24 ottobre 2014 - Dipartimento di Matematica e Informatica

Laurea in Matematica
Esercitazioni di Geometria proiettiva - 24 ottobre 2014
1. Nello spazio proiettivo di coordinate reali [X : Y : Z : T ] sia data la quadrica
Γ = V(F ) con
F (X, Y, Z, T ) = Y 2 − Z 2 − T 2 − 2XY + 2XT − 2Y T + 2ZT.
Fra le seguenti affermazioni:
(a) Γ `e proiettivamente equivalente alla quadrica V(a0 X 2 +a1 Y 2 +a2 Z 2 −a3 T 2 )
se ciascuno dei coefficienti a0 , a1 , a2 , a3 `e positivo;
(b) Γ `e una quadrica degenere;
(c) Γ `e una quadrica a punti iperbolici;
(d) Γ ha sostegno vuoto;
individuare quella corretta.
Soluzione: La forma quadricatica F

0
 −1
A=
 0
1
`e definita dalla matrice

−1 0
1
1
0 −1 

0 −1 1 
−1 1 −1
che ha rango massimo, dunque Γ `e certamente una quadrica non degenere. Poich´e
il punto [1 : 0 : 0 : 0] ∈ Γ, il sostegno di Γ non `e vuoto, dunque possiamo escludere
le eventualit`
a presentate in (b) e (d) e si deve decidere se Γ `e a punti iperbolici
o a punti ellittici.
Una quadrica proiettivamente equivalente a Γ `e rappresentata da una matrice
P AP T per qualche P ∈ GL(4, R), una matrice il cui determinante ha lo stesso
segno di det(A) = −1: guardando le forme canoniche delle quadriche non degeneri di P 3 (R) vediamo che solo le quadriche a punti ellittici sono definite da
matrici con determinante negativo. Si pu`o osservare che anche la quadrica in (a)
`e rappresentata da una matrice con determinante negativo 1 .
2. Nelle ipotesi dell’esercizio precedente studiamo le seguenti tracce affini di Γ.
• Sia X = 0 il piano all’infinito e sia γX la traccia affine data dai punti di Γ
di coordinate [1 : y : z : t]. Tale traccia `e
(a) una sfera;
(b) un iperboloide;
(c) un paraboloide.
1 Il segno del determinante di una matrice a coefficienti reali che definisce una quadrica di P n (R) `
e
un invariante della quadrica solo in presenza di un numero pari di coordinate, cio`
e se n dispari; quando
le coordinate sono in numero dispari le forme quadratiche F e −F definiscono la stessa quadrica ma
si rappresentano con matrici aventi determinanti discordi nel segno.
1
Soluzione: La traccia affine γX `e data da V(y 2 −z 2 −t2 −2yt+2zt−2y+2t)
e per classificarla si devono studiare i suoi punti all’infinito che sostengono
la conica
γ
eX : Y 2 − Z 2 − T 2 − 2Y T + 2ZT = 0
del piano V(X) di coordinate [Y : Z : T ]. Poich´e γ
eX non `e vuota (contiene,
per esempio, il punto [0 : 1 : 1 : 0] di Γ), certamente γX non `e una sfera.
La matrice che rappresenta γ
eX `e data da


1
0 −1
 0 −1 1 
−1 1 −1
ed ha rango massimo, dunque la conica `e non degenere e γX corrisponde
ad un iperboloide (a due falde essendo Γ a punti ellittici) 2 .
• Sia Y = 0 il piano all’infinito e sia γY la traccia affine dei punti di Γ di
coordinate [x : 1 : z : t]. Fra le seguenti affermazioni:
- i suoi punti all’infinito sostengono una conica non degenere;
- `e una superficie rigata, cio`e contiene rette;
- `e un iperboloide ad una falda.
quelle corrette sono
(a) esattamente una;
(b) esattamente due
(c) tutte
(d) nessuna.
Soluzione: Essendo Γ a punti ellittici, γY `e certamente non rigata, in
particolare non pu`o essere un iperboloide ad una falda. I punti all’infinito
di γY sono i punti di coordinate [X : 0 : Z : T ] che sostengono la conica non
degenere a punti reali
γ
eY = V(Z 2 + T 2 − 2XT − 2ZT ),
cio`e anche γY `e un iperboloide a due falde.
• Sia Z = 0 l’iperpiano all’infinito e sia γZ la traccia affine dei punti di Γ di
coordinate [x : y : 1 : t]. Individuare l’affermazione falsa
(a) γZ `e affinememente equivalente alla traccia affine γY −Z ottenuta prendendo V(Y − Z) come piano all’infinito;
(b) La conica γ
eZ che si sostiene nei punti di Γ di coordinate [X : Y : 0 : T ]
`e non degenere;
(c) La sezione di γZ rispetto al piano x = y + t `e affinemente equivalente
ad un’iperbole;
(d) Esiste un’affinit`a che trasforma γZ nella quadrica affine γT −Y dei punti
di Γ non appartenenti al piano V(T − Y ).
2 Guardando
la classificazione delle quadriche di A3 (R) si vede che quelle i cui punti impropri
sostengono una conica non degenere sono gli iperboloidi.
2
Soluzione: γZ `e costituita dai punti di Γ di coordinate [x : y : 1 : t] ed i
suoi punti all’infinito sono dati dalla conica
γ
eZ = V(−Y 2 + T 2 + 2XY − 2XT + 2Y T ),
una conica non degenere a punti reali: anche in questo caso la traccia affine
`e un iperboloide a due falde.
Per classificare γY −Z dobbiamo studiare la conica γ
eY −Z dei punti all’infinito di γY −Z , cio`e la conica che ha sostegno nei punti di coordinate
[X : Y : Y : T ] tali che
T 2 + 2XY − 2XT = 0,
una conica non degenere a punti reali. Quindi anche γY −Z `e un iperboloide
a due falde ed `e pertanto affinemente equivalente ad γZ . Ne concludiamo
che sia l’affermazione (a) che la (b) sono vere.
La quadrica affine γZ `e l’iperboloide a due falde d’equazione
γZ : −y 2 + t2 + 2xy − 2xt + 2yt − 2t + 1 = 0
e la sua sezione col piano x = y + t `e l’iperbole
y 2 − t2 + 2yt − 2t + 1 = 0,
cio`e anche l’affermazione (c) `e corretta.
La quadrica affine γT −Y dei punti di Γ non appartenenti al piano V(T −Y )
ha per punti impropri i punti di coordinate [X : Y : Z : Y ] tali che
Y 2 + (Y − Z)2 = 0,
ovvero ha [1 : 0 : 0 : 0] come unico punto improprio ed `e quindi un paraboloide (a punti ellittici) 3 : non pu`o quindi esistere un’affinit`a che trasforma
γZ in γT −Y .
• Sia T = 0 l’iperpiano all’infinito e sia γT la traccia affine dei punti di Γ di
coordinate [x : y : z : 1]. Fra le seguenti affermazioni
- γT `e affinemente equivalente alla quadrica V(x2 − y 2 + 2yz + 2z + 1);
- la conica γ
eT dei punti di Γ di coordinate [X : Y : Z : 0] `e degenere;
- γT `e affinemente equivalente a γX .
quelle false sono
(a) esattamente una;
(b) esattamente due
(c) tutte
(d) nessuna.
Soluzione: γT si sostiene nei punti di Γ di coordinate [x : y : z : 1] e ha
per punti all’infinito esattamente quelli della conica
γ
eT = V(Y 2 − Z 2 − 2XY ),
ancora una volta una conica non degenere a punti reali. Dunque anche γT
`e un iperboloide a due falde ed `e pertanto affinemente equivalente a γX .
γT non pu`
o essere affinemente equivalente alla quadrica
V(x2 − y 2 + 2yz + 2z + 1)
che `e una quadrica di rango 3.
3 Guardando
la classificazione delle quadriche di A3 (R) si vede che quelle aventi un unico punto
improprio sono i paraboloidi a punti ellittici.
3

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