REKENKUNDIGE CURIOSA

REKENKUNDIGE CURIOSA
CURIOSUM 1
Als a, b en c natuurlijke getallen zijn die niet deelbaar zijn door 3 dan is a2 + b2 + c2 wel
deelbaar door 3.
VERKLARING.
Een natuurlijk getal dat geen 3-voud is, is een 3-voud ± 1 en bijgevolg is het kwadraat ervan
een 3-voud + 1. Als a² = 3m + 1, b² = 3n + 1 en c² = 3p + 1, dan is is a² + b² + c² gelijk aan
3(m + n + p) + 3 en dus zelf een 3-voud.
CURIOSUM 2
Als n, a en b natuurlijke getallen zijn met n2 = ab en waarbij de grootste gemene deler van a
en b gelijk is aan 1, dan zijn a en b zelf ook kwadraatgetallen.
VERKLARING.
Schrijf n in een product van priemfactoren: n = p1 . p2 . … . pk.
Dan is n² = p1². p2² . … . pk² en als je dit product schrijft als een product van twee factoren a
en b die geen gemeenschappelijke priemdeler hebben, dan moeten a en b zelf producten zijn
van kwadraten van verschillende priemgetallen en dus zijn a en b kwadraatgetallen.
CURIOSUM 3
Voor elk natuurlijk getal n is n5 – n deelbaar door 30.
VERKLARING
n5 – n = n(n4 – 1) = n(n² – 1)(n² + 1) = (n – 1)n(n+1)(n² + 1).
Bij de drie opeenvolgende getallen n – 1, n en n + 1 zit er altijd een even getal en een getal dat
een 3-voud is, bijgevolg is n5 – n zeker deelbaar door 6.
Als n een 5-voud is, dan is n5 – n zelf ook een 5-voud.
Als n geen 5-voud is, dan zijn er twee mogelijkheden
 n = 5-voud ± 1 en dan is n5 = 5-voud ± 1, zodat n5 – n zelf een 5-voud is.
 n = 5-voud ± 2 en dan is n5 = 5-voud ± 2 (want 25 = 32 is zelf een 5-voud + 2), zodat
n5 – n zelf een 5-voud is.
In elk geval is n5 – n een 2-voud, een 3-voud en een 6-voud en bijgevolg is n5 – n deelbaar
door 30.
CURIOSUM 4
Als a en b natuurlijke getallen zijn die geen 5-voud zijn, dan is a4 – b4 een 5-voud.
VERKLARING
Als een natuurlijk getal n geen 5-voud is, dan is n = 5-voud ± 1 of n = 5-voud ± 2.
Dan is n² = 5-voud ± 1 en n4 = 5-voud + 1. Aangezien a4 en b4 allebei een 5-voud + 1 zijn,
zal a4 – b4 een 5-voud zijn.
Luc Gheysens – www.gnomon.bloggen.be

Download Report