Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 2014-2015 1. (Flesjes die uit de band springen) Aan een lopende band worden bierflesjes gevuld. Helaas gaat er zo nu en dan iets mis, en valt er een flesje van de band. Uit recente gegevens blijkt dat er gemiddeld 3 flesjes per dag van de band vallen. (a) (20 punten) Wat is een geschikt model om het aantal gevallen flesjes te beschrijven? Als we ook zouden weten dat er per dag 10.000 flessen over de band gaan, wat is dan een geschikt model voor het aantal gevallen flessen per dag? Waarom maakt het in de praktijk weinig uit welk van deze twee modellen je gebruikt? (b) (10 punten) Geef een zo goed mogelijke benadering van de kans dat er in een maand van 20 werkdagen 55 flessen of minder sneuvelen door gebruik te maken van de centrale limiet stelling. 2. (20 punten) (Centrale limiet stelling revisited) Stel U1 , . . . , Un zijn uniform op [0, 1] en Un+1 , . . . , U2n zijn uniform op [0, 2]. Alle random variabelen zijn onafhankelijk. Hoe moet ik a en b kiezen zodanig dat U1 + · · · + U2n − an d √ −→ Z, bn d waarbij −→ convergentie in verdeling weergeeft en Z een standaard normale verdeling? Waarom mag je de centrale limiet stelling toepassen? 3. (Voetbalplaatjes) Een supermarkt deelt voetbalplaatjes uit. Er is een totaal van n plaatjes die allen met gelijke kans voorkomen. (a) (10 punten) Wat is het verwachte aantal plaatjes dat je krijgt voordat je alle plaatjes compleet hebt? Wat is de variantie hiervan? (b) (10 punten) Laat zien dat als n heel groot is, dat dan het aantal voetbalplaatjes Xn dat je krijgt voordat je alle plaatjes compleet hebt, voldoet aan Xn d −→ 1. n log n d Hier is −→ convergentie in verdeling. [Hint: gebruik de Chebychev ongelijkheid.] 4. (a) (10 punten) Bewijs dat voor een random variabele X met verwachtingswaarde µ = E[X] en E[X 4 ] < ∞ geldt dat E[(X − µ)4 ] . P(|X − µ| > r) ≤ r4 (b) (20 punten) Stel X heeft een standaard normale verdeling. Laat zien dat de Chebychev ongelijkheid geeft dat P(|X| > r) ≤ 1/r2 . Voor welke waarde van r is de afschatting uit (c) beter dan de Chebychev ongelijkheid? 1
© Copyright 2024 ExpyDoc
