Wiskunde achter kaarttrucs

Heilige-Drievuldigheidscollege
Wiskunde achter
kaarttrucs
Goochelen: Magie of wiskunde?
Croonen Joost, Opsomer Ruben, Tombeur Vincent
2013-2014
Inhoudstafel
Inleiding
2
Jack the Bounty hunter
-Uitvoering
-Uitleg
3
3
3
The Final Three
-Uitvoering
-Uitleg
-Uitbreiding
7
7
7
9
Algemene regel
11
Eigen kaarttruc
12
Slot
15
Begrippenlijst
16
Bronvermelding
16
1
Inleiding
Goocheltrucs zijn magie. Dat is altans wat de bevolking honderden jaren geleden dacht, maar steeds
meer mechanismen achter de trucs kunnen worden onthuld en de vraag is of de magie wel werkelijk
bestaat. Goochelaars houden vooral hun geheimen voor zichzelf en hierdoor schuilt er ook nog heel
wat mysterie achter goocheltrucs in het algemeen. In dit verslag gaan wij deze sluier van mysterie
verder oplichten en de ‘magie’ achter goocheltrucs proberen te onthullen, met name die van
kaarttrucs.
We vermoeden dat er achter veel trucs niet alleen vingervlugheid, maar ook een heleboel wiskunde
zit, want er zijn zeker trucs waar vingervlugheid niet van toepassing is. Wij gaan de wiskunde zoeken
achter twee van zulke trucs: Jack The Bounty Hunter en The Final 3. Na het analyseren van de
wiskundige methodes, gaan we proberen een algemene regel te verkrijgen over de werking van
wiskundige kaartrucs. Tot slot zullen we dan trachten een eigen kaarttruc te ontwerpen.1
1
Omdat we vrij veel termen hebben moeten gebruiken in ons werk, is er achteraan een begrippenlijst
geplaatst. Het is aan te raden deze eerst eens door te lezen.
2
Jack The Bounty Hunter
Uitvoering
De uitvoerder legt twee even grote hopen kaarten uit en houdt de rest van de kaarten apart. Hij
houdt nog één extra kaart uit het spel: Jack the bounty hunter, de schoppen boer. Dit is de zoekkaart
die de uitvoerder zal helpen tijdens de truc.
De uitvoerder legt nu één hoop voor hemzelf neer, de ander voor de toeschouwer. De toeschouwer
mag nu van beide hopen een willekeurig aantal kaarten afnemen en langs de originele hopen leggen.
Er liggen zo twee hopen voor de toeschouwer en twee voor de uitvoerder.
Nu mag de toeschouwer een kaart trekken uit de overige kaarten, dit is de kaart die Jack gaat zoeken
(de gezochte kaart, GK). De toeschouwer legt GK op één van zijn eigen twee hopen en één van de
twee hopen van de uitvoerder mag hij op deze hoop leggen ‘ter bescherming van de GK’. De GK mag
de uitvoerder tijdens dit gehele proces niet zien; hij moet deze namelijk zelf zoeken.
De uitvoerder doet nu de rest. Hij legt Jack op zijn eigen hoop die overblijft en neemt de overige
hoop van de toeschouwer en legt deze op
Jack ‘als bodyguards’. Er zijn nu terug twee
Afbeelding 1.1
hopen: één, die Jack bevat, en de andere
met GK. Hij legt de hoop van Jack op die van
de GK. In dit gehele proces ligt Jack open, hij
is dus de enige kaart die zichtbaar is. (Bij de
uitleg staan nog verdere illustraties die de
uitvoering verklaren)
Hij deelt de kaarten uit op twee hopen en
vertelt het verhaal hoe dat Jack de dief moet vinden. (Afb. 1.1) Hij neemt dan de hoop waarin Jack
ligt, de andere hoop legt hij aan de kant. De
Afbeelding 1.2
hoop zonder Jack zal niet meer deelnemen aan
het spel. Het aantal kaarten in de hoop van
Jack is nu verkleind. Het lijk dus alsof Jack op
deze manier meer te weten is gekomen over
de dief. Dit proces van uitdelen blijft hij
herhalen totdat Jack in een hoop ligt met nog
maar bij één andere kaart. Dit is steeds de
gezochte kaart. (Afb. 1.2)
Uitleg
Het beginaantal
We merken op dat bij elke maal dat we de kaarten in hoopjes verdelen, twee gelijke stapels worden
gemaakt. Eén stapel, waarin de zoekkaart niet gelegen is, doen we weg; met de andere werken we
verder. In principe delen we dus steeds het aantal kaarten in het hoopje door twee. Uiteindelijk blijft
er dan nog één stapeltje over dat twee kaarten bevat: de zoekkaart en de gezochte kaart, GK.
Aangezien we steeds twee gelijke hoopjes maken en we op het einde nog twee kaarten overhouden,
moet het beginaantal kaarten n+1 keer deelbaar zijn door twee. Hierin is n het aantal maal dat we
moeten uitdelen om uiteindelijk een stapeltje van twee kaarten te bekomen. Hieruit volgt duidelijk
3
dat het beginaantal kaarten een macht van twee moet zijn. Anders zouden we immers niet altijd
mooi door 2 kunnen blijven delen tijdens het uitdelen van de
kaarten.
Afbeelding 1.3
We werken vanuit het gegeven dat we bij het begin twee
hopen van 15 stuks maken. (Afb. 1.3) Hierbij worden dan nog
de gezochte kaart en de zoekkaart bijgevoegd. Zo komen we
tot een som van 32 kaarten, wat inderdaad een macht van
twee2 is. Nu kunnen we afleiden dat na de 4de maal uitdelen er
twee hoopjes van twee ontstaan. Dit is dus de laatste stap.
15
We hebben reeds gezegd dat het beginaantal kaarten een
macht moet zijn van twee. Zo rijst al snel de vraag of het
mogelijk is om dit ook met andere beginaantallen, die een
macht van twee zijn, te doen. Hierop komen we dan ook in het
volgende hoofdstukje terug.
15
JTB
GK
Verband zoekkaart en gezochte kaart
Een ander essentieel deel van de truc is om ervoor te zorgen dat de gezochte kaart, GK, en de
zoekkaart steeds in hetzelfde hoopje terecht komen bij het uitdelen van de kaarten. Loopt dit zelfs
maar één keertje mis dan zal de gezochte kaart samen met heel zijn hoopje worden verwijderd en
wordt er verder gespeeld met de hoop van de zoekkaart. Op deze manier zal de truc dus nooit meer
kunnen slagen.
We kunnen elke kaart in een hoop een positienummer geven. De eerste kaart vanboven krijgt
nummer één, terwijl de onderste 32 krijgt. Tussen GK en de zoekkaart is er nu altijd een
positieverschil van z. Dit verschil wordt bij elke keer uitdelen gedeeld door twee. Uiteindelijk na vier
keer uitdelen bekomen we het hoopje van GK en de zoekkaart waarbij het positieverschil tussen de
twee gelijk is aan één. Er zijn dan immers nog enkel die twee kaarten in de hoop. Om dan het
positieverschil bij het begin te bepalen, moeten we gebruik maken van het feit dat we steeds het
positieverschil, z, hebben gedeeld door twee. Zo vinden we na vier maal uitdelen:


Zo zien we dat er een dus bij de start steeds een positieverschil moet zijn van 16. Dit bekomt men
door tussen GK en de zoekkaart 15 kaarten te steken.
Bij het uitdelen zien we verder ook dat de kaarten met een oneven nummer steeds in hoop 1 terecht
komen terwijl de kaarten met een even nummer in hoop 2 terecht komen. Dit wil dus zeggen dat als
we willen dat de zoekkaart en GK steeds in dezelfde hoop liggen, hun positienummers steeds
tegelijkertijd een oneven karakter of tegelijk een even karakter moeten hebben. Merk hierbij op dat
bij het uitdelen elke kaart een volledig nieuw positienummer verkrijgt, dat dus nu eens even, dan
weer oneven kan zijn. De enige vereiste is echter dat de positienummers van de zoekkaart en GK
eenzelfde karakter hebben; of dit nu 2 maal oneven of 2 maal even is, heeft geen belang.
2
32=
4
Als we nu zoals hoger gezegd bij het begin een positieverschil van 16 nemen dan zal er tot de vierde
maal uitdelen altijd een macht van 2 positieverschil tussen GK en de zoekkaart zitten.
Immers:
# keren
uitgedeeld
0
1
2
3
4
Positieverschil gezochte
kaart en zoekkaart
16
8
4
2
1
Aangezien een macht van 2 steeds even is, zal ook het positieverschil tussen de twee kaarten tot de
vierde keer uitdelen steeds even zijn. Als we nu zeggen dat A de positie van GK is, z het
positieverschil en B de positie van de zoekkaart dan vinden we:
Omdat z steeds even is, zullen A en B steeds tegelijk even of oneven zijn. Een even getal optellen bij
een even getal levert immers altijd een even getal op. Verder levert de som van een oneven en een
even getal steeds een oneven getal op.
Als we dus bij het begin een positieverschil van 16 nemen, is er dus ook aan die eis voldaan.
Toepassing in de truc
In theorie waren er twee vereisten:
- De posities van GK en de zoekkaart moesten tegelijkertijd even of oneven zijn
- Na vier maal uitdelen moest hun positieverschil in dezelfde hoop 1 zijn
We vonden dat om dit alles te bereiken we er voor moesten zorgen dat er
positieverschil is tussen de twee kaarten bij het begin
Afbeelding 1.4
van de truc. Dit wil zeggen dat er 15 kaarten moeten
tussen steken.
P
Hoe doen ze dit nu in de kaarttruc?
De uitvoerder maakt bij het begin twee stapels van 15
kaarten. Eén is gelegen voor de toeschouwer en één
voor de uitvoerder. Van elke hoop neemt de
toeschouwer dan een deeltje af en legt ze ernaast. Van
de hoop van de uitvoerder nam hij P kaarten af en van
zijn eigen hoop nam hij Q kaarten af. Zo bekomen we
2 stapels voor de toeschouwer en 2 voor de
uitvoerder. De vier bekomen stapels tellen dus P, 15-P,
Q en 15-Q kaarten. (Afb. 1.4)
5
, ofwel 16,
15-P
Q 15-Q
Op één van de twee hoopjes van de toeschouwer, mag de toeschouwer GK leggen. Daarna mag hij
een hoopje van de uitvoerder kiezen en erbovenop leggen. Nu gebeurt het meest essentiële stuk van
de truc. De uitvoerder legt de zoekkaart bovenop zijn overgebleven hoopje. Dit stapeltje legt hij dan
op de grote stapel die de toeschouwer heeft gemaakt.
Wie goed heeft opgelet ziet hoe boven GK één van de hoopjes van de uitvoerder komt te liggen en
hoe onder de zoekkaart het andere hoopje van de uitvoerder terecht komt. Deze twee worden weer
op elkaar gelegd, zodat tussen de zoekkaart en GK
kaarten komen te liggen. Zo verkrijgt men dus dat er steeds 15 kaarten tussen de zoekkaart en GK
worden gelegd en het positieverschil
dus steeds 16 bedraagt. Zo wordt er
Afbeelding 1.5
voldaan aan de vereisten om de truc
te doen slagen. (Afb. 1.5)
Het feit dat de toeschouwer zelf een
aantal kaarten mag afpakken en een
hoopje mag kiezen, is slechts een
illusie van vrijheid, aangezien de
uitvoerder er altijd voor zorgt dat de
hoopjes die samen 15 vormen weer
tussen GK en de zoekkaart terecht
komen.
Q
15-P
15-P 15-Q
Q
P
6
15-Q
P
The Final Three
Uitvoering
Afbeelding 2.1
De uitvoerder geeft het dek
kaarten aan de toeschouwer die
drie kaarten hieruit neemt
zonder dat de uitvoerder deze
ziet. Dit worden de gezochte
kaarten. Nu maakt de uitvoerder
Hoop C
Hoop B
Hoop A
Hoop D 3 GK
uit de overige kaarten vier
gesloten hopen. We nummeren de hopen voor de uitvoering en uitleg van links naar rechts hoop 1,
2, 3 en 4 uit het standpunt van de toeschouwer
Afbeelding 2.2
(Afb. 2.1).
14
15
15
5
De toeschouwer legt één van zijn drie kaarten gesloten
op hoop 1 en neemt van hoop 2 een willekeurig aantal
kaarten die hij boven op zijn eerste GK en hoop 1 legt.
Op wat overblijft van hoop 2 legt hij zijn tweede GK en
ook nu neemt hij een willekeurig aantal kaarten van
hoop 3 die hij boven op zijn tweede GK legt en wat van
hoop 2 overblijft. Zijn derde GK belandt op de rest van
hoop 3 met hoop 4 erboven opgelegd door de uitvoerder.
De uitvoerder neemt de kaarten te samen door de tweede hoop nu op de eerste te leggen en
hierbovenop nog eens de derde. Daarna deelt hij ze uit over 2 hopen waarbij hij in de eerste hoop de
kaarten open legt is en de tweede gesloten. (Afb. 2.2) Zodra de toeschouwer één van zijn drie GK’en
ziet, moet hij stop roepen: de truc is dan immers mislukt. Na een eerste keer uitdelen is geen enkele
van de 3 GK’en gezien, dus begint de uitvoerder op dezelfde
Afbeelding 2.3
manier de gesloten hoop uit te delen. Weer is geen van de 3
GK’en te voorschijn gekomen en hij voert de deling nog twee
keer uit waarna er nog drie gesloten kaarten overblijven: dit
zijn de drie gezochte kaarten. (Afb. 2.3)
Uitleg
Net als in “Jack The Bounty Hunter” ga je in deze truc de stapel meermaals verdelen. Bijgevolg moet
er ook altijd een specifiek aantal kaarten tussen de drie gezochte kaarten aanwezig zijn. In dit geval
zitten er altijd 15 kaarten tussen, wat zorgt voor een positieverschil van 16. 16 is , wat betekent
dat je de stapel dus vier keer moet uitdelen opdat er nul kaarten tussen je drie GK zitten. Dit komt
doordat je bij elke keer dat je uitdeelt, er
positieverschil is. Hierbij is
het positieverschil voor
het uitdelen.
In tegenstelling tot Jack The Bounty Hunter zijn er echter nog andere voorwaarden waaraan deze
truc moet voldoen. Bij Jack The Bounty Hunter kun je bijvoorbeeld kiezen waar je GK zit, en, door de
opbouw van de truc, wijst de rest van de truc zichzelf uit. Hier is immers enkel het positieverschil van
belang.
Bij Final Three is het heel belangrijk dat de GK’en in het begin altijd op precies de juiste positie zitten,
want de stapel die wordt opengedraaid moet altijd worden weggelegd. Met andere woorden:
7
gedurende de hele truc moeten de 3 GK’en altijd in de gesloten stapel zitten. Ze krijgen dus niet de
mogelijkheid om nu eens in de eerste hoop en dan weer in de tweede hoop terecht te komen. Zodra
ze in de eerste hoop komen worden ze immers uit het spel verwijderd.
Bij Jack maakt het niet uit in welke hoop hij terecht komt, zolang de GK en de zoekkaart steeds in
dezelfde hoop liggen. Hierbij is er dus een soort autocorrectie in werking doorheen de truc die niet
aanwezig is in de Final Three. Hierbij volg je een vastgelegd patroon en naargelang je beginposities
juist of fout waren, zal de truc respectievelijk wel of niet werken.
De beginposities voor de truc zijn vanaf de gesloten kant geteld:
6
22
38
Wanneer je de truc uitvoert, halveer je bij elke stap de hoeveelheid kaarten. Bovendien draai je ook
de volgorde om. Hiermee rekeninghoudend zijn de posities doorheen het experiment:
Aantal kaarten
52
26
13
6
3
GK 1
6
24
2
6
1
GK 2
22
16
8
4
2
GK 3
38
8
10
2
3
Een formule waarmee je de kaartpositie (vanaf gesloten kant) van een kaart kunt bepalen in de
volgende stap is:
Kaartpositie
Met m aantal kaarten in huidige stap en x de positie in de huidige stap.
Deze kolom illustreert ook heel goed dat precies de drie kaarten van positie 6, 22 en 38 als laatste
overblijven. Dit zijn dus de enige
Afbeelding 2.4
posities waarbij de truc werkt.
Voorbereiding
Zoals gezegd is het heel belangrijk
dat de kaarten precies op de juiste
plaats terecht komen, wanneer je
het eerste deel van de truc uitvoert.
1
Hiervoor wordt echter automatisch gezorgd door een simpele
techniek.
B
C
A1
B2
Afbeelding 2.5
D
A1
A2
B1
De uitvoerder vormt drie gesloten stapels (A, B en C) met
respectievelijk 15, 15 en 14 kaarten. Het feit dat de stapels
een specifiek aantal kaarten bevat kan uiteraard best
verborgen blijven voor de toeschouwers. Nu zouden er dus
nog 8 kaarten overblijven. Aangezien de toeschouwer echter
8
D
A2
B2
C
al drie kaarten heeft gekozen, blijven er nog vijf kaarten over (deze noemen we stapel D). De eerste
GK wordt op stapel C (14 kaarten) gelegd. vervolgens mag de toeschouwer een deel van stapel B
(noem dit B1) afheffen en op stapel C leggen. Nu wordt de tweede GK door de toeschouwer op de
rest van stapel B (noem dit B2) gelegd, waarop vervolgens een deel (noem dit A1) van stapel A wordt
geplaatst. De laatste GK wordt nu op het overgebleven deel (noem dit A2) van A geplaatst en
afgedekt met stapel D (5 kaarten). (Afb. 2.4) Nu wordt de stapel met daarin de derde GK geplaatst op
de stapel van de tweede GK en dit geheel wordt dan weer op de stapel van de eerste GK gelegd,
zodat je nu één hoop kaarten overhoudt. (Afb. 2.5)
D
5 kaarten
GK 3
A2
A1
15 kaarten (A)
GK 2
B2
B1
15 kaarten (B)
GK 1
14 kaarten
C
Zoals te zien op de tekening worden stapel A en B door deze techniek samengehouden want A2 komt
op A1 en B2 komt op B1 en A1+A2=A en B1+B2=B . Zo liggen er 15 kaarten tussen de opeenvolgende
GK en liggen ze precies op de juiste posities.
Uitbreiding
Deze truck is redelijk eenvoudig uit te breiden naar andere aantallen van kaarten, zolang de kaarten
maar op de juiste positie zitten (dit zal met andere aantallen uiteraard ook andere beginposities
opleveren) en je na een aantal keer delen met 3 kaarten eindigt.
Dit levert de volgende mogelijkheden:
# keer uitdelen (= )
Mogelijke beginaantallen
4
48
3
24
2
12
1
6
0
3
49
50
51
52
25
26
13
27
28
14
7
9
29
30
15
31
Wanneer je een even aantal kaarten hebt wordt bij het uitdelen het aantal gewoon gedeeld door 2.
Indien je echter een oneven aantal kaarten hebt moet je dat resultaat, dat geen natuurlijk getal is,
afronden naar grootste natuurlijke getal kleiner dan de bekomen waarden. Dit komt doordat je altijd
de oneven kaarten weglegt en je bij een oneven aantal kaarten altijd 1 kaart meer hebt met een
oneven positie dan met een even positie. Door dit principe kun je met elk van de bovenstaande
beginaantallen beginnen en na keer delen met 3 kaarten eindigen.
10
Algemene regel
Zowel Jack the Bountyhunter als The Final Three zijn gebaseerd op eenzelfde wiskundig principe. Dit
principe gaat als volgt:
Bij het uitdelen van de kaarten worden alle even en oneven kaarten gescheiden van elkaar en het
positieverschil van elke twee kaarten gedeeld door 2. Opdat je op het einde van een truc dus wilt
eindigen met een of meerdere specifieke kaarten moet je ervoor zorgen dat je een positieverschil
hebt dat een macht is van 2. Dit wil zeggen dat positie van kaart 1 min de positie van kaart 2 gelijk is
aan
met gelijk aan het aantal keren dat je gaat uitdelen. Als namelijk kleiner is dan het aantal
keren dat je moet uitdelen, zal de truc niet werken.
Jack The Bounty Hunter is uiteraard een heel letterlijke toepassing van dit principe, waardoor deze
truc heel erg makkelijk uit te breiden is naar andere aantallen van kaarten. Zolang er aan de volgende
twee voorwaarden voldaan wordt zal de truc werken:
-Er moeten
kaarten tussen zitten met n het aantal keer dat je gaat delen
-Je moet zorgen dat je met 2 kaarten eindigt (met andere woorden: het totaal aantal kaarten
moet na n keer delen 2 zijn)
Het tweede betekent dat je bijvoorbeeld niet voor n de waarde 2 kan kiezen en dan beginnen met 52
kaarten want dan zul je niet met 2 kaarten eindigen na 2 keer delen.
Dit zorgt ervoor dat we, indien men rekening houdt met deze regels, Jack The Bounty Hunter enorm
sterk kunnen uitbreiden. Zo zouden we in totaal ook 64 kaarten kunnen gebruiken als we er maar
voor zorgen dat er een juiste macht van 2 posititieverschil is tussen GK en de zoekkaart. Ook zouden
we een andere macht van 2 kunnen gebruiken als posititieverschil. In deze truc maakt men gebruik
van 16, maar dit had evengoed 8 of 32 kunnen zijn. Hiervoor dienen we enkel het totale aantal
kaarten aan te passen.
Tot slot zouden we ook in meerdere stapels kunnen uitdelen. Nu hebben we altijd in twee hoopjes
gedeeld en gebruik gemaakt van machten van 2. Indien we nu in 3 hopen uitdelen, kan deze techniek
ook nog werken als we overschakelen naar een positieverschil met een macht van 3 in plaats van een
macht van 2. Hiervoor moet natuurlijk ook het totaal aantal kaarten en de manier waarop men de
kaarten op de juiste plaats steekt aangepast worden.
Bij “The Final Three” is grondig uitbreiden al een stuk moeilijker aangezien de kaarten steeds op bijna
vaste postities moeten zitten. Toch is het mogelijk om het aantal kaarten nog te vergroten, wat we
eerder al hebben besproken.
11
Eigen kaarttruc
De opgave
Na de analyse van de twee trucs hebben we de algemene manier van werken beter kunnen
doorgronden, maar hebben we ook inspiratie opgedaan over hoe een kaartruc te ontwerpen. Het
was dan ook een leuke uitdaging om zelf op zoek te gaan naar een eigen wiskundige truc.
Vooraf hadden we enkele eisen waaraan we onze truc graag wilden laten voldoen:
-
Er moesten bij het begin niet twee, maar vier stapels gemaakt worden.
Er moesten twee gezochte kaarten en één zoekkaart bij betrokken zijn.
We wilden bij het uitdelen drie hoopjes maken en geen twee zoals bij “Jack the bounty
hunter”.
Net zoals bij de eerste truc nemen we voor de duidelijkheid als zoekkaart weer “Jack”. Hij is goed
herkenbaar, maar indien de uitvoerder liever een andere kaart wil, staat het hem vrij deze te
vervangen.
We wisten vanuit het algemene principe van wiskudige kaarttrucs dat, als we in drie hopen willen
uitdelen, we dus ook tussen de posties van de zoekkaart, de eerste gezochte kaart en de tweede er
steeds een macht van drie verschil moet zitten. Enkel op deze manier komen ze na het opdelen
steeds weer in dezelfde hoop terecht. We kiezen hierbij voor 3² aangezien we bij nog grotere
machten van drie niet toekomen met de gebruikelijke 52 kaarten. Dit wil zeggen dat er dus steeds 8
kaarten tussen de drie kaarten moeten zitten.
Afbeelding 3.1
Nu we weten hoe we willen eindigen en hoe we
steeds een goed resultaat kunnen verkrijgen,
rest er ons enkel nog één moeilijke opdracht:
we moeten ervoor zorgen dat tussen de eerste
en de tweede gezochte kaart en de zoekkaart
steeds 8 kaarten zitten.
8
18
Het begin van de truc
8
JTB
8
8
GK1
We beginnen met het maken van vier hoopjes
van 8. Uit de overige kaarten mag de
toeschouwer nu één kaart kiezen die onze
eerste gezochte kaart, GK1, wordt. (Afbeelding 3.1) Hij mag deze willekeurig op één van de vier
hoopjes leggen. We willen natuurlijk de truc geloofwaardig maken en de toeschouwer wat
betrokkenheid geven. Daarvoor proberen we de illusie te wekken dat de toeschouwer het spel
ergens kan beïnvloeden: net zoals bij
Afbeelding 3.2
“Jack the bounty hunter” gaan we
hem een deeltje van een andere hoop
laten afpakken om die daarna
bovenop GK1 te leggen. (Afbeelding
3.2)
B
A
8
8
8
A+B=8
12
Nu krijgen we echter een probleem. Tussen de zoekkaart en GK1 moeten immers acht kaarten liggen.
De toeschouwer heeft van het hoopje van acht nu echter maar A kaarten afgenomen. Zo blijven er
nog B kaarten onaangeroerd. We weten wel dat de som van A en B acht is. Het is dus noodzakelijk
om bovenop de A kaarten die op GK1 liggen nog eens B kaarten te plaatsen. Op deze wijze zouden
we kunnen garanderen dat er A+B=8 kaarten tussen liggen.
Het patience motief
Afbeelding 3.3
8
16+B
A
GK2
Dit probleem kunnen we als volgt oplossen:
We voegen alle kaarten van de overige hoopjes van 8 en
de overige B kaarten samen. Zo krijgen we een hoop
van 16+B kaarten. Nu laten we de toeschouwer uit deze
hoop nog een tweede gezochte kaart, GK2, selecteren,
die hij nog even in de hand mag houden. (Afb. 3.3) Nu
blijven er in er nog 15+B kaarten over. We moeten een
manier zoeken om hieruit B kaarten te elimineren zodat
deze samen met de A kaarten bovenop GK1 terug een
som van 8 kaarten maken. Dit doen we door het
creëren van een patience motief.
We maken eerst een rij van 5 kaarten, dan één van 4, dan één van 3, één van 2 en tot slot één van 1
kaart, net zoals we dat deels doen bij het spel “patience”. Dit motief bevat 15 kaarten. Niet alle
kaarten zullen in deze rijen passen. Er blijft dus een deel over. We weten echter dat er nog 15+B
kaarten waren in de stapel en dat we 15 kaarten gebruikten voor het patience motief. Er blijven dus
B kaarten over. (Afb. 3.4) Wanneer we deze op de stapel met GK1 leggen, bekomen we een hoopje
van 8 kaarten3 bovenop GK1. De uitvoerder kan hierboven nog zijn zoekkaart leggen en hiermee is
het positieverschil
Afbeelding 3.4
van 9 tussen GK1
en de zoekkaart
gegarandeerd.
5
4
3
De laatste
gezochte kaart
2
1
B
Tot slot heeft de toeschouwer wel nog één kaart in zijn hand die in het spel verwerkt moet worden.
Opnieuw moeten we zoeken naar een manier om tussen de zoekkaart en GK2 precies 8 kaarten te
kunnen plaatsen.
Hiervoor laten we de toeschouwer zijn kaart leggen op één van de vijf rijtjes van het patience
motief. Nu dient de uitvoerder steeds even in te grijpen: Onder GK2 ligt nu een bepaald aantal
kaarten. Door andere rijtjes hieronder bij te steken, moet hij ervoor zorgen dat er in totaal 8 kaarten
onder GK2 liggen. Wanneer we dit hoopje dan bovenop de zoekkaart leggen wordt ook hier weer het
positieverschil van 9 kaarten tussen GK2 en de zoekkaart gegarandeerd.
3
Eerst lag er al een deeltje met A kaarten op GK1. Nu volgen er nog eens B kaarten hier bovenop. Zo liggen er
op GK1 weer 8 kaarten. Immers, A+B=8.
13
Het vormen van een hoopje van 8 onder GK2 is niet zo moeilijk. Welk hoopje de toeschouwer ook
kiest, de uitvoerder kan via verschillende combinaties van andere rijtjes steeds als som bekomen.
Stel dat de uitvoerder zijn kaart legt op het rijtje met 5 kaarten. Dan leggen we deze hoop op haar
beurt weer bovenop het rijtje met 3 kaarten. Zo liggen er onder GK2 precies acht kaarten. Als we dit
bovenop de zoekkaart leggen, is er weer aan
Afbeelding 3.5
Uit eerste stappen
de voorwaarde voldaan. De overige 7 kaarten
Uit het patience motief:
en B met JTB erop:
leg je gewoon bovenop de stapel. Zij zullen
immers toch geen belangrijke rol spelen in de
truc. (Afb. 3.5)
GK1
7
Volgende tabel toont hoe we steeds een
combinatie met als som 8 kunnen vormen
tussen GK2 en de zoekkaart, welke hoop ook
gekozen wordt.
# kaarten gekozen hoopje
5
4
3
2
1
8
BA 8
GK2
# kaarten van hoopjes die
extra onder GK2 komen
2+1
3+1
4+1
5+1
5+2
Som
5+2+1
4+3+1
3+4+1
2+5+1
1+5+2
=
=
=
=
=
8
8
8
8
8
Op deze wijze liggen tussen GK1, de zoekkaart en GK2 steeds 8 kaarten waardoor het positieverschil
van 9 gegarandeerd wordt. Als we nu uitdelen in 3 hoopjes krijgen we het hoopje met de zoekkaart
die 11 kaarten bevat. (Afb. 3.6) Het positieverschil tussen de drie kaarten is nu gereduceerd tot drie.
Zoals we reeds hebben vastgesteld
zorgt het uitdelen in drie hopen dat
Afbeelding 3.6
het positieverschil wordt gedeeld door
drie.
Tot slot delen we nog een tweede
keer. De hoop met de zoekkaart telt
nu drie kaarten. Dit zijn GK1, de
zoekkaart en GK2. (Afb. 3.7) Door de
afstand tussen de kaarten goed te respecteren hebben we een truc gevonden die wiskundig klopt en
die bijgevolg altijd perfect uitvoerbaar is. Mits wat creatief zoekwerk hebben we ook aan onze
oorspronkelijke eisen kunnen voldoen zonder te
Afbeelding 3.7
veel terug te vallen op de methoden uit “Jack the
bounty hunter” en “The final three”
14
Slot
We zijn in dit werk eerst begonnen met de analyse van de wiskundige kaarttrucs “Jack the Bounty
hunter” en “the Final Three”. We hebben geprobeerd de wiskundige mechanismen achter deze trucs
te zoeken en overzichtelijk weer te geven. Daarna hebben we gekeken hoe we deze mechanismen
konden uitbreiden en hebben we onderzocht of de bestaande trucs nog konden worden aangepast.
Tot slot mondde dit onderzoek uit in het ontwerpen van een eigen truc, waarin al onze ervaring werd
gebundeld.
Het onderzoek had voor ons zeker een bevredigend resultaat. Al onze onderzoeksvragen hebben we
kunnen beantwoorden en zo hebben we ons steeds meer kunnen verdiepen in de werking van
wiskundige kaarttrucs. Los van de resultaten was dit voor ons ook zeker een interessant onderzoek
omdat we nu ook de werking van wiskunde in de praktijk konden ontdekken. Dit was voor ons nog
maar eens de bevestiging dat wiskunde omnipresent is in ons dagelijkse leven.
15
Begrippenlijst
Term
Uitvoerder
Toeschouwer
Gezochte
kaart(en)
(=GK)
Zoekkaart
Uitdelen
Open (kaart)
Gesloten
Afbeeldingen
Verklaring
Hij/zij die de truc uitvoert.
Hij/zij die de truc ‘ondergaat’, is diegene die de kaart trekt die de uitvoerder niet
mag zien.
De kaart die de toeschouwer trekt die de uitvoerder moet zoeken opdat de truc
lukt. De GK heeft dezelfde achterkant en grootte als de andere kaarten, maar voor
de afbeeldingen is de achterkant veranderd voor de duidelijkheid.
De kaart die de uitvoerder gebruikt om de GK te zoeken, bv Jack the Bounty
hunter.
Het neerleggen van de kaarten AFWISSELEND over het aantal hopen.
De kaart ligt met zijn waarde naar boven, de waarde is zichtbaar.
De kaart ligt met zijn waarde naar beneden, de waarde is niet zichtbaar.
Elke afbeelding is opgesteld uit het standpunt van de toeschouwer, de uitvoerder
staat dus aan de bovenkant, de uitvoerder aan de onderkant. Rode cijfers en letters
zijn ter informatie van het verslag, de toeschouwer weet echter vaak niet de
aantallen van de kaarten.
Bronvermelding
Youtube, internet, http://www.youtube.com/watch?v=VwvEw7RSteo, 03/02/2014.
Youtube, internet, http://www.youtube.com/watch?v=oLjEulT6ssM, 03/02/2014.
Documenten
Bundel ‘Getaltheorie’ (modulorekenen) van H. Mommaerts, 05/02/2014.
16

Download Report