementare non riesce a rappresentare geometrie particolarmente complesse.
Mediante il Vortex Sheet è invece possibile generare profili di forma arbitraria:
La somma di un Vortex Sheet e di un flusso uniforme può rappresentare un profilo alare portante:
Vortex Sheet – Teoria di Max Munk
Affinché il Vortex Street sia rappresentativo del profilo alare scelto è fondamentale che la distribuzione locale di
vorticità sia tale da permettere che il profilo diventi una Linea di Corrente. Successivamente, mediante il Teorema di
Kutta-Joukowski, sarà possibile calcolare la Portanza indotta dal campo di moto.
Se il profilo alare che vogliamo rappresentare è SOTTILE è possibile sostituirlo con un solo piano di Vortici posizionati
sulla linea di Camber; su tale approssimazione si basa la Teoria dei Profili Sottili introdotta da Max Munk nel 1922.
L’idea di sostituire al profilo alare una
superficie Vorticosa prende spunto
dall’osservazione che l’effetto della
Viscosità, nella situazione reale,
provoca all’interno dello strato limite
una Vorticità superficiale che può
essere rappresentata, in campo non
viscoso, mediante un Vortex Sheet.
Grazie a ciò e possibile simulare
condizioni di distacco di strato limite
utilizzando la teoria del flusso
potenziale o, in generale, gli effetti
viscosi superficiali.
Condizioni di Kutta
Come per il cilindro portante anche nel campo di moto indotto dalla somma di un flusso uniforme e di un Vortex
Sheet ci troviamo di fronte alla possibilità di ottenere soluzioni diverse in funzione del valore di Circuitazione Totale
scelto:
Due punti di ristagno, uno sull’estradosso e, l’altro, sull’intradosso: 0     Kutta
Due punti di ristagno sull’intradosso:
  Kutta
Un punto di ristagno sul bordo di uscita ed uno
sull’intradosso, in prossimità del bordo di
entrata:    Kutta
Condizioni di Kutta (2)
Il fatto che esistano più soluzioni nel caso del cilindro portante è ragionevole; infatti è possibile in realtà aumentare la
velocità di rotazione del cilindro per variare la posizione dei punti di ristagno. Nel caso del profilo alare ciò non è
possibile in quanto la portanza non dipende da un “motore” esterno ma dalla forma del profilo; di conseguenza è
irragionevole che in natura un profilo sottoposto ad un determinato flusso uniforme possa dare origine, a parità di
angolo di attacco, a più campi di moto.
Se osserviamo ciò che avviene in natura notiamo che il flusso tende a lasciare il profilo sul bordo di uscita: quindi, se
vogliamo essere rappresentativi del fenomeno fisico, dobbiamo imporre che il nostro Vortex Sheet sia tale da
verificare tale condizione.
Nel 1902 Wilhelm Kutta introdusse
una Condizione importante sul valore
delle velocità in prossimità del bordo
di uscita.
Tale
condizione
si
basava
sull’osservazione
introdotta
in
precedenza: la natura impone che il
flusso lasci il profilo sul bordo di
uscita.
  Kutta
Condizioni di Kutta sulla Velocità al Bordo di Uscita
Nel caso di bordo di uscita a spigolo, poiché la velocità
del punto “a” non può assumere contemporaneamente
2 valori diversi, dovremo avere:
V1  V2  0
 (T .E.)  V1  V2  0
Il punto “a” è un punto di ristagno
Nel caso in cui il bordo di uscita (Trailing Edge)
presenti invece una forma a Cuspide le
particelle provenienti dall’estradosso dovranno
avere una direzione parallela a quelle
provenienti dall’intradosso; tale condizione si
traduce in:
V1  V2  0
 (T .E.)  V1  V2  0
Il punto “a” NON è un punto di ristagno
Per tutti e due i casi si verifica che la forza del vortex sheet in “a” deve essere nulla.
Teorema di Kelvin: Circolazione (1)
Si consideri l’equazione di conservazione della quantità di moto per un Fluido Non Viscoso in assenza di Forze di
Massa
òòò r VdV + òò (rV × dS)V = - òòò ÑpdV
¶
¶t
V
S
V
Applicando il teorema della divergenza al flusso della quantità di moto attraverso la superficie S, il Il° secondo
termine del I° membro può anche essere scritto come:
òò ( rV × dS)V = òòò (V × Ñ)( rV ) dV
S
Che, sostituita alla prima
equazione porta a:
V
¶
( r V ) + (V ×Ñ)( r V ) = -Ñp
¶t
Þ
D
( r V ) = -Ñp
Dt
Applicando l’operatore rotore ad ambo i membri ed ipotizzando INCOMPRIMIBILE il fluido si avrà:
D(Ñ ´V )
r
= - (Ñ ´ Ñp) ossia:
0
Dt
DG
=0
Dt
Teorema di Kelvin: Circolazione (2)
La circuitazione di un gruppo di particelle lungo una curva C1 al
tempo t1 deve essere uguale a quella generata dalle stesse
particelle al tempo t2. La curva C2 è la curva C1 all’istante t2.
Il Teorema di Kelvin deve essere valido qualunque sia la linea C1 di
partenza; prendiamo una linea che racchiuda un profilo alare, al
tempo t=0 supponiamo che il profilo non sia investito da flusso, di
conseguenza la circuitazione è nulla.
Se all’istante successivo viene indotto un flusso
uniforme contro il profilo sappiamo che si genera
portanza e, quindi, la circuitazione attorno al profilo sarà
diversa da zero.
Teorema di Kelvin: Circolazione e Starting Vortex
La curva C1 si è però allungata dando luogo alla curva C2, ossia le particelle che all’istante t=0 erano racchiuse in C1
sono ora racchiuse in C2; dal teorema di Kelvin sappiamo che la circuitazione su C2 deve essere nulla in quanto era
nulla su C1 all’istante iniziale. Ma poiché attorno al profilo, curva C4, esiste una circuitazione positiva dobbiamo
avere su C3 una circuitazione negativa e pari a quella su C4. Questa circuitazione negativa viene indotta da un vortice
chiamato Starting Vortex.
Starting Vortex (1)
Benché il concetto di Starting Vortex possa sembrare solo un’estrapolazione matematica, nel 1934 Prandtl e Tietjens
realizzarono una visualizzazione di ciò che accade quando un profilo alare, inizialmente fermo, viene impulsivamente
mosso all’interno di un fluido. Dalle rilevazioni sperimentali fu evidente la formazione di un vortice sul bordo di
uscita che pian piano si allontanava dal profilo per instaurare un flusso simile a quello imposto dalla condizione di
Kutta.
E
D
C
L’immagine mostra un profilo
alare che viene messo in moto in
modo impulsivo, da DX verso SX.
La Circolazione attorno alla curva
ABCDEFA è nulla in quanto non
soggetta
a
forze
viscose
(Teorema di Kelvin).
Il vortice all’interno del contorno
ABCDA genera una Circolazione
negativa contraria a quella di
ADEFA ed esattamente uguale.
F
A
B
Starting Vortex (2)
Starting
Vortex
t=1s
t=3s
t=5s
t=7s
t=9s
t = 11 s
Un cuneo con spigolo di 30° viene investito da un flusso di acqua;
Stoppig
Vortex
t = 13 s
dopo 12.5 secondi il flusso viene interrotto.
Starting Vortex (3)
Anche in un cilindro immerso in acqua, avviato a 3.2 cm/s, è possibile notare uno Starting Vortex insieme a
dei Vortici Secondari; il fenomeno mostra chiaramente una Separazione di flusso. Il cilindro ha un diametro di
70 mm. ed il numero di Reynolds è pari a 2000. L’immagine è stata ripresa dopo 4.2 secondi dall’inizio del
moto.
Stopping Vortex
Si immagini di fermare il flusso subito dopo averlo fatto partire. Dal profilo si staccherà un vortice “B” avente verso di
rotazione opposto e forza uguale a quello dello “starting vortex A” . In tal modo la circolazione manterrà nel volume
di controllo il medesimo valore iniziale.
Starting e Stopping Vortex
Quando il profilo viene fermato la portanza, e quindi la
Circolazione attorno al profilo, diviene nulla e si forma
uno Stopping Vortex che si annulla con lo Starting Vortex.
Il Teorema di Kelvin è verificabile anche in flussi viscosi
purché la curva su cui si calcola la Circuitazione sia al di
fuori della zona interessata dagli sforzi viscosi.
Profilo Sottile (1)
Con la teoria del Profilo Sottile possiamo rappresentare il
profilo mediante un Vortex Sheet posto sulla Camber ed
un flusso uniforme inclinato di un certo angolo rispetto
alla linea di corda.
Il nostro Vortex Sheet è rappresentativo del profilo se ha
una forza nulla sul bordo di uscita (condizione di Kutta) e
se garantisce che la linea di camber sia una linea di
corrente.
Se il profilo è sottile e la camber non risulta elevata,
come per la maggior parte dei profili, possiamo porre il
Vortex Sheet lungo l’asse “x”.
 (s )   ( x )
Questo spostamento dei vortici sulla corda deve essere
però tale da garantire sempre che la linea di camber sia
una linea di corrente.
Profilo Sottile (2)
Affinché la linea di Camber diventi una linea di corrente
dovremo imporre che la componente “normale” della
velocità lungo tale linea sia nulla ovunque.

V , n  w '(s)  0
dz  dx  tg 

 dz 

 dx 
  arctg  

dz 
 dz  

V, n  V sen   tan 1      V     in radianti
dx 
 dx  


w’(s) è la velocità normale alla linea di camber indotta dal Vortex Sheet; se la Camber è piccola possiamo assumere:
w '(s)  w(x)
Profilo Sottile (3)
Dalla teoria del vortice libero abbiamo che la velocità infinitesima normale ad -x- indotta dal vortice elementare
posto a x è data da:
dw  
 ( ) d
2  (x   )
Velocità normale indotta ad -x- da tutti gli elementi del
Vortex Sheet:
c
w( x )  

 ( ) d
2  (x   )
Sostituendo w(x) nella condizione di velocità
normale totale uguale a zero otteniamo:
V , n  w '(s)  0
0
dz 

V     
dx 

c

 ( ) d
0
2  (x   )
0
Equazione Fondamentale della Teoria dei Profili Sottili
• La linea di Camber è una linea di corrente;
•Il Vortex Sheet è posizionato sulla linea di corda;
• Sia  che dz/dx sono parametri noti;
• L’incognita dell’equazione integrale è data da (x)
• Per il rispetto della condizione di Kutta: (c)=0
Profilo Sottile Simmetrico (1)
In un profilo simmetrico dz/dx è uguale a zero in ogni punto, in quanto la linea di corda coincide con quella di
Camber.
c
V 

 ( ) d
2  (x   )
Poiché x è una variabile virtuale possiamo scriverla come:
0
Il punto -x- corrisponde ad un particolare valore di q e quindi:
d 

1
2

0
c
sen  d
2
 ( ) sen( ) d
 V
cos( )  cos(0 )
c
2
  (1  cos  )
c
x  (1  cos 0 )
2
L’equazione fondamentale di un profilo sottile simmetrico diventa:
che, una volta risolta ed introdotta la condizione di Kutta, porta alla:
 ( )  2  V
1  cos 
sen 
Profilo Sottile Simmetrico (2)
Integrando su tutto il profilo alare si ottiene la Circuitazione complessiva:


   ( ) d 
0




c
 ( ) sen  d   cV (1  cos  ) d      c  V
2
0
0
Riprendendo l’espressione di Kutta Jukowsky, che lega portanza e
circuitazione, si ottiene che:
L '   V     c  V 2
e quindi:
cl 
L'
V c
2
 2 
2
žIl coefficiente di portanza è linearmente
proporzionale all’angolo di attacco.
Lža tangente della curva cl=f() è pari a 2
radianti.
d(cl )
Lift Slope 
 2
d
Un confronto fra i risultati teorici e quelli sperimentali, effettuato su di un
NACA-0009, mostrano un buon accordo fino a valori di a pari a 12°.
Profilo Sottile Simmetrico (3)
Il Momento Aerodinamico rispetto al bordo di entrata si
può calcolare a partire dalla portanza infinitesima
indotta in una singola sezione di profilo alare:
c
c


M 'LE     (dL)   V   ( ) d  
0
V 2
2
c2

2
0
Passando ai coefficienti adimensionali di momento :
cm, LE
c
M 'LE



 l
q S c
2
4
1.
Il coefficiente di momento rispetto al 1/4 di corda è
nullo.
2.
Il quarto di corda è quindi il Centro di Pressione.
c
 cm, LE  l  0
4
3.
Poiché però il momento rispetto al quarto di corda
rimane nullo per qualunque valore dell’angolo di
incidenza ne segue che il quarto di corda è anche il
Centro Aerodinamico.
cm, c /4
Profilo Sottile Asimmetrico (1)
Ripartendo dall’Equazione Generale della Teoria dei Profili Sottili
con la sostituzione di variabili precedentemente introdotta:
dz 

V     
dx 

c

 ( ) d
2  (x   )
0
Si arriva ad ottenere la seguente equazione, in cui non è più
possibile eliminare il termine dz/dx corrispondente alla legge di
distribuzione della camber:
dz  1

V     
dx  2 



0
 ( ) sen  d
cos   cos 0
c
(1  cos 0 )
2
c
  (1  cos  )
2
c
d  sen  d
2
x

1  cos 
 ( )  2 V  A0


sen 

 I coefficienti An dipendono solo dalla forma della camber, dz/dx
 Il coefficiente A0 dipende sia da dz/dx che da 

An sen(n  ) 

n 1



Profilo Sottile Asimmetrico (2)
Sostituendo quest’ultima equazione nell’espressione generale della teoria dei profili sottili otteniamo:
dz
 (  A0 ) 
dx

 A cos(n)
n
n 1
Analizzando l’equazione precedente possiamo osservare come essa possa espressa nella forma:

f ( )  B0 
 B cos(n )
n
n 1
che è un’espansione in serie di Fourier della funzione f(q).
In tal caso i coefficienti dell’espansione in serie sono dati da:

B0    A0 
1


0
dz
d0
dx

Bn  An 
2


0
dz
cos(n0 ) d0
dx
Profilo Sottile Asimmetrico (3)
Affinché la linea di camber diventi una linea di corrente è necessario che la distribuzione di  ( ) sia tale che la
componente della velocità locale sia nulla in direzione normale alla linea di camber. Oltre a ciò è necessario che
c

venga rispettata la Condizione di Kutta:  () 0.
La Circolazione indotta dalla distribuzione di vortici è:
 / 2 per n  1


sen(n  )  sen   d  



0
 0 per n  1 

Ricordando che:


 (1 cos )d  
0
Riprendendo l’equazione di Kutta Joukowski:

   ( ) d 
0
si giunge alla:

c
 ( ) sen  d
2
0
 

  cV   A0  A1 
2 

 

L '   V    V 2 c   A0  A1 
2 



1 dz
- Coefficiente di Portanza cl   (2 A0  A1 )  2   
(cos 0  1) d0 


 dx


d cl
- Pendenza della curva di portanza  2
Analoga alla pendenza del profilo Simmetrico
d

Profilo Sottile Asimmetrico (4)
Guardando l’espressione del coefficiente di portanza del profilo asimmetrico notiamo che per angoli di incidenza
nulli il coefficiente di portanza è diverso da zero.
La portanza diventa nulla quando:

 

1
dz
(cos 0  1) d0   L 0
dx
a questo angolo diamo il nome di angolo di portanza nulla.
0
Il coefficiente di portanza sarà sempre di tipo lineare:.
cm, le  

A2 
A

A

0
1
2 
2 
ricordando che:
c 

cm, le    l  ( A1  A2 ) 
4 4

cl 
d cl
(   L 0 )  2  (   L 0 )
d
- Momento rispetto al Bordo di Entrata -
cl   (2 A0  A1 )
- Momento rispetto al quarto di corda -
otteniamo
cm, c /4 

4
( A2  A1 )
Profilo Sottile Asimmetrico (5)
Se analizziamo l’espressione del momento rispetto al quarto di corda notiamo che esso è diverso da zero e che non
dipende dall’angolo di attacco. Ne consegue che:
cm, c /4 

4
( A2  A1 )
1.
Il quarto di corda non è il Centro di Pressione
2.
Il quarto di corda coincide con il Centro Aerodinamico.
Per determinare la Posizione del Centro di Pressione si può partire dal coefficiente di momento rispetto al bordo di
entrata:
xcp
cm, le  c c  

M 'LE


 1  ( A1  A2 )
L'
cl
4  cl

Esercizio (1)
Si consideri la legge di distribuzione della camber di un profilo NACA 4412:

 x  x 2 
0.25 0.8    
per
z 
 c  c  

2
c 

x x 
0.111 0.2  0.8     per
c  c  


x
0   0.4
c
0.4 
x
1
c
Calcolare l’angolo di portanza nulla ed il coefficiente di portanza per un angolo di attacco di 3°:
SOLUZIONE
x
 0.4 :
c
Per
0
Per
0.4 
Poichè x 
x
 1:
c
 dz 
x

0.2

0.5
 
 
dx
 1
c
 dz 
x

0.0888

0.2222
 
 
 dx 2
c
c
(1  cos  ) allora si ha :
2
Esercizio (2)
 dz 
   0.05  0.25cos 
 dx 1
per
0    1.3694
 dz 
   0.0223  0.1111cos 
 dx 2
per
1.3694    
 L 0  

1


0
dz
1
cos


1

(
)
dx


1.3694
( 0.05  0.25cos  )( cos   1) d 
0


1

( 0.0223  0.1111cos  )( cos   1) d
1.3694
 L 0 
1


1.3694
0

1


( 0.05  0.3cos  0.25cos  ) d 

1.3694
2
( 0.0223  0.13334 cos  0.1111cos  ) d
2
Esercizio (3)
1.3694
 L 0
1
 1

  0.05  0.3sin   0.25   sin 2  

2 4
0


1
 1

 0.0223  0.1334sin   0.111  sin 2  

2 4
 1.3694
 L 0 
0.2281

 0.0726rad  4.16
Una volta noto l’angolo di portanza nulla, il coefficiente di portanza per una angolo di attacco di 3° sarà:
æ p ö
cl = 2p a - a L=0 = 2p × ç
× éë3- -4.16 ùû = 0.782
÷
è 180 ø
(
)
in radianti
(
)
Profilo Sottile con Flap (1)
Mediante la teoria dei profili sottili è possibile analizzare anche l’effetto di un flap sul bordo di uscita. Questo si può
fare partendo dalla considerazione che un plain flap a tutti gli effetti può essere schematizzato come una camber
nulla sino ad un certo punto ed inclinata di un certo angolo oltre il punto di attacco del flap.
Un profilo “flappato” posto ad un angolo di attacco alfa diverso da zero avrà una distribuzione di circolazione
derivante dalla somma di tre componenti: quella di una lastra piana inclinata di un angolo alfa, quella di una linea di
camber, e quella dovuta alla deflessione del flap .
Profilo Sottile con Flap (2)

A0   
1


dz
d0
dx
0

An 
2


dz
cos(n0 ) d0
dx
0
Riprendendo le equazioni ottenute nel caso generale di un profilo sottile asimmetrico e considerando le grandezze
riportate in figura:
 
1
1
A0    
0 d0 

 0

c
1

F
c

( )
(1  cos  )
2





h

 d0 
F



dove  è il valore di  all'attacco del Flap
cos   2F  1
Profilo Sottile con Flap (3)
  h
 
A0    1  
   1  
  F
 

 2sin n
2  
h
An   0 cos n d 
 cos n d  

  0
F
n


2sin 
sin 2

A1 

e
A2 





Ricomponendo il tutto secondo la legge di distribuzione della circolazione:

1  cos 
 
  2U
 2U 1 
sin 
 

 1  cos 


 sin 


1

1  cos 
 ( )  2 V  A0


sen 


An sen(n  ) 

n 1




2sin n
sin n  
n


Integrando la legge di distribuzione della circolazione su tutta la corda e sfruttando il teorema di Kutta Jukowsky:
 
 
cl   (2 A0  A1 )   2   1 
 
 

 
   2 sin    2  2 (    sin  )
 

Profilo Sottile con Flap (4)
L’equazione del coefficiente di portanza ci dice che per un fissato alfa, avremo un cl direttamente proporzionale
all’angolo di deflessione del flap.
Passando poi al calcolo del coefficiente di momento indotto dalla presenza del flap:
cm, le
cm, le


 
2  2 1    2 sin 


2sin 
sin 2  

 cl 




    ( A1  A2 )    
 

  
4
4 



4 4





      

sin 2 
       sin  sin 2 
 
  1    sin   sin  
 
  1   


2
2

2
2
4
2
2


2






 

Ovvero deflettendo il flap verso il basso il coefficiente di momento diventa sempre più negativo inducendo una
rotazione che tenderebbe ad abbassare il naso del profilo.

1
cmLE         sin  ( 2  cos  ) 
2
2

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