m i n i s t e r i e van verkeer en waterstaat
rijkswaterstaat
STUDIE TER VERGELIJKING VAN DIVERSE
MODELLERINGEN VAN EEN ORTHOTROPE
PLAATBRUG, B I J GEBRUIK VAN EEN
ELEMENTENMETHODE.
i r . A.W.F. R e i j
BRS 81-09
o k t o b e r 1931
INHOUD
1. INLEIDING EN DOELSTELLING.
2. SAMENVATTING EN KONKLUSIES.
2.1. S a m e n v a t t i n g .
2.2. K o n k l u s i e s .
3. GEGEVENS EN RANDVOORWAARDEN.
4. WERKWIJZE.
5. WIJZE VAN MODELLEREN.
5.1. Algemeen.
5.2. Model 1.
A. B e s c h r i j v i n g model.
B. Doorsnede gegevens.
C. I n v o e r .
.) knoop- en elementnummers
.) knoopvoorwaarden
.) b e l a s t i n g e n
5.3. Model 2.
A. B e s c h r i j v i n g model.
B. Doorsnede gegevens.
.) o r t h o t r o p e p l a a t
.) middendwarsdrager
.) e i n d d w a r s d r a g e r
C. I n v o e r .
.) knoop- en elementnummers
.) knoopvoorwaarden
.) b e l a s t i n g
5.4. Model 3.
A. B e s c h r i j v i n g model.
B. Doorsnede gegevens.
.) normale d w a r s d r a g e r s
.) middendwarsdrager
.) e i n d d w a r s d r a g e r
.) normale l a n g s ! i g g e r
.) r a n d ! i g g e r
C. I n v o e r .
vervolg
INHOUD
p.
6. EVALUATIE VAN DE RESULTATEN.
6.1. Algemeen.
6.2. Z a k k i n g e n .
6.3. Langsmomenten.
6.4. Dwarsmomenten.
6.5. Dwarskrachten en o p l e g r e a c t i e s .
6.6. E v e n w i c h t s k o n t r o l e s ,
23
23
24
28
32
33
34
- 1 -
1.
INLEIDING EN DOELSTELLING.
Het berekenen en tekenen van r e l a t i e f eenvoudige en n i e t b u i t e n s p o r i g
g r o t e k o n s t r u k t i e s behoort t o t het d a g e l i j k s e werk van de k o n s t r u k t e u r .
De minder gangbare, gekompl i c e e r d e en d i k w i j l s ook o m v a n g r i j k e " b i j z o n d e r e "
k o n s t r u k t i e s z i j n "de k r e n t e n i n de pap". Voor de l a a t s t e k a t e g o r i e kons t r u k t i e s i s het onder de hand h a a s t v a n z e l f s p r e k e n d d a t h i e r v a n een komputermodel wordt gemaakt. D i t z a l d i k w i j l s een t a m e l i j k geavanceerd en w e l l i c h t
z e l f s een 3 - d i m e n s i o n a a l model z i j n . Voor de wat meer " h u i s h o u d e l i j k e "
problemen z a l men thans 66k wel snel naar de rekenautomaat g r i j p e n , doch
d i k w i j l s v o l s t a a t men dan met een r e l a t i e f s i m p e l model. Op z i c h i s daar
n a t u u r l i j k n i e t s t e g e n , i n t e g e n d e e l , m i t s a l t h a n s het model i n s t a a t i s
de w e r k e l i j k h e i d voldoende r e p r e s e n t a t i e f na t e bootsen.
Het doel van d i t onderzoek i s nu om d a t l a a t s t e voor een veel voorkomend
k o n s t r u k t i e - e l e m e n t (t.w. een o r t h o t r o p e p l a a t b r u g ) na t e gaan, en wel
aan de hand van een a a n t a l v e r s c h i l l e n d e m o d e l l e n .
- 2 -
2. SAMENVATTING EN KONKLUSIES.
2iL_S§[Benvatting.
In d i t r a p p o r t wordt v e r s l a g gedaan van een s t u d i e naar de i n v l o e d d e r
m o d e l e r i n g op de r e s u l t a t e n van een e i n d i g e elementenmethode b e r e k e n i n g .
2
Voor de s t u d i e i s u i t g e g a a n van een r e c h t h o e k i g e p l a a t van 24*24 m ,
bestaande u i t I - l i g g e r s met een d r u k l a a g aan de b o v e n z i j d e en dwarsdragers
aan het e i n d ( z i e f i g . 1 ) . D e t a i l s h i e r o m t r e n t z i j n t e v i n d e n i n h o o f d s t u k 3.
In het e e r s t e d e e l van de s t u d i e z i j n 3 v e r s c h i l l e n d e modellen bekeken,
te weten:
model 1 = model, bestaande u i t p i a a t - s c h i j f e l e m e n t e n voor het dek en
r u i m t e l i j k e s t a a f e l e m e n t e n voor de l a n g s - en dwarsdragers.
De elementen z i j n g e l o k a l i s e e r d i n de zwaartepunten van de
d e s b e t r e f f e n d e k o n s t r u k t i e d e l e n en met e l k a a r verbonden met
stijve stukjes.
model 2 = model, bestaande u i t o r t h o t r o p e p i a a t e l e m e n t e n , a a n de u i t e i n d e n
v e r s t i j f d met dwarsdragers i n de vorm van s t a a f e l e m e n t e n .
model 3 = model, opgebouwd u i t l o u t e r s t a a f e l e m e n t e n , dus een b a l k r o o s t e r model.
Een v i e r d e model, bestaande u i t een r u i m t e l i j k e assemblage van p l a a t s c h i j f e l e m e n t e n i s eveneens beschouwd, maar z a l i n een v e r v o l g r a p p o r t
worden besproken. Hoofdstuk 5 b e s p r e e k t i n d e t a i l s de - d i v e r s e m o d e l l e n .
Behoudens de h i e r b o v e n genoemde v a r i a t i e i n de m o d e l l e r i n g i s e r ook v a r i a t i e
g e b r a c h t i n de aard van de b e l a s t i n g , n a m e l i j k ofwel een p u n t l a s t midden op de
p l a a t , o f deze p u n t l a s t u i t g e s m e e r d a l s l i j n l a s t o v e r de g e h e l e l e n g t e
van de p l a a t .
A l l e c o m b i n a t i e s z i j n zowel met a l s zonder middendwarsdrager o n d e r z o c h t .
Van de op deze w i j z e benodigde 16 berekeningen worden e r h i e r 12
g e r a p p o r t e e r d ; de o v e r i g e 4 komen i n een v e r v o l g r a p p o r t aan de orde.
In het r a p p o r t z i j n i n g r a f i e k v o r m de volgende r e s u l t a t e n vermeld
( f i g . 9-20).
- de z a k k i n g e n
- de langsmomenten
!• i n de middendoorsnede
- de dwarsmomenten
- de d w a r s k r a c h t
j.
- de o p l e g r e a c t i e s
i n
e e n
e i n d d o o r s n e d e
- 3 -
Voorts z i j n de volgende k o n t r o l e s u i t g e v o e r d .
- som van de momenten i n de midden-doorsnede = t h e o r e t i s c h e waarde?
- som van de d w a r s k r a c h t e n i n de e i n d d o o r s n e d e = t h e o r e t i s c h e waarde?
- het v e r t i k a l e e v e n w i c h t van een a a n t a l g e s e l e k t e e r d e knopen.
De gevolgde w e r k w i j z e i s v e r d e r beschreven i n hoofdstuk 4.
In hoofdstuk 6 worden de hierboven genoemde r e s u l t a t e n aan een nadere
a n a l y s e onderworpen; h i e r u i t z i j n de volgende k o n k l u s i e s g e t r o k k e n :
2i2^_Konklusies.
1. A l s men b i j een l o o d r e c h t op z i j n v l a k b e l a s t e k o n s t r u k t i e met een
g e s l o t e n dek en een n i e t doorgaande o n d e r z i j d e geen g e b r u i k maakt van
een r u i m t e l i j k model, i s het onmogelijk de i n zo'n k o n s t r u k t i e optredende
normaalkrachten t e b e s c h r i j v e n . D i t z a l i n het algemeen l e i d e n t o t een
o v e r s c h a t t i n g van de maximale d o o r b u i g i n g .
2. De s c h e m a t i s e r i n g e n van de k o n s t r u k t i e t o t een o r t h o t r o p e p l a a t en
t o t een b a l k r o o s t e r l e i d e n t o t v r i j w e l i d e n t i e k e r e s u l t a t e n . De l a a t s t genoemde m o d e l l e r i n g l e v e r t evenwel een handzamer s p a n n i n g s u i t v o e r op
(= doorsnede krachten i . p . v . spanningen).
3. De i n 1. genoemde v e r s c h i j n s e l e n , alsmede ook de andere gekonstateerde
v e r s c h i l l e n tussen de d i v e r s e m o d e l l e n , m a n i f e s t e r e n z i c h het d u i d e l i j k s t
b i j g e k o n c e n t r e e r d e b e l a s t i n g e n ; b i j een l i j n l a s t i s het e f f e k t a l g e r i n g e r
en b i j een g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g z i j n de v e r s c h i l l e n zeer k l e i n .
4. De a a n w e z i g h e i d van een middendwarsdrager h e e f t een dempende i n v l o e d
op de v e r s c h i l l e n tussen de m o d e l l e n o n d e r l i n g . D i t h e e f t t e maken met de
l a s t s p r e i d i n g d i e z u l k een dwarsdrager teweeg brengt.
De a b s o l u t e waarde van de d i v e r s e g r o o t h e d e n , z o a l s z a k k i n g , buigend
moment e t c . wordt e c h t e r s t e r k bepaald door de j u i s t h e i d waarmee men de
s t i j f h e i d van de kombinatie boven dek - dwarsdrager weet t e s c h a t t e n .
In het algemeen i s deze geen konstante en dus erg m o e i l i j k te s c h a t t e n .
5. Geen van de beschouwde m o d e l l e n i s i n s t a a t het s i n g u l i e r e gedrag van de
k o n s t r u k t i e n a b i j een p u n t l a s t voldoende bevredigend t e b e s c h r i j v e n ; voor
de p r a k t i j k i s d i t evenwel geen w e z e n l i j k probleem.
- 4 -
6. De gesommeerde doorsnede k r a c h t e n z i j n goed i n overeenstemming met de
uitwendige belastingen.
In het e v e n w i c h t van i n d i v i d u e l e knopen z i j n v e r s c h i l l e n t o t 6% tussen
de i n - en de u i t w e n d i g e krachten gevonden.
7. De a a n w e z i g h e i d van een e i n d d w a r s d r a g e r v e r o o r z a a k t , ook b i j een " v r i j "
opgelegde k o n s t r u k t i e , inklemmingsmomenten, d i e n i e t zonder meer verwaarloosd kunnen worden.
Samenvattend kan men u i t de s t u d i e de volgende algemene k o n k l u s i e s t r e k k e n :
- B i j b e l a s t i n g van een p l a a t door een g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g h e e f t
de m o d e l l i n g een o n d e r g e s c h i k t e i n v l o e d op de r e s u l t a t e n .
- A l s de k o n s t r u k t i e i s v o o r z i e n van een middendwarsdrager en wordt b e l a s t
door een g e k o n c e n t r e e r d e b e l a s t i n g , dan i s de w i j z e waarop de s t i j f h e i d
van deze d w a r s d r a g e r i n r e k e n i n g wordt g e b r a c h t van d o o r s l a g g e v e n d e i n v l o e d
op de r e s u l t a t e n .
- Is de hierbovengenoemde middendwarsdrager n i e t aanwezig, dan z a l b i j
b e l a s t i n g door een p u n t l a s t (dus i . h . a . door de v a r i a b e l e b e l a s t i n g )
de w i j z e van m o d e l l i n g van g r o t e i n v l o e d z i j n op de u i t e i n d e l i j k e r e k e n resultaten.
- 5 -
3.
GEGEVENS EN RANDVOORWAARDEN.
Het t e onderzoeken o b j e k t i s een r e c h t h o e k i g e betonnen p l a a t met een o v e r spanning van I = 24 m en een b r e e d t e van 6, 12 o f 24 m ( z i e f i g . 1 ).
De p l a a t i s samengesteld u i t I-vormige l i g g e r s met een b r e e d t e van 1.000 m
en een hoogte van 0.950 m. De d i k t e van de f l e n z e n en h e t lijf bedraagt
150 mm. De b o v e n f l e n z e n z i j n a a n e e n g e s t o r t t o t een m o n o l i e t e p l a a t en v o o r z i e n
van een d r u k l a a g van 50 mm. A l d u s o n t s t a a t een doorgaande d e k p l a a t van 0,200 m
d i k t e , e l ke m e t e r ondersteund door een l a n g s l i g g e r i n de vorm van een
omgekeerde T ( z i e f i g . 1, d e t a i l A ) . Boven de o n d e r s t e u n i n g e n z i j n deze
l a n g s l i g g e r s gekoppeld door een dwarsdrager met een b r e e d t e van 1.000 m
( f i g . 1, d e t a i l B ) .
Ook t e r p l a a t s e van de middendoorsnede kan een dwarsdrager van deze a f metingen aanwezig z i j n .
Aangenomen i s d a t de o p l e g g i n g b e s t a a t u i t een s c h a r n i e r , dan wel een r o l ,
ter plaatse van iedere l a n g s l i g g e r .
Voor de b e r e k e n i n g i s aangenomen d a t de d e k p l a a t z i c h gedraagt a l s een m o n o l i e t
geheel met g e l i j k e ff-modulus voor f l e n s en d r u k l a a g . Aangehouden i s
2
E
b
= ZOEZ (N/mm )
pg - 2400
3
(kg/m )
v = 0.00
D i t l a a t s t e i s u i t e r a a r d n i e t geheel k o r r e k t ; een v-waarde van 0.15 a 0.20
zou k o r r e k t e r geweest z i j n .
T e r w i l l e van de i n t e r p r e t e e r b a a r h e i d d e r r e s u l t a t e n i s evenwel \>=0.00 genomen
I n d i e n n a m e l i j k b.v. i n de 1 a n g s r i c h t i n g g r o t e k r a c h t e n o p t r e d e n , z u l l e n b i j
v e r h i n d e r d e d w a r s k o n t r a k t i e i n de b r e e d t e r i c h t i n g e x t r a k r a c h t e n o p t r e d e n , d i e
i n d e z e l f d e orde van g r o o t t e kunnen z i j n a l s de 'normale' k r a c h t e n .
Deze v e r t r o e b e l e n dan h e t b e e l d van de k r a c h t s a f d r a c h t i n de k o n s t r u k t i e .
Derhalve i s (nu) n i e t met d w a r s k o n t r a k t i e gerekend.
W e l l i c h t t e n o v e r v l o e d e z i j nog vermeld d a t h e t g e b r u i k t e rekenprogramma
u i t g a a t van l i n e a i r e l a s t i s c h m a t e r i a a l g e d r a g . Voor de l o k a l e k r a c h t s w e r k i n g
kan d i t van b e l a n g z i j n b i j gewapend beton ( b i j v o l l e d i g voorgespannen
beton n a u w e l i j k s ) ; voor de g l o b a l e k r a c h t s w e r k i n g i s d a t voor deze s t a t i s c h
bepaalde k o n s t r u k t i e van geen belang.
- 6 -
4.
WERKWIJZE.
Z o a l s v e r m e l d , i s het onderzoek u i t g e v o e r d aan de hand van een a n a l y s e
van een o r t h o t r o p e p l a a t b r u g . Deze p l a a t i s aan twee z i j d e n v r i j opgelegd
en h e e f t een o v e r s p a n n i n g van 24 m. Voor nadere gegevens omtrent vorm en
afmetingen wordt verwezen naar h o o f d s t u k 3 en f i g . 1.
Voor de p l a a t z i j n een d r i e t a l m o d e l l e r i n g e n bekeken, t e weten:
1.1 Model bestaande u i t p l a a t e l e m e n t e n voor het dek, s t a a f e l e m e n t e n v o o r
de d w a r s d r a g e r s en s t a a f e l e m e n t e n v o o r de l a n g s l i g g e r . Al deze elementen
z i j n e x c e n t r i s c h aan e l k a a r a a n g e s l o t e n .
1.2 Model bestaande u i t o r t h o t r o p e p l a a t e l e m e n t e n , t e r p l a a t s e van de dwarsd r a g e r s v e r s t i j f d met s t a a f e l e m e n t e n . Deze elementen z i j n a l l e i n h e t z e l f d e v l a k aan e l k a a r a a n g e s l o t e n .
1.3 Model bestaande u i t u i t s l u i t e n d s t a a f e l e m e n t e n , dus een b a l k r o o s t e r .
Een v i e r d e , nog g e d e t a i l l e e r d e r m o d e l l e r i n g a l s de e e r s t e , n a m e l i j k een
model opgebouwd u i t aaneengeschakelde p l a a t - en s c h i j f e l e m e n t e n s t a a t wel op
het programma, maar i s om t e c h n i s c h e redenen nog n i e t u i t g e v o e r d . H i e r v a n
z a l i n een v e r v o l g r a p p o r t v e r s l a g worden gedaan.
Behoudens de reeds genoemde w i j z e van modelleren, z i j n t i j d e n s het onderzoek
de volgende parameters g e v a r i e e r d :
2. de aard van de b e l a s t i n g
2.1 p u n t l a s t
2.2 l i j n l a s t
3. de p l a a t s van de b e l a s t i n g
3.1 halverwege de b e i d e randen
3.2 l a n g s een van de randen
4. de g e o m e t r i e , met name de lib v e r h o u d i n g
4.1 b'» I
4.2 b = 21
4.3 b - HI
5. en t e n s l o t t e z i j n a l l e voornoemde v a r i a n t e n o n d e r z o c h t
5.1 met middendwarsdrager
5.2 zonder middendwarsdrager
D i t zou l e i d e n t o t 2* (3*2*2*3) = 72 b e r e k e n i n g e n . Daar d i t wel e r g veel
w o r d t , i s , a l t h a n s i n e e r s t e i n s t a n t i e , het a a n t a l v a r i a b e l e n wat i n g e p e r k t .
- 7 -
Zo i s voor de p l a a t s van de b e l a s t i n g a l l e e n h e t midden van de p l a a t i n
beschouwing genomen, en i s voor de b/l v e r h o u d i n g 1 gekozen. Het a a n t a l
berekeningen r e d u c e e r t hiermee t o t 2*(3*2) = 12 en h e t a a n t a l v a r i a n t e n t o t 6.
Per b e r e k e n i n g z i j n de volgende r e s u l t a t e n v e r z a m e l d :
1) Voor de middendoorsnede:
- zakkingen
- buigend moment i n 1 a n g s r i c h t i n g ( m )
- n o r m a a l k r a c h t i n l a n g s r i c h t i n g ( n ^ ) , a l t h a n s voor z o v e r h e t model
i n s t a a t was deze t e r e p r o d u c e r e n
- buigend moment i n d w a r s r i c h t i n g (m )
2) Voor de e i n d d o o r s n e d e :
- d w a r s k r a c h t (q )
- o p l e g r e a c t i e s (R )
3) V e r d e r z i j n de volgende k o n t r o l e s u i t g e v o e r d :
R
~ I z
= P,C.q.
q.l
- evenwicht van een o f meer knopen n a b i j de o p l e g g i n g
Voor het o v e r g r o t e g e d e e l t e z i j n de r e s u l t a t e n i n g r a f i s c h e vorm g e p r e s e n t e e r d ,
voor de d i v e r s e modellen gegroepeerd i n een f i g u u r , t e n e i n d e de v e r g e l i j k i n g
t u s s e n de v e r s c h i l l e n d e m o d e l l e n t e v e r e e n v o u d i g e n . De r e s u l t a t e n voor een
punt- o f l i j n l a s t z i j n i n a f z o n d e r l i j k e g r a f i e k e n o n d e r g e b r a c h t .
Indien d a a r t o e a a n l e i d i n g t o e was z i j n de r e s u l t a t e n van v e r s c h i l l e n d e
s o o r t e n k r a c h t e n eveneens i n een g r a f i e k b i j e l k a a r g e b r a c h t .
Naast de genoemde punt- en l i j n l a s t z i j n de b e r e k e n i n g e n ook u i t g e v o e r d voor
het b e l a s t i n g g e v a l 'eigen g e w i c h t ' . H i e r b i j i s e r v o o r zorg gedragen, d a t
voor a l l e m o d e l l e n de som van h e t e.g. h e t z e l f d e was. De r e s u l t a t e n van deze
berekeningen z i j n a l s r e g e l n i e t g r a f i s c h v e r w e r k t , doch waar d a a r t o e aanl e i d i n g was, i n t a b e l v o r m met e l k a a r v e r g e l e k e n .
A l l e b e r e k e n i n g e n z i j n u i t g e v o e r d met h e t 'SUSAN' programma v a n u i t h e t
rekencentrum van S l u i z e n en Stuwen en g e d r a a i d op de UNIVAC computer van
de DIV.
-8 -
5.
WIJZE VAN MODELLEREN.
§.l._Algemeen
In een k o n s t r u k t i e d i e z i j n b e l a s t i n g e n a f d r a a g t naar de o n d e r s t e u n i n g
kan men twee s o o r t e n k r a c h t s w e r k i n g e n o n d e r s c h e i d e n :
1. De g l o b a l e k r a c h t s w e r k i n g .
2. De l o k a l e k r a c h t s w e r k i n g .
ad 1.
Hiermee wordt bedoeld de w i j z e waarop de u i t w e n d i g e b e l a s t i n g e n z i c h a l s
inwendige k r a c h t e n i n de d i v e r s e h o o f d o n d e r d e l e n m a n i f e s t e r e n .
De h i e r b i j optredende " h o o f d v e r p l a a t s i n g e n " ( = r i g i d body d i s p l a c e m e n t s van de
zwaartepunten) moeten k o r r e k t z i j n , w i l van een goede r e p r e s e n t a t i e sprake
wezen.
ad 2.
H i e r b i j gaat het om de v e r d e l i n g van de spanningen i n een doorsnede, a l s
g e v o l g van de inwendige k r a c h t e n .
In het belang van de ekonomie i s het zaak een k o n s t r u k t i e z o d a n i g t e
m o d e l l e r e n dat met zo w e i n i g m o g e l i j k werk ( en r e k e n t i j d ) aan 1. wordt
v o l d a a n . H i e r b i j moeten dan aan de l o k a l e s p a n n i n g s v e r d e l i n g d i k w i j l s
k o n s e s s i e s worden gedaan.
Een o p l o s s i n g om t o c h het j u i s t e s p a n n i n g s v e r l o o p t e k r i j g e n kan dan z i j n ,
ofwel deze a n a l y t i s c h t e b e p a l e n , o f w e l deze met een meer g e d e t a i l l e e r d e
l o k a l e b e r e k e n i n g t e bepalen.
Een tweede, z e e r b e l a n g r i j k a s p e k t i s de e l e m e n t e n v e r d e l i n g . Om h i e r o v e r een
b e s l i s s i n g t e kunnen nemen d i e n t men z i c h een k w a l i t a t i e f o o r d e e l gevormd
te hebben o v e r het t e verwachten r e s u l t a a t , en over de mate w a a r i n de
t o e g e p a s t e elementen i n s t a a t z u l l e n z i j n dat r e s u l t a a t t e v o o r s p e l l e n .
Voor de s i t u a t i e d a t b=l i s i n f i g . 2 een a a n t a l van deze s c h e t s e n gemaakt.
Door de symmetrie i n zowel de g e o m e t r i e a l s ook de b e l a s t i n g i s het m o g e l i j k
en voldoende s l e c h t s \ van de p l a a t t e m o d e l l e r e n en deze t e begrenzen met
twee symmetrie-assen.
De t o e g e p a s t e r e c h t h o e k i g e elementen (RECCA en RECPA) kunnen een l i n e a i r
v e r l o o p van de buigende momenten en een k o n s t a n t e d w a r s k r a c h t l a n g s de randen
weergeven. De g e b r u i k t e s t a a f e l e m e n t e n kunnen eveneens een l i n e a i r momentenv e r l o o p en een k o n s t a n t e d w a r s k r a c h t r e p r o d u c e r e n .
- 9 -
Gegeven de s c h e t s e n i n f i g . 2 zou dus een v e r d e l i n g van 6 elementen over de
h a l v e l e n g t e en de h a l v e breedte adekwaat z i j n , z i j het d a t deze het s i n g u l i e r e
gedrag n a b i j de p u n t l a s t n i e t goed kunnen b e s c h r i j v e n . H i e r zou men n e t v e r f i j n i n g w i l l e n t o e p a s s e n , doch om redenen van eenvoud i s h i e r vanaf
g e z i e n . Wel i s om h i e r a a n e n i g s z i n s tegemoet t e komen het a a n t a l elementen
i n de b r e e d t e r i c h t i n g v e r d u b b e l d , i e t s waartoe de geometrie ( 1 a n g s l i g g e r s
1,00 m h.o.h.) ook a l u i t n o d i g d e . De afmetingen van de v l a k k e elementen
worden d e r h a l v e 1*2 m^.
- 10 -
5.2 Model 1 • p l a a t - en s c h i j f e l e m e n t e n , gecombineerd met
aangesloten
staafelementen.
excentrisch
A. B e s c h r i j v i n g model.
Om een zo r e a l i s t i s c h m o g e l i j k model t e v e r k r i j g e n , wordt de k o n s t r u k t i e
o p g e s p l i t s t i n een d e k p l a a t , l a n g s l i g g e r s en d w a r s d r a g e r s . Deze worden
n i e t , z o a l s g e b r u i k e l i j k , i n een p l a t v l a k a a n g e s l o t e n , maar e x c e n t r i s c h
d.w.z. dat de zwaartepunten v i a 'oneindig s t i j v e s t u k j e s ' met l e n g t e e
en e met e l k a a r worden verbonden
x
2
Deze w e r k w i j z e g a r a n d e e r t een k o r r e k t e samenwerking tussen de s a m e n s t e l l e n d e
o n d e r d e l e n en e l i m i n e e r t de noodzaak om een vervangende s t i j f h e i d t e s c h a t t e n ,
b.v. van de T - b a l k , d i e de d w a r s d r a g e r vormt met het dek.
D i t model wordt d e r h a l v e a l s de " w e r k e l i j k h e i d " beschouwd, en a l s r e f e r e n t i e
g e b r u i k t b i j de v e r g e l i j k i n g van de v e r s c h i l l e n d e m o d e l l e n .
De d e k p l a a t z a l i n s t a a t moeten z i j n b u i g i n g , w r i n g i n g en n o r m a a l k r a c h t e n
over t e brengen, ofwel met andere woorden, z i j moet p l a a t - en s c h i j f k r a c h t e n
kunnen overbrengen. Daarom z i j n voor het dek RECCA elementen gekozen.
De v r i j h e i d s g r a d e n en spanningen d i e d i t element kan weergeven z i j n i n
de o n d e r s t a a n d e f i g u r e n samengevat.
Fig. 5.2.1 Vrijheidsgraden en elementassenstelsel van RECCA elementen.
- 11 -
i
!
4/
1
Ftg .
m
^
> x
^— <- V
V!
V V ?
*
5.2.2 Definitie positieve spanningen RECCA-elementen.
Ook de l a n g s - en dwarsdragers moeten b u i g i n g , t o r s i e , d w a r s k r a c h t , (soms
i n twee r i c h t i n g e n ) en n o r m a a l k r a c h t kunnen overbrengen. Daarom i s h i e r
g e b r u i k gemaakt van SPABA-elementen.
H i e r v a n z i j n de v r i j h e i d s g r a d e n en de spanningen weergegeven i n f i g u u r
5..2.3 en f i g u u r 5.2.4.
Fig. 5.2.3
Vvijheidsgvaden en elementenassenstelsel van SPABA-elementen.
Fig. 5.2.4 Definitie positieve spanningen
SPABA-elementen.
- 12 -
Z o a l s h i e r v o o r i s v e r m e l d , wordt het o n d e r h a v i g e model geacht het
w e r k e l i j k e gedrag van de k o n s t r u k t i e goed weer t e geven. Een b e p e r k i n g
h i e r i n mag evenwel n i e t onvermeld b l i j v e n : het model g e e f t de vervormingen
ten g e v o l g e van d w a r s k r a c h t n i e t k o r r e k t weer. D i t komt omdat het sameng e s t e l d e p r o f i e l de a f s c h u i v e r v o r m i n g a l s g e v o l g van de d w a r s k r a c h t n i e t
kent en deze s l e c h t s w e e r g e e f t a l s b u i g v e r v o r m i n g van de p l a a t en de l a n g s l i g g e r . 1)
WERKELIJKHEI.
MODEL
Fig. 5.2.5.
AfsahuifvervormCng in model en in werkelijkheid
(buigvervorming weggelaten).
B. Doorsnede gegevens.
*) D e k p l a a t : t - 0 200
}
m
de o v e r i g e gegevens worden door het programma
gegenereerd.
) !=§!29§li99§r
o
2
A = 1,00 * 0,15
= 0.150 m
0,65 * 0.15
- 0.098 m
2
2
A = 0.248 m
Ligging zwaartepunt:
0.65*0,15*0*475
= 0,0463
o
u-i
0,15*1,00*0.075 - 0-0113
y A *Z . = 0.0576
% v
0,0576
= 0*232 m
dus ZIT
Z„ = 0,248
In-
}
L
L
LANGSLIGGER maten in [mm].
3
Z
4
= 1.638*10~
m
3
2
2
0.0975+(0.232-0. 475)
3
5. 787*10 ^
1*
3
m
3
m
- 13.198 10~
4
y
l
I
6
= /
lz
(0. 65*0.15 +0.15*1. 00 )
z
e
l
= 0.800-0.232+0.10
L
f
I = 0.285*0.65*0.15 + 0.30*1.0*0.15
W
7
I = /xz*(0. 15+0.65 +1.0*0.15 ) = 3.714*10~
= 3.697*10-3
0.15*(0. 232-0.075)
1
^25
= 12.781 10~
4
- 0.668 m
1) D i t g e l d t o v e r i g e n s voor a l l e h i e r g e p r e s e n t e e r d e m o d e l l e n ;
a l l e e n b i j het model bestaande u i t een k o p p e l i n g van p l a a t en
s c h i j f e l e m e n t en i s d i t bezwaar ondervangen.
- 13 -
NB 1
Het ware b e t e r geweest, a l s b i j de b e r e k e n i n g van de w r i n g s t i j f h e i d voor
het lijf de hoogte h.o.h. van de f l e n z e n was genomen. U i t de z e e p v l i e s
a n a l o g i e b l i j k t d a t dan de t o t a l e w r i n g s t i j f h e i d van het p r o f i e l b e t e r
wordt benaderd. Door de v r i j dunne f l e n z e n i s de f o u t evenwel k l e i n .
totale
te weinig
200
dubbel M i e n
650
150
verbetevde berekening
huidige berekening
*) R a n d l i g g e r
p----.--.-l
o
Deze h e e f t de a f m e t i n g e n van een
h a l v e l a n g s l i g g e r , dus:
A = H*0.248
RANDLIGGEH
maten in
[mm]
= 0.124 rn
3
3
I = %*13.198*10~
y
e, =
= 6-.599*10~ rn
SO
- 0.668 m
= 0.318 m
3
o
Ln
4
= 1.653*10~ m
=
= 0.30 (0.65*0.075 ) + 0.27* (0.5*0.15 ) =
h
I
Li
x;
Z
0.538*10
0
4
m
'
425
L
*) 3 n 3 s l i g g e r _ o p _ _ s y m m e t r i e
Deze zou doorsnede grootheden moeten hebben d i e e x a c t de h e l f t van d i e van
een 'gewone' l a n g s l i g g e r zouden bedragen. Om het a a n t a l v e r s c h i l l e n d e s t a a f typen zo k l e i n m o g e l i j k t e houden z i j n evenwel de gegevens van de r a n d 1 i g g e r g e b r u i k t . D i t i s dus n i e t k o r r e k t v o o r £, en l , doch de f o u t i s
g e r i n g omdat op de symmetrie-as M en M t o c h =0 (behoren t e ) z i j n .
w
u
'
t
1
-
CD
- 0.800 m
A = 1.00*0.800
3
4
4
4
= 42.667*10~ m
I =
V *0.80
y
- 66.667*10~ m
I = Viz* 0.80*100
"
I - 0.171*1.00*0.80" = 87.552*10~ rn
w
3
lz
z
3
0
<
3
2) z i e ook NB 1
\"' y
^ \
Zz=
400
W
\
\
\
v
1000
ca
- 14 -
NB 2
De gevolgde w e r k w i j z e voor het
berekenen van de w r i n g s t i j f h e i d
der e i n d d w a r s d r a g e r g e e f t nu wel
een f l i n k e o n d e r s c h a t t i n g van de
t o t a l e s t i j f h e i d van het p r o f i e l ;
deze z a l n a m e l i j k d i c h t e r b i j de
3
I = 0.167*1 00*1.OO
w
%
4
= 0.167 m
l i g g e n . D i t wordt ook d u i d e l i j k
u i t de z e e p v l i e s a n a l o g i e ; het
gearceerde g e d e e l t e i s h i e r een
maat voor de afwi j k i n g e n , d i e
dus a a n z i e n l i j k i s .
Vorm van het zeepvlies.
Overigens l e i d t deze v e r g i s s i n g
i n d i t g e v a l s l e c h t s t o t een g e r i n g e f o u t , omdat de s t i j f h e i d s v e r s c h i l l e n
t u s s e n p l a a t en dwarsdrager i n b e i d e g e v a l l e n e r g g r o o t z i j n .
- w r i n g s t i j f h e i d p l a a t : 1/6*1.00*0 20 - 1,333 10i-2 (m /m')
I n d i e n I (balk) - 0.0875 m +van totale M gaat
S
0
q
r
4
w
w
87.552
*100% = 98.5% naar de balk
87. 552+1.333
Indien
I (balk) = 0.167 m
w
van totale M
w
gaat
167.000
* 100% = 99.2% naar de balk
167.000+1.333
Het v e r s c h i l bedraagt dus
*)
0.7%;
Middendwarsdrager
Daar deze d e z e l f d e afmetingen h e e f t a l s de e i n d d w a r s d r a g e r en op een
symmetry-as l i g t , i s voor a l l e grootheden de h a l v e waarde van d i e voor de
e i n d d w a r s d r a g e r s aangehouden.
C. Invoer.
De knoopnummering i s z o d a n i g gekozen, dat de e l e m e n t - a s s e n s t e l s e l s z o v e e l
m o g e l i j k samenvallen met het g l o b a l e a s s e n s t e l s e l . D i t v e r e e n v o u d i g t
de i n t e r p r e t a t i e van de u i t v o e r .
Daarnaast z i j n zowel de knopen a l s de elementen n i e t doorgenummerd maar
per s t r o o k met een v e e l v o u d van 10 opgehoogd. D i t v e r e e n v o u d i g t het
genereren van knoop- en elementnummers en g e e f t bovendien de m o g e l i j k heid het model eenvoudig wat u i t t e b r e i d e n , zonder dat h i e r d o o r de
r e k e n t i j d o n e v e n r e d i g g r o o t wordt. Daarenboven g e e f t het de m o g e l i j k h e i d
- 15 -
aan de hand van het nummer g e m a k k e l i j k de p l a a t s van een element t e
herkennen; d i t komt t e n goede aan de i n t e r p r e t a t i e van de u i t v o e r .
Ook i s e r v o o r z o r g g e d r a g e n , d a t het 'wave-front' zo smal m o g e l i j k i s ,
waardoor een zo k l e i n m o g e l i j k e bandbreedte van de op t e l o s s e n s t i j f heidsmatrix ontstaat.
Een o v e r z i c h t van de g e b r u i k t e nummering en e l e m e n t i n d e l i n g i s gegeven
i n f i g . 3-5.
De o v e r i g e gegevens van de elementen s t r o k e n met de i n f o r m a t i e i n punt B
(doorsnede gegevens), doch z i j n a l l e e n i n een z o d a n i g e vorm gegoten, d a t
ze g e s c h i k t z i j n a l s i n v o e r v o o r h e t SUSAN-programma.
K
*) Q222y^2™§§)T3§D
Met h e t oog op de symmetrie-assen z i j n de volgende knoopvoorwaarden gehanteerd:
a) l a n g s y-as: - geen v e r p l a a t s i n g e n i n x - r i c h t i n g
(knoop 1,21,
221, i n h e t dek + knoop 242
i n de l a n g s l i g g e r )
- geen r o t a t i e s om de y-as ( z e l f d e knopen a l s boven)
b) p a r a l l e l aan de x - a s , halverwege de p l a a t :
- geen v e r p l a a t s i n g e n i n y - r i c h t i n g
(knoop 242, 244
254, i n de l a n g s l i g g e r )
- geen r o t a t i e s om de x-as
( z e l f d e knopen a l s h i e r b o v e n )
De ( v r i j e ) o p l e g g i n g i s g e r e a l i s e e r d door:
c) t e r p l a a t s e van de e i n d d w a r s d r a g e r geen v e r t i k a l e v e r p l a a t s i n g e n
toe t e s t a a n .
(knopen 16,36,
236 i n de dwarsdrager + knoop 254 i n de l a n g s l i g g e r ) .
De w e l l i c h t wat vreemd aandoende keuze d e r knopen met een v o o r g e s c h r e v e n
v e r p l a a t s i n g hangt samen met de g e b r u i k t e e x c e n t r i s c h e a a n s l u i t i n g e n en de
programmatische e i s , d a t e r geen a f h a n k e l i j k e knopen ondersteund mogen
worden. Het v o e r t i n d i t bestek e c h t e r t e v e r om h i e r nader op i n t e
gaan, doch i n een a f z o n d e r l i j k e b i j l a g e z a l d i t a s p e c t v e r d e r worden
uitgewerkt.
- 16 -
*) BeJ^astingen
De t o t a l e m o b i e l e b e l a s t i n g op de brug i s g e s t e l d op 1 MN, zodat h e t
beschouwde I deel b e l a s t moet worden met 250 kN.
Ingeval van een p u n t l a s t g r i j p t deze aan i n knoop 242 ( i n de l a n g s l i g g e r ) .
Ingeval van een l i j n l a s t i s de p u n t l a s t u i t g e s m e e r d over 12 m', z o d a t
de b e l a s t i n g
= 20.833 [kN/m ] bedraagt. Derhalve werkt op de ( b e l a s t e )
knopen 2*20,833 = 41,666 kN, u i t g e z o n d e r d d i e aan het e i n d van de p l a a t
en d i e i n het h a r t van de p l a a t ; h i e r o p werkt u i t e r a a r d 20,833 kN.
I n d i e n e r een dwarsdrager i n de k o n s t r u k t i e i s opgenomen, dan bedraagt
de b e l a s t i n g door het e i g e n g e w i c h t van } p l a a t = 1897,94 kN.
Is d i t n i e t het geval dan bedraagt deze b e l a s t i n g : 1780,26 kN.
1
- 17 -
5.3 Model 2 = o r t h o t r o p e p l a a t met v e r s t i j v i n g e n i n de vorm van e i n d en middendwarsdrager
A. B e s c h r i j v i n g van het model.
Door de k o n s t r u k t i e op t e v a t t e n a l s een o r t h o t r o p e p l a a t , v e r v a l t de
noodzaak de i n de 1 e n g t e r i c h t i n g aanwezige v e r s t i j v i n g s r i b b e n e x p l i c i e t
t e m o d e l l e r e n . De s t i j f h e i d van het samengestelde p r o f i e l kan immers
d i r e k t a l s de p i a a t s t i j f h e i d i n deze r i c h t i n g worden g e b r u i k t . Om de
d w a r s d r a g e r s i n rekening t e brengen wordt de p l a a t boven de o p l e g g i n g en i n
de middendoorsnede v e r s t i j f d met een a a n t a l s t a a f e l e m e n t e n , d i e c e n t r i s c h
aan de p l a a t worden a a n g e s l o t e n .
Omdat e r nu a l l e e n maar k r a c h t e n l o o d r e c h t op de p l a a t (hoeven t e ) werken
kunnen v o o r het dek r e c h t h o e k i g e p l a a t e l e m e n t e n g e b r u i k t worden (RECPAelementen ; z i e f i g . 5.3.1.)
Fig. 5.3.1. Vrijheidsgraden, elementassenstelsel en positieve
spanningen van RECPA-elementen.
Voor de d w a r s d r a g e r s i s het voldoende a l s deze i n s t a a t z i j n b u i g i n g
om de ( g l o b a l e ) x-as en w r i n g i n g om de y-as t e kunnen overbrengen.
D e r h a l v e i s g e b r u i k gemaakt van GRIBA-elementen ( z i e f i g . 5.3.2. en
5.3.3.).
- 18 -
••c=a>
•>Xl
•\,Zl
Yl
Fig. 5.S.2. Vrijheidsgraden en elementassenstelsel van
GRIBA-elementen.
t
My for
MyD
j
z
—o
Fig. 5.3.3. Positieve spanning van GRIBA-elementen.
B. I
e v e n s . ( z i e ook model 1)
2
A = 0. 248+0.20*1.00
Z=
0. 531 m
I=
l
z
x
Iy
= 0.448 m /m'
3
/ *1.00*0.20*
6.667*10
12
4
4
m /m'
\( * 1. 00* 0.20
= 6.667*10
V *1.00*0.15
-4
= 2.8125*10
-3
= 3.4328*10
s
2
s
1Z
Viz*0.15*0. 650
s
2
0.20*(0.369)
- 0.02729
2
0.15*(0.456)
= 0.03119
2
0.15*0.65*(0. 056) _ 3.0576*10
DWARSDOORSNEDE maten in [mm].
+
I,. = 0.06311
4
(m /m')
I
- 1.638*10 + Vs *1.00*0.20
xy
I
= Vs *1. 00*0. 20
yx
- 2.971*10 (m /m') vevgl. p 22
K
30E3*0.667E6
= 20.000 E9 (Nrrtm /mm')
30E3*63.11E6
=
3
3
s
= E*I =
y
K = E*I x
y
K
= G*I
xy
xy
_
yx
yx
3
=
4
s
1.333*10~ (m4/m')
x
=
3 0 E 3
*2.971E9
ZT
_ 30E3 *
2
l t 3 3 3 E 9
1.893 E12
"
= 44.570 E9
"
- 20.000 E9
"
19 -
) Middendwarsdrager
De c e n t r i s c h e a a n s l u i t i n g t u s s e n
d e k p l a a t en dwarsdrager v e r p l i c h t
t o t het maken van een s c h a t t i n g van
de samenwerking t u s s e n deze twee,
hetgeen z i c h m a n i f e s t e e r t i n een
"medewerkende p i a a t b r e e d t e " van deze
T-balk. Volgens de VB'74 g e l d t
hierv-oor:
•*l )*2
b = b + ( Vi o-
DWARSDOORSNEDE
mat en in ^mm)
t
e
De o v e r s p a n n i n g I wordt e n i g s z i n s a r b i t r a i r g e s t e l d op 25 m
zodat
b = 1.00+2*2. 50 - 6.00 m
e
De l i g g i n g van het zwaartepunt v o l g t u i t :
2.50*0.20*0.90+0.50*1.00*0. 50 = Z *
g
Z
= 0. 700 m
z
Traagheidsmoment
symmetrie-as:
I
=
(2. 50*0. 20+1.00*0. 50)
van het g e h e l e p r o f i e l , aan een z i j d e van de
Viz*3. 00*0. 20
= 0.002 (m )
c
y
3.00*0.20*(0.30 -0.10 )
= 0.024
Viz*0. 50*0. 80
2
= 0.021
2
0.80*0.50*(0.70 -0.40 )
= 0.036
I
y
= 0.083 (m*)
H i e r v a n moet a f g e t r o k k e n worden het d e e l dat a l i n de p l a t e n z i t , dus
0.002 m m.a.w.:
I = 0.081 (m )
Om de r e s u l t a t e n van de d i v e r s e modellen zo goed m o g e l i j k v e r g e l i j k b a a r
t e houden, wordt voor de w r i n g s t i j f h e i d d e z e l f d e waarde aangehouden,
2500
a l s voor model 1 i s g e b r u i k t .
4
4
y
) §2D9^warsdrager
Voor de medewerkende b r e e d t e
wordt i n a n a l o g i e met de
middendwarsdrager genomen
DWARSDOORb = 3.50 m 2)
e
SNEDE
maten in \mi]
1) H i e r o p wordt b i j de i n t e r p r e t a t i e teruggekomen
2) In f e i t e i s d i t a l l e e n k o r r e k t a l s de p l a a t op de v i e r hoeken wordt ondersteund,
De o v e r s p a n n i n g van de e i n d d w a r s d r a g e r bedraagt e c h t e r s l e c h t s 1 m, omdat e l k e
l a n g s l i g g e r wordt o n d e r s t e u n d . Het e f f e c t h i e r v a n i s evenwel v e r w a a r l o o s b a a r ,
omdat de dwarsdrager n a u w e l i j k s d o o r b u i g t t u s s e n de o p l e g g i n g e n .
- 20 -
De l i g g i n g van het z w a a r t e p u n t v o l g t dan u i t :
3.50*0. 20*0.90+1.00*0.80*0.40 = Z (0. 70+0.80)
z
Z
= 0. 633 m
z
Traagheidsmoment om de y - a s :
I
=
V *3. 50*0.20
Z
2
3. 50*0.20 (0.90-0.633)
1
(rn )
3
= 2.333*10~
12
3
/ *1.00*(0.80)
l2
2
1.00*0.80 (0.633-0.40)
= 0.0499
"
= 0.0427
"
= 0.0434
"
+
(rn)
I
- 0.1383
I
= 0.1363 ( 4)
y
af: reeds in platen aanwezige
3
stigfheid = V * 3 . 00 *0. 20
12
- 2.000*10~
3
m
Voor de w r i n g s t i j f h e i d wordt ook nu weer de waarde van model 1
aangehouden.
• Invoer.
*) Knoog-_en_el_ementennum^
Een o v e r z i c h t van de g e b r u i k t e knoop- en elementnummers i s gegeven
i n f i g . 6. H i e r u i t b l i j k t d a t d e z e l f d e knoopnummering i s g e b r u i k t a l s
d i e v o o r het dek van model 1.
Voor de elementnummers z i j n voor de p l a a t e l e m e n t e n en v o o r de dwarsd r a g e r s eveneens de nummers aangehouden van model 1.
Wat o v e r de keuze van deze nummering onder 5.2. i s v e r m e l d , i s dan
ook onverminderd h i e r van t o e p a s s i n g .
*) !5D22BM22!2^§§!rd§C!
In de voorwaarden voor symmetrie i s v o o r z i e n door aan de knopen
a) l a n g s de y-as geen r o t a t i e s t o e t e s t a a n om de y-as (knoop 1,21,
.... 241)
b) p a r a l l e l aan de y - a s , halverwege de p l a a t , geen r o t a t i e s t o e t e
s t a a n om de x-as (knoop 241,243...253).
In de o p l e g g i n g i s v o o r z i e n door de v e r t i k a l e v e r p l a a t s i n g van
knoop 13,33,
253 ( = e i n d d w a r s d r a g e r ) t e v e r h i n d e r e n .
*) B e l a s t i n g
De g r o o t t e en de p l a a t s van de b e l a s t i n g z i j n i d e n t i e k aan d i e
voor model 1.
- 21 -
5.4 Model 3 = b a l k r o o s t e r
A. B e s c h r i j v i n g van het model.
Het b a l k r o o s t e r model h e e f t i n f e i t e d e z e l f d e eigenschappen a l s
het o r t h o t r o p e p l a a t model, met d i e n v e r s t a n d e , dat de eigenschappen
nu n i e t u i t g e s m e e r d z i j n o v e r een p i a a t e l e m e n t , maar g e k o n c e n t r e e r d
worden i n een s t a a f - e l e m e n t . Om deze reden v o l s t a a t het g e b r u i k van
GRIBA-elementen ( z i e p 18)
B. Doorsnede gegevens.
*) y°DHi§_dwarsdragers
•+
De massa h i e r v a n wordt gek o n c e n t r e e r d i n de l a n g s ! i g g e r s
= V12*
I
= / *{0.132*2. 00*(0.20) }
3
2.00* (0. 20)
2
z
DWARSDOORSNEDE maten in [mm]
3
I
l
^ — • — 4
4
= 1.333*10
(m )
-3
tt
= 2.496*10
*) Middendwarsdrager ( z i e
19 )
I (T-balk) - 0.083 (m ) ( h a l v e p r o f i e l ) ; d i t moet verminderd
worden met de b u i g s t i j f h e i d van 2 m' p l a a t , welke anders immers dubbel
g e t e l d zouden worden. Dus:
4
J
4
y
= 0. 083-0.0013 = 0. 0817 (m )
Wederom om de r e s u l t a t e n v e r g e ! i j k b a a r t e houden, wordt de w r i n g s t i j f h e i d berekend u i t de w r i n g s t i j f h e i d van de d w a r s d r a g e r van model 1
vermeerderd met de w r i n g s t i j f h e i d van 1 m' p l a a t .
De massa, behorende b i j het g e d e e l t e onder de d e k p l a a t wordt h i e r i n
r e k e n i n g g e b r a c h t ; het r e s t a n t z i t a l i n de l a n g s l i g g e r .
*) i l D ^ d w a r s d r a g e r ( z i e p 19,20)
Ook h i e r g e l d t , dat de s t i j f h e i d s e i g e n s c h a p p e n z o v e e l m o g e l i j k
k o m p a t i b e l met d i e u i t model 2 worden gekozen.
4
I
= 0.1363 m (p 20) + buigstijfheid van 1 m' plaat = 0.67*10
3
4
3
(m )
=
I
w
3
4
(m )
137.Q*10~ (m )
—1 4
3
4
= 87.552*10
(m ) + wringstijfheid van 1 m' plaat = 1.333*10 (m )
- 88.885*10~
4
- 22 -
*) N o r m a l e _ l _ a n g s l i g g e r ( z i e ook p 18
"orthotrope plaat")
- 63.110*10~
(rn)
-3
4
- 2.971*10
(m )
3
I
y
I
W
*) R a n d l i g g e r (zowel aan b u i t e n r a n d a l s o d s.ymm.as)
In a n a l o g i e met de waarden d i e voor model 1 z i j n aangehouden
( z i e p , " r a n d l i g g e r " en " l a n g s l i g g e r op symm. as ) v i n d e n we:
11
i
3
I = / *63.110*10~
y
_7
z
I
- 0.538*10
= 31.550*10"
(rn )
+ wring sti jfheid 0.5 m' dekplaat =
Z
= 0. 538*10~ +0.249
3
3
(0.5*0.20 ) = 1.534*10~
4
(m )
De massa van het dek en de v e r s t i j f i n g s r i b b e n i s i n de l a n g s - en randl i g g e r s gekoncentreerd.
Invoer.
*) Knoop- en elementnummers z i j n weergegeven i n f i g . 7 en 8.
De nummering i s z o d a n i g g e k o z e n , d a t :
- de knoopnummers g e l i j k z i j n aan d i e i n het v o r i g e model
- de elementnummers van de l a n g s l i g g e r s en de e i n d - en middendwarsd r a g e r g e l i j k z i j n aan d i e u i t het v o r i g e model
- de element nummers van de "normale" d w a r s d r a g e r s g e l i j k z i j n aan
de elementnummers van de p l a t e n i n de v o o r a f g a a n d e m o d e l l e n .
A l d u s wordt zo o v e r z i c h t e l i j k m o g e l i j k a a n g e s l o t e n b i j de v o o r a f g a a n d e
berekeningen
*) Knoopvoorwaarden
deze z i j n i d e n t i e k aan d i e v o o r model 2
*) B e l a s t i n g e n
- 23 -
6. EVALUATIE VAN DE RESULTATEN.
6^ K_A1 gemeen
De v e r s c h i l l e n d e berekeningen z u l l e n worden g e e v a l u e e r d aan de hand van een
a n a l y s e van een a a n t a l markante r e s u l t a t e n . D i t b e t r e f t
voor de middendoorsnede : de z a k k i n g e n
de 1angsmomenten
(m )
de dwarsmomenten ( yy)
voor de e i n d d o o r s n e d e
: de d w a r s k r a c h t
(q )
de o p l e g r e a c t i e s
Deze r e s u l t a t e n z i j n i n g r a f i e k v o r m voorhanden voor de g e v a l l e n met middendwarsdrager en zonder middendwarsdrager, beide zowel voor een puntvormige
b e l a s t i n g a l s v o o r een l i j n v o r m i g e b e l a s t i n g . Doordat i n v e e l g e v a l l e n de
r e s u l t a t e n van model 2 en model 3 nagenoeg s a m e n v a l l e n , s t a a t i n de f i g u r e n
d i k w i j l s maar een l i j n met v e r m e l d i n g van de (maximale) waarden, d i e b i j de twee
modellen horen. H i e r b i j moet nog opgemerkt worden, d a t de i n g r a f i e k v o r m
g e p r e s e n t e e r d e r e s u l t a t e n n i e t a l t i j d zonder meer u i t de c o m p u t e r u i t v o e r z i j n
af t e l e i d e n . D i t h e e f t twee o o r z a k e n :
xx
m
x
1) B i j model 1 z i j n geen d o o r s n e d e k r a c h t e n gegeven, maar spanningen ( i n de
v l a k k e elementen) en k r a c h t e n ( i n de s t a a f e l e m e n t e n ) . De spanningen,
welke i n d e z e l f d e knoop van v e r s c h i l l e n d e elementen n i e t d e z e l f d e waarde
behoeven t e hebben, z i j n e e r s t gemiddeld o v e r het element, en daarna v e r d e e l d o v e r de knopen. U i t de a l d u s v e r k r e g e n en de reeds bekende (excent r i s c h e ! ) knoopkrachten z i j n v e r v o l g e n s de d o o r s n e d e k r a c h t e n berekend.
2) Z o a l s h i e r b o v e n a l werd vermeld z i j n de spanningen van a a n l i g g e n d e
elementen i n een bepaalde knoop n i e t a l t i j d g e l i j k . V o o r a l b i j s c h u i f spanningen, maar ook wel b i j b u i g s p a n n i n g e n , o n t s t a a t dan een erg
'woest' aandoend zaagtandvormig v e r l o o p , d a t w e i n i g i n f o r m a t i e en v e e l
v e r w a r r i n g g e e f t . De remedie h i e r t e g e n i s d i t v e r l o o p g l a d t e s t r i j k e n ,
door a l l e e n de waarde i n het h a r t van het element u i t t e z e t t e n ( b i j een
l i n e a i r v e r l o o p i s d i t tevens de gemiddelde s p a n n i n g ) , en deze punten
met e l k a a r t e v e r b i n d e n . D i t i s onder andere gedaan i n f i g . 19 en 20, b i j
de krommen van model 1. Ter i l l u s t r a t i e i s i n f i g . 31
nog eens het
v e r l o o p van de m
u i t g e z e t , z o a l s d i t u i t de computer v o l g t .
yv
- 24 -
6.2._Zalckingen. ( z i e f i g . 9-12)
Beschouwen we de maxima van de z a k k i n g e n , dan o n t l o p e n deze e l k a a r n i e t zo v e r
(ca. 1 0 % ) , a l t h a n s wanneer e r een middendwarsdrager aanwezig i s . Voor de
minimum z a k k i n g i s d i t minder h e t g e v a l .
zonder dwarsdrager
met dwarsdrager
zakkingen
[mm]
P-last
q-last
P-last
q-last
max.
min.
max.
min.
max.
min.
max.
min.
mode I 1
9.11
3. 40
5. 51
2. 25
13. 26
3. 20
7. 60
2.05
model 2
10. 25
1.15
6. 29
0. 80
18. 34
0.20
10.68
0.15
model 3
10. 28
1.15
6. 31
0.85
18. 48.
0.20
10. 76
0.15
tabel 6.2*1: zakkingen
Deze r e s u l t a t e n moeten beschouwd worden i n samenhang met de dwarsmomenten
t.p.v. de middendoorsnede ( z i e f i g . 17-20).
K e n n e l i j k i s de g e s c h a t t e "medewerkende b r e e d t e " van de d w a r s d r a g e r i n model
2 en 3 nog aan de l a g e k a n t , want de dwarsdrager u i t model 1 g e d r a a g t z i c h
s t i j v e r , met name meer naar de z i j k a n t . D i t b l i j k t ook het v e r l o o p van de
dwarsmomenten m ( f i g . 17 en 1 8 ) , w a a r u i t v o l g t d a t de n e g a t i e v e momenten
i n model 1 h e t g r o o t s t z i j n . O v e r i g e n s i s d i t a l l e e n maar j u i s t , z o l a n g a l s
de k o n s t r u k t i e z i c h 1 i n e a i r - e l a s t i s c h g e d r a a g t , dus b.v. b i j voorgespannen
beton. Het zou i n t e r e s s a n t z i j n na t e gaan, hoe het v e r l o o p van de z a k k i n g e n
wordt, i n d i e n met gescheurd beton wordt gerekend. In i e d e r g e v a l kan men de
medewerkende p l a a t b r e e d t e dan n i e t 'zonder meer' u i t de b r e e d t e van de p l a a t
berekenen. Men moet dan een e q u i v a l e n t e t h e o r e t i s c h e o v e r s p a n n i n g berekenen
u i t de a f s t a n d t u s s e n de momenten n u l p u n t e n .
yy
- 25 -
keurig aansluit
Overigens v a l t nog op t e merken d a t het v e r l o o p van de m
b i j het momentenverloop z o a l s men d a t b i j een e l a s t i s c h ondersteunde 1 i g g e r
zou verwachten.
yy
In het geval e r geen dwarsdrager aanwezig i s , t r e e d t er een geheel andere
s i t u a t i e op; de v e r s c h i l l e n z i j n i n i n de orde van 40% van de maxima.
B l i j k b a a r g e d r a a g t de w e r k e l i j k e k o n s t r u k t i e z i c h s t i j v e r a l s u i t de
(eenvoudige) m o d e l l e n 2 en 3 zou v o l g e n .
U i t het v e r l o o p van de dwarsmomenten ( f i g . 19 en 20) b l i j k t d i t n i e t zo zonder
meer; e i g e n l i j k b l i j k t h i e r u i t e e r d e r het t e g e n d e e l , n a m e l i j k d a t de ( d w a r s l )
s t i j f h e i d i n f e i t e k l e i n e r i s a l s u i t model 1 en 2 zou kunnen b l i j k e n . De
v e r s c h i l l e n moeten dus k e n n e l i j k i n de 1 a n g s r i c h t i n g worden g e z o c h t . Laten we
h i e r t o e f i g . 30 eens b e k i j k e n ; h i e r i n s t a a t u i t g e z e t het v e r l o o p van de normaal
k r a c h t i n x - r i c h t i n g over de dwarsdoorsnede. H i e r u i t b l i j k t dus d a t de
r e s u l t e r e n d e n o r m a a l k r a c h t o v e r de hoogte n i e t = 0, maar dat er een z e k e r e
trek- of drukkracht r e s u l t e e r t
Deze n o r m a a l k r a c h t kan a l s v o l g t v e r k l a a r d
worden:
S t e l , d a t zowel de boven- a l s de o n d e r f l e n z e n e l k e m' doorgezaagd z i j n , zodat
er dus i n f e i t e a l l e m a a l l o s s e p r o f i e l e n n a a s t e l k a a r l i g g e n . B i j b e l a s t i n g
zouden de b a l k e n dan o n g e l i j k d o o r b u i g e n , zodat de f l e n z e n i n h o o g t e r i c h t i n g
n i e t meer aan e l k a a r passen ( f i g . 6.2.1.A).
Fig.
6.2.1.
1) U i t e r a a r d i s de som over de dwarsdoorsneden
van a l deze k r a c h t e n wel = 0.
- 26 -
Door het aanbrengen van v e r t i k a l e k r a c h t e n i n de sneden o n t s t a a n l a n g s - ,
dwars- en wringmomenten en kunnen de f l e n z e n weer b i j e l k a a r g e b r a c h t
worden ( f i g . 6.2.1.B).
D i t i s i n f e i t e de manier waarop het i n het b a l k r o o s t e r m o d e l ( = model 3) wordt
gedaan. D i t model l e v e r t e c h t e r n i e t de mooie v l o e i e n d e momentenlijn op van
f i g . 6.2.1.B, maar de t r a p j e s l i j n . D i t betekent dat e r i n het a a n s l u i t v l a k
tussen twee f l e n z e n l i n k s en r e c h t s v e r s c h i l l e n d e normaalspanningen werken
en dus v e r s c h i l l e n d e rekken o p t r e d e n . M.a.w. de f l e n z e n z i j n nu wel i n het
v e r t i k a l e v l a k a a n g e s l o t e n , maar i n het h o r i z o n t a l e v l a k nog n i e t !
normaalspanningen
A
B
Fig. 6. 2. 2.
U i t e r a a r d i s d i t i n w e r k e l i j k h e i d ! n i e t het g e v a l . Om de i n f i g . 6.2.2.A
g e s c h e t s t e k o n s t a n t e normaalspanningen t e l a t e n v e r l o p e n , z o d a n i g d a t
ze op de a a n s l u i t v l a k k e n g e l i j k z i j n , i s het nodig dat e r i n de f l e n s
ook s c h u i f k r a c h t e n werken ( z i e f i g . 6.2.2.B). De op een p r o f i e l t e r l i n k e r
en t e r r e c h t e r z i j d e werkende s c h u i f s p a n n i n g e n z u l l e n i n het algemeen n i e t
g e l i j k z i j n , omdat de n o r m a a l s p a n n i n g s v e r s c h i l l e n n i e t g e l i j k behoeven t e z i j n
er z i j n d e r h a l v e (op grond van evenwicht) nog meer k r a c h t e n werkzaam. Zouden
we t e maken gehad hebben met een k o n s t r u k t i e waarvan de o n d e r f l e n z e n 66k
z i j n verbonden, dan zouden deze, voor het evenwicht benodigde k r a c h t e n ,
daar a l s s c h u i f k r a c h t e n z i j n opgetreden. B i j de onderhavige k o n s t r u k t i e kan
d i t evenwel n i e t en moet e r om evenwicht t e maken een n o r m a a l k r a c h t op de
doorsnede werken en wel t e r p l a a t s e van de b o v e n f l e n s . D i t z i j n de i n f i g . 30
u i t g e z e t t e t r e k - en d r u k k r a c h t e n .
- 27 -
Behalve d a t de n o r m a a l k r a c h t a a n l e i d i n g g e e f t t o t a x i a l e v e r l e n q i n g e n en
v e r k o r t i n g e n , g e e f t deze ook a a n l e i d i n g t o t buigende momenten, v e r o o r z a a k t
door z i j n e x c e n t r i s c h gelegen a a n g r i j p i n g s p u n t . Een t r e k k r a c h t z a l een
n e g a t i e f moment teweeg brengen en dus l e i d e n t o t een v e r k l e i n i n g van het
r e s u l t e r e n d e ( p o s i t i e v e ) moment; een d r u k k r a c h t l e i d t u i t e r a a r d t o t een
v e r g r o t i n g van het moment. D i t v e r k l a a r t dan ook de b i j model 1 gevonden
k l e i n e r e d o o r b u i g i n g i n het midden en de g r o t e r e d o o r b u i g i n g aan de rand
( z i e f i g . 11 en 12). Immers, i n model 3 kan de beschreven n o r m a a l k r a c h t
n i e t optreden omdat e r i n h e t geheel geen f l e n z e n z i j n en daar dus ook
geen s c h u i f k r a c h t e n i n op kunnen t r e d e n .
In model 2 t r e d e n wel s c h u i f s p a n n i n g e n op, doch deze worden v e r o o r z a a k t
door het wringende moment en z i j n dus over een v e r t i k a l e snede met e l k a a r
i n evenwicht; h i e r h o e f t dus geen n o r m a a l k r a c h t t e werken voor h e t evenwicht.
- 28 -
6-3._Langsmomenten. ( z i e f i g . 13-16)
Het v e r s c h i l i n z a k k i n g e n , d a t i n de v o r i g e p a r a g r a a f werd besproken, wordt
dus v e r o o r z a a k t door v a r i a t i e s i n de buigende momenten, a l s g e v o l g van
de n o r m a a l k r a c h t i n de doorsnede. D i t b l i j k t ook u i t de navolgende t a b e l .
tangsmoment en
[kNm/m*]
zonder dwarsdrager
met dwarsdrager
max.
min.
max.
q-last
P-last
q-last
P-last
. *)
rmn.
max.
min.
max.
. *)
mm.
model 1
434
145
170
89
925
100
252
62
model 2
440
12
210
21
1219
0
357
0
model 3
443
10
215
0
1267
0
350
0
tabeI 6.2.2.: Langsmomenten
*) In het midden van de plaat.
Daar i n de g e v a l l e n met dwarsdrager b e l a s t door een p u n t l a s t de maximale
waarden v e e l minder van e l k a a r a f w i j k e n dan de m i n i m a l e (de maxima z i j n
nagenoeg g e l i j k ! ) , moet h e t dus met name de v a r i a t i e van de s t i j f h e i d
langs de d w a r s d r a g e r z i j n , d i e t o t deze v e r s c h i l l e n l e i d t ; de som i s
immers k o n s t a n t en g e l i j k aan \ Pi. D i t b l i j k t ook u i t de vorm van de
momenten!ijnen i n f i g . 13 en i n f i g . 14. U i t f i g . 13 en 17 kan men a f l e i d e n d a t de s t i j f h e i d van de d w a r s d r a g e r afneemt naarmate men d i c h t e r
i n de b u u r t van h e t momentennulpunt h i e r v a n komt.
Voor de b e l a s t i n g s g e v a l l e n met een l i j n l a s t b l i j k t h e t voorafgaande wat
minder e x p l i c i e t omdat h i e r de maxima n i e t i n de middendoorsnede o p t r e d e n .
De t e n e u r i s e c h t e r nog wel waarneembaar.
Overigens i s h e t f e i t d a t de momenten i n h e t midden van de p l a a t i n a l l e d r i e
de g e v a l l e n nagenoeg g e l i j k z i j n meer t o e v a l dan r e g e l en l o u t e r een g e v o l g
van de keuze d i e voor de "medewerkende p i a a t b r e e d t e " i s gedaan ( z i e p a r .
5.3.b). U i t een b e r e k e n i n g met een 2,5x zo g r o o t EI d e r dwarsdrager werden de
volgende r e s u l t a t e n gevonden voor h e t moment i n h e t h a r t van de p l a a t
( z i e ook f i g . 3 2 ) .
- 29 -
E1
dd
langsmomenten
[kNm/m']
=
2
El
E1
dd
* o
= 2,5 El
0
q-last
P-last
P-last
q-last
model 1
434
69
(434)
model 2
440
21
358
-26
model 3
443
0
359
-48
(69)
i
tabel 6.2.3.: langsmomenten bij vevgvote
stijfheid van de dd.
H i e r u i t b l i j k t dus, d a t de gevonden maxima d e r momenten s t e r k
worden door de keuze van de s t i j f h e i d d e r dwarsdrager.
beinvloed
Behalve de v e r s c h i j n s e l e n d i e s p e c i f i e k b e t r e k k i n g hebben op de keuze
van h e t model m a n i f e s t e r e n z i c h i n de r e s u l t a t e n nog een t w e e t a l i n t e r e s s a n t e
v e r s c h i j n s e l e n van wat meer algemene aard:
1.) Onder i n v l o e d van de l i j n l a s t w e r k t e r i n de m o d e l l e n met dwarsdrager
s l e c h t s een k l e i n ( p o s i t i e f ) langsmoment i n h e t midden van de p l a a t .
In f i g . 32 i s o.a. h e t v e r l o o p van d i t moment langs de symmetrie-as
u i t g e z e t , z o a l s d a t met model 3 i s gevonden. D i t v e r l o o p kan v e r k l a a r d worden
door h e t t e beschouwen a l s de super p o s i t i e van twee b e l a s t i n g s g e v a l l e n ,
name!ijk
- een p l a a t o v e r 3 s t e u n p u n t e n , b e l a s t met een l i j n l a s t . Het middensteunpunt wordt h i e r b i j gevormd door de middendwarsdrager. D i t zou, b i j een
s t a r r e o n d e r s t e u n i n g , i n de middendoorsnede een gesommeerd moment van
-
1
,.-,2
gC7.
(kl) = ~ 321
7
&
2
'
- een p l a a t op 2 s t e u n p u n t e n , i n h e t midden b e l a s t met een p u n t l a s t .
Deze p u n t l a s t wordt gevormd door de o p l e g r e a c t i e van de dwarsdrager
u i t h e t e e r s t e geval ( -/ ql b i j een s t a r r e o n d e r s t e u n i n g ) .
D i t v e r o o r z a a k t dus een (gesommeerd) moment van max. A *( /<$ ql).1 =
5
8
l
s
2
• U i t e r a a r d i s de middendwarsdrager n i e t s t a r o n d e r s t e u n d , maar
v e r e n d , z o d a t d i t moment k l e i n e r z a l z i j n . B i j een El = « " van de dwarsd r a g e r zou men dan een v e r l o o p k r i j g e n z o a l s i n f i g . 6.2.1. i s g e s c h e t s t .
5
Aiql
- 30 -
,
f I
t
*
% I
4
+
Ft^-
6.2.1.
Opbouw van het moment in de -middendwarsdoorsnede.
U i t e r a a r d hangt het weer van de ( b u i g ) s t i j f h e i d van de dwarsdrager a f ,
hoe het t o t a l e moment i n de middendoorsnede z i c h i n d w a r s r i c h t i n g
s p r e i d t ; hoe g r o t e r de s t i j f h e i d , des t e meer s p r e i d i n g z a l men v i n d e n .
Op grond van deze r e d e n e r i n g kan men aan de hand van f i g . 14 dus
opnieuw k o n k l u d e r e n dat de d w a r s d r a g e r i n model 1 z i c h het s t i j f s t
gedraagt.
2.) In t e g e n s t e l l i n g t o t wat men w e l l i c h t i n e e r s t e i n s t a n t i e b i j een v r i j
opgelegde p l a a t zou v e r w a c h t e n , z i j n de momenten boven de o p l e g g i n g n i e t
g e l i j k aan n u l , a l t h a n s n i e t b i j de punt- en de l i j n l a s t . ( B i j een
g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g , z o a l s het e i g e n g e w i c h t i s dat wel
het g e v a l ) .
- 31 -
U i t e r a a r d wordt d i t v e r o o r z a a k t door de inklemming d i e de einddwarsdrager aan het b e t r e f f e n d e p l a a t d e e l l e v e r t . De orde van g r o o t t e van d i t
moment i s wel z o d a n i g dat hiermee r e k e n i n g gehouden d i e n t t e worden
( z i e ook f i g . 32).
B i j de g e v a l l e n zonder dwarsdrager m a n i f e s t e e r t z i c h d u i d e l i j k
het vermogen van model 1 om ook i n d w a r s r i c h t i n g een g r o t e r e s t i j f h e i d
(en dus b e l a s t i n g s p r e i d i n g ) t e m o b i l i s e r e n dan i n model 2 en 3.
A l s g e v o l g h i e r v a n worden b i j deze l a a t s t e twee ook g r o t e r e piekmomenten
gevonden. De a b s o l u t e waarde van deze p i e k e n i s o v e r i g e n s v r i j a r b i t r a i r
en o.a. s t e r k a f h a n k e l i j k van de e l e m e n t v e r d e l i n g t e r p l a a t s e van de
b e l a s t i n g . B i j de p u n t l a s t zou men h i e r t h e o r e t i s c h immers een o n e i n d i g
groot moment v i n d e n .
Voor de p r a k t i j k i s de piekwaarde evenwel n i e t zo erg i n t e r e s s a n t , omdat
toch gewapend z a l worden op het gemiddelde over enige a f s t a n d , b.v. 2x
de p l a a t d i k t e , o f op datgene wat er naar een l a n g s l i g g e r (= 1 m' b r e e d t e )
gaat.
- 32 -
6-4 _Dwarsmomenten ( z i e f i g . 17-20)
1
Voor wat b e t r e f t de dwarsmomenten b i j de g e v a l l e n w a a r i n wel een d w a r s d r a g e r
aanwezig i s , v a l t e r e i g e n l i j k n i e t s toe t e voegen aan hetgeen h i e r o v e r
al i n de voorafgaande D a r a g r a f e n i s gezegd.
In d i e g e v a l l e n w a a r i n e r geen d w a r s d r a g e r i n de k o n s t r u k t i e z i t , b l i j k t
d u i d e l i j k d a t de gekozen n e t f i j n h e i d n a b i j de p u n t l a s t t e g r o f i s om het
w e r k e l i j k e gedrag van de k o n s t r u k t i e goed t e b e s c h r i j v e n ; de r e s u l t a t e n
worden dan e r g " s p r i n g e r i g " ( z i e ook f i g . 19). Ook de piekwaarden van de
momenten z i j n nogal a r b i t r a i r en i n f e i t e r e c h t s t r e e k s a f h a n k e l i j k van
de gekozen elementen v e r d e l i n g . T h e o r e t i s c h n a d e r t de waarde van het moment
onder de p u n t l a s t n a m e l i j k a s y m t o t i s c h t o t o n e i n d i g .
- 33 -
6.5. D w a r s k r a c h t e n _ e n _ o g l _ e g r e a c t i e s
1
( f i g . 21-24 en 25-28)
In f i g . 21 en 22 z i j n de d w a r s k r a c h t e n weergegeven i n een snede n a b i j de
oplegging,
i n d i e n e r wel een middendwarsdrager aanwezig i s . In f i g . 23
en 24 s t a a t d i t voor de g e v a l l e n zonder dwarsdrager.
U i t een v e r g e l i j k i n g van deze b e i d e n b l i j k t dat ook h i e r nog het moderende
e f f e k t van de middendwarsdrager op de o n d e r ! i n g e v e r s c h i l l e n t u s s e n de
modellen merkbaar i s ; i n f i g . 21 en 22 l i g g e n de waarden v e e l d i c h t e r b i j
e l k a a r a l s i n f i g . 23 en 24.
Verder i s h e t h e t vermelden waard d a t de gesommeerde d w a r s k r a c h t i n a l l e
g e v a l l e n nauwkeurig g e l i j k i s aan de t o t a l e b e l a s t i n g , m i t s b i j de l i j n l a s t
r e k e n i n g wordt gehouden met h e t d e e l van de b e l a s t i n g d a t r e c h t s t r e e k s naar
de o p l e g g i n g gaat.
T e n s l o t t e i s i n f i g . 21 nog aangegeven welk d e e l van de t o t a l e d w a r s k r a c h t
door de ( b o v e n ) f l e n z e n worden opgenomen; u i t e r a a r d i s d i t aandeel maar g e r i n g .
E i g e n l i j k g e l d t voor de o p l e g r e a c t i e s h e t z e l f d e a l s voor de d w a r s k r a c h t i s
opgemerkt. In een snede v l a k l a n g s de o p l e g g i n g zouden ze z e l f s nagenoeg
g e l i j k moeten z i j n . Vooral i n h e t g e v a l van een l i j n l a s t b l i j k t e c h t e r de
overeenkomst t u s s e n de waarde van de d w a r s k r a c h t ( i n kN/m') en de o p l e g r e a c t i e ( i n kN/m') b i j een o p p e r v l a k k i g e beschouwing nogal s l e c h t .
Men moet h i e r b i j e c h t e r wel bedenken d a t e r een deel van de b e l a s t i n g
r e c h t s t r e e k s naar de o p l e g g i n g gaat en bovendien moet men b i j een v e r g e l i j k i n g
van deze b e i d e u i t g a a n van de t o t a l e k r a c h t (dus n i e t per m') d i e ze beide
op b.v. de middenknoop zouden u i t o e f e n e n .
Voor model 2, b e l . g e v . 3, met dd g e l d t b.v. voor knoop 253:
kracht in 253 t.g.v. q V % 117.56 = 58.78 kN
oplegreaatie in 253
-
76.59
belasting in 253
-
20. 83 _
55. 76 kN
Z o a l s men z i e t i s de overeenkomst nu heel r e d e l i j k .
Voor een nog nauwkeuriger v e r g e l i j k i n g zou men het evenwicht van knoop 253
kunnen beschouwen. A l s men d i t d o e t , dan komt h i e r i n b i j v o o r b e e l d ook t o t
u i t d r u k k i n g , d a t de d w a r s k r a c h t i s u i t g e z e t van een doorsnede halverwege
het l a a t s t e element. V o e r t men deze k o n t r o l e voor h e t bovenstaande geval u i t ,
dan v i n d t men d a t h e t evenwicht van knoop 253 t o t 0,9% nauwkeurig i s
gewaarborgd ( z i e ook p 3 8 ) .
- 34 -
6^6^_ Evenwi c h t s j<ontro]_es.
Om e n i g i n z i c h t t e v e r k r i j g e n i n de j u i s t h e i d en de nauwkeurigheid van de
u i t g e v o e r d e b e r e k e n i n g e n z i j n een t w e e t a l s o o r t e n e v e n w i c h t s k o n t r o l e s
u i t g e v o e r d , t e weten:
a) evenwicht t u s s e n de u i t w e n d i g e k r a c h t e n en de gesommeerde doorsnede
k r a c h t e n en wel I q i n de e i n d d o o r s n e d e en £ m i n de middendoorsnede.
b) evenwicht van i n - en u i t w e n d i g e k r a c h t e n rond een knoop.
x
xx
Het b l i j k t d a t zowel \ q a l s \
o n v e r a n d e r l i j k nauwkeurig i n e v e n w i c h t
z i j n met de u i t w e n d i g e b e l a s t i n g . H i e r o v e r v a l t "verder dan ook w e i n i g t e
rapporteren.
B i j het e v e n w i c h t rond een knoop l i g t de s i t u a t i e wat o n g u n s t i g e r , z o a l s
i n het navolgende z a l b l i j k e n . E e r s t z a l het e v e n w i c h t van het b u i t e n s t e
oplegpunt worden beschouwd en wel van model 2, zonder middendwarsdrager
( z i e f i g . 6.6.1.). Het gaat dus om knoop 13, met de daaraan verbonden
elementen 16 en 17 ( r e s p . RECPA en GRIBA). I n d i e n we ons even beperken
t o t het v e r t i k a l e e v e n w i c h t , dan z i e n we d a t t . g . v . b e l a s t i n g s g e v a l 1
(= p u n t l a s t ) op de elementen de volgende k r a c h t e n werken:
x
m x=i.64
V
q
y = °-
7 8
Q=
1.39
0=1.39
x
2
Fig. S.6.1. Vertikaal evenwicht van knoop 13.
- 35 -
Aangezien de berekende spanningen het d i c h t s t b i j de r e a l i t e i t z i j n i n een
snede halverwege het element, wordt het evenwicht van het J p l a a t g e d e e l t e
rondom knoop 13 g e k o n t r o l e e r d . H i e r o p werken de volgende ( v e r t i k a l e ) k r a c h t e n
.) in knoop 13
= +15.46 [kN/m']
a
x
~
q
y
=
q
x
%
=
=
= - 1.32
*x
=
= + 6.14
q
=
%
=
- - 1.85
= +15.46
. ) in pnt. A
. ) in pnt. c
y
. ) in pnt. B
q
y
=
- - 1.85
- + 6.14
^x
7 i
= - 1.32
Gesommeerd w e r k t dus
op vlak AB -
.) 1 q
x
Uy°P vlak BC =
•)
x
=
-1.85)*h*1.00
= -1.585 kN t
\myx' - (0. 33+0. 73)*H
in A
.) V tgv. m
i-6.14)*h*0.50
xy
5.400 kN +
=
0.530 kN t
= (0.74*1.01 )*h
= 0.875 kN +
xy:
.) Dwarskracht in einddwarsdrager
Q = 1.390 kN +
. ) V tgv. m
y
y
n
in C
yx
.) Uitwendige belasting
-
.) Vertikale oplegreactie in knp. 13
g
IV
-
7. 000 kN
t
R
=
6.550 kN +
De a f w i j k i n g b e d r a a g t dus " ~ ' ° *l-00 = -6.9% van de o p l e g r e a c t i e .
D i t i s naar v e r h o u d i n g een v r i j g r o t e f o u t .
S5
?
6
0
s
5
Voor het b e l a s t i n g s g e v a l 3 (= l i j n l a s t ) wordt gevonden:
10
0
op vlak AB = (10.02 + ' *"?' )*Jf*0.S0
J
op vlak BC = (-1.22 + ~ ~°'
x
lm22
lq
.) V
X
.) V
y
tgv. m
s
xy
tgv. m
y
yx
= 3.433 kN t
16
.) lq
1. 043 kN +
51
)***!. 00
in A = \m I = (0. 48+0.22)*%
yx
- 0.350 kN t
in C = \m
= 0.570 kN t
1
1
\= (0.48+0.66)*%
1
.) Dwarskracht in einddwarsdrager
Q
.) Uitwendige belasting
= 0.900 kN t
=
^
>V =
4.495 kN t
) Vertikale oplegreactie in knp. 13
R
m
4.250 kN 4-
- 36 -
Afwijking =
4
'
2 5 0
4
Voor b e l a s t i n g s g e v a l
J
lq
.) lq
495
\i
4.495
*100 = -5.5%
van de o p l e g r e a c t i e .
1 (= eigen g e w i c h t ) i s het r e s u l t a a t a l s v o l g t :
op vlak AB = (1&-127.39- if 112. 59)*h*0. 50 =
61.845 kN i
op vlak BC = (1&114+
1.100 kN +
#0. 98)*%*!. 00
=
.) V tgv. m
in A - \m | - (-0.49-0.29)*%
' x
xy
y%
= - 0.390 kN +
y
) V tqv. m
y
yx
y
in C = \m \ = (-0.64+0.06)*%
xy
= - 0.290 kN I
1
Q = -13.530 kN t
.) Dwarskracht in einddwarsdrager
.) Uitwendige belasting:
e.g. plaat
3
= 9.81*1094*2*%*10~
3
e.g. dwarsdrager = 9.81*2000*%*10~
=
5.366 kN +
=
9.810 kN I
+
.) Vertikale oplegreactie in knp. 13
Afwijking =
-I'li* *100 = 2.8%
]y -
63. 071
R
64.860 kN t
=
kN i
van de o p l e g r e a c t i e .
Zoals men kan z i e n i s de a f w i j k i n g k l e i n e r naarmate de b e l a s t i n g meer
g e s p r e i d i s , en dus de g r a d i e n t van de spanningen o v e r een element k l e i n e r
i s . Los van de numerieke onnauwkeurigheden (welke k l e i n zouden moeten z i j n )
i n t r o d u c e e r t men i n het voorafgaande n a m e l i j k een onnauwkeurigheid door de
w i j z e waarop de spanningen naar de knopen worden a f g e v o e r d .
Fig. 6. 6. 2.
Spanningsafdracht naar knopen.
- 37 -
Volgens de gevolgde r e k e n w i j z e wordt de spanningen d i e op de h e l f t
van het element staan a f g e v o e r d naar een knoop; dus voor knoop 1 i s
dat het g e a r c e e r d e g e d e e l t e van de vorenstaande f i g u u r .
Dus v o l g e n s de hand b e r e k e n i n g gaat naar knoop 1:
(
2
ai)
K = a *ka+ ° ~ *k*(ka)=
2
% a a+V O
l
B
z
a
1
1
In het rekenprogramma worden de spanningen v o l g e n s de energiemethode
a f g e v o e r d , wat neerkomt op het bepalen van de e v e n w i c h t s r e a c t i e s i n 1 en 2,
i n d i e n de z i j d e 1-2 a l s l i g g e r op twee steunpunten wordt beschouwd.
Dus v o l g e n s het programma gaat naar knoop 1:
l
K
i=
o *!f4-(a -a )* / *(ha) = V
x
z
x
3
3
aa
x
+ Vs o a
2
Ergo, v o l g e n s de handberekening gaat er t e w e i n i g naar knoop 1:
A=(
y - /e )<3 a +( Vs ~ Vs )o a
3
3
1
2
=
(o -a )a
z
1
Indien deze k o r r e k t i e wordt u i t g e v o e r d b i j de e e r s t e k o n t r o l e ( p - l a s t ) ,
dan w i j z i g t deze i n :
.) lq
(-3.19-15.46)* Vi^meer
.) Jq
(0.78-1.85)
+, dus +0.777 kN minder +
* Vi^rneer 1\, dus +0.045 kN minder +
X
0. 822 kN minder +
Dus
IV = 7.00-0.822 = 6.178
Afwiiking =6
3
55
6
178
'6.55
- +5.7%: een w e z e n l i j k e v e r b e t e r i n g l e v e r t d i t dus
n i e t op!
Derhalve moet g e k o n k l u d e e r d worden d a t het e v e n w i c h t i n deze g e v a l l e n s l e c h t s
b i j b e n a d e r i n g k l o p t ( f o u t i n de orde van g r o o t t e van 5%).
Een tweede k o n t r o l e b e t r e f t het evenwicht van het o p l e g p u n t op de
symmetrie-as, i n verband met de o g e n s c h i j n l i j k e d i s k r e p a n t i e t u s s e n de
waarde van de d w a r s k r a c h t en d i e van de o p l e g r e a c t i e i n d a t punt.
D i t i s v e r d e r u i t g e w e r k t voor model 2, b e l a s t i n g s g e v a l 3 ( l i j n l a s t ) .
- 38 -
R
z
OP LEGGING
=_60.00
DWARSDRAGER
U = _ 3 04
m
m
xy
y
x
qx
ORTH .PLAAT.
m
x
y
= 4. 40
m
y
x
= 1.97
q
x
= .65.22
Qy
= • 7 47
= +7.47
Fig. 6.2.3.
Vert, evenwioht van knoop 253.
Evenwicht van knoop 253, mbv. g e a r c e e r d e deel ( i n kN)
.) lq
langs OA = (-177.56* \ -65. 22*%)*%*0.50
-52.238 kN \
.) lq
langs OB = (-2.91* % +7. 47*%)*%*!. 00
- 0.315 kN
.) V
y
.) V
x
4-
tgv. m
in B - \m
= (2.96-0.93)*%
+ 1.015 kN
4-
tqv. m
in A = \m
= (-0.42+0.22)*%
- 0.100 kN
t
y
y
yx
xy
1
1
xy
yx
) Dwarskracht in einddwarsdrager
Q
- 2. 040 kN +
) Uitwenduge belasting in knoop 253
q
20.833 kN 4-
+
77.283 kN +
) Oplegreactie in knp. 253
R
76.590 kN t
De a f w i j k i n g bedraagt h i e r s l e c h t s 0.9% van de o o l e g r e a c t i e s en i s dus k l e i n .
L i j s t van f i g u r e n .
Fig1. Geometrie en a f m e t i n g e n .
2. K w a l i t a t i e f v e r l o o p van w, m en m
langs de middendoorsnede r langs
de e i n d d o o r s n e d e .
3. Knoop- en elementnummers van d e k p l a a t u i t model 1 ("RECCA 1'').
4. Knoop- en elementnummers van de l a n g s l i g g e r s u i t model 1 ("SPABA 1").
5. Knoop- en elementnummers van de dwarsdragers u i t model 1 ("SPABA 1").
6. Knoop- en elementnummers van de p l a a t e l e m e n t e n (RECPA) en de dwarsdragers
(GRIBA) u i t model 2.
7. Knoop- en elementnummers van de l a n g s l i g g e r u i t model 3 (GRIBA).
3. Knoop- en elementnummers van de dwarsdragers u i t model 3 (GRIBA).
9. Z c k k i n g s l i j n over de middendoorsnede voor de m o d e l l e n met dwarsdrager
b e l a s t door een p u n t l a s t .
10. Idem 9. b e l a s t door een l i j n l a s t .
11. Idem 9. zonder dwarsdrager b e l a s t door een p u n t l a s t .
12. Idem 9. zonder dwarsdrager b e l a s t door een l i j n l a s t .
13. Langsmomenten m x over de middendoorsnede voor de m o d e l l e n met middend w a r s d r a g e r b e l a s t door een p u n t l a s t .
14. Idem 13. b e l a s t door een l i j n l a s t .
15. Idem 13. zonder middendwarsdrager b e l a s t door een p u n t l a s t .
xx
z
X
16.
Idem 13. zonder middendwarsdrager b e l a s t door een l i j n l a s t .
17.
Dwarsmomenten m y over de middendoorsnede voor de m o d e l l e n met
middendwarsdrager b e l a s t door een p u n t l a s t .
Idem 17. b e l a s t door een l i j n l a s t .
Idem 17. zonder middendwarsdrager b e l a s t door een p u n t l a s t .
Idem 17. zonder middendwarsdrager b e l a s t door een l i j n l a s t .
Dwarskracht q over de middendoorsnede voor de m o d e l l e n met middendwarsdrager b e l a s t door een p u n t l a s t .
Idem 21. b e l a s t door een l i j n l a s t .
Idem 21. zonder middendwarsdrager b e l a s t door een p u n t l a s t .
Idem 21. zonder middendwarsdrager b e l a s t door een l i j n l a s t .
O p l e g r e a c t i e s r langs e i n d d o o r s n e d e voor de m o d e l l e n met middendwarsdrager b e l a s t door een p u n t l a s t .
Idem 25. b e l a s t door een l i j n l a s t .
Idem 25. zonder middendwarsdrager b e l a s t door een p u n t l a s t .
Idem 25. zonder middendwarsdrager b e l a s t door een l i j n l a s t .
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
y
x
z
v e r v o l g L i j s t van f i g u r e n .
29.
30.
31.
32.
33.
N o r m a a l k r a c h t n i n l a n g s r i c h t i n g voor de m o d e l l e n met middendwarsdrager.
Idem 29. zonder middendwarsdrager.
V e r l o o p van de dwarsmomenten m y v o l g e n s de komputer u i t v o e r voor
model 1, zonder dwarsdrager.
V e r l o o p van het langsmoment m
t e r p l a a t s e van y = /8 b en y = V 2
voor model 3.
Langsmomenten m
over de middendoorsnede voor model 2 en 3 b i j
2,5x s t i j v e r e dwarsdrager.
x x
y
3
xx
xx
D
CD
4n
A
m
CD
LU
o
LU
in
rr
o
o
Q
J:
s.ymmetrie-as
m a t e n in m
V i
2
D OORSNE DE A - A
o
o
(NI
o
o
CO
75
I
425
||
randligger
425 ,150i
AZb p U |
42 5
^ 3
|
1 a n g s ii gger
G e o m e t r i e en
eindld w a r s d r ager
DETAIL B
DETAIL A
fig.1
1000
afmetingen
mateninmm
enm
1
•o
-o
N
y
1
^2b= /2l
met
dd
zonder
dd
w
m
m
Rz
fig.2
k w a l i t a t i ef v e r l o op v a n
w, m
enm
langs
demiddendoorsnede
xx
yy
R z l a n g s de e i n d d o o r s n e d e
t
t
e
a
73 jfl JD
m
g
f
ff!
*S_J33JK
© © © ® © ©@
©
71
31
©
2?
91
wil
gfj
ni
J2i
4
49
©
2K
231 _£3t
©
S) I
2£
2
I
is
@ @
®
11
23
© ©
®• ®
2/
©
fig. 3.
2*3
»3
ft/
22/ J ? /
®
= elementnummer.
Knoop. en elementnummers van dekplaat
model 1 ("RECCA 1")
14
34
54
32
52
10
30
72
70
50
24
48
28
23
90
110
84
88
66
86
134
106)
13 2
B
130
154
126
152
128
103
126
106
174
146
172
150
170
144
148
123
146
194
166
192
165
125
104
108
83
63
43
112
85
68
46
26
92
64
44
114
86
65
45
25
94
66
46
26
12
74
168
143
166
190
1S4
188
163
186
214
186
212
185
210
184
208.
183)
206
234
3
254
226
232
2 05
230
2 04
228
252
2 25
24 5
250
224
244
248
^03] 22 3)
226
246
24 6
[243
I
©©©©©©©©©©©©[©
24
41
21
22
64
44
42
84
81
61
62
104
82
124
101
122
102
144
121
142
164
141
162
184
161
182
204
181
202
224
201
2 22
244
2 21
242
=elemen t nummer
fig.4
K n o o p - e n e l e m e n t n u m m e r s v a n de
langsliggers
uit m o d e l 1 ( " S P A B A 1 " )
241
= e l ement nummer
fig.5
K n o o p - e n e l e m e n t n u m m e r s van de
dwarsdragers
u i t m o d e l 1 ( " S P A B A 1")
X
4
n
33
®
® ®
®
V
® ®
1 — ti
®
JUL
_//3_
®
@
®
© ® ®
Rl
©
®
/
©
@
®©
i
*
@
IS]
T
©
@
©
©©®©©
®
®
©
®
©
«3
23
® ® ® ®
Zl 4 / 6 1/
©
fig. 6
HI
©©©®®®® © ®
fr
1
352L
®®
®
///
J*JL
©
® ®
hi 111
®®
22]
I
©
®
®
@
Us
® ®
lb!
®©©
lol 22J
s elementnummer.
Knoop. en elementnummers van de p l a a t e l e m e n t e n
(RECPA ) en de d w a r s d r a g e r s (GRIBA) uit model 2.
X
ii
g _ J g _ . 3 i _ jg. 133 m
j3_
13
i73_m-vi—23-2R
3) © ® © ©
7/
3/
1/
3L
a
J5L
tot
9
©
SL
SSL 251
JSL 211
4
32$
Ml
©
225
15
©
*3
/£$
43
© ©
iZ
©
4
g)
9/
©
/2/
/4s
JSL
205
225
JSL
2d
22/
®
/Ql
zl/l
Y
r elementnummer
fig.7. Knoop en elementnummers van de langsligger
uit model 3 ( G R I B A )
7
X
T
A
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
31
51
71
91
111
131
0 0 0 0 0 0
29
49
69
89
109
(135)
129
171
151
231
251
229
249
211
191
{237)
0 0 0 0
169
149
189
209
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
27
47
67
87
107
127
167
147
187
0 0 0 0 0 0 0 0 0
25
45
65
85
105
125
14 5
0 0 0 0 0 0
23
43
63
83
103
165
0
123
143
207
225
205
183
245
0
(rrj)
163
247
0 0
(193)
185
227
223
203
243
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
41
61
81
TL) 0 0 0
101
121
141
161
181
221
2 41
(Jo?)
(22j)
201
0 e 0 0 0 0
0 = elementnummer
fig.8
Knoop-en
dwarsdragers
uit
elementnummers
v a n de
m 0 del 3 ( GR I B A )
X
ii
%v y v
/
A
/
2
t /'/
/
y
&\
V
t
\
(ym ni )
a—
r 7~.
: —s t
>
*—
V
vn m
/
\
\
s
>
v.
•-
\
s
s
\
>
\
*)
H
lo.2Sr\tryp d noo el <
in
/»,
H
-
f i g . 9.
Z a k k i n g s l i j n over de middendoorsnede
voor de modellen met dwarsdrager
b e l a s t door een
puntlast
0.
X
1
2
5—
/> y,
y
_i
+
°-3
rr)
\
'V
*^
iD rf]
•*r
>
>
-9—fk •9
pU
P—
UKXX,
—HH
mccteJ
—t-j-
—
—
—
•
...
f i g . 10. Z a k k i n g s l i j n over de middendoorsnede
voor de modellen met
dwarsdrager
b e l a s t door een lijnlast.
X
%
2
f
/ yA -
-it.
t j
Ci
\—
»»»,
1
'—
\
N
1 1f it
>
>i
r-
Y
\
\
t
\
\\
\
\
\
1
1J•
{...
\
\
\
i.
—J>
si
.
—1
1
:
\
—
\
\
\
i;
\
\
10-
f i g . 11. Z a k k i n g s l i j n over de middendoorsnede
voor de modellen z o n d e r
b e l a s t door een
dwarsdrager
puntlast.
11
-
X
1
J •
-< J —
t
1._
A
y
r
\
1
1
>
—1—
\
s
i*
_1—1
Mm
i
\
\
N
—
\
L
P
i
—v
u
VIV
V
\
S
s Kl
m
j
? L
TJfTOr
——
1
f iq. 12. Z a k k i n g s l i j n over de middendoorsnede
voor de modellen z o n d e r
b e l a s t door een
dwarsdrager
lijnlast.
12
—
X
J
/
ti
j—
/
A.
y
lift rt—
tV\
J\
f
=\
—
V
4
\
X
\
s o kM In /
/
«.
X*
>s
*x
V
lm
1
v.
s
>
i
*4
'4
/
2.
.ifi
f
/
L.
•4.
/
3
2
V
,U
f
—
f i g . 13 L c r a g s m o m e n t e n rn x
o
v
e
X
r
de m i d d e n d o o r s n e d e
voor de modellen met m i d d e n d w a r s d r a g e r
b e l a s t door een
puntlast
13
fioU
Langs momenten m
x
voor de modellen m e t
x
oyer
demiddendoorsnede
middendwarsdrager
b e l a s t door een l i j n l a s t
X
jI
ti
/> /
y.
ti
/
/
*
it
X
^>
—'
N
•
To
hi
/
/
/
\
X.
V
1i
\
y
>
\
\
\
\
}
\
\
\
\
\
ri
—
\
\
\
\
*
\
\
\
\
\
s. £>£
•
J
/
\
i
\
It:/<
1P
|+ /2 6SS£(*».4£
15 L a n g s m o m e n t e n r h
x x
3j
o v e r de m i d d e n d o o r s n e d e
voor de modellen z o n d e r
b e l a s t door een
J
middendwarsdrager
puntlast
15
fioie
Lang smomenten
m
x
x
voor "de modellen z o n d e r
over de m i d d e n d o o r s n e d e
middendrager
b e l a s t door een l i j n l a s t
16
X
I
//
fa
/s
z2/
5—
t
y
K
A
•
/ ./)
fT.
L
7
/
'S,
D
—*—
X
sS
x
x.
•
\
\
>
\
Vt —
A
N
\
•V
111K
\V
—1
•
V- sl
( try >a
*?" • I
JL rr\
f ig, 17. Dwarsmomenten
A
myy over de middendoorsnede
voor de modellen met
b e l a s t door een
?
middendwarsdrager
puntlast.
17
f i g , 18. Dwarsmomenten myy over de middendoorsnede
voor de modellen met middendwarsdrager
b e l a s t door een
lijnlast.
18
103.06 O^odeX 1)
Dwarsmomenten myy over de middendoorsnede
voor de modellen zonder m i d d e n d w a r s d r a g e r
b e l a s t door een p u n t l a s t
19
X
4 -
y
.....
—
s
s
-
-»
f
h
r
-**
1-\
AOft
h
i
m
i \i—,
!
^
•f—
\
I
\
i
1
\
I \
—,
i
\i
Ii
\
\
\
\
—
\
-4-
•
-
-
lL
>
1
\1
-I*—
\
1
I
4—
\
-L
l
!
i—
1
\
\
\
,4
31
—i
-4
f i g . 20. Dwarsmomenten m v over de middendoorsnede
lyy
V
voor de modellen zonder middendwarsdrager
b e l a s t door een l i j n l a s t
20
21 d w a r s k r a c h t q o v e r
x
voor de modellen m e t
b e l a s t door een
de m i d d e n d o o r s n e d e
middendwarsdrager
puntlast
21
f i g , 22 d w a f s ^ r a c h t
q
x
v o o r de mi d d e n d o o r s n e d e
voor de modellen m e t
b e l a s t door een
middendwarsdrager
lijnlast
22
f i q 23
d w a r s k r a c h t q o v e r de m i d d e n d o o r s n e d e
voor de modellen z o n d e r
b e l a s t door een
middendwarsdrager
puntlast
23
f i g . 24 d w a r s k r a c h t
q
x
o v e r de
voor de modellen z o n d e r
b e l a s t door een
lijnlast
middendoorsnede
middendwarsdrager
X
^}
% OL 2
/
/
i—
r
__
M
(i
1J _
•>
//
-H
~n
1
-inr
\ ,
s.
\
—*
i
—
\
—t
\-Hr1
||
—LI J—3
-
O
. 351
-3 fl. 7
.4?,
6
0
0
—I
-
f i g . 25 O p l e g r e a c t i e s r
z
Langs einddoorsnede
voor de modellen met middendwarsdrager
b e l a s t door een
puntlast
25
26 Op leg react ies r
z
langs-einddoorsnede
voor de modellen met middendwarsdrager
b e l a s t door een l i j n l a s t
'26
f i g . 27
Oplegreacties r
z
langs einddoorsnede
voor de modellen zonder middendwarsdrager
b e l a s t door een
puntlast
27
f i g . 28 Oplegreacties r
z
langs- einddoorsnede
voor de modellen zorvder' middendwarsdrager
b e l a s t door een lijnlast..
'28
f i q . 23. N o r m a a l k r a c h t
n
x x
in L a n g s r i c h t i n g
voor de modellen met middendwarsdrager
29
30
Normaalkracht n
in l a n g s r i c h t i n g
voor de modellen zonder middendwarsdrager.
x x
30
f i q . 31.
V e r l o o p van de dwarsmomenten
v o l g e n s de komputer
voor model 1, zonder
m^j
uitvoer
dwarsdrager.
31
-
fig
32
V e r l o o p v a n het langsmoment m x
t e r p l a a t s e van y = 3/g b en y = / 2
X
1
voor mod^l 3
32
f i q . 33
Langsmomenten m
voor model
bij
x x
over de middendoorsnede
2 en 3
2.5 x s t i j v e r e
dwarsdrager.
33
_> nnrx-
R
z
= _ 60.00
*
777777?
R
7
= _ 76. 59.
OPLEGGING
DWARSDRAGER
m xy
m yx
qx
ORTH .PLAAT.
m xy
m yx
q
x
qy
© Copyright 2024 ExpyDoc
