第10課ダスト 10．1．ダストによる輻射吸収

第１１課ダストの光学
講義のファイルは
平成１７年１月１７日
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
に置いてあります。
質問は
[email protected]
へ。
最終授業は平成１７年１月２４日です。レポート提出が遅れる人は１月
末日までに天文学教室事務室桜井敬子さんに届けて下さい。単位が
欲しい人は５つ以上のレポートを提出して下さい。Ｍ２、Ｂ４で単位認定
を急ぐ人は申し出て下さい。
１１．１．誘電体（ｃｇｓ静電単位系）の分極（復習）
ガウスの法則は

 
R
q
q
E 2
R
R
 
R
 
q

r
q
双極子モーメント
q


p

p
例１ＨＣｌ分子
Ｃｌー

p

p
p
p


分極密度
 E  dS
q
 4  R  2
R
 4  q
2


pqr


PN p
Ｎ＝双極子数密度
p
電場中の原子

p
Ｈ＋
電子
原子核
電場Ｅ


p  E
α＝原子分極率
単位はｃｍ３
例２一様に分極した板
Ｐ＝Ｎ・ｐ＝Ｎ・ｑ・ｒ
＝
ρ＋＝Ｎ・ｑ
ρ－＝－Ｎ・ｑ
＝
＋
ｒ
σ＋＝ρ＋・ｒ＝Ｎ・ｑ・ｒ＝Ｐ
＝
σ－＝－Ｐ
例３
コンデンサー
面積Ｓ
ｄ
＋Ｑ
＋Ｑ
ε
Ｅo
－Ｑ
自由電荷密度 σ＝Ｑ/Ｓ
Ｅ
－Ｑ
自由電荷密度 σ＝Ｑ/Ｓ
束縛電荷密度Ｐ
電場
Ｅo＝４πσ
電場
Ｅ＝Ｅｏ－４πＰ
＝Ｅｏ/ε
電位差
Ｖｏ＝４πＱｄ/Ｓ
電位差
Ｖ＝Ｖｏ/ε
静電容量
Ｃｏ＝Ｓ/４πｄ
静電容量
Ｃ＝Ｑ/Ｖ＝ε・Ｃｏ
P=χE
χ＝電気感受率（electric susceptibility）
ε=誘電率（dielectric constant)
εとχの関係は
χ＝（ε－１）/４π
ε＝１＋４πχ
例４一様に分極した誘電体球（半径Ｒｏ）内の電場Ｅ
ρ＋＝Ｎ・ｑ
＋
＝
r
ρ－＝－Ｎ・ｑ
P  N p  N qr
分極した誘電体球を、一様に正に帯電した球と負に帯電した球が、r だけずれて
重なっていると考える。
正電荷球の内部、中心からＲでの電場Ｅは
Ｅ＝４π（４πＲ３ρ＋/３）/（４πＲ２）＝４πＲρ＋/３
電位は中心でゼロとして、


4


4

 R 
rR  rR
 R 
RR
6
6
4Nq
4Nq

R  R  2R  r  r  r

RR
6
6







全体の電位φは、φ＋とφーの和であるから、
  
 R   R  R 
4Nq
Rr
3
したがって、
E
    4Nq r   4 P
 R
R
3
板の時はＥ＝－４πＰであったが、
球では１/３がかかることに注意。
球の外側の電場は球の中心にお
P
Ｅ＝－４πＰ/３
いたモーメントの大きさ
Ｐｏ＝（４πＲｏ３Ｐ/３）
の双極子による電場に等しい。
3
例５一様な外部電場中の誘電体球
球内部では、外場Ｅｏと球の分極Ｐにより
生じる電場（－４πＰ/３）の和として、
ー－－－－－－－
Ｅ＝Ｅｏ－４πＰ/３
の電場が生じている。
Ｐ
Ｅｏ
＋＋＋＋＋＋＋＋
Ｅｏ
＝
例３で求めたＰ＝（ε－１）Ｅ/４π の関係を使って、
Ｅ＝Ｅｏ－（ε－１）Ｅ/３
3
E
Eo
 2
－４πＰ/３
＋
3  1
P   E 

 Eo
4   2
Ｅｏ
Ｅ
α＝原子分極率(atomic polarizability)
p  E
分極密度Ｐの誘電体の個々の原子は誘電体内の平均電場Ｅaveを受けている
わけではない。なぜなら、Ｅaveには考えている原子自身による電場Ｅselfも含
まれているからである。
考えている原子のまわりに、原子一個分の
Ｅave
球状の空洞を考える。空洞の壁に生じた分
極電荷による電場はＥcav ＝＋４πＰ/３だが、
平均電場Ｅaveにこの空洞電場Ｅcavを加え
たＥoth＝Ｅave＋Ｅcav が原子に実際に働
く電場である。すると、
ｐ
個々の原子の双極子モーメントｐは、
P=N・p
ｐ＝αＥoth ＝α（Ｅave＋Ｅcav）
＝α（Ｅave＋４πＰ/３）
Ｐ＝Ｎ・ｐ＝Ｎα （Ｅave＋４πＰ/３）
N 
P
Eave    Eave
4N
1
3
N 

4N
1
3
１１．２．固体の光学的性質
屈折率（refractive index）
ｍ=n + ｉ・k
誘電率(dielectric function)
ε＝ε´＋ｉ・ε´´＝Ｎ２
真空中での電磁波
Ｅ＝Ｅｏ・ｅｘｐ（ｉ・2πｘ/λ－ｉ・ωｔ)
屈折率ｍの媒質中
Ｅ＝Ｅｏ・ｅｘｐ（－２πｋ・ｘ/λ)・ｅｘｐ（ｉ・２πｎ・ｘ/λ－ｉωｔ)
（１）Ｌｏｒｅｎｔｚｍｏｄｅｌ：固体は双極子（光で揺すられるバネ）の集まり
Az  Bz  Cz  qEo exp(it )
（Ａは質量）
C
qEo exp(it )
2
ここに、  O 
z
 2
A
A O   2  i

B
A
ｐ（双極モーメント）＝ｑ・ｚなので
Ｎ（双極子の数密度）を使うと、分極密度Ｐ＝Ｎ・ｐは、
Nq 2 Eo exp(it )
P
P
 2

 Eo exp(it )
2
2
2
A
O    i 4 O    i
2

4Nq 2
ここに、 P 
A

はプラズマ角振動数である。
Ｐ＝χＥなので、
ε＝１＋４πχ＝
P 2

2
4 O   2  i
P 2
2



1 2
   i    n  i  k 
2
O    i
ε´


４
ε´ ´
２
３
ｋ
１
２
ｎ
０
１
ωＯ
ω
０
ωＯ
ω
ωＯは共鳴角振動数と呼ばれ、バルクな固体では吸収が最も強くなる箇所である。
固体表面に垂直に入射する電磁波の反射率は、
2

n  1  k 2
R
n  12  k 2
で与えられるので、通常はω＝ ωＯの付近でＲ≒１となる。
例１
多くの場合、紫外～可視域では、電子の詰まったエネルギーバンドから空のエ
ネルギーバンドへの遷移に伴う吸収が起きる。
ω＝ ωＯ
ｎ
２
ｋ
１
０
ω
ωＯ
ω＜ ωＯでは、ｎ≒一定で短波長（青）側に緩やかに増加し、ｋ＜＜１で透明となる。
ガラスや水では可視域が、紫外域にある吸収帯の裾野にあたる。このためにこ
れらの物質は。可視で透明でかつ屈折率ｎがほぼ一定で、短波長側にやや大き
くなっているのである。
例２
赤外波長帯には、結晶格子の振動による吸収が起きる。
振動のモード毎に共鳴振動数は変わるので、物質の光学的性質は様々な共鳴振動
子の集まりと考えられ、次のように表される。
2
  1 
j
1 
j
 Pj
 j 2   2  i j 
 Pj 2
 j2
ε´
透明
ε´´
透明
透明
透明
０
０
ω１
ω２
ω３
ω
（２）Ｄｒｕｄｅｍｏｄｅｌ
金属では電磁波による自由電子の振動がその光学的性質を決めている。
ＬｏｒｅｎｔｚｍｏｄｅｌでＣ＝０（バネなし）とおいて、金属のεを求めると、
P 2
  1 2
  i
P
２
P 
 1 2
i
2
 
  2   2 
2
ε´ ´
2
０
γは電子の衝突間隔時間τと、
γ～１/τの関係にある。可視・紫外で
は、γ＜＜ωなので無視でき、
P 2
   1 2

2
 
   P 3

－２
－４
ε´
－６
ωＰ
ω
多くの場合ωＰ＝２－１５ｅＶである。ω＜ ωＰ（可視）ではｎ＜１、ｎ＜＜ｋとなり
2

n  1  k 2
R
n  12  k 2
1
ω＞ωＰ（紫外）ではε´≒１、 ε´´≒０、つまりｎ≒１、ｋ≒０、となり金属は透明にな
る(ultraviolet transparency)。
簡単なイメージとしては、周波数が低いと電磁波に対し金属内の電子が揃って
動いて強い誘導電場を生み出して電磁波を遮断し反射する。周波数が高くな
ると電磁波による電場の速い動きに電子の質量がついて行けなくなり、金属内
の誘導電場の応答が小さくなって透明になる。
後に述べるが、ω＜ ωＰにおいてε´＜０となる現象は固体微粒子の光吸収に
おいて大きな効果をもたらす。
１１．３．固体球形微粒子の光散乱・吸収・減光（ＭｉｅＴｈｅｏｒｙ）
入射フラックス＝Ｆ（Ｗ/ｍ２）の平面波を考える。
半径ａの球が単位時間当たりＫ（Ｗ）のエネルギーを吸収し、Ｈ（Ｗ）を散乱する時、
σＡＢＳ＝Ｋ/Ｆ＝吸収断面積
σＳＣＡ＝Ｈ/Ｆ＝散乱断面積
σＥＸＴ＝ σＡＢＳ＋ σＳＣＡ＝減光断面積
減光断面積
吸収
２a
Ｑ＝
散乱A
σ/πａ２＝Ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ
Ｆａｃｔｏｒ
散乱B
波長λの平面電磁波の中に、半径ａ、屈折率ｍの球を置いたときの断面積σは厳密
に解くことが出来る。ｘ＝２πａ/λとすると、Ｑ＝σ/πａ２はｘとｍで決まる。
 EXT  QEXT   a2
QEXT
2
 2
x
 SCA  QSCA   a2

 2n  1 Re a
n 1
an 
n
 bn 
QSCA
2
 2
x
 2n  1a

n 1
m n m x n x   n x  n m x
m n m x x    n x  m x
2
n
bn 
 bn
2

 n m x n x   m n x  n m x
 n m x n x   m n x  n m x
ここに、ψ、ξはRiccati-Bessel 関数と呼ばれ、以下の漸近式を使って計算される。
2n  1
 n  x   n 1 x ,
x
n
 n x    n 1  x    n x ,
x
 1  x   cos x,  0 x   sin x,
 n 1  x  
2n  1
 n  x    n 1 x 
x
n
 n  x    n 1 x    n  x 
x
 1 x   expi x,  0  x   i  expi x
 n 1  x  
実際の計算では計算不安定性を避けるために、以下の式がよく用いられる。
 Dn m x  n  x   x 
n 1
m
x  n

an 
 Dn m x  n  x    x 
n 1
m
x  n


m  D m x  n  x  
x
b 
m  D m x  n x x  
n
n
n
n
n
x 
n 1  x 
n 1
ここに、 D x   d ln x    x 
n
dx
 x 
次の降冪漸化式で計算される。
は適当な次数でＤｎ（ｘ）＝０として、
Dn1 x  
n
1

x D x   n
n
x
Mie計算　ε１＝（１．55，０）、ε２＝（１．55，０．２）
Q1ext
Q2ext
Q2sca
Q2abs
5
Ｑ＝σ/πａ＾２
4
3
2
1
0
0
5
10
ｘ＝２πλ/ａ
15
20
参考のため Bohren/Huffman1983”bsorption and Scattering of Light by Small Particles” に載って
いるＦｏｒｔｒａｎプログラムを簡略化したサブルーチンを示す。これは、ｘとｍ(=ref)を
入力すると、Ｑｅｘｔ，Ｑｓｃａ，Ｑａｂｓを返すようになっているプログラムである。
subroutine qmie(x,ref,qext,qsca,qabs)
do 100 n=1, nn
c
rn=nmx-n+1
complex ref,y,d(3000),xi,xi0,xi1,an,bn
double precision psi0,psi1,psi,dn,dx
c
dx=x
100 d(nmx-n)=(rn/y)-(1./(d(nmx-n+1)+rn/y))
c
riccati-bessel functtions with real argument x
c
caluculate by upward recurrence psi0=dcos(dx)
y=x*ref
psi1=dsin(dx)
xstop=x+4*x**0.333+2.
chi0=-sin(x)
nstop=xstop
chi1=cos(x)
ymod=cabs(y)
apsi0=psi0
nmx=amax1(xstop,ymod)+15
apsi1=psi1
c
logarithmic derivative d(j) calculated by downward
xi0=cmplx(apsi0,-chi0)
c
recurrence beginning with initial value 0+i*0 at
xi1=cmplx(apsi1,-chi1)
c
j=nmx
qsca=0.0
d(nmx)=cmplx(0.0,0.0)
qext=0.0
nn=nmx-1
n=1
200 dn=n
psi0=psi1
rn=n
psi1=psi
psi=(2.*dn-1.)*psi1/dx-psi0
apsi1=psi1
apsi=psi
chi0=chi1
chi=(2.*rn-1)*chi1/x-chi0
chi1=chi
xi=cmplx(apsi,-chi)
xi1=cmplx(apsi1,-chi1)
an=(d(n)/ref+rn/x)*apsi-apsi1
n=n+1
an=an/((d(n)/ref+rn/x)*xi-xi1)
rn=n
bn=(ref*d(n)+rn/x)*apsi-apsi1
if (n-1-nstop) 200,300,300
bn=bn/((ref*d(n)+rn/x)*xi-xi1)
qsca=qsca+(2.*rn+1.)*(cabs(an)*cabs(an)
+ cabs(bn)*cabs(bn))
qext=qext+(2.*rn+1.)*(real(an)+real(bn))
300 continue
qsca=(2./(x*x))*qsca
qext=(2./(x*x))*qext
qabs=qext-qsca
return
end
ミー計算のグラフを見ると、ｘ０でＱ０、ｘ∞でＱｅｘｔ２という特徴に気づく。
また、Ｑｓｃａに周期的なピークがあることも興味深い。
誘電率の虚数部＝０で、実数部＝１．２５，１．５，２と変えたときの図を示す。粒子は
吸収を起こさないので、Ｑｅｘｔ＝Ｑｓｃａ、Ｑａｂｓ＝０である。
ε1=(1.25, 0) ε2=(1.5, 0) ε3=(2, 0)
Q1ext
Q2ext
Q3ext
6
5
Ｑｅｘｔ
4
3
2
1
0
0
5
10
15
x=2πa/λ
20
25
30
ε1=(1.5,0.25) ε2=(1.5,0.5) ε3=(1.5,1)
3
2.5
Q1ext
Q1sca
Q1abs
Q2ext
Q2sca
Q2abs
Q3ext
Q3sca
Q3abs
Ｑ
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
x=2πa/λ
15

Download Report