Situatieafhankelijke hoofdeigenschappen van een
gekozen wielontwerp in functie van zijn
gebruikstoestand
Joachim Derijck
Promotoren: prof. Marc Wouters, dhr. Bert Maes
Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van
Master of Science in de industriële wetenschappen: elektromechanica
Vakgroep Industriële Technologie en Constructie
Voorzitter: prof. Marc Vanhaelst
Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur
Academiejaar 2013-2014
2013 – 2014 EM 870
Situatieafhankelijke hoofdeigenschappen van een
gekozen wielontwerp in functie van zijn
gebruikstoestand
Joachim Derijck
Promotoren: prof. Marc Wouters, dhr. Bert Maes
Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van
Master of Science in de industriële wetenschappen: elektromechanica
Vakgroep Industriële Technologie en Constructie
Voorzitter: prof. Marc Vanhaelst
Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur
Academiejaar 2013-2014
2013 – 2014 EM 870
‘De auteur(s) geeft (geven) de toelating deze scriptie voor raadpleging beschikbaar te
stellen en delen ervan te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt
onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de
verplichte bronvermelding bij het gebruiken of aanhalen van teksten of resultaten uit
deze scriptie.’
2
Woord vooraf
Allereerst wil ik beide promotoren bedanken voor hun begeleiding bij dit eindwerk.
Dhr. Marc Wouters voor de nodige steun, geduld en het gunnen van een tweede
kans.
Hetzelfde geldt voor dhr. Bert Maes, die altijd klaarstond om mij te helpen en mij
een duidelijk beeld heeft gegeven van wat van mij verwacht werd.
Daarnaast gaat ook een woord van dank uit naar mevr. Brouns. Zij heeft mij de
nodige tips gegeven naar de opstart van het rekenprogramma toe en stond ook altijd
open voor hulp.
Ook de familie verdient mijn oprechte dank. Dit voor de steun de afgelopen jaren en
het geduld dat nodig was om deze vijf jaren succesvol te vervolmaken.
Tenslotte ook nog mijn vrienden, voor de nodige afwisseling tijdens het jaar en het
nalezen van deze masterproef.
Gent, Juni 2014
Joachim Derijck
3
Abstract
In deze masterproef draait alles rond wielen. Er is onderzocht in welke mate de
theorieën volgens Kunz, Lütkebohle en Liu overeenstemmen met de werkelijkheid.
Dit is gebeurd aan de hand van een zelfontwikkeld rekenblad in Excel. Na een
algemene invoer van de wielparameters en zijn omgevingstoestand, worden voor elk
van de drie theorieën enkele algemene en specifieke uitgangsparameters berekend.
Het bedrijf biedt de mogelijkheid om enkele van deze parameters zelf te
onderzoeken, zoals de indrukking en de temperatuur.
Het vergelijken van de berekende en de gemeten waarden is een tweede besproken
aspect in de thesis. Elk van de drie theorieën zal sterke en zwakke punten hebben.
Deze moeten we proberen te achterhalen. Zo blijkt voor de geteste parameters en
wieltypes Liu het best te scoren. Een logisch gevolg van het feit dat hij het meeste
aandacht geschonken heeft aan alle invloedsfactoren. Een interessant besluit uit
het onderzoek is het vinden van een optimale waarde voor de E-modulus en het
Poisson-getal. Hiervoor voorspelt Liu zeer nauwkeurig de indrukking voor de geteste
VK90-wielen. Of dit voor elk van deze types wielen zo zal zijn, heeft uitgebreider
onderzoek nodig.
Tot slot moet gezegd dat de temperatuur de belangrijkste invloedsfactor is. Hij zal
continu zorgen voor wijzigende materiaalparameters en zal bij fouten vaak aan de
basis liggen. De continu wijziging maakt een correcte voorspelling moeilijk. Door de
materiaalparameters manueel aan te passen, zullen betere resultaten worden
bekomen.
In this thesis, everything revolves around wheels. The main question here is to
which extent the different theories of Kunz, Lütkebohle and Liu correspond to the
reality. For this research a self-made Excel spreadsheet was used. After entering the
input parameters, several general and specific output parameters will be calculated.
The research in the internship allows us to measure some of these parameters, like
indentation and temperature.
In the second part of this thesis, a comparison between the measured values and
the calculated values will be discussed. Every theory will have advantages and
disadvantages. We will try to discover these. The results of this investigation show
us that Liu made the best predictions for the tested parameters. This is a logical
outcome of the fact that he gave the most attention to all influences. An interesting
conclusion is finding an optimal value for the modulus of elasticity and Poissonfactor. Liu can predict the indentation by the tested wheels very precisely with this
parameters. There will be needed more tests to be sure that this applies to all VK90wheels
Finally, there is the temperature as main influence. It will take care of continuously
varying parameters. Besides, it is the main cause of problems with wheels.
Continuously varying parameters make an accurate prediction impossible. After
changing some material parameters, this will be facilitated.
4
Inhoudsopgave
Woord vooraf…………………………………………………………………………….. 3
Abstract……………………………………………………………………………………… 4
Inhoudsopgave…………………………………………………………………………. 5
Inleiding……………………………………………………………………………………. 7
Hoofdstuk 1 – Literatuurstudie……………………………………………..
10
1 De opbouw en eigenschappen van een wiel……………………………… 10
2 Het visco-elastisch gedrag van een kunststof…………………………… 13
3 De drie verschillende theorieën……………………………………………… 19
3.1 Wieltheorie volgens Kunz……………………………………………… 19
3.2 Wieltheorie volgens Lütkebohle……………………………………… 26
3.3 Wieltheorie volgens Liu…………………………………………………37
3.4 Toepassingsgebied per onderzoeker………………………………… 45
Hoofdstuk 2 – Onderzoek……………………………………………………….. 47
1 De TesTWinner® 922 – testbank…………………………………………….. 47
1.1 Bespreking van de testbank en bijhorende software…………… 47
1.2 Bespreking van de onderzochte wielen………………………........ 51
1.3 De uitgevoerde metingen……………………………………………… 52
1.4 Berekeningen volgens het rekenblad………………………………. 54
2 Testbank voor rollercoasterwielen…………………………………………. 67
2.1 Bespreking van de testbank…………………………………………. 67
2.2 Mogelijke optredende defecten bij de Vulkollan® - wielen……. 69
2.3 Bespreking van de metingen en berekeningen………………….. 72
3 Besluit van het onderzoek…………………………………………………….. 81
Hoofdstuk 3 – Handleiding…………………………………………………….
83
1 De invoer…………………………………………………………………………… 83
2 De uitvoer………………………………………………………………………….. 86
Algemeen besluit……………………………………………………………………… 90
Lijst met figuren en tabellen…………………………………………………. 92
Geraadpleegde literatuur……………………………………………………….. 95
5
Bijlage I: Gemiddeldes van de metingen per wieltype tot een maximale
last van 4000N bij een kamertemperatuur van 40°C
Bijlage II: Gemiddeldes van de metingen per wieltype tot een maximale
last van 4000N bij een kamertemperatuur van 60°C
Bijlage III: Gemiddeldes van de metingen per wieltype tot een maximale
last van 4000N bij een kamertemperatuur van 80°C
Bijlage IV: Gemiddeldes van de metingen per kamertemperatuur voor
wieltype 2 tot een maximale last van 4000N
Bijlage V: Gemiddeldes van de metingen per kamertemperatuur voor
wieltype 3 tot een maximale last van 4000N
Bijlage VI: Metingen voor wieltype 1 in functie van de kamertemperatuur +
de berekeningen volgens het rekenblad met vaste materiaalwaarden
voor VK90: E = 50N/mm² en ν = 0,45
Bijlage VII: Metingen voor wieltype 2 in functie van de kamertemperatuur +
de berekeningen volgens het rekenblad met vaste materiaalwaarden
voor VK90: E = 50N/mm² en ν = 0,45
Bijlage VIII: Hoofdblad voor Lütkebohle in Visual Basic
Bijlage IX: Technische fiche voor Vulkollan® 80° Shore A
Bijlage X: Technische fiche voor Vulkollan® 90° Shore A
Bijlage XI: Technische fiche voor Vulkollan® 95° Shore A
6
Inleiding
Het wordt vaak onderschat in hoeveel toepassingen wieltjes verwerkt zitten. Van
transportkarren in de voedingsindustrie tot pretparkwielen in een achtbaan. Ze
zullen altijd een geleidende en ondersteunende functie hebben. Materiaal en
voorwerpen van de huidige plaats naar een gewenst punt transporteren. Hierbij
speelt de omgeving en het ontwerp van de toepassing een belangrijke rol. Zij zullen
doorslaggevend zijn naar de keuze van het wiel toe.
Ondanks dat het wiel al 5000 jaar bestaat, zijn de basisfuncties dezelfde gebleven.
Natuurlijk staat de evolutie niet stil en is vooral de laatste eeuw een sterke evolutie
zichtbaar. Dit komt vooral door de opgang van polymeren. Deze blijken een erg
geschikt mantelmateriaal te zijn. Hun grote aanbod en de mogelijkheid tot het
ontwerpen van blends en composieten maken het ideale mantelmateriaal vinden
niet eenvoudig. Testen is dus de boodschap. Afgelopen decennia hebben
verschillende onderzoekers zich hiermee bezig gehouden. Dit leidt vandaag tot een
voorraad aan informatie en bevindingen. Voornamelijk onder de vorm van
Duitstalige literatuur. Uit dit arsenaal aan informatie is mij de opdracht gegeven
door de firma Vulkoprin om een rekenblad te ontwerpen.
Het bedrijf Vulkoprin bestaat bijna 50 jaar en heeft zich op het vlak van wielen
opgeworpen als een sterke en betrouwbare speler op de markt. Hun aanbod aan
wieltjes is enorm en beschikbaar te bekijken via hun digitale catalogus. Al sinds de
opstart van het bedrijf is qua materiaal gekozen voor het meest performante
polyurethaan op de markt: Vulkollan®. Dit is een sterke zet gebleken, aangezien het
nog steeds de beste keuze blijkt voor veeleisende toepassingen. Het biedt naast een
grote verlenging en treksterkte, ook een grote stijfheid. Daarnaast is de
scheurweerstand enorm hoog. Zolang het materiaal wordt gebruikt bij
temperaturen onder de 120°C zal geen blijvende beschadiging in de chemische
structuur optreden. Wel zal vanaf 80°C de weerstand tegen slijtage serieus
afnemen. Qua types zijn er verschillende mogelijkheden. De indeling gebeurt
naarmate de hardheid. De meest gebruikte zijn Vulkollan® 80° Shore A,
Vulkollan® 90° Shore A en Vulkollan® 95° Shore A. In het rekenblad worden deze
drie types gebruikt. Al bestaat de mogelijkheid om materialen toe te voegen.
Het aanbod aan wielen bij de firma Vulkoprin is enorm. In alle mogelijke maten en
vormen zijn ze beschikbaar. Het doornemen van één van hun catalogussen zal dit
beamen. Voor elk wiel is naast de geometrische aspecten, de belangrijkste
eigenschap getest en dus gekend. Dit is het maximale gewicht dat het wiel kan
dragen.
Naargelang de toepassing wordt een keuze gemaakt. Vulkoprin speelt hierbij de rol
als adviseur. De klant zo goed mogelijk bijstaan en afhankelijk van de vraag een
aantal voorstellen kunnen aanbieden en toelichten. Hiervoor volstaat het niet altijd
7
om enkel het maximale draagvermogen te kennen. Op vraag van de klant kunnen
andere eigenschappen opgevraagd worden. Het probleem voor Vulkoprin is dat
wanneer dit voorkomt telkens de literatuur moet worden bovengehaald. Vervolgens
volgt de zoektocht naar de gewenste formules, waarna het rekenen kan beginnen.
Alsof dit nog niet volstaat, zal achteraf nog een evaluatie van de resultaten nodig
zijn.
Om dit proces wat makkelijker en vooral duidelijker te laten verlopen, is volgende
thesisopdracht ontstaan. Ontwikkel een rekenblad waarin verschillende wiskundige
modellen met elkaar worden vergeleken. Ga hierbij uit van de aangeboden
literatuur. Vooraleer de opbouw van het rekenblad kan starten, moet dus eerst al
deze literatuur worden doorgenomen.
Er zijn drie onderzoekers, die moeten verwerkt worden in het programma. Dit zijn
Johannes Kunz, Heinrich Lütkebohle en Xiufei Liu. Elk van hen heeft zijn eigen
boek met alle informatie over uitgevoerde onderzoeken en bereikte resultaten. Allen
zijn ze volledig Duitstalig geschreven. Het doornemen van de werken geldt als
startopdracht. Zonder kennis hiervan, is een verdere opbouw onmogelijk.
Bij het lezen gaat de voornaamste aandacht uit naar de manier van onderzoeken.
Hierbij komen volgende vragen aan bod:
-
Welke factoren zijn onderzocht en hoe is dit onderzoek gebeurd?
Met wat voor vormen en materialen is er gewerkt?
Wat heeft allemaal invloed op de meting?
Waarin verschillen de drie onderzoekers?
Op deze manier wordt alles doorgenomen. Hierna volgt in samenspraak met het
bedrijf, wat er wordt verwacht van het rekenblad. Dit moet zo eenvoudig mogelijk te
hanteren zijn. Daarnaast moeten zeker de belangrijkste uitvoerparameters worden
uitgerekend, zoals er zijn de indrukking, de lengte van het contactvlak, de maximale
druk en de temperatuur in het wiel. Per onderzoeker worden de formules van vorig
vernoemde parameters opgezocht. Daarnaast wordt gekeken naar de voorwaarden
waarvoor ze gelden. Eens hiervan alles correct op papier staat, kan het ontwerp van
het rekenblad starten.
De opbouw verloopt volgens een stappenplan. Dit is cruciaal om enigszins
overzichtelijk te werk te gaan. Eerst komt het in te voeren gedeelte. Vervolgens
wordt per onderzoeker het rekenblad opgebouwd en geëvalueerd. Indien alles is
goedgekeurd wordt de uitvoer verzorgd. Tenslotte blijft de opkuis over, de beveiliging
en vooral het programma zo eenvoudig mogelijk maken voor de gebruiker.
8
Het resterende onderdeel is het onderzoek. Het is de bedoeling om de verkregen
resultaten in het rekenblad te vergelijken met de metingen. Wie geeft de beste
voorspellingen en was dit te verwachten? Zijn de voorspelde waarden betrouwbaar
te noemen? Op deze vragen moet het onderzoek duidelijkheid bieden. Hiervoor zijn
testen gebeurt met verschillende wieltypes op de twee aanwezige testbanken in het
bedrijf. Slechts enkele van de uitvoerparameters zijn hierop te testen. Een algemene
evaluatie voor het volledige rekenblad zal dus niet mogelijk zijn. Enkel de
indrukking en temperatuur kunnen worden onderzocht. De ene testbank zal voor
stilstaande wielen de indrukking kunnen opnemen. De andere kan naast de
indrukking ook de temperatuur opmeten van een ronddraaiend wiel.
Al gauw zal duidelijk worden, welke onderzoeker de werkelijkheid het best benadert.
Vervolgens dient men na te gaan waarom die theorie het nauwkeurigste is voor de
geteste wieltypes. Hiervoor worden opnieuw de formules en literatuur bovengehaald
om het verband trachten te achterhalen. Tegelijk gaat men na waarom de overige
theorieën minder correcte voorspellingen gaven. Eén oorzaak zal hierbij altijd aan
de basis liggen, namelijk de invloedsfactoren. Hoe meer men hiermee rekening
houdt in zijn formules, des te nauwkeurig de voorspelling zal zijn.
Het allerlaatste aspect zit hem in het zoeken naar een optimale situatie, waarvoor
de berekeningen de werkelijkheid zeer sterk benaderen. Dit gebeurt door te spelen
met de materiaalparameters. Dit mag aangezien deze parameters wijzigen naarmate
een wiel rolt. Zijn de ideale waarden aanvaardbaar en geldig voor de drie geteste
wieltypes, dan mag men voorzichtig spreken van een ideale voorspelling. Aangezien
slechts enkele wieltypes getest geweest zijn, moet enige voorzichtigheid worden
ingebouwd. Er zal verder onderzoek nodig zijn om na te gaan of de voorspelling
geldt voor het volledig gamma aan wielen.
Als alle voorgaande is voltooid, zit het belangrijkste werk van de thesis erop. Deze
inleiding geeft weer hoe het geheel is opgebouwd gedurende het afgelopen jaar. Als
resultaat kan Vulkoprin een overzichtelijk rekenprogramma worden aangeboden.
9
Hoofdstuk 1 – Literatuurstudie
1 De opbouw en eigenschappen van een wiel
Wielen, geproduceerd door het bedrijf Vulkoprin, worden gebruikt in allerhande
toepassingen. Dit onder meer in eenvoudige transportkarren, rolcontainers of
transpalletwagens, maar ook in ingewikkeldere toepassingen zoals achtbanen. De
kwaliteit staat hierbij voorop. De producent wordt verwacht te voldoen aan de eisen
van de klant: kwalitatief een te vertrouwen product, zo goedkoop mogelijk en met
aandacht voor het ontwerp.
Vulkoprin biedt in zijn catalogussen een uitgebreid gamma aan wieltypes aan. Deze
zijn allemaal getest bij een constante rolsnelheid op maximale last.
Wat maakt een wiel geschikt voor een welbepaalde toepassing? Hoe zijn ze
opgebouwd? Welke factoren beïnvloeden hun gedrag? Wat voor materialen worden
er gebruikt?
Al deze vragen zouden in het verdere verloop van deze masterproef duidelijk moeten
worden.
Wanneer wordt uitgegaan van een standaard wiel, kan deze verdeelt worden in twee
stukken. Het eerste deel is de naaf, dat rond de as kan worden bevestigd. Daarrond
zit de mantel of ook wel band genoemd, welke door middel van persen of gieten
onder een voorspanning kan worden aangebracht. Deze kan verschillende vormen
aannemen: cilindrisch, convex of concaaf. Dit is voorgesteld in volgende figuur.
Figuur 1: Verschillende vormen van de wielmantel
10
Hierop zijn de parameters zichtbaar om een wiel geometrisch te beschrijven. De
meeste eigenschappen zijn gemeenschappelijk, maar sommige zijn specifiek aan de
vormkeuze van de mantel.
We zien onder meer:
-
asdiameter (din)
de binnenste radius van de naaf (di)
de buitenste radius van de band (da)
de afrondingsstraal (r, rQ, r1)
de banddikte (h)
wielbreedte (l)
naaflengte (s)
dragende lengte (la)
Deze parameters beschrijven de geometrie van het wiel. Dit is een van de vier
hoofdeigenschappen, die cruciaal zullen zijn in de wielkeuze.
Hoe verhouden de diameters zich en wat is het gevolg wanneer de banddikte of de
wielbreedte wordt gewijzigd? Allemaal zullen ze invloed hebben op hoe groot de
maximale druk en temperatuur worden in de band. De invloed van de ene zal
bepalender zijn als de andere. Verder in deze masterproef wordt hier verder op
ingegaan.
Een tweede bepalende factor is de keuze van gebruikte materialen. Voor de naaf is
deze keuze vrij. De enige voorwaarde is dat de keuze valt op een zogenaamde starre
stof, bijvoorbeeld staal. In geval van belasting moet dit deel van het wiel onvervormd
blijven.
Voor het mantelmateriaal is staal geen goede oplossing. Alleen al voor de
geluidshinder en de hoge weerstand dat dit met zich mee zou brengen. Kunststoffen
blijken een veel gebruikt en erg geschikt mantelmateriaal te zijn. Dit omwille van
onder meer het geringer geluidsniveau, de hogere mechanische demping en de
verhoogde draagsterkte.
Het aanbod aan kunststoffen is erg uitgebreid. Bij Vulkoprin gebruikt men een
speciaal type mantelmateriaal, Vulkollan® genaamd. Dit is een door het Duitstalige
concern ‘Bayer AG’ ontwikkeld materiaal, waarbij uitgegaan is van de kunststof
polyurethaan. Hieraan is het bestanddeel Desmodur 15 toegevoegd. Door het
toevoegen van dit bestanddeel lukt het Vulkollan® om uitzonderlijke resultaten te
behalen. Zo bieden ze naast een hoge treksterkte en hoge stijfheid ook nog is een
grote verlenging. Ze kunnen tot bijna 7x hun lengte uitgerekt worden vooraleer ze
scheuren (Vulkoprin).
11
De verschillende types Vulkollan® worden ingedeeld naargelang hun hardheid. Bij
Vulkoprin worden voor de mantel onder meer Vulkollan® types 80° – 90° – 95°
Shore A aangeboden.
De optimale eigenschappen heeft Vulkollan® bij een hardheid van 90° Shore A,
terwijl 95° het voordeel heeft van een uitgebreider draagvermogen en 80° gebruikt
wordt waar een betere grip vereist is.
De derde bepalende factor in de wielkeuze is de belasting. Wielen bezitten
standaard een vervoersfunctie. Ze dienen voor het begeleiden van goederen op een
eenvoudige manier. Ze vervoeren met andere woorden een last. Een belast wiel zal
vanaf een bepaalde belasting ingedrukt worden. Het is de bedoeling deze indrukking
beperkt te houden zodat het rollen eenvoudig verloopt. Daarom zullen zowel de
geometrische parameters als het materiaal in functie van de last worden gekozen.
Als laatste zal ook de temperatuur een heel belangrijke rol spelen. Vrijwel altijd zal
dit de oorzaak zijn voor defecten aan het wiel. Thermische overbelasting is daarvan
een voorbeeld en staat weergegeven in figuur 2. Hierbij loopt de temperatuur in het
wiel hoog op en vindt er onvoldoende warmteafvoer plaats. Het mantelmateriaal zal
te warm worden en beginnen te vervloeien. Oorzaken hiervan zijn een te hoge
belasting en een te grote rolsnelheid. Een grote waarde bij één van beide zal niet
altijd fataal zijn, maar wanneer men beide combineert is vervloeiing een feit.
Daarom zal er per rolsnelheid een maximale belasting zijn, die niet mag worden
overschreden.
Figuur 2: Thermische overbelasting (InnoRad, 2011)
12
2 Het visco-elastisch gedrag van een kunststof
Wielen bestaan uit twee hoofdcomponenten: een stalen naaf en een kunststoffen
mantel. Beide materialen zijn totaal verschillend. Dit wordt zichtbaar wanneer men
ze belast. Elk materiaal zal vervormen, maar de mate waarin hangt af van het
zogenaamde spanning-rek diagram.
Figuur 3: Spanning-rekdiagram van staal
Figuur 4: Spanning-rekdiagram van
kunststoffen (www.azom.com)
Hieruit is te zien dat staal in een bepaald gebied (tot A), lineair elastisch is. Dit wil
zeggen dat hier de wet van Hooke geldt:
-
(1.1)
Bij kunststoffen is er duidelijk geen sprake van een lineair elastisch gebied. Elke
kunststof heeft zijn eigen karakteristiek. Enige vorm van uniformiteit is er niet te
zien. Men spreekt van visco-elastische materialen. Hun gedrag wordt voorgesteld
door veer-demper-systemen. Hierbij staat de veer symbool voor het elastische
gedrag en de demper voor het viskeuze gedrag.
Als een veer wordt belast, dan zal er energie aan de veer worden toegevoegd. Bij het
ontlasten zal deze energie volledig worden teruggeven. Er gaat met andere woorden
niks van energie verloren aan warmte of wrijving. Dit is karakteristiek aan een veer.
Figuur 5 geeft haar gedrag weer.
Figuur 5: Respons van een elastisch materiaal op een excitatie met constante reksnelheid (A.K.
van der Vegt, 1991)
13
Het gelden van de wet van Hooke is duidelijk te zien. De spanning van de veer zal
lineair toenemen, als ze met een constante reksnelheid wordt uitgerekt. Bij
ontlasten zal deze spanning lineair afnemen.
Is de belasting dynamisch dan zal voor de rek gelden dat:
-
()
(
)
(1.2)
Hieruit volgt volgens de wet van Hooke:
(
-
)
(1.3)
Hieruit is te zien dat de spanning volledig in fase ligt met de rek en dat de
frequentie geen invloed heeft op de amplitudes. De totale hoeveelheid aan
toegevoegde energie wordt bij ontlasting volledig terug afgegeven.
Figuur 6: Respons van een elastisch materiaal op een dynamische excitatie (A.K. van der Vegt,
1991)
Een demper staat symbool voor het viskeuze gedrag van een materiaal. Volgende
vergelijking geeft dit weer:
-
̇
(1.4)
De spanning is bij viskeus gedrag recht evenredig met de reksnelheid ̇. De factor
staat voor de dynamische viscositeit.
Om zijn gedrag te verduidelijken wordt dezelfde trekproef als bij de veer toegepast,
namelijk trekken met constante reksnelheid ̇ tot een eindrek
Figuur 7: Respons van een viskeus materiaal op een excitatie met constante reksnelheid (A.K.
van der Vegt, 1991)
14
Het verschil met figuur 5 is duidelijk. Dit verschil komt doordat de spanning in dit
geval niet afhankelijk is van de rek, maar van de reksnelheid. Keert deze om van
teken, dan zal de spanning dit ook doen.
In de grafiek met de spanning uitgezet in functie van de rek is duidelijk te zien, dat
belasten en ontlasten niet langs dezelfde weg gebeurt. Anders gezegd zal er evenveel
energie nodig zijn om terug te keren naar de oorspronkelijke staat, als dat er is
toegevoerd bij de belasting. Er is geen energieopslag maar volledige
energiedissipatie. Dit is typisch aan een demper.
Is de belasting dynamisch dan zal ook hier voor de rek vergelijking 1.2 gelden. Door
deze af te leiden wordt de reksnelheid verkregen.
De spanning wordt dan:
(
-
)
(
)
(1.5)
Het spanningssignaal zal 90° voorijlen op het reksignaal. Daarnaast zal ook zijn
amplitude frequentieafhankelijk zijn.
Figuur 8: Respons van een viskeus materiaal op een dynamische excitatie (A.K. van der Vegt,
1991)
Het gekleurde oppervlak staat voor de hoeveelheid gedissipeerde energie.
Kunststoffen zijn visco-elastisch. Ze zijn niet volledig lineair elastisch of viskeus,
maar een combinatie van beiden. Bij hen zal een deel van de energie opgeslagen
worden en een deel gedissipeerd.
Bij een dynamische belasting zal de spanningsrespons er als volgt uitzien:
-
()
( )
(
( ))
(1.6)
Hierin staat
voor de dynamische modulus. Deze is frequentie- en
temperatuursafhankelijk. Daarnaast is er verlieshoek , welke tussen 0°(volkomen
elastisch) en 90°(volkomen viskeus) ligt. Ook deze is frequentie- en
temperatuursafhankelijk.1
1
Van der Vegt, A.K. (1999, vierde druk). Polymeren van keten tot kunststof. Technische
Universiteit Delft
15
Het uitwerken van de vergelijking geeft ons:
-
met
[
()
( )
(
)
( )
(
)]
[
(
)
(
)]
( ) = opslagmodulus
( ) = verliesmodulus
E’ =
E’’ =
De opslagmodulus geeft de elastische invloed weer en de verliesmodulus de
viskeuze invloed. Als deze gekend zijn kunnen
berekend worden als volgt:
-
tg( ) =
(1.7)
-
√
(1.8)
Daarnaast kan de hoeveelheid gedissipeerde energie per cyclus worden bepaald:
-
W=
(1.9)
Merk hierbij de rechtstreekse afhankelijkheid van de verliesmodulus E’’ op.
Het gedrag van kunststoffen is niet perfect lineair elastisch of viskeus, maar een
combinatie van beiden. Verschillende onderzoekers hebben een eigen model
uitgewerkt om het visco-elastisch gedrag te beschrijven. Hun methode was heel
eenvoudig, namelijk het combineren van veren en dempers tot veer-dempersystemen. Enkele hiervan staan in figuur 9 weergegeven.
Figuur 9: Verschillende veer-demper-modellen
16
De twee eenvoudigste zijn het Maxwell-model en Voigt-Kelvin-model.
Bij het Maxwell-model is er een serieschakeling van een veer en een demper. Het
gedrag hiervan bij aanleggen van een constante spanning en bij aanleggen van een
constante rek is in volgende figuur weergegeven.
Figuur 10: Respons bij het Maxwell-model (A.K. van der Vegt, 1991)
Bij een constante spanning zal de rek lineair toenemen. De totale vervorming hierbij
is gelijk aan de som van de deelvervormingen van veer en demper. Valt deze
spanning weg, dan zal de veer terugkeren naar zijn oorspronkelijke toestand. De
demper blijft in zijn huidige positie. Er is dus sprake van blijvende vervorming.
Bij het aanleggen van een constante rek wordt een nieuw fenomeen zichtbaar. De
constante rek zorgt voor uitrekking van de veer. Deze veer herstelt zich naar zijn
oorspronkelijke toestand en doet daarbij de demper vervormen. Dit wordt
spanningsrelaxatie genoemd. De spanning in de veer valt hierbij helemaal weg.
Volstaat het Maxwell-model nu om het visco-elastische gedrag volledig perfect te
beschrijven? Neen. Ondanks het wel weergeven van de spanningsrelaxatie
ontbreekt de irreversibele groei.1
Misschien doet het Voigt-Kelvin-model beter. Hier vormen de veer en demper een
parallelschakeling.
Figuur 11: Kruip bij het Voigt-Kelvin-model (A.K. van der Vegt, 1991)
1
Van der Vegt, A.K. (1999, vierde druk). Polymeren van keten tot kunststof. Technische
Universiteit Delft
17
Bij een constante spanning zal hier de rek niet lineair toenemen. De uitrekking van
de veer wordt beperkt door de demper. Valt de spanning weg, dan keert de veer
terug naar zijn begintoestand en neemt deze de demper mee. Van
spanningsrelaxatie is hier geen sprake. Er treedt wel iets anders op, namelijk kruip.
Ondanks het beschrijven van kruip voldoet het Voigt-Kelvin-model niet om het
visco-elastisch gedrag perfect weer te geven. De instantane deformatie kan niet door
dit model worden beschreven.1
Beide modellen voldoen dus niet, maar vormen wel een goede basis voor verdere
modellen. Er kan besloten worden dan het onmogelijk is om het visco-elastische
gedrag door een model met slechts twee parameters te laten beschrijven.
1
Van der Vegt, A.K. (1999, vierde druk). Polymeren van keten tot kunststof. Technische
Universiteit Delft
18
3 De drie verschillende theorieën
De literatuurstudie is gebeurd in functie van het ontworpen rekenblad. Hiervoor
zijn de werken van drie onderzoekers uitgebreid bestudeert: Prof. Dipl.-Ing.
Johannes Kunz, Prof. Dr.-Ing. Heinrich Lütkebohle en Dr.-Ing. Xiufei Liu.
Hun onderzoek ging uit naar één gemeenschappelijk onderwerp: de mechanische
eigenschappen van wielen met thermoplastische kunststofmantel.
Elk van hen heeft zijn eigen theorie ontwikkeld. Elke theorie zal zijn eigen
toepassingsgebied hebben waarbij de berekende resultaten nauwkeuriger
aanleunen bij de werkelijkheid. Welke deze zijn zal samen met de voor- en nadelen
van elk ontwerp verder in deze paragraaf worden besproken.
Bij alle drie is in het onderzoek vooral gekeken naar de invloed van de belasting,
frequentie en temperatuur op de wieleigenschappen. Elke invloedsfactor beïnvloedt
op zijn beurt een aantal andere. Dit maakt het onmogelijk om op elk moment alle
uitvoerparameters precies te kennen. Om de opgebouwde modellen makkelijk te
kunnen gebruiken zijn daarom vereenvoudigingen doorgevoerd. Elk van de
onderzoekers deed dit op zijn eigen manier. Ook dit zal leiden tot contactsituaties
waarbij het ene model betere resultaten zal voorspellen dan het andere.
3.1 Wieltheorie volgens Kunz
Prof.-Ing. Johannes Kunz is een Zwitserse professor aan de hogeschool voor
techniek in Rapperswil, die de hoofdeigenschappen van wielen heeft onderzocht.
Zijn grootste aandacht ging uit naar de wielgeometrie. Welke invloed hebben de
diameterverhouding naaf-mantel, de banddikte en de vorm van de baan op de
uitvoerparameters?
De geteste wielen hebben allemaal dezelfde opbouw qua materiaal. Een stalen naaf
en een mantel uit kunststof. De gebruikte kunststoffen als mantelmateriaal zijn het
zacht-elastische PUR en het hard-elastische PA en POM. Aangezien in het
rekenprogramma als mantelmateriaal enkel Vulkollan® beschikbaar is, zijn vooral
de resultaten met PUR interessant.
De enige belasting op de wielen is normaalkracht FN. Met een tangentiaalkracht FT
ten gevolge van een aandrijf- of afremmoment houdt Kunz geen rekening.
Waar was Kunz nu vooral in geïnteresseerd? Zijn onderzoek vertrok altijd vanuit
radiale - in het centrum van de naaf - belaste wielen. Hiermee volgden de testen.
Altijd werd uitgegaan van een wiel in stilstand. Dit is zeker iets specifiek aan Kunz.
Hij hield bij geen enkele van zijn berekeningen rekening met de rolsnelheid.
Van het statisch belaste wiel zijn de maximale draagbare last en zijn
vervormingsgedrag de belangrijkste uitvoerparameters. Hiernaar is zeer veel
19
onderzoek verricht. Een wiel mag deze maximale last niet overschrijden of falen is
een feit. Daarnaast wil men de indrukking en het contactoppervlak beperkt houden
om het rollen zo vlot mogelijk te laten verlopen. De contactsituatie die zich voordeed
was hierbij van cruciaal belang. Vele mogelijke contactsituaties zijn door Kunz
getest geweest. Hieruit is veel nuttige informatie gevolgd.
Naargelang de contactsituatie zijn twee onderverdelingen mogelijk. Deze zijn een
lijnvormig contact of een puntvormig contact.
Figuur 12: Lijnvormige contactsituaties
(Kunz, 2010)
Figuur 13: Puntvormige contactsituaties
(Kunz, 2010)
Kunz is bij zijn onderzoek altijd sterk uitgegaan van de theorie van Hertz.
Dit is een in 1881 ontwikkelde theorie waarbij spanningen en vervormingen tussen
twee contact makende lichamen kunnen worden berekend. Hierbij is uitgegaan van
een puntvormig contact in onbelaste toestand en een plat contactvlak bij belasting.
De contactsituatie wordt gekenmerkt door vier hoofdkrommingen. Hiervan zijn er
twee afhankelijk van de vorm van het bovenste wiel en twee van de vorm van de
baan. Met deze hoofdkrommingen en andere gekende invoergegevens heeft Hertz
formules ontwikkeld die de halve contactlengte en de maximale indrukking kunnen
bepalen.
De voornaamste door Hertz genomen veronderstelling is dat de afmetingen van het
contactvlak klein zijn tegenover deze van de lichamen.
Kunz ging hiermee aan de slag. Uit zijn onderzoek bleek dat de Hertz formules goed
bruikbare resultaten weergaven. Dit dan vooral bij een puntvormig contact. Voor de
lijnvormige gevallen ligt de theorie van Hertz moeilijker, maar mits de nodige
vereenvoudigingen zal Hertz kunnen dienen als basis voor het bepalen van de
formules.
Zoals eerder vermeld zal dus naast de vorm van het wiel, ook de vorm van de baan
bepalend zijn voor het type contactsituatie. Volgende figuur geeft enkele door Kunz
onderzochte contactsituaties weer.
Figuur 14: Onderzochte contactsituaties door Kunz (Kunz, 2009)
20
Hierbij is in b) en c) sprake van een puntvormig contact. De theorie van Hertz is hier
toepasbaar. Daartegenover staat een lijnvormig contact in a) en d). Hertz toepassen
is hier in theorie niet toegelaten, maar mits de nodige vereenvoudigingen zijn de
vereiste formules hieruit wel af te leiden.
Kunz heeft een algemeen model uitgewerkt, gebaseerd op de theorie van Hertz. Dit
zal nu worden toegelicht. Hierbij is uitgegaan van kogels en cilinders in plaats van
wielen. Vandaar dat het model als algemeen mag worden beschouwd. Het zal als
basis dienen voor latere modellen. Het doel is het bepalen van de indrukking, de
maximale contactdruk en de afmetingen van het contactvlak.
Een contactsituatie tussen twee lichamen wordt gekenmerkt door vier radiussen:
R11, R12, R21 en R22. Hiervan zal elk lichaam verantwoordelijk zijn voor twee
radiussen. Volgende figuur geeft dit weer.
Figuur 15: De vier hoofdradiussen (Kunz, 2009)
Alle contactsituatieafhankelijke factoren welke nodig zullen zijn in de formules
kunnen worden berekend met enkel de vier radiussen:
-
vergelijkingsradius Rv =
(1.10)
-
krommingsparameter η =
-
de krommingscoëfficiënten c1 tot c4:
√(
)
(
)
(
) (
○ c1 = (
○ c2 = (
○ c3 = (
○ c4 =
(1.11)
)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
)
(1.15)
)
)
(
)
21
Om dit te verduidelijken wordt situatie c uit figuur 14 genomen, waarbij twee
cilinders rechthoekig gekruist liggen t.o.v. elkaar.
Hierbij is R11 = ∞, R12 = R1, R21 = R2 en R22 = ∞. Hieruit volgt voor de
vergelijkingsradius: Rv =
en voor de krommingsparameter: η = |
|.
Om de uitvoerparameters te kunnen bepalen zijn naast Rv en η, ook de grootte van
de belasting en de gebruikte materialen belangrijk.
Qua belasting wordt enkel uitgegaan van een normaalkracht FN op het wiel. Van de
gebruikte materialen zijn de E-modulus en dwarscontractiecoëfficiënt µ vereist.
Beide E-modulussen en dwarscontractiecoëfficiënten worden verenigd tot:
-
vergelijkingselasticiteitsmodulus Ev =
(1.16)
-
vergelijkingsdwarscontractiecoëfficiënt µv = √
(1.17)
Belangrijk hierbij op te merken is dat in dit model de gewone
elasticiteitsmodulussen worden gebruikt. Nochtans gebruikt Kunz - als het lichaam
een wiel is – niet de gewone E-modulus van het mantelmateriaal, maar de
zogenaamde Kriechmodulus of kruipmodulus EC. Hier heeft hij veel onderzoek naar
verricht.
Het mantelmateriaal Vulkollan® gedraagt zich zoals vele kunststoffen viscoelastisch. Omwille van dit visco-elastische gedrag hebben deze de neiging tot kruip.
Dit wil zeggen dat bij langdurige belasting hun stijfheid en weerstand tegen
vervorming zullen afnemen. Hoe langer de constante belasting aanhoudt, des te
meer de vervorming zal stijgen.
-
Kruipmodulus
( )
( )
(1.18)
In de formule 1.18 stelt σ de constante spanning voor en ε(t) de rek op tijdstip t.
Om de kruip van een visco-elastisch materiaal te beschrijven wordt ook vaak de
kruipneiging weergegeven. Hoe groter de kruipneiging, hoe trager de
materiaalstijfheid en weerstand tegen vervorming afnemen bij een langdurige
constante belasting. De kruipneiging ligt altijd tussen 0 en 1.
-
Kruipneiging cn =
(
)
( )
(1.19)
Hierbij staat Ec(t0) voor de kruipmodulus na 100 (=1) uur en Ec(tn) voor de
kruipmodulus na 10n uur. Een goede en veelgebruikte waarde voor n is 3.
22
Even een voorbeeld om te illustreren. Stel het materiaal POM type Hostaform
C13021. Hiervan is Ec(t0) = 2500N/mm² en Ec(t3) = 1300 N/mm², zodat de
kruipneiging c3 gelijk wordt aan 0,52 (= 1300/2500).1
Aangezien de kruipmodulus continu verandert en bijna onmogelijk gekend kan zijn
op elk ogenblik, worden in de formules de waarden gebruikt bij kruipneiging cn = 1.
Dit wil zeggen dat voor de E1-moduluswaarde in zijn formules, de kruipmodulus na
1u belasting wordt genomen.
Er zijn nog andere factoren die het extra moeilijk maken om het verloop van de
kruipmodulus in functie van de tijd te kennen. Enerzijds de belasting en zijn
tijdsduur zullen een rol spelen, maar ook de temperatuur. Een E-modulus is
afhankelijk van de temperatuur. Een veranderende kamertemperatuur zal dus
leiden tot andere waarden voor de uitvoerparameters.
In het door Kunz ontworpen model is nergens rekening gehouden met de
kamertemperatuur. Als men wil nagaan hoe de uitvoerparameters van de wielen
wijzigen in functie van de kamertemperatuur, zal Kunz geen bruikbaar model zijn.
Alle nodige factoren om de hoofdeigenschappen volgens Kunz te bepalen zijn nu
besproken. Deze hoofdeigenschappen zien er als volgt uit:
-
De grote as van het contactvlak = a =
-
De kleine as van het contactvlak = b =
-
Maximale contactdruk = p0
= 1,5 .
-
√
(
(
)
√
(
(
)
)
)
(
√
)
Indrukking = w = 0,834 . c4 . √
(
√
(
(
)
(1.20)
)
)
(1.21)
(1.22)
(1.23)
1
Kunz, J. (2003). Kriech- und Stossverhalten aus campus-daten ableiten. KunststoffeSynthetics, 7.
23
Deze formules toegepast op enkele van de besproken contactsituaties geeft volgende
besluitende figuur.
Figuur 16: Enkele formules per contactsituatie (Kunz, 2009)
Om dit algemene model af te kunnen ronden, resten enkel nog wat opmerkingen
over de vorm van het contactvlak. In het ideale geval zoals hier is veronderstelt, zal
bij contact tussen twee kogels het contactvlak cirkelvormig zijn. Bij contact tussen
twee cilinders is het contactvlak rechthoekig. Hun oppervlakte verschilt naargelang
de situatie. Voor kruisende cilinders 2a x 2b en voor evenwijdige 2b x l met l de
lengte van de kortste cilinder.
Dit model vormt voor Kunz de basis om over te kunnen gaan naar contactsituaties
bij wielen. Enkel de - in het ontworpen rekenblad – gebruikte situaties en formules
zullen verder worden besproken.
Voor het bovenste lichaam is enkel keuze tussen een cilindrisch, convex of concaaf
wiel. Naast de eerder besproken algemene parameters zullen afhankelijk van de
keuze ook specifieke geometrische parameters nodig zijn. Al de nodige geometrische
parameter staan weergegeven in figuur 1.
Dit bovenste wiel wordt zoals eerder vermeld gekenmerkt door twee radiussen: R11
en R12. Hierbij is in alle drie de gevallen R11 gelijk aan de helft van de
buitendiameter van het wiel. Zijn waarde zal altijd positief zijn. R12 staat voor de
afronding. Deze waarde kan negatief zijn.
Figuur 17: Positieve of negatieve straal (R12) (Kunz, 2009)
24
De vorm van het onderste lichaam zal mee bepalend zijn voor de contactsituatie.
Ook dit lichaam wordt gekenmerkt door twee radiussen: R21 en R22. Qua vorm zijn
in het rekenblad vijf mogelijkheden beschikbaar: een vlakke ondergrond, cilindrisch
wiel, convex wiel, concaaf wiel of een rail. Deze keuze is afhankelijk van de vorm
van het bovenste wiel. Is deze cilindrisch of convex dan zullen alle vijf de
mogelijkheden beschikbaar zijn. Bij een concaaf wiel moet het onderste lichaam
altijd convex zijn. Dit met bijkomende voorwaarde dat de convexe afronding kleiner
is dan de concave afronding. Zo niet is er op twee punten contact en zijn de
formules niet meer geldig.
Met al de voorgaande besproken gegevens heeft Kunz de formules voor de
afmetingen van het contactvlak, de indrukking, de maximale contactdruk en de
maximale spanning in het wiel bepaald. Deze zijn gebruikt in het rekenblad. Enkele
van deze formules zullen later in deze thesis worden weergegeven wanneer een
bepaalde contactsituatie als voorbeeld zal worden toegelicht.
Er rest nog één onderzochte parameter te worden besproken, namelijk de
rolweerstand. Deze is door Kunz getest d.m.v. de Finite Element Method (FEM).
Daarnaast heeft hij een formule ontwikkeld om op een eenvoudige wijze de
rolweerstand FR te bepalen. Hierbij ging hij uit van een stationair rollend wiel belast
met een normaalkracht FN. Ten gevolge van de belasting zal het wiel ingedrukt
worden en een vervorming ondergaan. Deze vervorming is de waarde 'e' in figuur 18.
Figuur 18: Vrijlichaam belast wiel (Kunz, 2009)
De belasting en vervorming vormen samen een moment (= F N x e). Om het rollen in
stand te houden moet het rolmoment MR groter zijn dat dan dit moment. Hoe groter
de belasting, hoe moeilijker het zal zijn om het wiel in beweging te houden.
Voor dit rolmoment MR is een formule ontwikkeld waaruit de rolweerstand FR
makkelijk is af te leiden.
-
Rolmoment
met
(1.24)
25
Hierbij staat 'b' voor de halve contactbreedte en 'tg δV' voor de invloed van de
mechanische verliesfactor. 'Tg δV' staat symbool voor de demping in het wiel. 'EC'
staat voor de reeds besproken kruipmodulus en 'EL' komt overeen met de
E-modulus van het onderste lichaam of de baan.
Uit de proeven van Kunz is aangetoond dat de factor 'tg δV' zowel frequentie- als
temperatuurafhankelijk is. Dit maakt het quasi onmogelijk om hier een correcte
waarde aan te geven. De rolweerstand volgens Kunz zal dus met enige
voorzichtigheid moeten geëvalueerd worden.
Met de formule 1.24 is rolweerstand FR berekenen simpel. De enige nog niet
besproken factor is halve contactbreedte 'b'. Deze zal afhangen van de vorm van het
bovenste wiel. Bij een cilindrisch wiel zal gewoon de formule voor 'b' gebruikt
worden. Indien het wiel convex of concaaf is, zal 'b' op een andere manier worden
bepaald. Kunz spreekt van een gemiddelde waarde ' ̅ ' en bepaald deze als volgt:
-
gemiddelde waarde b = ̅
(1.25)
Hierin komen twee nieuwe factoren voor. De waarde 'Ak' staat voor de oppervlakte
van het contactvlak. Voor de opbouw van het rekenblad zal dus per contactsituatie
de vorm van het contactvlak moeten gekend zijn. De factor 'lQ' staat voor de axiale
uitrekking van de mantel. Deze is rechtstreeks afhankelijk van de vormfactor van de
band: (belast oppervlak/onbelast oppervlak) x correctiecoëfficiënt.
Hoe dikker dus de mantel, hoe groter de axiale uitrekking.
De theoretische opbouw volgens Kunz is volledig toegelicht. Ter besluit is te stellen
dat zijn toepassingsgebied zich vooral situeert bij normaal belaste wielen in
stilstand. Ook bij traag rollende wielen tot rolsnelheid 2m/s zullen behoorlijk
correcte resultaten volgen voor de afmetingen van het contactvlak, de indrukking en
maximale contactdruk. Daartegenover staat het compleet negeren van de invloed
van de temperatuur, de onzekerheid bij de kruipmodulus en het zelfs geen
aandacht schenken aan de slip. Is men geïnteresseerd in het maximale
draagvermogen van een wiel bij normale kamertemperatuur zou het Kunzmodel
aangeraden worden. Wilt men daarentegen de maximale temperatuur in de mantel
nagaan, is men met Kunz niks en passen andere modellen beter.
3.2 Wieltheorie volgens Lütkebohle
Prof. Dr.-Ing. Heinrich Lütkebohle is professor aan de technische hogeschool in
Nürnberg. In zijn onderzoek ging de voornaamste aandacht uit naar de
rolweerstand bij rollende wielen. Ook de temperatuur in het wiel kwam uitgebreid
aan bod.
26
Het type kunststof voor de mantel werd gekozen in functie van de rek, de demping
en de E-modulus van het materiaal.
Het visco-elastisch materiaalgedrag van kunststoffen zal een bepalende factor zijn
voor de rolweerstand. Men tracht dus een wiel te kiezen naargelang de toepassing,
welk zo weinig mogelijk weerstand ondervindt.
Er bestaan twee soorten rolweerstand volgens Lütkebohle. De ene is deze bij een
belast wiel met constante rolsnelheid. De andere is de weerstand wanneer een
rollend wiel een versnelling of vertraging ondergaat.
Rolweerstand bij een belast en rollend wiel met constante snelheid
Hier is de gedachtegang gelijkaardig als bij Kunz. Volgende figuur geeft dit weer.
Figuur 19: Vrijlichaam belast wiel (Lütkebohle, 1984)
Hierin is te zien dat de normaalkracht FN zal zorgen voor een indrukking en een
vervorming 'e'. Dit is de zogenaamde verkorting van de halve contactbreedte aan de
uitloopzijde als gevolg van de rek-spanning hysteresis.1 Samen zijn ze
verantwoordelijk voor een moment, dat moet worden overwonnen om de
rolbeweging in stand te houden.
-
Rolmoment MR = FN . e = FR . ra => FR =
met e = a -
∫
∫
( )
( )
(1.26)
Met kennis van σz(x) kan rolweerstandskracht FR berekend worden. Deze
normaalspanning wordt beïnvloed door de tijd, temperatuur en de rek. Als
daarnaast wordt uitgegaan van een rollend wiel, is bekend dat de spanning in de
mantel continu zal veranderen. Het is onmogelijk om in dit geval alle
invloedsparameters juist te bepalen. Om tot een aanvaardbaar resultaat en
1
Lütkebohle, H. (1984). Roll- und wälzreibung zylindrischer räder aus thermoplastischen
kunststoffen. Technischen Universität Berlin
27
begrijpbare formule te komen, is vereenvoudigen de boodschap. De mate waarin
men mag vereenvoudigen, wordt door metingen en berekeningen bepaald.
Om de rolweerstand te bepalen komt het eerder besproken Maxwell-model van pas.
-
σ(t) = | |
(
| |
met
)
[
]
̇
(1.27)
E’ = | |
= opslagmodulus
E’’ = | |
= verliesmodulus
= verlieshoek
Met deze spanning kan verschuiving 'e' berekend worden en dus ook FR.
-
FR =
=2.
.d
met
d = verliesfactor = tg
(1.28)
aM =
De enige resterende onbekende factor is rekamplitude ε0. Deze wordt geschat op het
quotiënt van de indrukking op de banddikte. Er dient te worden opgemerkt dat
vanaf een voldoende hoge banddikte, het wiel als homogeen mag worden
beschouwd. Dit wil zeggen dat in dit geval de indrukking gelijk zal blijven bij
stijgende banddikte. Daarnaast is bewezen dat de gemeten en berekende waarden
voor de indrukking sterk verschillen. De indrukking volgens Lütkebohle zal dus niet
meteen een betrouwbare weergave geven van de werkelijkheid.
Wanneer zal de rolweerstand toenemen? Als:
-
belasting stijgt
contactoppervlak vergroot
demping of verlieshoek stijgt
Rolweerstand bij een belast en rollend wiel met variabele snelheid
Wanneer een wiel versnelt of vertraagt zal er op het wiel een extra kracht werken, de
zogenaamde tangentiaalkracht FT. Deze zorgt voor het ontstaan van
schuifspanningen. Door een samenwerking hiervan met de aanwezige
normaalspanningen ontstaat de tangentiaalslip st.
= slip van de elastische vervorming = ste
= glijdende slip = stg
28
Afhankelijk van de waarde van FT kunnen er zich in het contactvlak drie gevallen
voordoen. Deze staan in volgend overzicht weergegeven.
grensgeval 1:
grensgeval 2:
algemeen geval:
Volledige hechting
Volledige glijding
Hechting + glijding
Dit is geval  FT = 0 en
weerstandscoëfficiënt
µ= .
In de praktijk is µ = niet
haalbaar, dus dit
grensgeval kan enkel
theoretisch. Daarnaast zal
er altijd slip zijn, wanneer
het wielpaar uit
verschillende materialen
bestaat. Dit door het
verschil in tangentiële rek,
welke verantwoordelijk is
voor de slip van de
elastische
vervorming = ste.
Dit is geval  FT ≥ FTmax
met FTmax = µ . FN, waarin
µ = weerstandscoëfficiënt
=1
=> τz(x) = µ . σz(x)
Volledige glijding gebeurt
wanneer de grensslip is
overschreden.
Dit is het meest
gebruikelijke geval,
waarbij 0 < FT < FTmax
(= µ . FN). Hier is er een
combinatie van een
glijzone en een hechtzone.
Des te groter FT, des te
groter de glijzone en de
slip zullen zijn.
29
Voor het algemene geval is volgende formule voor de tangentiaalslip st bepaald:
-
st = st(E1 = E2) + st0 = fmax . √
met
(
√
) + st0
(1.29)
fmax = frictiecoëfficiënt = 1,2
B = wielbreedte
FN = normaalkracht
FT = tangentiaalkracht
re = vergelijkingsradius
Ee = vergelijkselasticiteitsmodulus
Temperatuursverdeling in het wiel
Een belast wiel warmt op wanneer het begint te rollen. Naarmate de belasting of de
rolsnelheid stijgt, zal de opwarming toenemen. Terwijl Kunz hier totaal geen
onderzoek naar verrichte, vond Lütkebohle deze invloedsfactor wel interessant.
Hij testte deze invloed uit op vele wieltypes met verschillende kunststofmantels.
Hierbij ging hij de invloed na van de belasting en de rolsnelheid op de
wieltemperatuur. Een belangrijk besluit uit zijn onderzoek is dat de temperatuur
geldt als voornaamste schadeoorzaak aan wielen. De mogelijke wielproblemen t.g.v.
de temperatuur zijn weergegeven in paragraaf 2.2 van hoofdstuk 2.
Voor de opwarming bij wielen geldt volgende formule.
-
Q1 = Q2 + Q 3
(1.30)
Hierbij staat Q1 voor de geproduceerde warmte in het wiel. Deze is gelijk aan de
opgeslagen warmte in het wiel (Q2) plus het afgevoerde gedeelte aan warmte (Q3).
Hoe vlotter de warmte kan afvoeren, hoe lager de maximale temperatuur in het wiel
zal zijn. Er wordt gesproken van overbelasting als de afvoer te traag gebeurt.
Hierbij zal de wieltemperatuur te snel toenemen en uiteindelijk tot thermisch falen
leiden. Om dit te vermijden wordt per wiel een Tmax ingesteld, welke niet mag
worden overschreden.
De afgevoerde warmte is eigenlijk een deel van de vervormingsarbeid dat
onomkeerbaar in warmte wordt omgezet. Met andere woorden gaat er hierbij
vermogen verloren. De grootte van dit verliesvermogen is zeer moeilijk te bepalen.
De reden hiervoor is de sterk verschillende temperatuur in de wielmantel. De
temperatuur in de mantel is quasi in elk punt anders. Dit maakt het erg moeilijk
om formules te ontwikkelen die de wieltemperatuur precies kunnen voorspellen.
30
In figuur 20 is de wieldoorsnede weergegeven. Hierop is te zien hoe een bepaalde
plaats in de wielmantel wordt gekarakteriseerd. Dit gebeurt door middel van drie
plaatscoördinaten: r, φ en y. Hierbij staat r voor de straal, φ voor de hoek en y voor
de axiale afstand.
Figuur 20: Doorsnede van een wiel (Lütkebohle, 1984)
Om tot formules te kunnen komen, zijn vereenvoudigingen noodzakelijk. Volgende
twee vereenvoudigingen zijn doorgevoerd:
-
Het temperatuursveld in de omvangsrichting beschouwen als constante
=>
-
0
Het temperatuursveld in de wielbreedterichting beschouwen als constante
=>
0
Uit proeven is gebleken dat de eerste vereenvoudiging aanvaardbaar is. Bij de
tweede is uitgegaan van een oneindig lange wielbreedte. Hierop zal dus zeker een
fout zitten.
Lütkebohle ontwikkelde uit zijn resultaten en vereenvoudigingen volgende formule
voor de temperatuursverdeling in de mantel.
-
T(r) =
[
(
)
( )
(
(
met C1 =
)
)
]
( )
(
[
(
)
]
(1.31)
( )
)
31
Alle gebruikte factoren staan voor een verschillende invloed. Zo zijn de formules
voor F(r) en F’(r) bepaald uit proeven waarbij de wieltemperatuur van een normaal
belast wiel werd onderzocht.
-
F’(r) =
-
F(r) = ∫
∫ ( )
( )
(1.32)
∫ ∫ ( )
met f(r) = plaatsfunctie =
[
(1.33)
(
)]
Hieruit is te besluiten dat zowel F(r) als F’(r) rechtstreeks afhankelijk zijn van de
plaatsfunctie. Dit wil zeggen dat beide factoren zullen verschillen in functie van de
straal. Onthoudt hierbij de uitgevoerde vereenvoudigingen.
De formule voor
komt uit het onderzoek naar de wieltemperatuur bij een
tangentiaalkracht FT. Door FT zal de wieltemperatuur toenemen en ontstaat er een
tangentiaalslip st (zie formule 1.29). Als voorwaarde geldt dat 0 < FT < FTmax.
-
[
(
√
)]
(1.34)
Hierin is één nieuw element zichtbaar, namelijk hoeksnelheid ω. Om deze te
bepalen zijn de rolsnelheid en wielradius R11 nodig.
De laatste onbekende factoren in formule 1.31, zijn de verschillende alfa- of
warmteovergangscoëfficiënten. Zij staan symbool voor de warmteovergang die
plaatsvindt. Een belast en rollend wiel zal opwarmen en een deel van zijn warmte
afgeven. Dit kan gebeuren d.m.v. straling, geleiding of convectie.
Volgende figuur geeft weer hoe de warmteafvoer gebeurt volgens Lütkebohle. Hierbij
bestond de testopstelling uit een rollend wiel op een stalen rail.
Figuur 21: Warmteafvoer bij een wiel (Lütkebohle, 1984)
32
Uit de figuur blijkt dat de warmteafvoer langs binnen en langs buiten de mantel
plaatsvindt. Hierbij wordt de afvoer langs buiten onderverdeeld in het contactvrije
gedeelte en het contactvlak.
-
Warmteafvoer langs het contactoppervlak ̇
̇
(
met
√
:
)
oppervlakte contactvlak = 2.a.B
(1.35)
met a = halve contactlengte
tijd dat er contact is
warmteindringingscoëfficiënt = √
met
-
Warmteafvoer langs het contactvrije vlak ̇
̇
met
thermische geleidbaarheid van staal
specifieke warmtecapaciteit van staal
dichtheid van staal
(
:
)
(1.36)
Af = oppervlakte contactvrije loopvlak = B . (2
)
= warmteovergangscoefficiënt langs het contactvrije loopvlak
̇
Nu ̇
gekend zijn, kan de gemiddelde totale warmteafvoer langs het
buitenvlak van het wiel ̇
berekend worden. Deze zal nodig zijn om coëfficiënt
te kunnen bepalen. Het verloop van de warmteafvoer langs de buitenmantel is in
figuur 22 weergegeven.
Figuur 22: Warmteafvoer langs het buitenvlak (Lütkebohle, 1984)
33
-
Totale warmteafvoer langs het buitenvlak
̇
∫
()
∫
̇
̇
=
(
)
met
T=
met
A=2.
Hieruit volgt de formule voor warmteovergangscoëfficiënt
√
-
(
)
met
(1.37)
.
a = aH = √
(
)
√
√
(1.38)
Het element αk staat voor de warmteovergang bij sterkere convectie. Volgende drie
factoren zijn nodig om deze te berekenen.
o
Nu
= Nusseltgetal
= een maat voor de warmtetransport door het oppervlak =
o
Pr
= Prandtlgetal
= verhouding tussen impuls- en warmteoverdracht =
o
Re
= Reynoldsgetal
= geeft weer of een stroming laminair of turbulent is =
De laatste onbekende component staat symbool voor de warmteafvoer langs het
binnenste van de mantel. Dit is de warmte die afgevoerd wordt naar de naaf.
-
(
)
(1.39)
Alle factoren om de temperatuursverdeling in de radiale doorsnede van het wiel te
bepalen zijn toegelicht. Hoe is Lütkebohle tot deze formules gekomen? Zoals alle
formules door middel van onderzoek.
34
Hierbij is uitgegaan van een cilindrisch wiel waarbij in de mantel verschillende
sensoren zitten ingebouwd. Deze zorgen voor het meten van de temperatuur.
Figuur 23 geeft dit weer. In dit onderzoek zijn drie temperatuursensoren gebruikt.
Deze zitten op een verschillende plaats in de mantel, waarbij zowel de radius als de
draaihoek verschillen.
Figuur 23: Temperatuursensoren in onderzocht wiel (InnoRad, 2011)
Op deze manier is de temperatuurverdeling in de mantel - in functie van de radius getest bij verschillende belastingen. Volgende figuur geeft de resultaten weer van
een uitgevoerd experiment met PUR-mantel, waarbij de rolsnelheid constant bleef.
Figuur 24: Temperatuursverdeling in de PUR-mantel (InnoRad, 2011)
Hieruit blijkt de wieltemperatuur toe te nemen bij stijgende belasting. Qua
overeenstemming tussen de berekende en experimentele waarden zit het goed. Als
laatste valt op dat naarmate de belasting stijgt, de maximale wieltemperatuur
opschuift naar het midden van de mantel toe.
35
Figuur 25 geeft de resultaten van een andere proef weer. Hier zijn voor verschillende
wielgeometrieën de wieltemperatuur bepaald.
Figuur 25: Metingen vaste temperatuursensor voor drie verschillende wielen (InnoRad, 2011)
Wat sterk opvalt in deze figuur is - bij de gemeten waarden - de continu daling van
de wieltemperatuur naarmate de wielen vergroten. Voor de berekende waarden is
vanaf een bepaalde buitendiameter van het wiel een omgekeerde tendens zichtbaar.
Lütkebohle heeft dit probleem onderzocht. Volgens hem ligt de oorzaak bij het
ontbreken van een invloedsfactor in de berekening, welke de warmteafvoer langs de
zijkanten van het wiel weergeeft. Ondanks het kennen van het mogelijk probleem
vond hij geen manier om de oorzaak te onderzoeken. Dit is één van de belangrijke
verschillen tussen de theorie volgens Lütkebohle en deze volgens Liu.
Liu heeft wel een methode gevonden om de warmteafvoer langs de zijkanten te
onderzoeken. Hij brengt deze invloed wel in rekening.
Een continu veranderende wieltemperatuur zorgt voor een verandering van de
mechanische eigenschappen. Volgende figuur geeft dit weer. Hierin is voor PUR de
dynamische elasticiteitsmodulus E’ en mechanische verliesfactor d weergegeven in
functie van de wieltemperatuur. Deze grafiek is verschillend per type materiaal.1
Figuur 26: Dynamische E-modulus E' en verliesfactor d voor PUR (InnoRad, 2011)
1
Wehking, K.-H.; Bruns, R. (2011). InnoRad – Erhöhung der Lebensdauer von Rädern und
Rollen aus Polyurethan. Institut für Fördertechnik und Logistik, Universiteit Stuttgart.
36
Van 0 tot 120°C nemen naarmate de temperatuur toeneemt zowel de dynamische
elasticiteitsmodulus E’ als de mechanische verliesfactor d af. Voor E’ mag
gesproken worden van een vaste waarde binnen dit temperatuursgebied. Dit is één
van de pluspunten aan Vulkollan®.
De meeste uitvoerparameters zijn omgekeerd evenredig met deze factoren. Dit
maakt dat naarmate het wiel zal opwarmen, er minder belasting nodig zal zijn om
een groter contactvlak, grotere indrukking en hogere rolweerstand te bekomen.
Hieruit volgt dat een wiel het meest kwetsbaar is wanneer het gebruikt wordt in een
warme omgeving.
Een continu wijzigende wieltemperatuur zal zorgen voor een steeds veranderende E’
en verliesfactor d, welke in sterke mate andere mechanische eigenschappen
beïnvloeden. Dit maakt het zeer moeilijk om in het ontwikkelde rekenblad een te
vertrouwen resultaat voor deze mechanische eigenschappen weer te geven.
De belangrijkste kennis verworven door Lütkebohle is besproken. Tegenover Kunz
biedt hij verschillende voordelen. Zo zijn niet enkel stationair draaiende wielen
getest, maar ook de versnelling en afremming bij wielen is onderzocht. Het
voorkomen dat een wiel doorslipt is t.o.v. Kunz een extra factor waarmee dient
rekening gehouden te worden.
De belangrijkste bijdrage is zijn beschrijving van de temperatuursverdeling in het
wiel. Zeker omdat bij wielschade bijna altijd een temperatuur aan de oorzaak ligt.
Lütkebohle maakt voorspellen mogelijk. Dit is toegepast in het rekenblad volledig
vanuit zijn theorie. Bij het interpreteren van de resultaten in het rekenblad moet
rekening gehouden worden met verschillende opmerkingen en beperkingen. De
eerste is het niet in rekening brengen van de warmteafvoer langs de zijvlakken.
Hierdoor zal er sowieso een verschil zijn tussen berekende en werkelijke waarden.
Daarnaast dient er rekening gehouden te worden met het type materiaal. Meer
bepaald met hun E’ en verliesfactor d-karakteristiek in functie van de temperatuur.
In het rekenblad is een vaste waarde ingesteld, wat zal leiden tot een fout. De
gebruiker kan deze fout beperken door binnen de nuttige temperatuurszone van het
materiaal te werken. Deze kan vrij beperkt zijn of redelijk uitgebreid zoals bij
Vulkollan®.
3.3 Wieltheorie volgens Liu
Dr.-Ing. Xiufei Liu is een in Duitsland geboren professor aan de TU van Berlijn. In
zijn onderzoek ging de voornaamste aandacht uit naar de temperatuurs- en
spanningsverdeling in een wiel. De spanning ging hierbij voorop omdat deze gekend
moet zijn vooraleer men de temperatuur in het wiel kan berekenen.
37
De spanning en de temperatuur verschillen per volume-element. Om tot een
formule te komen, heeft Liu zijn testen uitgevoerd met een zelfontworpen 3D-model
in het programma ANSYS. Volgende figuur geeft een voorbeeld weer.
Figuur 27: 3D-ontwerp wiel in ANSYS (Liu, 2002)
Merk in de contactzone het groter aantal elementen of knopen op. Dit zorgt voor een
nauwkeurige weergave van de contactoppervlaklengtes. Zij zullen nodig zijn om het
spanningsverloop te kunnen berekenen. Ook de gebruikte materialen hebben een
belangrijke invloed. De rechtstreekse afhankelijkheid van de temperatuur op de
materiaaleigenschappen maakt het moeilijk om correcte resultaten weer te geven.
De laatste nodige belangrijke component is de maximale spanning in het wiel. De
formule om deze te bepalen is afhankelijk van de verhouding banddikte 'h' op
contactlengte 'aH' volgens Hertz.
Bij
mag de theorie van Hertz toegepast worden:
-
Halve contactlengte a = aH = √
-
Maximale spanning in het wiel σ0 =
Bij
(
)
(1.40)
(1.41)
is door Liu zelf een formule ontwikkeld:
-
Halve contactlengte a = √
-
Maximale spanning in het wiel σ0 = √
(1.42)
( )
(1.43)
Hierbij is B de wielbreedte, r1 = R11 en r2 = R12 (zie figuur 15). De waarden Everv en E*
zijn rechtstreeks afhankelijk van het gebruikte mantelmateriaal.
38
Alle nodige factoren voor het bepalen van de spanning zijn besproken. Volgende
formule geeft weer hoe het spanningsverloop in het contactvlak bij belasting wordt
berekend.
-
( )
[
∑
( )]
(
met
( ) ]
) [
(
) [
(1.44)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ]
In deze formule staat 'r' voor de buitenstraal van het bovenste wiel. De maximale
spanning 'σ0' en halve contactlengte 'a' zijn afhankelijk van de verhouding
.
Een sommatie tot oneindig is veel werk en vraagt teveel geheugen van het
rekenprogramma. Uit berekeningen blijkt het te volstaan om tot n=5 te rekenen.
Een voorbeeld van een berekening volgens deze formule is in figuur 28 weergegeven.
Hier is voor een vast punt A het spanningsverloop afgebeeld in functie van de tijd.
Dit punt A bevindt zich op het loopvlak.
Figuur 28: Spanningsverloop in cilindrische wielen (Liu, 2002)
Wat opvalt is de maximale spanning. In dit voorbeeld blijkt deze in het nulpunt te
liggen. Dit is één van de beperkingen aan de formule. Voor elke belasting zal
volgens de formule de maximale spanning in het nulpunt liggen. Dit komt niet
overeen met de werkelijkheid.
39
Uit onderzoeken is gebleken dat, ten gevolge van het visco-elastische gedrag van het
mantelmateriaal, de maximale spanning niet perfect in het nulpunt ligt. Naarmate
de belasting stijgt, vergroot de verschuiving. Deze verschuiving zal plaatsvinden
naar het inloopgebied toe. Hoe sterker de belasting, hoe groter de verschuiving zal
zijn. Een voorbeeld van een belast wiel met PUR-mantel is te zien in figuur 29.
Figuur 29: Axiale spanningsverloop over de mantel (Liu, 2002)
Naast de spanningsverdeling is ook de warmteovergang sterk onderzocht. Liu heeft
een rekenmodel ontworpen om de warmteafvoer bij een wiel in functie van de
rolsnelheid te bepalen. Dit verlies aan warmte gebeurt volgens Liu op vier manieren.
Elk van hen wordt gekarakteriseerd door een warmteovergangscoëfficiënt.
Vergeleken met Lütkebohle is hier de warmteafvoer langs de zijvlakken wel in
rekening gebracht. Dit is een specifieke eigenschap en één van de voordelen aan de
theorie van Liu.
Het testen is gebeurd op twee manieren. Eerst is de warmteafvoer aan de omgeving
van een om zijn eigen vaste middelpunt roterend wiel onderzocht. Vervolgens ook
dezelfde warmteafvoer bij een roterend wiel dat een translatiebeweging uitvoert.
Bij een om zijn eigen middelpunt vast draaiend wiel is de lokale snelheid langs de
zijflanken niet constant. Ze verandert langs de radius, zoals in figuur 30 te zien is.
Figuur 30: Warmteafvoer bij vast draaiend wiel (Liu, 2002)
40
Er stellen zich drie gebieden in. Een laminaire stroming is aanwezig in gebied a, een
turbulente in gebied c en daartussen een overgangsgebied in gebied b. De grootte
van elk gebied hangt af van het Re-getal en de lokale draaisnelheid. Zolang de
rolsnelheid kleiner blijft dan 0,5 m/s zal de natuurlijke convectie de grootte van het
laminaire gebied mee beïnvloeden. Vanaf 0.5 m/s wordt overschreden, mag deze
invloed worden verwaarloosd.1
Bij een roterend wiel dat een translatiebeweging uitvoert, ziet de lokale snelheid er
als volgt uit.
Figuur 31: Lokale snelheid bij een rollend wiel (Liu, 2002)
Hierbij is het de rotatiesnelheid 'ω' die bepalend zal zijn voor de warmteafvoer
langsheen de zijvlakken van het wiel.
Met het ontworpen 3D-model in ANSYS kan naast het spanningsverloop in de
mantel, ook het temperatuursverloop gemeten worden. Liu onderzocht in dit model
de invloed van de belasting, de rolsnelheid en de kamertemperatuur op de
temperatuurverdeling in de mantel. Volgende figuren geven de resultaten weer van
één van zijn experimenten, waarin het wiel een PUR-mantel bezit.
Figuur 32: Resultaten experiment in ANSYS (Liu, 2002)
Zowel een stijgende belasting als rolsnelheid zal de wieltemperatuur doen
toenemen. Om thermische problemen te voorkomen mag bij beide parameters een
bepaalde maximum niet worden overschreden.
1
Liu, X. (2002). Die Beanspruchung in Radkörpern aus viskoelastischen Werkstoffen unter
Berücksichtigung der Eigenerwärmung. VDI Verlag, 353.
41
Naast de belasting en de rolsnelheid zal ook de kamertemperatuur invloed hebben
op de temperatuurverdeling in het wiel. Dit samen met het gebruikte type
mantelmateriaal. Zowel de stijfheid als de verliesfactor zullen afhankelijk zijn van de
kamertemperatuur en het type mantelmateriaal. Uit de figuur is te besluiten dat
voor PUR beide factoren vrij constant blijven bij veranderende kamertemperatuur.
Dit zal maar zo zijn binnen een welbepaald temperatuursbereik. Voor Vulkollan® is
].
deze temperatuurszone [
Liu heeft een formule ontworpen om de maximum oververhitting in de mantel
(ΔTmax) te bepalen.
-
ΔTmax =
(
)
(
)
(
)
(
)
(1.45)
Deze bestaat voornamelijk uit invoerparameters zoals banddikte 'h', wielbreedte 'B',
kamertemperatuur 'TR', buitenste straal van het bovenste wiel 'r1', rolsnelheid 'vR',
normaalkracht 'FN' en tangentiaalkracht 'FT'. Coëfficiënten c1 tot en met c5 zijn
materiaalafhankelijk.
Daarnaast bevat de formule nog enkele uitvoerparameters, welke eerst moeten
worden berekend. Zo is er slip 's' waarvoor Liu een formule heeft ontwikkeld. Deze
is toegepast in het rekenblad.
De overige zijn spanning 'σ0'
L
S
V. Hierbij is
voor spanning 'σ0' - zoals eerder aangehaald - de verhouding banddikte 'h' op
contactlengte 'aH' doorslaggevend. Vergeleken met Lütkebohle zijn de formules voor
de warmteafvoer langs de buitenma
L
V verschillend. Dit is
niet erg. Het belangrijkste is dat er rekening mee wordt gehouden.
S.
Deze factor geeft de invloed van de warmteafvoer
langs de zijkanten weer. Bij Lütkebohle komt deze invloed niet aan bod. Hieruit is te
besluiten dat de resultaten voor de temperatuur in het wiel volgens Liu
nauwkeuriger zullen aansluiten met de werkelijkheid. Dit is een groot voordeel aan
de theorie van Liu.
De invloed van enkele invoerparameters op de maximum oververhitting zijn
onderzocht. Zo zal ΔTmax toenemen als:
-
banddikte h stijgt
De warmteafvoer gebeurt makkelijker en sneller bij een dunnere band. Hoe
dikker dus de band, des te meer de temperatuur in de band zal toenemen.
42
-
belasting FN stijgt
Dit is weergegeven in figuur 32. Voor een bepaalde rolsnelheid geldt altijd een
maximale belasting, welke niet mag worden overschreden om schade te
voorkomen. Naarmate de rolsnelheid toeneemt zal de maximale belasting
afnemen.
-
wielbreedte B afneemt
Hiervoor dient te worden gekeken naar de verhouding banddikte op
wielbreedte. Naarmate deze verhouding stijgt zal de maximum oververhitting
toenemen. Dit wil zeggen dat bij een afnemende wielbreedte ΔTmax toeneemt.
Welke van de twee factoren wijzigen heeft nu de grootste invloed? Een
interessante vraag, welke door Liu is onderzocht.
De banddikte vergroten blijkt een hogere impact op ΔTmax te hebben dan een
afnemende wielbreedte.
-
buitendiameter van het wiel Фwiel afneemt
Indien de buitendiameter van een wiel afneemt en de banddikte blijft
constant, dan zal het percentage van de lengte die deze banddikte inneemt
stijgen. Anders gezegd zal Фwiel laten afnemen hetzelfde veroorzaken als de
banddikte laten stijgen, namelijk een verhoging van ΔTmax.
Uit vorige puntjes valt op hoe belangrijk een juist gekozen banddikte is. Liu heeft
onderzoek verricht naar het bepalen van de optimale banddikte voor wielen.
Volgende figuur geeft de resultaten weer waarbij een wiel met PA12G-mantel is
getest. Zowel de belasting, de kamertemperatuur als de buitendiameter van het wiel
werden constant gehouden gedurende de proef.
Figuur 33: Bepalen optimale banddikte voor wiel met PA12G-mantel (Liu, 2002)
In de figuur is de maximale wieltemperatuur Tmax, de maximale drukspanning σ0 en
de maximale vergelijkingsspanning σvmax in functie van de banddikte weergegeven.
Bij een toenemende banddikte is een stijgende Tmax – curve en een dalende
43
σ0 – curve zichtbaar. Om de kans op schade te minimaliseren zijn beide
eigenschappen best zo klein mogelijk. In het gebied waar dit geldt zal de optimale
banddikte zich bevinden.
Om dit gebied te bepalen wordt met volgende dimensieloze factoren gewerkt.
-
drukspanningsverhouding sD =
-
temperatuursverhouding sT =
-
banddikteverhouding sH =
Het principe verloopt als volgt. Afhankelijk van de contactsituatie en het gebruikte
materiaal kunnen voorgaande coëfficiënten berekend en weergegeven worden in
functie van de banddikte. Daarnaast zullen de grenzen sDgrens en sTgrens zelf gekozen
worden. Naargelang de toepassing worden beide grenzen bepaald. Volgende figuur
geeft een voorbeeld weer. Hierin staat het gearceerde stuk voor het gebied waarin de
optimale banddikte zich bevind.
Figuur 34: Zone met de optimale banddikte (Liu, 2002)
Tot slot kan het volgende worden besloten. De koppeling tussen spanning,
temperatuur en temperatuurafhankelijke materiaaleigenschappen maken het zeer
moeilijk om de berekening van de spannings- en temperatuurverdeling in een band
d.m.v. een rekenmodel te laten berekenen. De enige mogelijkheid om hierbij tot
aanvaardbare resultaten te komen, is het bekend zijn van de
temperatuurafhankelijke materiaaleigenschappen. Deze kunnen ofwel door de
producent van het gebruikte materiaal worden gegeven, ofwel zullen ze zelf moeten
bepaald worden door middel van metingen.
44
Daarna is het zaak de berekende resultaten volgens het opgebouwd model te
vergelijken met de werkelijke waarden. Als laatste wordt getracht het model zoveel
mogelijk te vereenvoudigen. Dit mag zolang de berekende waarden niet te sterk
gaan afwijken van de werkelijkheid.
Liu heeft zijn theorie op deze manier opgebouwd. De sterke punten hiervan zijn één
het rekening houden met de kamertemperatuur. Deze kan afhankelijk van het
gebruikte materiaal, de mechanische eigenschappen van het wiel sterk beïnvloeden.
Een tweede sterke punt is het rekening houden met de warmteafvoer langs de
zijvlakken. Terwijl Lütkebohle deze invloed nochtans kende, vond hij geen manier
om hem in rekening te brengen in zijn formules. Liu is hier wel in geslaagd.
Beide voordelen zullen zorgen voor een nauwkeurigere voorspelling inzake maximale
temperatuur in de band. Op dit vlak zal Liu dus voorrang moeten krijgen op
Lütkebohle bij interpretatie van de resultaten.
3.4 Toepassingsgebied per onderzoeker
Elke onderzoeker heeft zijn eigen toepassingsgebied waarvoor de werkelijkheid beter
zal voorspeld worden. Het is moeilijk om dit puur op theorie weer te geven, zonder
onderzoek vooraf. Wanneer het onderzoek is uitgevoerd, zal opnieuw een
beoordeling volgen voor de geteste parameters.
Voorlopig mag aangenomen worden dat Kunz het minst betrouwbaar zal zijn. Het
totaal geen rekening houden met de temperatuur zal altijd tot fouten leiden. Zeker
als geweten is dat de temperatuur bijna altijd aan de oorzaak ligt bij defecten aan
het wiel. Een volgend nadeel is de verkregen resultaten voor rollende wielen. Het
testen gebeurde met stilstaande wielen. Het probleem is dat de rolsnelheid andere
factoren beïnvloedt. Zo kan het zijn dat een stilstaand wiel een bepaalde last kan
dragen, maar wanneer datzelfde wiel rolt deze last te hoog blijkt.
Kunz zal wel te betrouwen zijn voor de kleinere wieltypes in stilstand. De lengte van
het contactvlak, de maximale spanning en de indrukking zijn te aanvaarden zolang
de belasting beperkt blijft en de indrukking niet groter wordt dan 10% van de
banddikte.
Op naar Lütkebohle. Hij is er wel in geslaagd om de temperatuur in rekening te
brengen. Vooral zijn methode om de temperatuur in de mantel in functie van de
straal weer te geven is aardig. Jammer dat er hierbij geen rekening wordt gehouden
met de warmteafvoer langs de zijvlakken. Dit zal zorgen voor een verminderde
nauwkeurigheid.
Voor de andere factoren zoals de indrukking, contactlengte en contactdruk zal over
een groter bereik de berekening beter aansluiten bij de werkelijkheid. Hiermee
worden dan vooral de grotere wieltypes en hogere belastingen bedoeld. Het verschil
45
met Kunz zit hem in de theorie van Hertz. Kunz baseert heel zijn theorie hierop, wat
leidt tot nauwkeurigere resultaten bij de kleinere belastingen en wielen. Lütkebohle
ontwikkelde zijn eigen formules uitgaande van de theorie van Hertz, waardoor over
een groter gebied tot betere resultaten worden gekomen.
Tenslotte is er nog Liu. Op vlak van de temperatuur worden bij hem de beste
voorspellingen verwacht. Hij heeft namelijk het meeste rekening gehouden met de
verschillende invloeden. Voor de overige parameters worden ook nauwkeurige
voorspellingen verwacht. Hiervoor heeft Liu telkens twee formules ontwikkeld.
Welke formule zal gebruikt worden is afhankelijk van de waarde banddikte op halve
contactlengte volgens Hertz. Bij de start van het belasten zal de verhouding kleiner
zijn dan 5 en zullen de ene groep van formules gelden. Vanaf wanneer de
verhouding groter of gelijk aan 5 wordt dan geldt de andere reeks. Het is moeilijk in
te schatten dat over gehele gebied de berekende waarden goed zullen aansluiten
met de werkelijke. Of slechts voor één van beide reeksen. Het onderzoek moet
hierop een antwoord bieden.
46
Hoofdstuk 2 – Onderzoek
1 De TesTWinner® 922 - testbank
Voor het onderzoek zijn verschillende types wielen getest op de TesTWinner® 922 testbank. Deze biedt de mogelijkheid om de indrukking in functie van de belasting
weer te geven in een grafiek. Dit is voor elk wieltje meermaals gebeurd. Telkens
onder een verschillende maximale last en bij een verschillende wieltemperatuur.
Vervolgens is voor elk wieltype het gemiddelde van de metingen berekend per
geteste wieltemperatuur. Tenslotte worden de gemiddeldes vergeleken met de
berekende waarden volgens het rekenblad en besproken.
1.1 Bespreking van de testbank en bijhorende software
Vulkoprin beschikt over een testbank van het type TesTWinner® 922 v1.4. Hun
specifiek model is model 112.50kN. Deze kan een maximale last leveren van 50kN.
De snelheidszone waarmee de belasting kan worden aangebracht gaat van 0 tot
500mm/min.
Volgende figuur geeft een deel van de testbank weer. Enkel het onderste gedeelte
van de testbank is zichtbaar, welke volstaat voor dit onderzoek.
Figuur 35: TesTWinner® 922 v1.4 (Vulkoprin)
Hoe gaat het proces nu in zijn werk? Dit is zelf in te stellen in het bijhorende
computerprogramma en zal later worden besproken. Indien het proces vroegtijdig
moet worden onderbroken wanneer er zich bv. problemen voordoen, is onderaan
links de noodstop zichtbaar. Voorts is centraal één van de geteste wielen te zien.
Deze rust op een stilstaande vlakke houder. De bovenste houder is verplaatsbaar en
beweegt mee met de extensometer.
Een extensometer is een instrument om de verandering in afstand tussen twee
referentiepunten op te meten. Dit als gevolg van een vervorming, uitzetting of
47
krimping. In dit onderzoek zal er door het belasten een vervorming optreden. De
maximale belasting is zelf in te stellen via de computer.
Wanneer het proces doorlopen is, zal op de aangesloten computer een grafiek
verschijnen met de belasting in functie van de dubbele indrukking. Merk op dat het
om de dubbele indrukking gaat. Het principe hierbij is hetzelfde als in volgende
figuur.
Figuur 36: Serieschakeling 2 identieke veren
In de figuur zijn twee identieke veren zichtbaar, welke in serie hangen. Er zit geen
verschil in lengte of veerconstante. Wanneer bovenaan een belasting wordt
aangebracht, dan zullen beide veren evenveel indrukking vertonen. De totale
indrukking zal dus bestaan uit tweemaal de indrukking van één veer.
Voor de meting bij de testbank zit men met hetzelfde verschijnsel. Het wiel zit vast
tussen twee recht tegenoverstaande klemmen, waardoor er bij belasting een gelijke
indrukking zal zijn aan elke klem. In de verkregen grafiek bij de meting zal dus de
x-as staan voor de dubbele indrukking.
Naast de grafiek zijn tal van andere op te meten parameters mogelijk. Als men ze
wilt laten opmeten, moeten deze ingesteld worden in de TesTWinner® 922 software. Dit computerprogramma is erg makkelijk te gebruiken. De eerste stap
bestaat erin aan te geven dat er een druk- of trekproef moet worden uitgevoerd. In
dit geval is het een drukproef. Voor de rest zijn er nog drie andere opties van
belang.
De eerste is aangegeven in figuur 37. In dit tabblad kan alles wat men wil laten
berekenen ingesteld worden. Merk op dat alle berekeningen worden berekend uit de
opgenomen grafiek.
Figuur 37: Tabblad berekenen parameters
48
Enkele te gebruiken functies zijn:
-
MAX: het opmeten van de maximale last
MIN: het opmeten van de minimale last
FIND: bijhorende x-waarde bij een bepaalde last bepalen
AREA: bepaald de oppervlakte van het deel onder de grafiek tot een zelf
ingestelde waarde
MED: gemiddelde waarde berekenen van een zelf ingesteld gebied
Voor dit onderzoek zijn deze functies niet echt noodzakelijk. De grafiek is het
belangrijkste onderdeel. Deze goed interpreteren maakt het eerste tabblad vrijwel
overbodig.
Een tweede onderdeel in de software is het stappenplan. Hier wordt stap voor stap
ingegeven wat er moet gebeuren door de testbank. Dit stappenplan moet met enige
zorg worden opgebouwd om betrouwbare resultaten te verkrijgen. Het stappenplan
voor dit onderzoek is in volgende figuur weergegeven.
Figuur 38: Tabblad stappenplan
Nadat de meting wordt gestart, zal de bovenste klem naar het wiel toekomen. Vanaf
het moment dat deze klem een kracht van 5N op het wiel uitoefent is de eerste stap
voltooid. De waarde 5N is zelf instelbaar. Hiervoor is gekozen om enerzijds zeker te
zijn dat er contact is en anderzijds zo weinig mogelijk fout te krijgen op de
uiteindelijke meting. De kracht 5N is zeker aanvaardbaar.
Daarna worden zowel de afstands- als de krachtmeter op 0 gezet. De opgenomen
grafiek wordt vernieuwd en de afstand wordt opnieuw op 0 gesteld. De definitieve
meting zal nu pas van start gaan. De eerste vijf stappen zijn ter voorbereiding om
tot een acceptabel resultaat te kunnen komen.
49
In stap 6 laat men het wiel belasten tot een vooraf ingestelde belasting. Is deze
belasting bereikt, dan zal als laatste stap de belasting worden afgebouwd en de
bovenste klem terugkeren naar een ingestelde meetwaarde van -1mm. Zo kan na de
meting het wiel zonder moeite worden weggenomen.
Er zijn natuurlijk nog vele andere manieren om een meting uit te voeren. Zo kan er
bv. in plaats van naar een vooraf ingestelde maximale belasting, ook naar een
vooraf ingestelde maximale indrukking worden gegaan. Let van tevoren wel op dat
de maximaal draagbare last van het wiel niet zal worden overschreden.
Nadat alles correct staat ingesteld, kan de meting van start gaan. Hiervoor dient het
derde en laatste tabblad, welke staat weergegeven in figuur 39.
Figuur 39: Tabblad opgenomen grafiek
Hierop komt de grafiek tevoorschijn met de belasting in functie van de dubbele
indrukking. De testbank manueel laten bewegen is mogelijk via de pijltjes
linksboven. De meting wordt gestart na het drukken op de 1-waarde onder de
pijltjes. Daarna wordt het stappenplan volledig doorlopen, verschijnt de grafiek op
het scherm en worden de gevraagde componenten berekend.
Telkens op deze manier zijn verschillende wieltypes getest, bij verschillende
maximale last en verschillende wieltemperatuur. Zij zullen in het verdere verloop
van deze paragraaf worden besproken.
50
1.2 Bespreking van de onderzochte wielen
Voor het onderzoek is gewerkt met drie verschillende wieltypes. Per wieltype zijn
twee exemplaren beschikbaar wat leidt tot een totaal van zes onderzochte wieltjes.
Figuur 40: De zes geteste wieltjes (Vulkoprin)
Elk van hen zal onder verschillende omstandigheden worden getest. Per twee wielen
van hetzelfde wieltype wordt een gemiddelde opgesteld, waarmee de berekende
waarden volgens het rekenblad zullen worden vergeleken.
Om het rekenblad te kunnen gebruiken, zijn een aantal geometrische paramaters
van de wielen vereist. Deze staan weergegeven in volgende tabel.
wieltype 1
Vorm:
wieltype 2
wieltype 3
cilindrisch
cilindrisch
cilindrisch
80mm.
50mm.
50mm.
Afronding:
7,5mm.
7,5mm.
4mm.
Buitendiameter:
160mm.
200mm.
200mm.
Binnendiameter:
114mm.
160mm.
174mm.
 Banddikte:
23mm.
20mm.
13mm.
Asdiameter:
35mm.
20mm.
20mm.
Naaflengte:
80mm.
50mm.
50mm.
Breedte:
Tabel 1: Geometrische parameters van de drie geteste wieltypes
Specifiek aan het eerste wieltype is het grotere aandeel van de banddikte en de
dikkere wielbreedte. De resterende types wielen zijn sterk gelijkaardig. Enkel in
banddikte is er een verschil merkbaar. Puur theoretisch kan gesteld worden dat
voor wieltype 1 de grote banddikte zal zorgen voor een sterke indrukking. Haar
grote wielbreedte heeft het omgekeerde effect op de indrukking, wat dus
compenserend zal werken. Tussen wieltype 2 en 3 zal door de grotere banddikte het
51
tweede wieltype de grootste indrukking geven bij eenzelfde last. Of deze
veronderstellingen kloppen zal later uit de resultaten moeten blijken.
1.3 De uitgevoerde metingen
Voor de metingen starten wordt opgezocht hoeveel elk wieltype maximaal mag
belast worden. Deze waarden zijn gekend uit eerder uitgevoerde testen door
Vulkoprin. Algemeen mag een maximale last van 900kg worden aangenomen. Om
zeker te zijn, wordt afgesproken om maximaal tot 8000N te belasten. Wat hierbij
kan voorkomen, is de kans dat het wiel niet sterk genoeg geklemd zit en daardoor
wegschiet. Om dit te beletten wordt met lagere lasten gewerkt. De testen zijn
uitgevoerd bij twee verschillende maximale belastingen: 1500N en 4000N.
Elk wiel is getest bij vier verschillende temperaturen. Om geen blijvende
beschadiging te veroorzaken wordt vooraf een maximum waarde van 100°C
afgesproken. Er is gestart met een meting bij de kamertemperatuur. Daarna worden
de wielen telkens 20°C verwarmt en gebeuren dezelfde metingen opnieuw. Dit
proces wordt herhaald tot en met de laatste metingen bij 80°C. Dit verwarmen
gebeurt door middel van ovens, welke in het bedrijf beschikbaar zijn. Nadat deze
zijn opgewarmd tot de ingestelde temperatuur, worden de wieltjes voor een periode
van minimaal 30 minuten in de oven geplaatst. Na dit halfuur kunnen de metingen
van start gaan.
Ondanks het meten met twee verschillende maximale lasten, volstaat achteraf
gezien de meting met de hoogste maximum last, namelijk 4000N. Op bijgevoegde
CD-ROM zijn de resultaten van de 1500N-metingen beschikbaar. Hier wordt vanaf
nu enkel met de 4000N-metingen verdergegaan.
52
Volgende figuur geeft de eerste meting weer waarbij de wieltjes getest zijn bij
kamertemperatuur. Hun gemiddeldes staan per wieltype weergegeven. Deze grafiek
zal enkele van de voorgaande veronderstellingen beantwoorden.
Figuur 41: Gemiddelde van de metingen per wieltype bij T = 18°C en maximale last van 4000N
Wat opvalt bij wieltype 1 is de grootste indrukking tot een last van 1500N. Dit komt
omdat zij de grootste banddikte bezitten. Vanaf 1500N blijkt duidelijk wieltype 2 de
grootste indrukking te hebben. Dit is te verklaren door het verschil in wielbreedte.
Hoe breder een wiel is, des te kleiner de indrukking zal zijn. Aangezien het eerste
type wielen 30mm. breder is, zal deze invloed de stijgende indrukking sterker
compenseren. Op deze manier is de snellere stijging van de wieltype 1 – curve in
figuur 41 verklaarbaar. Indien alle wieltypes even breed zouden zijn, dan zou
wieltype 1 voor elke belasting de grootste indrukking vertonen.
Het tweede en derde wieltype zijn volledig vergelijkbaar qua geometrie. Enkel de
banddikte is verschillend. Dit is duidelijk te zien in de grafiek. Wieltype 3 met de
kleinste banddikte vertoont een veel kleinere indrukking dan wieltype 2. De meting
stemt dus overeen met de gemaakte veronderstelling, dat de indrukking verhoogt bij
een stijgende banddikte. Uit gelijkaardige metingen bij een stijgende
wieltemperatuur blijkt het verschil in indrukking tussen beiden verder toe te
nemen.
Vorige figuur geeft de resultaten weer van de metingen bij kamertemperatuur. Voor
de overige temperaturen zijn net dezelfde metingen uitgevoerd en dezelfde grafieken
opgesteld. Deze grafieken zijn te vinden in de bijlage I, II en III. Qua vorm zijn ze
identiek aan voorgaande voorbeeld. Hun enige verschil is een sterkere indrukking
naarmate de wieltemperatuur verhoogt.
53
Dit verschijnsel wordt duidelijker zichtbaar in volgende figuur. Hier is voor een vast
wieltype en constante maximale belasting, de last in functie van de dubbele
indrukking weergegeven.
Figuur 42: Gemiddelde van de metingen per temperatuur voor wieltype 1 en een maximale last
van 4000N
Hierin staan de gemiddeldes voor wieltype 1 voorgesteld per temperatuur. De
stijgende indrukking bij een toenemende temperatuur wordt zo duidelijker
weergegeven. Ook dit is op dezelfde manier gebeurd voor de overige wieltypes. Zij
vertonen identiek hetzelfde gedrag en zijn terug te vinden in de bijlage IV en V.
1.4 Berekeningen volgens het rekenblad
Wanneer alle metingen zijn afgerond en hun gemiddeldes per vast wieltype of
constante temperatuur in een grafiek zijn verwerkt, dan is het eerste praktische
gedeelte van het onderzoek afgelopen. Een tweede deel in het onderzoek bestaat uit
het gebruiken van het zelfontwikkelde rekenblad. Er moet worden nagegaan in
welke mate de berekende waarden volgens de verschillende theorieën aansluiten bij
de werkelijkheid. Daarnaast moet worden aangegeven onder welke omstandigheden
de berekende resultaten volgens de ene betrouwbaarder zullen zijn dan volgens de
andere.
Jammer genoeg is er op de testbank slechts één uitvoerparameter te testen,
namelijk de indrukking. Andere interessante parameters zoals de maximale
spanning en wieltemperatuur in de mantel zijn niet meetbaar op de testbank.
Er is gekozen voor het derde wieltype met een maximale belasting van 4000N als
voorbeeld. Het mantelmateriaal hiervan is VK90. Nu de metingen en de grafieken
gekend zijn, resten enkel nog de berekeningen. In het verdere verloop van deze
paragraaf zullen alle stappen van het programma stapsgewijs worden toegelicht.
54
Er wordt gestart met het ingeven van de contactsituatie. De meting is gebeurd met
een cilindrisch wiel op een vlakke klem. Het cilindrisch wiel is beschikbaar in de
keuzelijst. De vlakke klem is conform met de optie vlakke ondergrond. Vervolgens
worden de geometrische parameters volgens tabel 1 ingegeven.
In het laatste invoergedeelte worden de belasting, snelheid, temperatuur en
mantelmaterialen gevraagd. Het wiel staat stil op de onderste klem. Dit wil zeggen
dat zowel voor de snelheid als voor het aandraai- of afremmoment de waarde 0 moet
worden ingevuld.
Als mantelmateriaal wordt Vulkollan® type 90° Shore A gekozen. Er wordt
voorlopig gewerkt met vaste waarden voor de materiaalparameters. Nochtans
veranderen deze parameters voortdurend. Hierover volgt verder in dit onderzoek
meer uitleg.
Ook het materiaal van de klem moet worden ingegeven. Hiervoor volstaat het om
één van de materialen te kiezen met hoge E-modulus. Dit zijn in het rekenblad
beton, aluminium of staal. Welke men kiest maakt niet uit, want hun Emoduluswaarde is zo groot dat hun invloed op de indrukking verwaarloosbaar zal
zijn.
De voorlaatste invoerfactor is de temperatuur. Een nadeel aan het rekenblad is dat
deze temperatuur wijzigen geen invloed zal hebben op de indrukking. Dit bij geen
enkele van de drie theorieën. Nochtans blijkt uit de metingen de temperatuur wel
een rol te spelen. Dit verklaart meteen één van fouten tussen de berekende en
werkelijke waarden. Wat wel kan en zal gedaan worden, zijn de parameters die mee
veranderen met de temperatuur manueel aanpassen. Hoe dit gebeurt, zal in de
volgende pagina’s duidelijker worden.
De laatste parameter is de belasting. Deze laten we stapsgewijs per 500N stijgen.
Telkens worden de verschillende indrukkingen berekend. Uiteindelijk zal dit per
theorie tot een tabel leiden, waaruit een curve kan worden opgemaakt. Zo kunnen
de metingen en de berekende waarden in de grafiek worden vergeleken en
besproken.
Als voorbeeld is volgende figuur weergegeven. Hierin staan de resultaten van de
metingen en berekeningen voor het derde wieltype, met een mantel uit VK90 en een
maximale last van 4000N. De gelijkaardige grafieken voor de andere wieltypes staan
in bijlage VI en VII. Merk in de grafiek op dat de assen zijn omgedraaid t.o.v. vorige
figuren. Dit komt omdat in het rekenblad de belasting een invoerparameter is en de
indrukking een uitvoerparameter.
55
Deze indrukkingen zijn daarenboven nog eens verdubbelt om conform te zijn met de
metingen.
Figuur 43: Metingen + Berekeningen voor wieltype 3 met een maximale last van 4000N
In de grafiek lijken slechts vier curven zichtbaar, maar er staan er weldegelijk
zeven. De vier curven met metingen liggen gewoon zo dicht bij elkaar, dat het
verschil op deze grafiek niet te zien is. Het verschil is er echter zeker wel.
Vooraleer de verschillende curven met berekeningen worden besproken, moet eerst
de aandacht uitgaan naar iets anders. Al deze berekeningen zijn uitgevoerd met een
vaste E-modulus. In dit geval voor VK90, een waarde van 50N/mm². Een
elasticiteitsmodulus is nochtans geen vaste maar een variabele grootheid. Dit
maakt de berekeningen onnauwkeurig.
Vanaf wanneer de temperatuur wijzigt, zal de elasticiteitsmodulus mee veranderen.
Hoe sterk deze verandering zal zijn, verschilt per materiaal. Voor Vulkollan® is
geweten dat over een temperatuurszone van 0°C tot 80°C, de E-modulus relatief
constant blijft. Er moet rekening gehouden worden met een maximum verschil van
25% over het totale temperatuursgebied.
Welk verband zit er nu juist tussen de temperatuur en de E-modulus. Naarmate
een materiaal - stel nu in dit geval het materiaal van de band - warmer wordt,
verliest dit materiaal zijn stijfheid. De oorzaak hiervan ligt op moleculair niveau.
Zijn polymeerketens zullen meer beginnen trillen, waardoor deze in lengte zullen
toenemen. Dit gaat gepaard met een dalende stijfheid.
Wanneer een wiel met een constante belasting rolt, zal dit wiel opwarmen. De
opwarming zorgt ervoor dat de stijfheid daalt. Dit vertaalt zich in een afnemende
E-moduluswaarde. Voor VK90 bijvoorbeeld zal bij een kamertemperatuur van 20°C,
de E-modulus 75N/mm² bedragen. Wanneer de omgevingstemperatuur wordt
opgeschroefd naar 80°C zal de E-modulus 20% afnemen tot 50N/mm².
56
Hoe warmer dus het wiel wordt, hoe lager de E-modulus en hoe groter de
indrukking zullen zijn voor eenzelfde last. In het rekenblad wordt gewerkt met vaste
E-moduluswaarden. Dit maakt nauwkeurig voorspellen bijna onmogelijk. Gelukkig
zijn uit onderzoek voor de verschillende Vulkollan®-types de wijzigingen van de
E-moduluswaarden in functie van de temperatuur gekend. In het rekenblad
kunnen de materiaalparameters aangepast worden, waardoor voorspellen
nauwkeuriger kan gebeuren.
Zoals eerder vermeld zijn in vorige figuur de metingen uitgevoerd met een vaste
E-modulus van 50N/mm². Deze stemt voor VK90 overeen met de waarde bij
omgevingstemperatuur 20°C en 10% vervorming. Er is met het stagebedrijf
afgesproken om niet verder dan 10% vervorming te gaan. Neem daarbij het gegeven
dat 80°C de grootste gebruikte temperatuur is in de metingen. Tezamen leidt dit tot
de twee uiterste voorwaarden, die resulteren in een minimale E-modulus van
42,5N/mm².
Ter verduidelijking is volgende tabel weergegeven. Hierin staan voor de
verschillende gebruikte Vulkollan®-types, de E-moduluswaarden in functie van de
temperatuur en het percentage vervorming.
Tabel 2: E-modulussen VK80, VK90 en VK95 (Vulkoprin)
De vraag die rest is voor welke waarde van de elasticiteitsmodulus de berekeningen
het best zullen aansluiten bij de metingen. Hiervoor moet per situatie het mogelijke
gebied waartussen zijn waarde kan liggen vooraf worden bepaald, waarna door
middel van testen uit het rekenblad de uiteindelijke oplossing zal voortvloeien. Dit
is per wieltype gebeurd voor elke onderzoeker en zal later in deze paragraaf aan bod
komen.
In wat volgt zullen eerst voor de standaard E-moduluswaarden bij 21°C en 10%
vervorming, de metingen per wieltype worden besproken en éénmalig worden ook de
gebruikte formules toegelicht.
57
Er wordt verdergegaan op de metingen met het derde wieltype uit figuur 43.
Wat meteen opvalt is de Kunz-curve, die het verst van de metingen ligt. Enkel bij de
start geeft ze een goede benadering van de werkelijkheid weer. Naarmate de
belasting toeneemt, groeit het verschil tussen de werkelijke en berekende
indrukking aan. Dit moet te verklaren zijn aan de hand van de gebruikte formule.
Voor een wiel met cilindrische mantel geldt voor de indrukking volgens Kunz
volgende formule.
-
indrukking = Δh =
met
(
) (
)
(2.1)
FN = normaalkracht
EV = vergelijkingselasticiteitsmodulus =
la = dragende lengte
dN = diameter van de naaf
dR = buitendiameter van het wiel
r = afronding
De meeste factoren zijn geometrische aspecten. Zij mogen per wieltype als constante
worden beschouwd. De resterende componenten beïnvloeden rechtstreeks de
indrukking. Deze zijn de vergelijkingselasticiteitsmodulus EV en belasting FN.
De EV-waarde zal sterk veranderen bij het kiezen van een ander mantelmateriaal.
Later zal duidelijk worden dat het wijzigen van het mantelmateriaal bij het bovenste
wiel, de grootste invloed zal hebben op de verandering van de EV-waarde.
Aangezien in de figuur met een vaste E-moduluswaarde van 50N/mm² voor VK90 is
gewerkt, blijft als enige resterende factor met invloed op de indrukking belasting F N
over. Deze is variabel omdat we de belasting als x-waarde hebben in onze grafiek.
Wat men dus uiteindelijk voor Kunz verkrijgt is een rechte van de vorm: y = cte . x,
waarin y staat voor de indrukking en x voor de belasting.
Door de vaste geometrische parameters blijft maar één manier over om de
berekende waarden nauwer te laten aansluiten bij de gemeten waarden. Het
variëren van de E-modulus. Om het gebied waartussen gevarieerd zal worden af te
bakenen, wordt als eerste naar de maximale dubbele indrukking in de grafiek
gekeken. Hieruit volgt de maximale indrukking, namelijk 0,85mm. Ten opzichte van
de 13mm dikke banddikte is dit procentueel ongeveer 6,5%. Dit is de max.
vervorming in de meting, welke niet zal worden overschreden. Hieruit volgt een
minimale E-modulus van 56N/mm². Hetgene wat nu gebeurt is de E-modulus
zoeken waarvoor de indrukking bij een belasting van 4000N zo dicht mogelijk wordt
benaderd. Uit berekening in het rekenblad, blijkt dit 185N/mm² te zijn.
58
Figuur 44: Metingen voor wieltype 3 met een maximale last van 4000N + Kunzberekening met
ideale materiaalparameterwaarden
Dit is meer dan het 2x het maximum van de verwachte E-modulus. Voor
Vulkollan® is geweten dat de E-modulus binnen de temperatuurszone van 0°C tot
80°C vrij stabiel blijft. De uiterste waarden liggen 20 tot 25% van het gemiddelde.
Een meer dan verdubbeling is echter veel te veel. Hieruit is te besluiten dat voor
deze meting, de theorie volgens Kunz geen goede voorspelling zal bieden voor de
indrukking. Enkel tot een belasting van 500N zijn de resultaten aanvaardbaar.
Daarna zullen deze verder en verder afwijken van de werkelijkheid.
Vanuit zijn theorie zijn er twee redenen af te leiden, waarom de fout bij deze meting
zo hoog ligt. Een eerste is het feit dat Kunz zijn testen uitvoerde met veel kleinere
wielen als de drie geteste wieltypes. Later wanneer de overige twee wieltypes worden
besproken, zal blijken dat ook daar de fout het grootst zal zijn bij Kunz. Een eerste
reden hiervoor is bij deze gekend. Een tweede fout zit hem in het lijnvormig contact.
Een cilindervormig wiel in contact met een vlakke ondergrond zal geen puntvormig,
maar een lijnvormig contact bezitten. Kunz ging bij zijn testen altijd uit van een
puntvormig contact. Dit is een tweede oorzaak om het sterke verschil tussen
metingen en berekeningen volgens Kunz te verklaren.
De tweede curve met berekeningen, die na Kunz het verst verwijdert ligt van de
metingen is de curve volgens Lütkebohle. Hij heeft voor de indrukking twee
verschillende formules ontwikkeld. De ene geldt wanneer beide contactlichamen uit
materiaal met gelijke E-modulus zijn vervaardigd. Indien dit niet zo is, zoals in dit
voorbeeld, geldt volgende formule voor de indrukking.
59
-
indrukking = Δh =
met
(
(
)) waarin aH = √
(
)
(2.2)
FN = normaalkracht
EV = vergelijkingselasticiteitsmodulus =
B = wielbreedte
ν = Poisson-factor materiaal bovenste band
Re = vergelijkingsstraal =
Vergeleken met de Kunzformule komen twee nieuwe factoren aan bod. De eerste is
een geometrische factor, namelijk de wielbreedte. Deze blijft constant gedurende de
meting. Factor twee de Poisson-factor is interessanter. Hij is specifiek per materiaal
en geeft de verhouding weer van de relatieve dwarse inkrimping op de relatieve
axiale verlenging. Daarnaast is dit – net zoals de E-modulus – een variabele
grootheid. Voor visco-elastische materialen zoals Vulkollan®, die belast worden en
daarbij een vervorming ondergaan, zal de Poisson-factor veranderen in functie van
de tijd. Aangezien in de berekeningen met een vaste waarde is gewerkt, zal ook dit
leiden tot een fout.
Voor de berekeningen in figuur 43 is gewerkt met een Poisson-factor van 0,45. Bij
het vergelijken van Kunz en Lütkebohle in deze figuur valt meteen het verschil in de
vorm van hun curve op. Bij Kunz is aangetoond dat dit een rechte is. Voor
Lütkebohle zien we iets anders. Volgende figuur is gelijkaardig met figuur 43, maar
de Kunzcurve is weggelaten. Zo wordt de vorm van de Lütkebohlecurve duidelijker.
Figuur 45: Metingen voor wieltype 3 met een maximale last van 4000N + berekeningen
Lütkebohle en Liu met standaard materiaalparameterwaarden
60
Er is duidelijk een kromming te zien. Dit is een rechtstreeks gevolg van met twee
veranderende parameters te werken in plaats van met één. De Poisson-factor in
rekening brengen zal een positieve invloed hebben op de berekening.
Door de berekening te ontleden, wordt duidelijk welke invloed het veranderen van
de twee variabele factoren zal hebben op de grootte van de indrukking. De waarde
die verandert bij wijzigen van E of ν, is de Hertz halve contactlengte 'aH'. Naarmate
ze allebei of één van hen stijgt, zal de halve contactlengte volgens Hertz verkleinen.
De natuurlijke logaritme ln zal aangroeien, maar de indrukking niet. Dit komt door
het eerste element in de formule, namelijk de gekwadrateerde 'aH'-waarde. Vanwege
het kwadraat is zijn invloed op de indrukking groter dan dat van de logaritme.
Wanneer dus de E-modulus en/of de Poisson-factor zullen toenemen zal de
indrukking afnemen en omgekeerd.
De laatste stap die rest voor Lütkebohle, is zoeken naar de ideale waarden voor de
twee variabelen om de metingen zo goed mogelijk te benaderen. Het gebied
waartussen mag gevarieerd worden voor de E-modulus is reeds gekend van bij de
Kunz berekeningen. Voor de Poisson-factor is dit gebied voor Vulkollan® gegeven
vanuit het bedrijf, namelijk 0,43 tot 0,50.
Uit de berekeningen blijken met een belasting van 4000N en een indrukking van
0,85mm, een E-moduluswaarde van 140N/mm² en een Poisson-factor van 0,5
overeen te stemmen. De ideale E-moduluswaarde is lager dan bij Kunz, maar nog
steeds veel te hoog. Dit zijn natuurlijk wel de waarden om de metingen perfect weer
te geven.
Wordt de indrukking volgens Lütkebohle met de aanvaardbare grenzen
E = 90N/mm² en ν = 0,5 berekend, krijgen we volgend behoorlijk resultaat.
Figuur 46: Metingen voor wieltype 3 met een maximale last van 4000N + Lütkebohleberekening
met ideale materiaalparameterwaarden
61
Als besluit kunnen voor Lütkebohle twee voordelen worden aangehaald ten opzichte
van Kunz. De eerste is het rekening houden met de Poisson-factor. Hierdoor zal de
vorm van de curve beter de metingen volgen. Daarnaast is er gewoon een betere
formule opgesteld. Het grootste nadeel is het gebruiken van de halve contactbreedte
volgens Hertz in de formule. Deze geldt enkel goed wanneer er een contactsituatie
met puntvormig contact is. Aangezien er in dit onderzoek enkel met lijnvormige
contacten wordt gewerkt, zal de factor 'aH' voor onnauwkeurigheid zorgen bij de
berekende waarden. Voorlopig zal Lütkebohle voor de betrouwbaarste resultaten
zorgen en het best de metingen weergeven.
Als laatste is er Liu. Op het eerste zicht de nauwkeurigste van allemaal, zowel qua
vorm van de curve als qua resultaat. Hierbij geldt volgende kanttekening. De
gebruikte formule in het rekenblad voor de indrukking komt niet rechtstreeks uit de
geschreven werken van Liu. Dit omdat nergens specifiek een formule voor de
indrukking te vinden is. Er is in samenspraak met het bedrijf zelf een formule
opgesteld, waarin de gebruikte elementen bepaald worden volgens de theorie van
Liu.
Deze formule is erg eenvoudig en gehaald uit het ‘Tabellenboek voor
metaaltechniek’.
Figuur 47: Formule indrukking voor Liu (De Clippeleer, 2014)
Dit naar het thesisproject omzetten leidt tot volgende gebruikte formule.
-
indrukking = Δh =
met
√
(2.3)
ra = buitenste straal van het wiel
a = de halve contactlengte volgens Liu
62
Deze halve contactlengte is rechtstreeks afhankelijk van de verhouding
banddikte 'h' op contactlengte volgens Hertz 'aH'. In het Liu gedeelte van de
literatuurstudie is hier dieper op ingegaan. Indien de verhouding
5 zal de halve
contactlengte berekend worden volgens formule 1.40. Zo niet wordt met formule
1.42 gewerkt.
Beide formules bevatten geometrische parameters zoals de wielbreedte en de
verschillende stralen. Deze blijven constant tijdens de meting. De interessante
elementen in de formules zijn de volgende:
-
EVERV =
((
)
) ((
)
)
(2.4)
-
(2.5)
-
(2.6)
Dit zijn de variabele factoren in de berekening. Ten opzichte van Lütkebohle is het
enige extra element de Poisson-factor van het onderste contactlichaam 'ν2'. Uit
enkele berekeningen blijkt het wijzigen van 'ν2' - door het kiezen van een ander
materiaal - weinig invloed te hebben op het resultaat van de indrukking. In de
berekeningen in figuur 43 is gewerkt met een waarde voor 'ν2' van 0,34.
Wat meteen opvalt in de figuur is de sterk overeenkomst tussen Liu en de metingen.
Daarnaast geeft de berekende indrukking een waarde weer, welke meer dan
behoorlijk aansluit bij de werkelijkheid. Dit doet alvast het beste vermoeden voor
wat nog rest.
Opnieuw volgt de opmerking dat de E-modulus of de Poisson-factor verhogen, de
indrukking zal doen dalen. Als allebei of één van beide variabelen toeneemt, zal de
halve contactbreedte afnemen, wat leidt tot een daling van de indrukking.
63
Voor het zoeken naar de ideale waarden van de twee variabelen, is het principe en
het gebied waartussen mag getest worden volledig conform aan Lütkebohle en
Kunz. Uit de berekeningen blijken bij een belasting van 4000N en een indrukking
van 0,85mm, een E-moduluswaarde van 35N/mm² en een Poissongetal van 0,38
overeen te stemmen. Dit geeft ons volgende grafiek.
Figuur 48: Metingen voor wieltype 3 met een maximale last van 4000N + Liuberekening met
ideale materiaalparameterwaarden
Terwijl de ideale E-moduluswaarde bij vorige onderzoekers te groot was, is deze voor
Liu te klein. Het verschil met een aanvaardbare E-modulus is hier wel veel minder.
Dit is al meteen een eerste positieve punt. Merk daarbij uit vorige grafiek op, hoe
sterk de berekeningen en de metingen bij elkaar liggen. Dit bewijst dat de
berekening voor de indrukking volgens Liu als beste mag worden beschouwd voor
dit onderzoek.
We onthouden de waarden E = 35N/mm² en ν = 0,38. Bij het testen van de overige
twee wieltypes zullen voor Liu deze waarden gebruikt worden. Indien bij beiden de
berekeningen en de metingen ook zo goed overeenstemmen, mogen deze
materiaalwaarden voorlopig als ideaal worden aanschouwd voor de berekeningen
volgens Liu bij cilindrische VK90-wielen.
Als besluit voor Liu is te stellen dat zijn voorspellingen het best de werkelijkheid
benaderen. Ondanks dat de formule voor de indrukking zelf is ontwikkeld, zijn de
gebruikte factoren hierin allemaal volgens zijn berekeningen. Eigenlijk is er maar
één factor van belang namelijk de halve contactlengte. Hoe deze wordt berekend
hangt af van de banddikte op halve contactlengte volgens Hertz verhouding. Deze
verhouding is eigen aan Liu. Wanneer ze 5 zal er minder kracht nodig zijn om een
bepaalde lengte van het contactvlak te bereiken, dan wanneer deze verhouding < 5.
64
Om dit deel van het onderzoek af te sluiten, worden voor de overige geteste
wieltypes de grafieken met metingen weergegeven. Deze zijn aangevuld met de
berekeningen per onderzoeker volgens hun ideale en tegelijk aanvaardbare
E-modulus en Poisson-factor. Deze waarden zijn samengevat in volgende tabel.
Kunz
Lütkebohle
Liu
ideale E
90N/mm²
90N/mm²
35N/mm²
ideale ν
0,45
0,5
0,38
Tabel 3: Aanvaardbare ideale materiaalparameterwaarden per onderzoeker
Voor het eerste wieltype is de besluitende figuur hieronder weergegeven.
Figuur 49: Metingen voor wieltype 1 met een maximale last van 4000N + elke berekening per
onderzoeker met ideale materiaalparameterwaarden
Voor dit wieltype lijken de ideale variabelen tot nog betere resultaten te leiden als
voor wieltype 3. Elke berekende curve zit dicht genoeg bij de werkelijkheid om van
een aanvaardbare voorspelling te spreken. Vooral Lütkebohle en Kunz zien er
betrouwbaarder uit dan in voorgaande besproken meting. Toch blijft Liu de kroon
spannen. In begin tot een last van 1000N is de voorspelling minder nauwkeurig.
Hierbij is een knik te zien in de curve. Deze knik is het gevolg van de overgang van
5 naar
. Na de overgang is de benadering van de metingen perfect.
65
Als laatste rest het tweede wieltype. Dit is sterk vergelijkbaar met het derde
wieltype. Enkel de banddikte is groter. De indrukking zal bijgevolg ook groter zijn.
Alle berekeningen en metingen met de aanvaardbare ideale waarden voor de
variabelen zijn te vinden in figuur 50.
Figuur 50: Metingen voor wieltype 2 met een maximale last van 4000N + elke berekening per
onderzoeker met ideale materiaalparameterwaarden
Kunz blijft de minst nauwkeurige. De overige twee blijken erg sterk de meting te
benaderen met opnieuw Liu als primus. Toch mag in dit geval ook Lütkebohle
aanzien worden als erg sterke benadering. Voor de drie wieltypes geeft Lütkebohle
tweemaal een sterke benadering. Dit bij de wielen met de dikste banddikte. Een
verband met de formule is er niet meteen. Het is gewoon een vaststelling.
In het rekenblad zullen de resultaten volgens Liu het meest te betrouwen zijn. Zeker
indien de ideale waarden voor de variabelen worden gebruikt. Op basis van de
theorie bleek dit vooraf ook het meest logische aangezien in zijn theorie met de
meeste invloedsfactoren rekening werd gehouden.
66
2 Testbank voor rollercoasterwielen
Voor het tweede deel van het onderzoek zijn dezelfde drie wieltypes getest, maar op
een andere testbank. Haar nut is de kwaliteit en sterkte van een wiel te testen aan
de hand van twee invoerparameters: de belasting en de rolsnelheid. Voor elk
wieltype is de test éénmalig uitgevoerd. Wat gemeten kan worden en nuttig is voor
dit eindwerk zijn de indrukking, de temperatuur in de mantel en de temperatuur in
de kern. Opnieuw zullen de metingen worden vergeleken met de berekeningen
volgens het rekenblad en vervolgens worden besproken.
2.1 Bespreking van de testbank
Deze testbank is enkele jaren terug ontwikkeld door een student als eindwerk aan
de hogeschool. Hij kreeg de opdracht om een testbank te ontwerpen voor
rollercoasterwielen, waarbij de rit kon gesimuleerd worden. De geteste wielen
moeten dus kunnen draaien aan een hoge snelheid en terwijl kunnen belast
worden.
Het uiteindelijke resultaat waarop de testen voor dit onderzoek zijn gebeurd, is een
testbank waarbij de wielen een maximale snelheid van 120km/u en een belasting
van 30kN kunnen bereiken. Voor dit onderzoek zal echter met veel lagere waarden
worden gewerkt. Onderstaande figuur geeft de testbank weer.
Figuur 51: Testbank voor rollercoasterwielen (Vulkoprin)
Hoe deze is opgebouwd zal bondig eerst worden toegelicht. Het eerste belangrijke
onderdeel is het loopwiel. Dit is het wiel dat dienst doet als onderste contactlichaam
in het rekenblad. Zijn vorm, afmetingen en materiaal zijn belangrijk te weten omdat
dit invoerparameters zijn.
Om een achtbaan zo sterk mogelijk te simuleren, is eigenlijk een horizontale baan
vereist. Vanwege plaatsgebrek is dit niet mogelijk. Een loopwiel is een goed
67
alternatief. Hoe groter zijn diameter, hoe beter de baan wordt benaderd. Anderzijds
zorgt een grotere diameter voor een hogere massa en dus ook een hogere traagheid.
Om deze traagheid te beperken, is de massa gereduceerd door te werken met
spaken in het loopwiel.1 Zijn uiteindelijke vorm op deze testbank blijkt cilindrisch.
De diameter bedraagt 636mm en qua materiaal is het volledig ontworpen uit staal.
Via een klembus wordt het loopwiel vastgeklemd rond een as. Langs de andere kant
van deze as zit een riemschijf. Deze zorgt voor het draaien van het loopwiel, door
middel van een riemaandrijving met een tweede riemschijf op de motoras.
Het vastzetten van de wieltjes gebeurd via een opspansysteem. Dit systeem heeft
een zone van 10cm waarover het wiel kan verschoven worden. Dit onderdeel is
nodig om het bovenste wiel met zijn mantel mooi centraal te kunnen positioneren
op de onderste wielmantel. De ene temperatuursensor zal op die manier juist in het
midden van de mantel meten. De andere temperatuursensor wordt daarna manueel
gericht op de kern van het wiel.
Als laatste wordt de meter voor de indrukking vastgedraaid. Het voorbereidende
werk aan de machine is hierbij afgelopen. Het enige wat nog rest is de software.
Deze werkt heel eenvoudig. Er wordt een bestandje ingelezen met de
procesgegevens, waarna de meting van start kan gaan als het toestel klaar staat. Na
de metingen worden de resultaten op hun beurt opgeslagen in een ander bestand.
Figuur 52: Software bij de tweede testbank
Het ingeven is zeer eenvoudig. In een bestand wordt lijn per lijn weergegeven wat er
moet gebeuren. Er worden per lijn drie parameters verwacht. De eerste is de tijd,
vervolgens de grootte van de belasting en tenslotte de snelheid van het loopwiel.
1
De Vriendt, J. (2011). Testbank voor rollercoasterwielen. Hogeschool Gent, faculteit Natuur
en Techniek.
68
Er is gekozen tijdens de metingen voor de minimale snelheid van het loopwiel,
namelijk 12km/u. Voorts bestaat één test uit 18 stappen. Telkens wordt het wiel
een kwartier belast, waarna een pauze zonder belasting van 2 minuten volgt. Er
wordt gestart met een belasting van 2000N, waarna we deze belasting met stappen
van 250N zullen verhogen. Op deze manier wordt het proces herhaald tot en met
een maximum belasting van 4000N. Voor elk wieltype zijn volgens dit stappenplan
de testen uitgevoerd.
2.2 Mogelijke optredende defecten bij de Vulkollan®-wielen
In deze paragraaf worden de meest voorkomende wieldefecten besproken. Vaak zal
een te hoge belasting of rolsnelheid hier aan de oorzaak liggen. De maximale
temperatuur in het wiel zal daarbij waarden groter dan de bij Vulkollan® maximum
toegestane +125°C aannemen. Hierdoor zal een blijvende beschadiging in de
chemische structuur optreden. De testbank maakt het mogelijk om enkele van deze
defecten op te sporen.
o
Thermische overbelasting
Thermische overbelasting treedt op wanneer de temperatuur in de mantel te hoog
oploopt. De afvoer van de warmte via het contactvlak, de zijvlakken en de naaf
verloopt te traag. Hierdoor wordt de maximum temperatuur van +125°C vrij snel
bereikt en krijgt men thermische overbelasting. Om dit trachten te voorkomen moet
men rekening houden met de belasting en de rolsnelheid. Beiden mogen niet te
groot worden. Hun maximale waarden zijn verschillend per model en afhankelijk
van de gebruikte materialen. Een voorbeeld van thermische overbelasting is
weergegeven in figuur 2.
o
Bloemkooleffect
Wanneer een wiel contact maakt met de grond en de aandrijfkrachten zijn te groot,
dan kan het gebeuren dat de sterkte van het mantelmateriaal overschreden wordt.
Hierdoor ontstaan er scheuren in de mantel, zowel in de dwars- als in de
langsrichting. Indien deze krachten aanhouden verdiepen de scheuren zich verder
tot barsten. Dit noemt men het bloemkooleffect. Volgende figuur geeft dit weer.
Figuur 53: Het bloemkooleffect (InnoRad, 2011)
69
o
Loskomen verbinding naaf-mantel
Dit is één van de defecten, die geregeld weerkeren op de testbank. De kwaliteit van
een naaf-mantel verbinding wordt gekenmerkt door de fysische, chemische en
mechanische binding tussen beiden. Het kan gebeuren dat door te hoge last, te
grote rolsnelheid of obstakels op de baan de lijmverbinding tussen beiden loskomt.
Dit zal zich sneller voordoen in warme omgevingen. Wat opvalt is dat afgezien van
het loskomen, de delen afzonderlijk weinig tot geen schade vertonen.
Een manier om het loskomen te verhinderen is gebruik maken van een aangepaste
vorm voor de naaf. Bijvoorbeeld het gebruiken van een kroonvertanding of een
polygoonprofiel.
Figuur 54: Aangepaste naafvormen
o
Mechanische beschadiging
Deze vorm van defect kan altijd optreden. Hierbij liggen meestal onzuiverheden op
de baan aan de oorzaak, zoals bv. ergens een scherp voorwerp. Des te beter dus de
controle van de gebruiksomgeving, des te minder kans op dit type van problemen.
De voornaamste mechanische beschadigingen zijn:
-
Verwijdering mantelmateriaal tgv. een scherp voorwerp op de baan
Figuur 55: Mechanische beschadiging mantel (InnoRad, 2011)
70
-
Indrukking tgv. schuring bij blokkerende wielen
Figuur 56: Schuring (InnoRad, 2011)
o
Hydrolyseschade
Het grote probleem hierbij is vocht. Wanneer de opname van vocht een zekere tijd
blijft duren kan het gebeuren dat het mantelmateriaal (Vulkollan®) chemisch wordt
verstoord. Het manteloppervlak wordt wasachtig waardoor zowel de stevigheid als
elasticiteit verminderen. Het vocht kan afkomstig zijn van het wiel dat contact
maakt met water, maar dit hoeft niet per se. Ook een warme omgeving waar een
hoge luchtvochtigheid heerst kan leiden tot hydrolyseschade. Volgende figuur geeft
een voorbeeld weer waar het vocht geen water is, maar chemicaliën.1
Figuur 57: Hydrolyseschade (InnoRad, 2011)
o
Scheuren als gevolg van overbelasting
Bij een dynamisch belast wiel wordt de mantel continu vervormd. Hierdoor ontstaan
langs de zijvlakken zowel schuif- als drukspanningen. Wanneer de maximale
belasting wordt overschreden kunnen scheuren ontstaan vanaf de verbinding
naaf-mantel tot het manteloppervlak. Volgende figuur geeft hiervan een voorbeeld.
Figuur 58: Gescheurde mantel (InnoRad, 2011)
1
Wehking, K.-H.; Bruns, R. (2011). InnoRad – Erhöhung der Lebensdauer von Rädern und
Rollen aus Polyurethan. Institut für Fördertechnik und Logistik, Universiteit Stuttgart.
71
2.3 Bespreking van de metingen en berekeningen
Voor ieder wieltype is de test uitgevoerd. Opnieuw zullen deze stuk voor stuk
worden besproken. Het interessante is dat naast de indrukking een nieuwe
uitvoerparameter kan worden getest, namelijk de temperatuur in de mantel. De
warmte in de wielkern wordt ook opgenomen, maar is niet te testen met het
rekenblad.
In het rekenblad is het principe van parameteringave gelijkaardig als in het vorige
onderzoek aangezien met dezelfde wielen wordt gewerkt. Er zijn twee factoren
anders in te geven. De eerste is de vorm van het onderste contactlichaam. Voor deze
testbank doet het loopwiel dienst als onderste contactlichaam. Er wordt dus
gekozen voor een cilindervormig wiel. Bijkomend worden zijn geometrische
paramaters gevraagd welke gekend zijn. Het gekozen materiaal is staal. Als tweede
is er de rolsnelheid. Deze bedraagt 12km/u. Dit omzetten naar meter per seconde
geeft 3,33m/s.
De bespreking van de metingen start deze keer met het eerste wieltype. Volgende
figuur geeft de resultaten en de berekeningen volgens het rekenblad weer. Merk
hierbij op dat met twee y-assen wordt gewerkt. Een primaire voor de temperatuur
en een secundaire voor de indrukking.
Figuur 59: Metingen voor wieltype 1 + berekeningen temperatuur voor Lütkebohle en Liu met
standaard materiaalparameterwaarden
De speling bij de meting valt meteen sterk op vooral bij de indrukking. Dit maakt
het niet makkelijk om een mooie en duidelijke figuur te bekomen. De manier
waarop ze hier staat weergegeven, is overzichtelijk genoeg. De waarden zijn
duidelijk zichtbaar.
72
Voor de berekende waarden zijn punten gebruikt. Tijdens de meting blijft een
constante last gedurende 15 minuten op het wiel staan en zal in deze tijdspanne
zijn temperatuur wijzigen. In het rekenblad wordt met de tijd geen rekening
gehouden. Voor eenzelfde last zal dus maar 1 resultaat zijn. Vandaar het gebruik
van puntwaarden in de grafiek. Voor de indrukking staan de berekende waarden
nog niet in de figuur om verwarring te vermijden. Zij zullen later apart worden
weergegeven.
Merk op dat van berekeningen volgens Kunz voor de temperatuur geen sprake is.
Dit komt vanwege zijn gebrek aan aandacht hiervoor tijdens zijn testen. Tot een
formule om de temperatuur ergens in het wiel te voorspellen is Kunz nooit
gekomen.
Voor de temperatuur in de kern is een mooie continu stijging te zien gedurende de
proef. In de mantel van het wiel is de toename minder. Daarnaast volgt telkens na
de periode van belasting een kortstondige piek. Dit komt door het vrijkomen van de
warmte, welke vastgehouden blijft in de band tijdens het draaien onder belasting.
Het zijn deze pieken welke interessant zijn in dit onderzoek. Zij stellen de maximale
temperatuur in het wiel voor. Het rekenblad maakt het mogelijk deze temperaturen
te voorspellen. Liu heeft hiervoor een formule ontwikkeld welke staat weergegeven
en uitgelegd in paragraaf 3.3 van hoofdstuk 1. Ze bepaalt de maximale
oververhitting in een wiel. Dit is de temperatuur tussen de kamertemperatuur en
het warmste punt in de mantel.
Bij het vergelijken van de berekeningen met de metingen is voor Liu een goede
benadering van de werkelijkheid zichtbaar. Het verschil ligt voor elke meting onder
de 20%. Toch kan opnieuw een nauwkeurigere voorspelling worden bekomen door
enkele variabelen aan te passen. Hiervoor grijpen we terug naar formule 1.45. Alle
factoren in deze formule zijn constant gedurende de meting, behalve de spanning.
Deze spanning zal afhangen van de verhouding
Indien
.
zal formule 1.41 voor de spanning gelden, zo niet geldt formule 1.43.
Voor beide formules zal het veranderen van de variabelen hetzelfde effect hebben.
Deze variabelen zijn opnieuw de E-modulus en de Poisson-factor. Indien allebei of
één van beiden stijgt, zal de grootte van de halve contactbreedte afnemen. De last
zal over een kleiner gebied moeten verdeeld worden waardoor de spanning
toeneemt. Deze toename zorgt voor een grotere maximale oververhitting. Enkele
berekeningen geven voor het eerste wieltype een ideale E-moduluswaarde van
55N/mm² en voor de ideale Poisson-factor 0,46. Dit zijn perfect aanvaardbare
waarden. Figuur 60 geeft de resultaten van deze berekening weer.
73
Eerst wordt Lütkebohle besproken. Hij heeft een formule ontwikkeld om de
temperatuursverdeling in de mantel te bepalen vanaf de naaf tot de buitenzijde van
het wiel. Deze formule is uitgebreid besproken in de literatuurstudie. In het
rekenblad wordt de formule gebruikt in combinatie met een tabel. Op die manier is
het mogelijk een figuur te ontwikkelen, die het temperatuursverloop in de mantel
overzichtelijk weergeeft.
Voor dit onderzoek worden uit de berekeningen volgens Lütkebohle de grootste
waarden uit zijn grafieken genomen. Zij zullen worden vergeleken met de
meetwaarden van de mantel. In figuur 60 is te zien dat de berekende en werkelijke
waarden bijna identiek zijn, wat wijst op een goede voorspelling voor dit type wiel.
Voor de variabelen zijn de standaardwaarden van het rekenblad gebruikt, namelijk
E = 50N/mm² en ν = 0,45. Zij mogen als ideale waarden worden aanschouwd.
Samen met Liu leidt dit tot volgende ideale voorspellingswaarden.
Figuur 60: Metingen voor wieltype 1 + berekeningen temperatuur voor Lütkebohle en Liu met
ideale materiaalparameterwaarden
Nu de temperaturen zijn besproken, rest enkel nog de indrukking. Hiervoor komt
Kunz wel opnieuw aan bod. De gebruikte formules staan volledig beschreven in het
onderzoek met de eerste testbank. De waarden voor de E-modulus en de
Poisson-factor zijn gebruikt volgens tabel 3. Meteen een manier om te testen hoe de
ideale waarden voor de wieltypes het doen in andere omstandigheden.
74
Er moet wel worden opgemerkt dat de meting van de indrukking onnauwkeurig kan
gebeurd zijn. Het nulstellen van de meter bij de start dient manueel te gebeuren,
wat kan leiden tot enkele tienden millimeter fout op de meting. Daarnaast moet
gezegd dat de meter de indrukking meet tot op 0,1mm nauwkeurig.
Figuur 61: Metingen voor wieltype 1 + berekeningen indrukking voor elke onderzoeker met de
ideale materiaalparameterwaarden
Opnieuw is te zien dat Liu het best de metingen benadert, al komt Lütkebohle
aardig in de buurt. Beiden mogen aanzien worden als goede voorspelling. Zeker
opnieuw voor Liu is van zeer nauwkeurige resultaten te spreken. Dat zijn ideale
waarden ook in andere omstandigheden een sterke benadering van de indrukking
voorspellen, stemt ons hoopvol. Misschien wil dit wel zeggen dat op deze manier
voor alle VK90-wieltypes de indrukking nauwkeurig te voorspellen valt.
Voor het tweede wieltype is hetzelfde principe doorlopen. Hierbij ziet het resultaat
van de metingen en de berekeningen met de standaardwaarden er als volgt uit.
Figuur 62: Metingen voor wieltype 2 + berekeningen temperatuur voor Lütkebohle en Liu met
standaard materiaalparameterwaarden
75
Opnieuw zijn de resultaten erg goed, zelfs beter als bij het eerste wieltype. De
standaardwaarden voor deze meting mogen als ideaal worden beschouwd. Wel zal
naarmate de belasting groter wordt Liu meer afwijken van de piek. Toch blijkt na
een verdubbeling van de last het verschil slechts 2°C te bedragen, wat overeenkomt
met een foutmarge van ongeveer 5%. Ruim voldoende om van een goede schatting te
spreken.
Voor de indrukking is opnieuw gewerkt met de variabele waarden volgens tabel 3.
Dit leidt tot volgende figuur.
Figuur 63: Metingen voor wieltype 2 + berekeningen indrukking voor elke onderzoeker met de
ideale materiaalparameterwaarden
Hieruit blijken de berekende waarden al wat verder af te wijken van de
werkelijkheid. De volgorde van nauwkeurigheid per onderzoeker blijft bewaard,
maar geen één van hen geeft over de gehele belasting een betrouwbaar resultaat.
Vooral in het begin bij een last van 2000N zijn de voorspellingen slecht. Enkel voor
Liu zal naarmate de belasting toeneemt de fout kleiner worden en het resultaat
aanvaardbaar. Toch is het raar om voor de eerste keer zoveel afwijking te hebben.
Een onnauwkeurige meting kan de oorzaak zijn. Om dit na te gaan is de proef kort
opnieuw uitgevoerd. Er is gewerkt met stappen van 500N i.p.v. 250N om de duur
van de meting te beperken. De gemiddeldes van de resultaten worden in tabel 4
weergegeven.
Kracht
2000N
2500N
3000N
3500N
4000N
Indrukking
0,5mm
0,7mm
0,8mm
0,8mm
0,9mm
Tabel 4: Gemiddeldes tweede meting van de indrukking voor wieltype 2
76
Deze meting geeft al een veel acceptabeler beeld. Het verschil met de berekeningen
volgens Liu is er wel, maar deze keer zal over heel het meetbereik de fout kleiner
zijn dan 20%.
De allerlaatste proef van dit onderzoek is gebeurd met het derde wieltype. Dit wiel
verschilt in één factor met het tweede wieltype, namelijk de banddikte. Omdat deze
kleiner is, zal de indrukking lager moeten liggen. Ook de temperatuur in de mantel
moet kleiner zijn. Dit vanwege de kleinere banddikte, die ervoor zorgt dat de warmte
in de mantel sneller kan worden afgevoerd. Dit is nuttig om te zien of de metingen
goed zijn uitgevoerd.
Figuur 64: Metingen voor wieltype 3 + berekeningen temperatuur voor Lütkebohle en Liu met
standaard materiaalparameterwaarden
Aan beiden blijkt voldaan. De indrukking neemt kleinere waarden aan en de
temperatuurpieken zijn iets lager. Voor de berekende waarden zijn de
voorspellingen niet slecht, maar ze kunnen beter. De meetpunten van Lütkebohle
hebben een ideale toename, alleen zouden al deze punten enkele graden hoger
moeten liggen. Het spelen met de variabelen binnen de geldige zone veroorzaakt
weinig verbetering. De kleinste aanvaardbare waarden voor de E-modulus en
Poisson-factor zullen de nauwkeurigste resultaten geven. Al zal het verschil met
deze berekeningen slechts een halve graad bedragen.
Voor Liu vergroot het verschil met de piekwaarden naarmate de belasting stijgt en
de temperatuur toeneemt. Dit was eigenlijk bij de twee vorige wieltypes ook
zichtbaar zijnde in mindere mate. De reden van de afwijking is het gebruik van een
vaste E-moduluswaarde over de gehele meting. Als de indrukking en temperatuur
toenemen daalt de E-moduluswaarde, zoals is te zien in tabel 2. Naarmate de
belasting stijgt, zal dus het verschil tussen werkelijke en gebruikte E-modulus
verhogen. Vandaar het toenemende verschil in de grafiek.
77
Als de E-modulus voor de berekening van het laatste meetpunt bij 4000N wordt
verlaagd van de gebruikte 50N/mm² tot 40N/mm² komen we precies rond de
piekwaarde uit. Dit bewijst dat de aangehaalde oorzaak klopt.
Dit wil zeggen dat voor dit wieltype gedurende de meting de E-modulus 10N/mm²
afneemt. In het rekenblad wordt van 2000N tot 4000N in stappen van 250N de
maximum temperatuur volgens Liu opgenomen. Om de berekeningen beter te laten
aansluiten bij de metingen, moet de E-modulus worden aangepast per meting.
Hiervoor wordt eerst naar de meting gekeken. Meer bepaald naar het
temperatuursgebied. Voor ieder wieltype is dit gebied gegeven in tabel 5.
In vorig voorbeeld voor het derde wieltype volgt hieruit volgende grafiek.
Figuur 65: E-modulus (VK90) in functie van de temperatuur voor het derde wieltype
Hieruit kan voor elke berekening de juiste E-moduluswaarde worden gehaald.
Toegepast op de meting met het derde wieltype geeft dit volgende figuur.
Figuur 66: Metingen voor wieltype 3 + berekeningen temperatuur voor Lütkebohle en Liu met
ideale materiaalparameterwaarden
78
Hierin is te zien dat de voorspellingen volgens Liu nu nog beter aansluiten met de
werkelijkheid. Hetzelfde principe is toegepast op de overige twee wieltypes. Volgende
besluitende tabel geeft voor elk wieltype het ideale E-modulusgebied en het
temperatuursgebied van de metingen per wieltype weer.
Eerste wieltype
Tweede wieltype
Derde wieltype
ideale E-modulusgebied
[70 N/mm² , 55 N/mm²]
[50 N/mm² , 45 N/mm²]
[50 N/mm² , 40 N/mm²]
ideale ν
0,46
0,45
0,45
Temperatuursgebied
[30 °C , 40 °C]
[30 °C , 45 °C]
[30 °C , 40 °C]
Tabel 5: Ideale materiaalparameters + temperatuursgebied per wieltype
Uit het onderzoek naar de ideale materiaalparameters vallen enkele dingen op. Zo
blijkt de invloed van de Poisson-factor veel groter te zijn als deze van de E-modulus.
De Poisson-factor 1% verhogen heeft hetzelfde effect als de E-modulus 10 tot 20%
verhogen. Dit is gebleken uit de zoektocht naar één algemene ideale waarde voor de
E-modulus, zoals dit ook voor de indrukking gebeurd is. Uit de tabel wordt duidelijk
dat één ideale waarde voor de E-modulus hier niet mogelijk is. Voor elk wieltype zal
een ideaal E-modulusgebied moeten worden opgesteld.
In de tabel valt wel iets interessant op. Voor het tweede en derde wieltype is het
ideale E-modulusgebied ongeveer gelijk. Het enige verschil tussen deze wieltypes is
hun banddikte. Dit kan betekenen dat voor elk soort wiel, waarvan enkel de
banddikte verschilt een vast ideale E-modulusgebied geldt. Om hiervan zeker te
zijn, is verder onderzoek noodzakelijk.
Voor de indrukking is terug gewerkt met de ideale variabele waarden volgens
tabel 3. Dit leidt tot volgende figuur.
Figuur 67: Metingen voor wieltype 3 + berekeningen indrukking voor elke onderzoeker met de
ideale materiaalparameterwaarden
79
Zoals bij alle testen voor de indrukking is opnieuw de voorspelling in het begin van
de meting het minst nauwkeurig. Naarmate de belasting oploopt wordt de
voorspelling nauwkeuriger.
80
3 Besluit van het onderzoek
Algemeen over het gehele onderzoek gezien, vallen enkele besluiten te trekken over
de wielen met een mantel uit VK90. Allereerst voor de indrukking, die op beide
testbanken kan worden nagegaan. Uit elke proef volgt steeds dezelfde vaststelling.
Liu zal in dit onderzoek altijd de beste voorspelling bieden van de werkelijkheid.
Enkel bij de start van de belasting is er wat onduidelijkheid. Geen enkele van de
drie onderzoekers is er in geslaagd een formule te ontwikkelen om bij de start
precies de indrukking te kunnen voorspellen. Kunz benadert bij de start nog het
beste de werkelijkheid. Dit komt door de kleine afmetingen van het contactvlak bij
een lage belasting, waarvoor de theorie van Hertz geldig is. Toch zal naarmate de
belasting stijgt, de geldigheid van de formule verminderen en de voorspelling
volgens Kunz slechter worden. Voor Liu is de voorspelling bij de start het slechtste.
Het valt op dat na de knik zijn berekeningen veel nauwkeurig worden. Hieruit valt
volgende conclusie af te leiden, welke is aangehaald in hoofdstuk 1 paragraaf 3.4.
De knik staat voor de overgang van de ene reeks formules naar de andere reeks
formules. Voor de knik is er sprake van een verhouding van de banddikte op
contactlengte volgens Hertz die 5. Hier is de voorspelling zwak. Na de knik wordt
deze verhouding < 5 en zullen de voorspellingen veel nauwer aansluiten bij de
werkelijkheid. Dit is een nuttig besluit van het onderzoek, wat vooraf niet te
voorspellen was uit de literatuur.
Bij het doornemen van de verschillende theorieën was het te voorspellen dat over de
gehele lijn Kunz de werkelijkheid het slechtste zou benaderen. Hij was de professor
met het minste aandacht voor alle invloedsfactoren. Dit vertaalt zich in de slechtste
voorspelling. Lütkebohle bracht als eerste de temperatuur in rekening, wat hem
t.o.v. Kunz een groot voordeel gaf. Toch had Liu nog net wat meer aandacht en
resultaten uit zijn onderzoeken gehaald, waardoor hij in staat was de formule met
de beste voorspelling te ontwerpen. Uit de testen in dit onderzoek is zelfs gebleken
dat voor een ideale E-moduluswaarde van 35N/mm² en Poisson-factor van 0,38 , de
voorspellingen telkens de werkelijkheid zeer goed benaderen. Voorlopig geldt dit
enkel voor de drie geteste wieltypes met VK90-mantel. Om dit door te kunnen
trekken naar alle VK90-wieltypes is verder onderzoek noodzakelijk.
Voor de temperatuur in de mantel mogen Lütkebohle en Liu als betrouwbaar
worden beschouwd. Wilt men het temperatuursverloop over de mantel kennen zal
men zich wenden tot Lütkebohle. Indien het volstaat de maximum temperatuur in
de band te bepalen, maakt men gebruik van Liu. Opnieuw is Liu betrouwbaarder
aangezien hij erin geslaagd is de invloed van de warmteafvoer langs de zijflanken in
rekening te brengen. Daarnaast wordt in het rekenblad bij de grafiek volgens
Lütkebohle nog een tweede fout duidelijk. Elke keer wanneer de temperatuur in de
band zal worden voorspeld, start de grafiek telkens met de kamertemperatuur als
temperatuur in de wielkern. Haar waarde in de grafiek zal overeenkomen met het
minimum, terwijl uit de metingen is gebleken dat de wielkern het warmste van heel
81
het wiel kan worden. Al bij al is dit niet zo erg. De temperatuur in de wielkern zal
namelijk nooit aan de oorzaak liggen bij falen. De warmte in de mantel daarentegen
heeft niet veel hitte nodig om kapot te gaan.
82
Hoofdstuk 3 – Handleiding
Het rekenblad is ontworpen in Microsoft Excel. Een standaard programma op elke
computer, welke het grootste deel van de bevolking kent. Daarnaast staat het
gekend als een veel gebruikt rekenbladprogramma. Dit maakt het eenvoudiger
hierin het rekenblad te ontwerpen en te gebruiken.
Deze handleiding maakt duidelijk hoe het rekenblad is opgebouwd en hoe ze te
gebruiken is. De belangrijkste en meest gebruikte functies worden besproken.
Om het geheel overzichtelijk te houden worden de verschillende tabbladen cursief
en met hoofdletters geschreven. De functies zullen vetgedrukt en ook met
hoofdletters worden weergegeven. Gewone geprogrammeerde regels uit het
programma worden enkel vetgedrukt weergegeven.
1 De invoer
Het rekenprogramma is opgebouwd uit vijf tabbladen. Het eerste en belangrijkste
tabblad is het ‘REKENBLAD’. Al het essentiële staat hierin geprogrammeerd. Op dit
blad moeten alle nodige gegevens worden ingegeven en kunnen meteen alle
uitvoerparameters worden berekend.
Het ‘REKENBLAD’ is het enige tabblad dat de gebruiker te zien krijgt. Dit is expres
zo gedaan omdat het gemak in gebruik één van de belangrijkste eisen was van het
stagebedrijf. De overige tabbladen zijn weggelaten maar zijn essentieel om tot de
correcte resultaten te komen. Ze zullen met andere woorden gebruikt worden om in
het ‘REKENBLAD’ op een overzichtelijke en eenvoudige manier tot nauwkeurige
resultaten te komen.
Het overlopen van het werkblad wordt gestart met een opmerking. De gebruiker
wordt gevraagd om enkel in de gele vakjes een waarde in te vullen. In de overige
cellen kan niks geschreven worden want deze zijn geblokkeerd. Sommige
parameters, die altijd moeten worden ingegeven zoals bv. de belasting en
rolsnelheid zijn standaard geel gekleurd. Andere specifieke parameters worden geel
gekleurd naarmate de gemaakte keuze uit de keuzelijst. Dit wordt gedaan via Visual
Basic. Wanneer bv. cel [C24] dient te verkleuren na een gemaakte keuze zal
volgende regel hiervoor zorgen:
‘ThisWorkbook.Sheets("Rekenblad").Range("C24").Interior.ColorIndex = 6’
De kleuren in Excel worden gekenmerkt door een zogenaamde kleurindex. Voor geel
is dit nummer 6. Wanneer terug wordt overgegaan op een andere keuze waarbij de
specifieke parameter verdwijnt en in de cel niets meer moet worden ingegeven, dan
83
zal op dezelfde manier de cel worden verkleurd. Enkel de kleurindex zal een andere
waarde hebben.
Er moet worden opgemerkt dat de specifieke parametercellen niet vergrendelt zijn.
Met andere woorden kan er altijd een waarde ingevuld worden ook al hebben ze
geen enkel nut. Dit is op zich geen probleem en zal de resultaten niet beïnvloeden.
Als eerste stap wordt aan de gebruiker gevraagd om de vorm van het bovenste en
onderste contactlichaam te kiezen. Voor beiden is hiervoor een keuzemenu
ontwikkeld. Nadat de keuze is gemaakt, dient deze te worden bevestigd via een druk
op de OK-knop.
De gebruikte functie voor het keuzemenu is ‘KEUZELIJST MET INVOERVAK’. Om
deze functie te gebruiken moet vooraf een lijst met keuzemogelijkheden worden
opgemaakt. Voor het bovenste contactlichaam zijn slechts drie opties mogelijk: een
cilindrisch, een convex of een concaaf wiel. De keuze wordt bevestigd via de
OK-knop, die is ontworpen met de functie ‘OPDRACHTKNOP’.
Het principe voor het onderste contactlichaam is volledig gelijkaardig. Het enige
verschil is het groter aantal keuzemogelijkheden. Er zijn in dit geval twee extra
opties: een vlakke ondergrond en een rail.
Wanneer bij beiden de keuze is gemaakt en bevestigd, worden hun gemaakte keuzes
gekopieerd naar een bepaalde cel. Dit is noodzakelijk om de contactsituatie te
kunnen controleren. Er zijn namelijk contactsituaties waarmee niet kan worden
gerekend. De controle is gebeurd via Visual Basic. Wanneer de contactsituatie
onmogelijk is, verschijnt er een pop-up venster. Volgende figuur geeft dit weer. De
gebruikte functie voor het pop-up venster is ‘MSGBOX(“BOODSCHAP”)’.
Figuur 68: Voorbeeld van een pop-up venster
De eerste stap is voltooid wanneer beide contactvormen gekozen zijn en de
contactsituatie geldig blijkt. Nu worden de geometrische gegevens ingevuld.
Hiervan zijn enkele algemeen en enkele specifiek aan de contactvorm. De specifieke
parameters verschijnen pas nadat de eerste stap is doorlopen.
84
Om de tweede stap te vereenvoudigen is voor elk type wiel een figuur ontworpen.
Hierop zijn de geometrische in te voeren parameters zichtbaar. Deze figuur
verandert mee met het eerste keuzemenu. Om dit te verkrijgen is heel wat werk
gegaan naar het programmeren van een zelfontworpen functie.
Het principe verloopt als volgt. Per keuzemogelijkheid hoort een figuur, die op het
internet staat geüpload. Hierbij hoort voor elk van hen een link, waarin slechts een
aantal karakters verschillen. Dit aantal karakters komen - naarmate de gemaakte
keuze - in een cel ([AF7]). Dit is mogelijk d.m.v. de ‘ALS/IF-FUNCTIE’.
In een andere cel wordt de uiteindelijke link geschreven met verwijzing naar
voorgaande cel. Volgende regel zal dit verduidelijken.
"https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/"&AF7&".png"
De functie in Visual Basic is zo ontworpen dat de figuur in celX wordt weergegeven
in celY. Met andere woorden bevat celX de link en is celY de plaats waar de figuur
zal worden weergegeven.
Wanneer de geometrische parameters zijn ingevuld, dienen ook deze bevestigd te
worden via een OK-knop. Indien niet alle parameters zijn ingevuld en men drukt op
OK, dan zal een pop-up venster verschijnen met een vermelding hiernaar.
De derde en laatste stap van de invoer is het invullen van de belasting-, snelheid-,
temperatuur- en materiaalgegevens. Er wordt verwacht een waarde voor de
belasting, de rolsnelheid, het aandraai- of afremmoment, de wrijvingscoëfficiënt en
de kamertemperatuur in te geven. Hierbij is geen bevestiging via OK noodzakelijk.
Er wordt wel overal een waarde gewenst. Indien bijvoorbeeld de rolsnelheid 0m/s
bedraagt, dan verwacht men een 0 in de gewenste cel in het programma. De cel
waardeloos laten, zal niet als waarde 0 worden aanzien.
Qua materiaalkeuze wordt ook hier gewerkt met een ‘KEUZELIJST MET
INVOERVAK’. In het tabblad ‘MATERIALEN’ is de lijst met materialen beschikbaar
waaruit in de keuzemenu’s kan worden gekozen. Daarnaast is de lijst aangevuld
met materiaalparameters zoals de E-modulus, de Poisson-factor, de verliesfactor en
het soortelijk gewicht. Indien de materiaalkeuze wordt bevestigd via de OK-knop,
worden de bijhorende materiaaleigenschappen zichtbaar in het ‘REKENBLAD’.
85
2 De uitvoer
Het in te voeren gedeelte is volledig gebeurd. Alle nodige parameters en info om de
uitvoerparameters te bepalen zijn gekend. Hetgeen nu nog rest is voornamelijk
programmeren. Elk van de drie onderzoekers heeft zijn eigen formules ontwikkeld
voor verschillende uitvoerparameters. Vaak zal zelfs voor één uitvoerparameter
meerdere formules mogelijk zijn, naargelang de contactsituatie die zich voordoet.
Voor elke formule is in Visual Basic een eigen functie geschreven. Het principe is
eenvoudig. Elke functie krijgt een eigen naam, gevolgd door de waarde van de
parameters vermeld tussen haakjes. Wanneer we deze functie oproepen door bv. in
een lege cel te gaan staan en in te typen: ‘=NAAMFUNCTIE(WAARDEPARAMETER1,
WAARDEPARAMETER2, …)’ en men drukt op enter, dan komt de uitkomst
tevoorschijn.
Om dit beter toe te lichten volgt volgend algemeen voorbeeld.
Function Pythagoras(ByVal rechtezijde1 As Double, ByVal rechtezijde2 As Double)
Dim schuinezijde As Double
schuinezijde = sqr((rechtezijde1 ^ 2) + (rechtezijde2 ^ 2))
Pythagoras = schuinezijde
End Function
Deze functie berekent de waarde van de schuine zijde in een rechthoekige driehoek.
Gaat men in het Excelblad op een lege cel staan en typt men in: ‘=Pythagoras(3,4)’ ,
dan zal in de cel de uitkomst van de functie verschijnen, namelijk 5.
Het eerste deel van de uitvoer is volledig wanneer voor elke formule een functie is
geschreven. De volgende opdracht is de juiste functies toepassen wanneer nodig.
Hiervoor wordt voor elke onderzoeker een hoofdblad geprogrammeerd in Visual
Basic. Het voorbeeld voor Lütkebohle is te vinden in bijlage VIII. Voor de rest kan
men zich richten tot het rekenblad op de CD-ROM.
De opbouw van een hoofdblad voorloopt bij allen gelijkaardig. Eerst worden de
gebruikte variabelen gedeclareerd. Dit gebeurt op volgende manier.
‘dim NAAMVARIABELE as DATATYPE’
Veel gebruikte datatypes zijn integer, double, string en boolean. In het rekenblad
wordt altijd voor double gekozen, zodat de formules nauwkeurig worden berekend.
86
Bij integer zouden de resultaten afgerond worden naar een geheel getal, waardoor
de foutmarge te groot zal zijn. Om de uitvoerresultaten toch wat overzichtelijk weer
te geven worden deze afgerond tot op twee cijfers na de komma. De gebruikte
functie hiervoor is ‘ROUND()’.
Na het declareren volgt in elk hoofdblad de controle van de hoofdvoorwaarde: zijn
alle invoerparameters correct ingevuld? Deze controle bestaat uit één regel waarbij
de ‘IF-FUNCTIE’ wordt gebruikt. Er wordt hierbij gecontroleerd of de waarde in een
bepaalde cel in het rekenblad WAAR of ONWAAR is. Deze cel geeft het resultaat van
een zelfontworpen principe weer om na te gaan of alle invoerparameters correct zijn
ingegeven. Geeft deze cel WAAR weer, dan kunnen de berekeningen van start gaan.
Zo niet geeft deze cel ONWAAR weer. Als dit gebeurt kunnen de berekeningen niet
worden uitgevoerd. In de hoofdbladen is daarmee rekening gehouden en zullen de
gebruikers via een pop-up venster de mededeling krijgen dat niet alles correct is
ingevuld.
Vervolgens worden aan alle gedeclareerde variabelen een waarde gegeven. Hierbij
wordt het nut van de drie laatste tabbladen duidelijk. Hun naam verwijst naar de
theorie die ze beschrijven, namelijk ‘KUNZ’, ‘LUTKEBOHLE’ en ‘LIU’. Bij het ingeven
van de invoerparameters zorgt de bevestiging via de OK-knoppen voor het inladen
van de invoergegevens in vorige drie vernoemde tabbladen. Ook dit is het resultaat
van programmeerwerk in Visual Basic. Elk van deze tabbladen worden gebruikt om
zijn eigen formules uit te voeren. Een apart tabblad maakt het makkelijk om stap
per stap het programma op te bouwen en telkens de testen uit te voeren. In het
‘REKENBLAD’ worden enkel de uiteindelijke resultaten verwacht. Natuurlijk is
testen noodzakelijk. Dit gebeurt makkelijker via een omweg. Vandaar het gebruik
van de drie extra tabbladen.
Nadat alle gedeclareerde variabelen een waarde hebben gekregen, volgen de
formules. Elke gebruikte formule en de voorwaarden wanneer ze moeten gebruikt
worden, verschilt per onderzoeker. Bij de theorie volgens Kunz is de vorm van het
bovenste wiel bepalend. Naargelang deze cilindrisch, convex of concaaf is, worden
andere formules gebruikt. Voor Lütkebohle zullen enkel waarden verschijnen
wanneer er geen sprake is van volledige glijding. Dit wil zeggen dat de
tangentiaalkracht FT < (1,2 * FN). Ten slotte bij Liu zal de verhouding banddikte op
halve contactbreedte volgens Hertz (= h/aH) doorslaggevend zijn. Is deze groter of
gelijk aan 5, dan wordt de ene reeks aan formules gebruikt. Zo niet wordt de andere
reeks gebruikt.
87
Indien alle formules en hun voorwaarden goed zijn geprogrammeerd, rest enkel nog
het resultaat in de juiste cellen te laten verschijnen. Dit gebeurt bv. voor de
indrukking bij Kunz op volgende manier.
‘ThisWorkbook.Sheets("Kunz").Range("B52").Value = Round(indrukking, 2)’
Vanaf nu zijn de hoofdbladen volledig. Deze hoofdbladen zijn gekoppeld aan een
‘OPDRACHTKNOP’. Wanneer hierop gedrukt wordt zal het hoofdblad worden
doorlopen. Hierbij worden de uitvoerparameters berekend en verschijnen deze op
het scherm.
De allerlaatste stap is het controleren of de waarden van deze uitvoerparameters
aanvaardbaar zijn. Er wordt met andere woorden nagegaan of de formules juist zijn
geprogrammeerd. Indien dit in orde is kan het ‘REKENBLAD’ afgewerkt worden.
Hiervoor worden opnieuw drie opdrachtknoppen in dit tabblad ingevoerd, waarbij
het programmawerk uit het hoofdblad volledig wordt gekopieerd. Het enige wat
verandert zijn de cellen waarin de uitvoerparameters moeten verschijnen.
Als alles verlopen is zoals deze paragraaf beschrijft, zouden onderaan het
‘REKENBLAD’ in de witte cellen alle uitvoerparameterwaarden moeten verschijnen.
Daarnaast moeten in de twee grafieken een curve verschijnen. Deze grafieken
worden in het rekenblad gebruikt om op een overzichtelijke manier de
voorspellingen weer te geven.
Verkrijgt men dit dan is alles correct verlopen. Er kan gesteld worden dat naast
gewoon de formules uitvoeren, ook veel aandacht is gegaan naar andere dingen. Het
gaat dan voornamelijk over controle. Controleren of de contactsituatie mogelijk is, of
alle waarden zijn ingevuld, of aan alle voorwaarden is voldaan,… Toch blijft het
mogelijk dat bij het uitvoeren foutmeldingen optreden. Dit ligt dan voornamelijk aan
de gebruiker. Om een voorbeeld te geven, gaan we uit van een cilindrisch wiel. Stel
dat dit wiel 20mm breed is. Als bij de afrondingsstraal een waarde groter dan 20mm
wordt ingegeven, zitten we met een situatie dat niet kan. Wanneer dan op de knop
wordt gedrukt om de uitvoerwaarden te berekenen, zal een foutmelding verschijnen
naar een functie in Visual Basic. In dit geval zal het probleem zijn, dat er een
negatieve wortel moet worden berekend, wat uiteraard niet kan. Op die manier
zullen misschien nog fouten mogelijk zijn. Controleer in dit geval zeker eerst even de
invoerwaarden!
Tot daar de opbouw van het programma. Het overige werk zit hem in de
vergrendeling van de cellen, de opkuis en verzorging van de lay-out. In deze
handleiding is niet dieper ingegaan over de gebruikte formules. Hiervoor wordt
verwezen naar de andere hoofdstukken.
88
Om de handleiding af te ronden rest er volgende interessante opmerking. Na het
beveiligen van het rekenblad blijft zijn werking perfect. Het kan gebeuren dat
wanneer men het programma afsluit een foutmelding wordt weergegeven. Dit heeft
geen enkel effect op de werking van het rekenblad, maar een foutmelding krijgen is
niet echt aangenaam. Er is lang gezocht naar de oplossing hiervoor. Uiteindelijk
bleek de oplossing simpel. Deze foutmelding wordt niet altijd weergegeven. Het
hangt af van de gebruikte Excel-versie. Om het rekenblad te kunnen gebruiken is
minimum versie 2007 vereist. Hierbij zal normaal geen foutmelding optreden bij
afsluiten. In de latere versies zoals Excel 2010 en 2013 gebeurt dit wel. Dit heeft te
maken met het erkennen van verschillende functies per Excel-versie. Gelukkig heeft
deze foutmelding geen enkele invloed op de werking van het rekenblad. Haar
aanwezigheid is spijtig, maar niet erg.
89
Algemeen besluit
Dit werk biedt een overzicht hoe uit een bom aan informatie het belangrijkste wordt
gebundeld en verwerkt in een rekenblad. Honderden bladzijden aan kennis worden
verenigd in een makkelijk te gebruiken programma. Haar nut zal zijn om de
gebruiker zo eenvoudig mogelijk tot enkele interessante resultaten te laten komen.
Hierna volgt het interpreteren. De gebruiker wordt dus verwacht enige kennis van
zaken te hebben. Zo niet, wordt in dit geval aangeraden deze thesis eerst eens door
te nemen.
Het rekenblad is opgebouwd uit de werken van drie verschillende onderzoekers.
Voor elk van hen is het hoofdonderwerp hetzelfde, namelijk wielen. Eén voor één
worden hun werken doorgenomen en zal de aandacht gaan naar hun onderzoek en
resultaten. Met deze resultaten gebeurt de opbouw van het rekenblad. Hiervoor zijn
een duidelijk overzicht met formules en een stappenplan noodzakelijk. Hoe meer
aandacht hiernaar uitgaat, des te minder tijd het programmeren in beslag neemt.
Eens alles is ontworpen, kan het testen van start gaan. Testen is noodzakelijk om
de berekeningen per onderzoeker te evalueren. Jammer genoeg is alle factoren
onderzoeken onmogelijk. Op de twee aanwezige testbanken kunnen enkel de
indrukking en temperatuur worden onderzocht. Dit is gebeurd voor drie types
wielen met allen hetzelfde mantelmateriaal, namelijk VK90. De getrokken besluiten
zullen dus enkel gelden voor de VK90-wieltypes. Er zijn enkele uitzonderingen
welke mogen doorgetrokken worden naar alle wieltypes zoals bv. de invloed van het
vergroten van het wiel, het gebruiken van een dikkere mantel, het verbreden van
het wiel,…
Tijdens het testen komen enkele minpunten van het rekenblad boven water.
Wanneer een wiel rolt, zal het opwarmen. Door deze opwarming veranderen allerlei
parameters zoals bv. de E-modulus en de Poisson-factor. Het rekenblad werkt
hiervoor met vaste waarden. Dit maakt nauwkeurig voorspellen quasi onmogelijk.
Gelukkig zijn de wijzigingen van deze variabele factoren in functie van de
temperatuur reeds gekend. Wilt men bij een bepaalde temperatuur voorspellingen
doen, kunnen daarom in het programma de E-modulus en Poisson-factor worden
aangepast.
Uit de evaluatie van de verschillende theorieën blijkt één algemene conclusie te
trekken. Hoe meer aandacht er door de onderzoeker is gestoken in zijn testen, des
te nauwkeurig zijn formules de werkelijkheid weergegeven. Zo heeft Kunz totaal
geen aandacht voor de belangrijkste invloedsfactor, namelijk de temperatuur. Dit
gaat ten koste van zijn nauwkeurigheid. Enkel voor zeer kleine lasten mag hij als
betrouwbaar worden aanzien. Lütkebohle brengt wel de temperatuur in rekening,
wat de precisie van zijn voorspellingen bevordert. Toch spant Liu de kroon door net
90
enkele factoren meer in rekening te brengen zoals bv. de warmteafvoer langs de
zijvlakken van een wiel en de kamertemperatuur.
Nu de beste voorspellingen gekend zijn en geweten is dat de temperatuur zorgt voor
variabele materiaalparameters, wordt gezocht naar een ideale waarde voor deze
parameters. Voor Liu zijn uit testen in het rekenblad volgende waarden gevonden,
E = 35N/mm² en ν = 0,38. Perfect aanvaardbare waarden zijn dit. Voorlopig geldt dit
enkel voor de geteste VK90-wieltypes. Wil men nagaan of dit voor het hele gamma
aan wieltjes met VK90-mantel van toepassing is, zal verder onderzoek noodzakelijk
zijn.
In de toekomst zou het interessant zijn wielen met andere mantelmaterialen te
testen op dezelfde manier. Elk zal zijn eigen ideale waarden hebben, waartussen
opnieuw naar een verband kan worden gezocht. Wat nog beter zou zijn, zijn andere
testbanken om de overige parameters te kunnen testen. Zo biedt Vulkoprin als
masterproef de opdracht aan om een rolweerstandsmeting in een wielentestbank te
ontwerpen. Dit zou het mogelijk maken de rolweerstand op te meten. Dit betekent
dat er een extra parameter kan worden onderzocht in het rekenblad.
Enkel de afmetingen van het contactvlak en de maximale contactdruk blijven over.
Wordt er een manier gevonden om deze te testen, dan zal het rekenblad volledig
kunnen worden geoptimaliseerd. Voor alle wieltypes zal het mogelijk zijn alle
parameters te testen en te vergelijken met de waarden in het rekenblad.
91
Lijst met figuren en tabellen
Hoofdstuk 1 – Literatuurstudie
Figuur 1: Verschillende vormen van de wielmantel…………………………………… 10
Figuur 2: Thermische overbelasting (InnoRad, 2011)………………………………… 12
Figuur 3: Spanning-rekdiagram van staal……………………………………………….13
Figuur 4: Spanning-rekdiagram van kunststoffen (www.azom.com)...................13
Figuur 5: Respons van een elastisch materiaal op een excitatie met constante
reksnelheid (A.K. van der Vegt, 1991)……………………………………………………. 13
Figuur 6: Respons van een elastisch materiaal op een dynamische
excitatie (A.K. van der Vegt, 1991)………………………………………………………… 14
Figuur 7: Respons van een viskeus materiaal op een excitatie met constante
reksnelheid (A.K. van der Vegt, 1991)……………………………………………………. 14
Figuur 8: Respons van een viskeus materiaal op een dynamische
excitatie (A.K. van der Vegt, 1991)………………………………………………………… 15
Figuur 9: Verschillende veer-demper-modellen………………………………………...16
Figuur 10: Respons bij het Maxwell-model (A.K. van der Vegt, 1991)……………. 17
Figuur 11: Kruip bij het Voigt-Kelvin-model (A.K. van der Vegt, 1991)………….. 17
Figuur 12: Lijnvormige contactsituaties (Kunz, 2010)……………………………….. 20
Figuur 13: Puntvormige contactsituaties (Kunz, 2010)……………………………… 20
Figuur 14: Onderzochte contactsituaties door Kunz (Kunz, 2009)………………. 20
Figuur 15: De vier hoofdradiussen (Kunz, 2009)……………………………………… 21
Figuur 16: Enkele formules per contactsituatie (Kunz, 2009)……………………… 24
Figuur 17: Positieve of negatieve straal (R12) (Kunz, 2009)………………………….. 24
Figuur 18: Vrijlichaam belast wiel (Kunz, 2009)………………………………………. 25
Figuur 19: Vrijlichaam belast wiel (Lütkebohle, 1984)………………………………. 27
Figuur 20: Doorsnede van een wiel (Lütkebohle, 1984)……………………………... 31
Figuur 21: Warmteafvoer bij een wiel (Lütkebohle, 1984)…………………………… 32
Figuur 22: Warmteafvoer langs het buitenvlak (Lütkebohle, 1984)………………. 33
Figuur 23: Temperatuursensoren in onderzocht wiel (InnoRad, 2011)………….. 35
Figuur 24: Temperatuursverdeling in de PUR-mantel (InnoRad, 2011)…………. 35
Figuur 25: Metingen vaste temperatuursensor voor drie verschillende
wielen (InnoRad, 2011)………………………………………………………………………. 36
Figuur 26: Dynamische E-modulus E' en verliesfactor d
voor PUR (InnoRad, 2011)………………………………………………………………….. 36
Figuur 27: 3D-ontwerp wiel in ANSYS (Liu, 2002)……………………………………. 38
Figuur 28: Spanningsverloop in cilindrische wielen (Liu, 2002)…………………… 39
Figuur 29: Axiale spanningsverloop over de mantel (Liu, 2002)…………………… 40
Figuur 30: Warmteafvoer bij vast draaiend wiel (Liu, 2002)………………………… 40
Figuur 31: Lokale snelheid bij een rollend wiel (Liu, 2002)…………………………. 41
Figuur 32: Resultaten experiment in ANSYS (Liu, 2002)……………………………. 41
92
Figuur 33: Bepalen optimale banddikte voor wiel met
PA12G-mantel (Liu, 2002)………………………………………………………………….. 43
Figuur 34: Zone met de optimale banddikte (Liu, 2002)…................................. 44
Hoofdstuk 2 – Onderzoek
Figuur 35: TesTWinner® 922 v1.4 (Vulkoprin) ………………………………………… 47
Figuur 36: Serieschakeling 2 identieke veren………………………………………….. 48
Figuur 37: Tabblad berekenen parameters…………………………………………….. 48
Figuur 38: Tabblad stappenplan………………………………………………………….. 49
Figuur 39: Tabblad opgenomen grafiek………………………………………………….. 50
Figuur 40: De zes geteste wieltjes (Vulkoprin)…………………………………………. 51
Figuur 41: Gemiddelde van de metingen per wieltype bij T = 18°C
en maximale last van 4000N……………………………………………………………….. 53
Figuur 42: Gemiddelde van de metingen per temperatuur voor wieltype 1 en
een maximale last van 4000N……………………………………………………………… 54
Figuur 43: Metingen + Berekeningen voor wieltype 3 met een maximale last
van 4000N……………………………………………………………………………………… 56
Figuur 44: Metingen voor wieltype 3 met een maximale last van 4000N +
Kunzberekening met ideale materiaalparameterwaarden………………………….. 59
Figuur 45: Metingen voor wieltype 3 met een maximale last van 4000N +
berekeningen Lütkebohle en Liu met standaard materiaalparameterwaarden… 60
Figuur 46: Metingen voor wieltype 3 met een maximale last van 4000N +
Lütkebohleberekening met ideale materiaalparameterwaarden…………………… 61
Figuur 47: Formule indrukking voor Liu (De Clippeleer, 2014)……………………. 62
Figuur 48: Metingen voor wieltype 3 met een maximale last van 4000N +
Liuberekening met ideale materiaalparameterwaarden……………………………... 64
Figuur 49: Metingen voor wieltype 1 met een maximale last van 4000N +
elke berekening per onderzoeker met ideale materiaalparameterwaarden ……… 65
Figuur 50: Metingen voor wieltype 2 met een maximale last van 4000N +
elke berekening per onderzoeker met ideale materiaalparameterwaarden ……… 66
Figuur 51: Testbank voor rollercoasterwielen (Vulkoprin)…………………………. 67
Figuur 52: Software bij de tweede testbank……………………………………………. 68
Figuur 53: Het bloemkooleffect (InnoRad, 2011)……………………………………… 69
Figuur 54: Aangepaste naafvormen……………………………………………………… 70
Figuur 55: Mechanische beschadiging mantel (InnoRad, 2011)………………….. 70
Figuur 56: Schuring (InnoRad, 2011)……………………………………………………. 71
Figuur 57: Hydrolyseschade (InnoRad, 2011)………………………………………….. 71
Figuur 58: Gescheurde mantel (InnoRad, 2011)………………………………………. 71
Figuur 59: Metingen voor wieltype 1 + berekeningen temperatuur voor
Lütkebohle en Liu met standaard materiaalparameterwaarden…………………… 72
Figuur 60: Metingen voor wieltype 1 + berekeningen temperatuur voor
Lütkebohle en Liu met ideale materiaalparameterwaarden………………………… 74
93
Figuur 61: Metingen voor wieltype 1 + berekeningen indrukking voor
elke onderzoeker met de ideale materiaalparameterwaarden……………………… 75
Figuur 62: Metingen voor wieltype 2 + berekeningen temperatuur voor
Lütkebohle en Liu met standaard materiaalparameterwaarden………………….. 75
Figuur 63: Metingen voor wieltype 2 + berekeningen indrukking voor
elke onderzoeker met de ideale materiaalparameterwaarden………………………
Figuur 64: Metingen voor wieltype 3 + berekeningen temperatuur voor
Lütkebohle en Liu met standaard materiaalparameterwaarden…………………..
Figuur 65: E-modulus (VK90) in functie van de temperatuur voor
het derde wieltype…………………………………………………………………………….
Figuur 66: Metingen voor wieltype 3 + berekeningen temperatuur voor
Lütkebohle en Liu met ideale materiaalparameterwaarden………………………..
Figuur 67: Metingen voor wieltype 3 + berekeningen indrukking voor
elke onderzoeker met de ideale materiaalparameterwaarden………………………
Tabel
Tabel
Tabel
Tabel
Tabel
1:
2:
3:
4:
5:
76
77
78
78
79
Geometrische parameters van de drie geteste wieltypes…………………. 51
E-modulussen VK80, VK90 en VK95 (Vulkoprin) ………………………… 57
Aanvaardbare ideale materiaalparameterwaarden per onderzoeker….. 65
Gemiddeldes tweede meting van de indrukking voor wieltype 2……….. 76
Ideale materiaalparameters + temperatuursgebied per wieltype……….. 79
Hoofdstuk 3 – Handleiding
Figuur 68: Voorbeeld van een pop-up venster…………………………………………. 84
94
Geraadpleegde literatuur
[1] De Jong, J. (1970). De onthechting van niet gepigmenteerde harsfilms.
Technische Hogeschool Delft, departement Technische Wetenschappen.
[2] De Vriendt, J. (2011). Testbank voor rollercoasterwielen. Hogeschool Gent,
faculteit Natuur en Techniek.
[3] Hammele, W. (1997). Ermittlung der elastischen und viskoelastischen
Kennwerte von Polymerwerkstoffen durch Rollkontaktversuche. FortschrittBerichte VDI-verlag, 492
[4] Kühlken, B. Messungen zur Spannungsabhängigkeit des Elastizitätsmoduls von
Kunststoffen. Institut für Fördertechnik und Getriebetechnik der TU Berlin.
[5] Kühlken, B. (1990). Mechanisches und thermisches Verhalten von
Kunststoffrädern in Abhängigkeit der Normalkraft und Rollgeschwindigkeit.
TU Berlin.
[6] Kunz, J. (2002). Die Abplattung im Kontaktproblem paralleler Zylinder. VDI
Verlag, 67, pp. 146-156.
[7] Kunz, J. (2003). Kriech- und Stossverhalten aus campus-daten ableiten.
Kunststoffe-Synthetics, 7.
[8] Kunz, J. (2005). Kontaktmechanik zylindrischer Kunststoff-Laufmantelrollen.
Kunststoffe-Synthetics, 6, pp. 19-22.
[9] Kunz, J. (2008). Rasche Auslegung von Kunststoffrollen. PLASTICS.NOW!, 9, pp.
39-40
[10] Kunz, J. (2009). Kontaktprobleme und ihre praktische Lösung. Konstruktion,
11, pp. 54-58.
[11] Kunz, J.; Studer, M. (2009). Rollwiderstand von Laufrollen. SwissPlastics, 31,
pp. 71-76
[12] Kunz, J. (2010). Kunststoff-Laufmantelrollen und ihre kontaktmechanische
Auslegung. Institut für Werkstofftechnik und Kunststoffverarbeitung,
Rapperswil.
[13] Liu, X. (1998). Neue Erklärung zum ICE-Zugunglücks von Eschede.
Technischen Universität Beijing.
95
[14] Liu, X. (2002). Die Beanspruchung in Radkörpern aus viskoelastischen
Werkstoffen unter Berücksichtigung der Eigenerwärmung. VDI Verlag, 353.
[15] Lütkebohle, H. (1984). Roll- und wälzreibung zylindrischer räder aus
thermoplastischen kunststoffen. Technischen Universität Berlin
[16] Möhler, P. (1993). Lokale Kraft- und Bewegungsgröβen in der Berührungsfläche
zwischen Kunststoffrad und Stahlfahrbahn. Fortschritt-Berichte VDI-verlag,
228
[17] Severin, D.; Liu, X. (1998). Die Wärmeentwicklung in zylindrischen Rollkörpern
mit viskoelastischer Bandage. Bericht über das DFG-Forschungsvorhaben.
[18] Severin, D.; Liu, X. (2002). Das system von Rad und Schiene, die
Beanspruchung in der Teilfuge von Kunststoffrädern. Internationale
Fachzeitschrift fûr Förder-, Lager- und Transporttechnik und Logistik, 05,
pp. 63-66.
[19] Tromp, St. (2000). Experimentelle Untersuchungen zur mechanischen
Beanspruchung rollender Kunststoffräder. TU Berlin. Fortschritt-Berichte
VDI-verlag, 601
[20] Van der Vegt, A.K. (1999, vierde druk). Polymeren van keten tot kunststof.
Technische Universiteit Delft
[21] Wehking, K.-H.; Bruns, R. (2011). InnoRad – Erhöhung der Lebensdauer von
Rädern und Rollen aus Polyurethan. Institut für Fördertechnik und Logistik,
Universiteit Stuttgart.
96
Bijlagen
Bijlage I: Gemiddeldes van de metingen per wieltype tot een maximale last van
4000N bij een kamertemperatuur van 40°C
Bijlage I
Pagina 1
Bijlage II: Gemiddeldes van de metingen per wieltype tot een maximale last van
4000N bij een kamertemperatuur van 60°C
Bijlage II
Pagina 1
Bijlage III: Gemiddeldes van de metingen per wieltype tot een maximale last van
4000N bij een kamertemperatuur van 80°C
Bijlage III
Pagina 1
Bijlage IV: Gemiddeldes van de metingen per kamertemperatuur voor wieltype 2 tot
een maximale last van 4000N
Bijlage IV
Pagina 1
Bijlage V: Gemiddeldes van de metingen per kamertemperatuur voor wieltype 3 tot
een maximale last van 4000N
Bijlage V
Pagina 1
Bijlage VI: Metingen voor wieltype 1 in functie van de kamertemperatuur + de
berekeningen volgens het rekenblad met vaste materiaalwaarden voor
VK90: E = 50N/mm² en ν = 0,45
Bijlage VI
Pagina 1
Bijlage VII: Metingen voor wieltype 2 in functie van de kamertemperatuur + de
berekeningen volgens het rekenblad met vaste materiaalwaarden voor
VK90: E = 50N/mm² en ν = 0,45
Bijlage VII
Pagina 1
Bijlage VIII: Hoofdblad voor Lütkebohle in Visual Basic
Private Sub Lutkebohleknop_Click()
Dim Ft As Double, Fn As Double
Dim buitenstraalwiel As Double, binnenstraalwiel As Double, buitenstraalbaan As Double
Dim wielbreedte As Double, banddikte As Double
Dim a_Maxwell As Double, a_Hertz As Double, abkurzung As Double, a_Hertz_metpoissonnul As Double
Dim verliesfactor1 As Double, poisson1 As Double
Dim Emod1 As Double, Emod2 As Double, Ev As Double
Dim frequentie As Double, rolsnelheid As Double
Dim halve_contactlengte As Double, Fr As Double, indrukking_z As Double, slip As Double, maxnormaalspanning As Double
If ThisWorkbook.Sheets("Rekenblad").Range("Z30") = True And _
ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("E30").Value <> "" And _
ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("E31").Value <> "" Then
Ft = ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("E26").Value
Fn = ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("E25").Value
buitenstraalwiel = (ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("E10").Value) / 2
binnenstraalwiel = (ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("E11").Value) / 2
buitenstraalbaan = ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("E20").Value
wielbreedte = ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("E12").Value
banddikte = ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("E13").Value
verliesfactor1 = ThisWorkbook.Sheets("Rekenblad").Range("L34").Value
poisson1 = ThisWorkbook.Sheets("Rekenblad").Range("L33").Value
Emod1 = ThisWorkbook.Sheets("Rekenblad").Range("L32").Value
Emod2 = ThisWorkbook.Sheets("Rekenblad").Range("L37").Value
rolsnelheid = ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("E27").Value
Ev = vglEmodulus(Emod1, Emod2)
abkurzung = afkorting(buitenstraalwiel, banddikte)
frequentie = rolsnelheid / (2 * WorksheetFunction.Pi * (buitenstraalwiel * (10 ^ (-3))))
a_Maxwell = Maxwell_halvecontactbreedte(Fn, buitenstraalwiel, buitenstraalbaan, wielbreedte, poisson1, Emod1)
a_Hertz = Hertz_halvecontactbreedte(Fn, buitenstraalwiel, buitenstraalbaan, wielbreedte, poisson1, Ev)
a_Hertz_metpoissonnul = Hertz_halvecontactbreedte(Fn, buitenstraalwiel, buitenstraalbaan, wielbreedte, 0#, Ev)
ThisWorkbook.Sheets("Materialen").Range("A21").Value = binnenstraalwiel
ThisWorkbook.Sheets("Materialen").Range("A31").Value = buitenstraalwiel
ThisWorkbook.Sheets("Materialen").Range("L14").Value = ((buitenstraalwiel - binnenstraalwiel)/10)
ThisWorkbook.Sheets("Materialen").Range("I35").Value
ThisWorkbook.Sheets("Materialen").Range("I36").Value
ThisWorkbook.Sheets("Materialen").Range("I37").Value
ThisWorkbook.Sheets("Materialen").Range("I38").Value
=
=
=
=
abkurzung
a_Maxwell
frequentie
a_Hertz_metpoissonnul
If Ft >= 1.2 * Fn Then
MsgBox ("Er is sprake van volledige glijding. Om dit te vermijden, verminder tangentiaalkracht Ft of verhoog de
normaalkracht Fn.")
Else
halve_contactlengte = halvecontactbreedte(Fn, buitenstraalwiel, banddikte, wielbreedte, Emod1)
Fr = 2 * Fn * verliesfactor1 * (a_Maxwell / (WorksheetFunction.Pi * buitenstraalwiel))
If Emod1 = Emod2 Then
indrukking_z = indrukkingBij2GelijkeEmod(poisson1, a_Maxwell, buitenstraalwiel, buitenstraalbaan,
abkurzung, binnenstraalwiel)
Else
indrukking_z = indrukkingBij2VerschillendeEmod(a_Hertz, buitenstraalwiel, buitenstraalbaan,
wielbreedte)
End If
slip = slip_st(a_Hertz_metpoissonnul, buitenstraalwiel, buitenstraalbaan, Fn, Ft)
maxnormaalspanning = spanningsamplitude(a_Maxwell, buitenstraalwiel, buitenstraalbaan, poisson1, Emod1)
End If
Else
MsgBox ("Niet alle nodige parameters zijn ingevuld!")
End If
ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("O14").Value
ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("O18").Value
ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("O20").Value
ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("O22").Value
ThisWorkbook.Sheets("Lutkebohle").Range("O24").Value
ThisWorkbook.Sheets("Rekenblad").Range("E49").Value
ThisWorkbook.Sheets("Rekenblad").Range("E52").Value
ThisWorkbook.Sheets("Rekenblad").Range("E55").Value
ThisWorkbook.Sheets("Rekenblad").Range("E59").Value
ThisWorkbook.Sheets("Rekenblad").Range("E62").Value
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
halve_contactlengte
indrukking_z
Fr
slip
maxnormaalspanning
Round(halve_contactlengte, 2)
Round(indrukking_z, 2)
Round(maxnormaalspanning, 2)
Round(Fr, 2)
Round(slip, 2)
End Sub
Bijlage VIII
Pagina 1
Bijlage IX: Technische fiche voor Vulkollan® 80° Shore A
Bijlage IX
Pagina 1
Bijlage X: Technische fiche voor Vulkollan® 90° Shore A
Bijlage X
Pagina 1
Bijlage XI: Technische fiche voor Vulkollan® 95° Shore A
Bijlage XI
Pagina 1

Figurenlijst (74 kB, 10 januari 2013)

1. 1. A s 2. z Blauwe Sluis Aan de Noor steiger

Klik hier - Hobby elektronica

10 januari 2015 Aanvang 20:11 uur MFC-Gebrook Met

Türksat zenders zoeken met de M7 SAT-801

Vervang de batterij van uw e-key

Mei - Natuur- en Milieuvereniging Heusden

A diploma behaald op 21-5

gen: bestaat er een optimale keuze?