19.4 Snelheden bij krommen

JOBNAME: G&R.vwo.b.dl.5 PAGE: 27 SESS: 748 OUTPUT: Thu Nov 22 12:57:39 2007
/een/epn/014/751/119⫺4⫺
19.4 Snelheden bij krommen
Bij alles naast de blauwe lijn staat extra hulp op de
.
O 55
De beweging van een punt P wordt gegeven door de pv
再
x ⫽ 3t
.
y ⫽ t2
Hierin zijn x en y in meters en is t in seconden.
a Plot de baan van P voor 0 ⱕ t ⱕ 4.
Op t ⫽ 2 bevindt P zich in het punt 共6, 4兲 en is de snelheid in
de x-richting 3 m/s en in de y-richting 4 m/s.
b Licht dit toe.
c Licht toe dat op t ⫽ 2 de snelheid van P 5 m/s is.
d Bereken de snelheid van P op t ⫽ 1. Rond af op één decimaal.
Theorie A
Bij een bewegend punt P met bewegingsvergelijkingen
再
x ⫽ x共t兲
y ⫽ y共t兲
y
v (tA)
is de snelheidscomponent in de x-richting op t ⫽ t A
gelijk aan x⬘共t A兲.
De snelheidscomponent in de y-richting op t ⫽ t A is y⬘共t A兲. Zie
figuur 19.25. De grootte van v共t A兲៬ krijg je met de stelling van
y' (tA)
A
Pythagoras: v共t A兲 ⫽ 冪共x⬘共t A兲兲 2 ⫹ 共y⬘共t A兲兲 2.
O
Zo geeft v共t兲 ⫽ 冪共x⬘共t兲兲 2 ⫹ 共y⬘共t兲兲 2 de snelheid van P op een
willekeurig tijdstip.
H
x = x(t)
y = y(t) is de
snelheid gelijk aan v(t) = 冪(x′(t)) 2 + (y′(t)) 2.
Voorbeeld
De beweging van een punt P wordt gegeven door
再
x ⫽ sin共2t兲
y ⫽ sin共t ⫺ 13 ␲兲 met t op 关0, 2␲兴.
Hierin zijn x en y in cm en is t in seconden.
Bereken algebraïsch de snelheid van P op het moment dat P voor het eerst na t ⫽ 0
de y-as passeert. Rond het antwoord af op twee decimalen.
Uitwerking
x ⫽ 0 geeft sin共2t兲 ⫽ 0. Hieruit volgt 2t ⫽ k ⭈ ␲, dus t ⫽ k ⭈ 12 ␲.
Dus P passeert voor het eerst na t ⫽ 0 de y-as op t ⫽ 12 ␲.
x ⫽ sin共2t兲 geeft x⬘共t兲 ⫽ 2 cos共2t兲, dus x⬘共 12 ␲兲 ⫽ 2 cos共␲兲 ⫽ ⫺ 2.
y ⫽ sin共t ⫺ 13 ␲兲 geeft y⬘共t兲 ⫽ cos共t ⫺ 13 ␲兲, dus y⬘共 12 ␲兲 ⫽ cos共 16 ␲兲 ⫽ 12 冪3.
Dit geeft v共 12 ␲兲 ⫽ 冪共 ⫺ 2兲 2 ⫹ 共 12 冪3兲 ⫽ 冪4 ⫹ 34 ⬇ 2,18 cm/s.
2
112
Hoofdstuk 19
x
figuur 19.25 De componenten met
lengten x⬘ en y⬘ geven de
snelheidsvector v៬.
Snelheid bij bewegingsvergelijkingen
Bij een beweging die wordt gegeven door
x' (tA)
JOBNAME: G&R.vwo.b.dl.5 PAGE: 28 SESS: 748 OUTPUT: Thu Nov 22 12:57:39 2007
/een/epn/014/751/119⫺4⫺
R 56
Zie het voorbeeld.
Wat betekent het dat x⬘共 21 ␲兲 negatief is?
57 Gegeven zijn de bewegingsvergelijkingen van het voorbeeld.
a Bereken algebraïsch de snelheid van P op het moment dat P
voor tweede keer na t ⫽ 0 de y-as passeert. Rond het antwoord
af op twee decimalen.
b Het punt P passeert de x-as op twee tijdstippen.
Onderzoek of de snelheden op deze tijdstippen gelijk zijn.
58 De bewegingsvergelijkingen van een punt P zijn x共t兲 ⫽ sin共2t兲 en
y共t兲 ⫽ sin共3t兲 met 0 ⱕ t ⱕ 2␲. Hierin zijn x en y in cm en is t
in seconden.
a Bereken exact de snelheid als P voor de eerste keer na t ⫽ 0
de x-as passeert.
b Bereken algebraïsch de snelheid als P voor de eerste keer na
t ⫽ 0 de y-as passeert.
De formule van de snelheid v in cm/s van P is
v共t兲 ⫽ 冪4 cos 2共2t兲 ⫹ 9 cos 2共3t兲.
c Licht deze formule toe.
d Plot de grafiek van v.
e Hoe vaak heeft P een snelheid van 3 cm/s? En hoe vaak een
snelheid van 5 cm/s?
f In welke punten 共x, y兲 is de snelheid van P het kleinst? Rond af
op drie decimalen.
59 De bewegingsvergelijkingen van een punt P zijn
再
x ⫽ sin共t兲
y ⫽ 2 sin共t ⫺ 41 ␲兲 met t op 关0, 2␲兴. Hierin zijn x en y in cm en
is t in seconden.
a De baan van P snijdt de assen vier keer.
Bereken in elk snijpunt de snelheid van P in twee decimalen
nauwkeurig.
De snelheid van P wordt gegeven door de formule
v共t兲 ⫽ 冪2 sin共2t兲 ⫹ cos 2共t兲 ⫹ 2.
b Toon aan dat deze formule juist is.
c Voor welke waarden van t is de snelheid kleiner dan 1 cm/s?
Rond af op twee decimalen.
R 60
De bewegingsvergelijkingen
再
x ⫽ cos共t兲
y ⫽ sin共t兲 geven een eenparige
cirkelbeweging.
Toon aan dat de cirkelbeweging inderdaad eenparig is.
Goniometrie en beweging
113
JOBNAME: G&R.vwo.b.dl.5 PAGE: 31 SESS: 748 OUTPUT: Thu Nov 22 12:57:39 2007
/een/epn/014/751/119⫺4⫺
A 65
De baan van een punt P wordt gegeven door de
x ⫽ sin共3t兲
bewegingsvergelijkingen y ⫽ cos共2t兲 met t op 关 21 ␲, 1 21 ␲兴.
y
再
1
a Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de baan met
de assen.
b De baan snijdt de positieve x-as in het punt A.
Bereken exact de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de baan
in A en de snelheid van het punt P in A.
c Bereken in twee decimalen nauwkeurig de coördinaten van de
punten van de baan waar de helling van de baan 1 is.
d Bereken in twee decimalen nauwkeurig de coördinaten van de
punten van de baan waar de snelheid 1 is.
O 66
De baan van een punt P wordt gegeven door
再
–1
O
1
–1
figuur 19.27
x ⫽ 3t
met
y ⫽ t2
0 ⱕ t ⱕ 3.
De formule van de snelheid van P is v共t兲 ⫽ 冪9 ⫹ 4t 2.
a Toon dit aan.
Om de lengte van de baan van P te benaderen kun je de
n–1
Riemann-som
兺 v共t 兲 ⭈ ⌬t
k⫽0
k
gebruiken.
b Licht dit toe.
3
Voor de lengte L van de baan geldt L ⫽
兰v共t兲dt.
0
c Licht dit toe en bereken L in twee decimalen
nauwkeurig.
Bij de baan van P hoort de formule y ⫽ x met
0 ⱕ x ⱕ 9.
d Gebruik deze formule om de lengte van de baan van P
in twee decimalen nauwkeurig te berekenen. Krijg je
hetzelfde antwoord als bij c?
1 2
9
x = 3t, dus t 1
= 3x
y=
y = t2
Theorie C
Je weet dat de snelheid v de afgeleide van de afgelegde weg s is. Dus de
afgelegde weg s is een primitieve van de snelheid v. Hieruit volgt dat de
b
afgelegde weg op het interval 关a, b兴 gelijk is aan
兰v共t兲dt.
We gebruiken
a
dit om de baanlengte L van een kromme te berekenen.
Baanlengte bij parametervoorstelling
Bij een baan die is gegeven door
H
x = x(t)
y = y(t) met t op [a, b] is
b
de lengte van de baan gelijk aan L =
∫ v(t)dt
a
v(t) = 冪(x′(t)) 2 + (y′(t)) 2.
116
Hoofdstuk 19
met
1 2
3x
y = 91 x 2
x
JOBNAME: G&R.vwo.b.dl.5 PAGE: 32 SESS: 748 OUTPUT: Thu Nov 22 12:57:39 2007
/een/epn/014/751/119⫺4⫺
Voorbeeld
De baan van een punt P wordt gegeven door
再
x ⫽ sin共2t兲
y ⫽ sin共t ⫺ 31 ␲兲 met t op 关0, 2␲兴.
Bereken de lengte van de baan in twee decimalen nauwkeurig.
Uitwerking
x ⫽ sin共2t兲 geeft x⬘共t兲 ⫽ 2 cos共2t兲
y ⫽ sin共t ⫺ 31 ␲兲 geeft y⬘共t兲 ⫽ cos共t ⫺ 31 ␲兲
v共t兲 ⫽ 冪共2 cos共2t兲兲 2 ⫹ 共cos共t ⫺ 31 ␲兲兲 2
2␲
De lengte van de baan is
兰 v共t兲dt ⬇ 9,34.
0
67 De baan van een punt P wordt gegeven door
再
x ⫽ sin共t兲
y ⫽ sin共4t兲 met t
再
x ⫽ sin共t 2兲
y ⫽ cos共2t兲 met t
再
x ⫽ cos共t兲
y ⫽ 1 ⫹ cos共4t兲
op 关0, 2␲兴.
Bereken de lengte van de baan in twee decimalen nauwkeurig.
68 De baan van een punt P wordt gegeven door
op 关0, 1 21 ␲兴.
De baan snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten A, B en C.
Bereken in twee decimalen nauwkeurig
a de snelheid van P in B
b de lengte van de baan tussen A en C
c de helling van de baan in het punt A.
A 69
De baan van een punt P wordt gegeven door
met t op 关␲, 2␲兴.
a Teken de baan van P.
b De baan is ook te beschrijven met een formule van de vorm
y ⫽ f 共x兲 met D f ⫽ 关⫺1, 1兴. Leid deze formule af.
De baan snijdt de lijn y ⫽ 1 achtereenvolgens in de punten A, B,
C en D.
c Bereken algebraïsch de snelheid van P in A. Rond het
antwoord af op twee decimalen.
d Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van de baan
tussen de punten B en D.
Goniometrie en beweging
117

Download Report