宿題の解答

宿題の解答
出題：11月３０日（火）
締切り～１２月６日（金）17:00
１．サンプルタイムを０．２として、次のシステム方程式をオイラー近
似を用いて離散化せよ。
 x1  3
 x   2
 2 
1   x1  1
  u



 1  x2  4
 x1 
y   3  1 
 x2 
解答
２．次のシステム方程式をオイラー近似を用いて離散化し、サンプル
タイム０．２、０．１、０．０２のときの状態ベクトルを求めよ。
 x1   2
 x     3
 2 
1  x1  1 
  r



0   x2   4 
 x1 
y  1  1 
 x2 
初期値
入力
 x1 
10 
x    0 
 2  t 0  
r (t )  2u(t )
解答
u(t ) : ステップ関数
1.の解
dx
dt
 Ax(t )  Br(t )
x (t T )x (t )
T
 Ax(t )  Br(t )
xk 1xk 
T
 Axk   Brk 
xk 1  I  AT xk   BTrk 
3 1 
A

2  1
1
B 
4
1  3T
I  AT  
 2T
T 

1 T 
xk 1  I  AT xk   BTrk 
0.02.2T0.2  0.2T 0.2 
11.36*3T
xkk 11 
xkxxkk rkrkrk 

*4T
0.20.811T0.2 0.84
 02.2
4T*0.2
y[k ]   3 1x[k ]
2.の解
  2 1
1  2T
A
I  AT  

  3 0
  3T
1
B 
4
xk 1  I  AT xk   BTrk 
1  2T
xk  1  
  3T
T
T 
xk    rk 

1
4T 
T

1
1  2T T 
T 
xk  1  
xk     rk 

  3T 1 
4T 
10
rk   2u[k ]
x0   
0
T=0.2の時
 0.6 0.2 10 0.4  6.4 
x1  
  




 0.6 1   0  1.6   4.4
 0.6 0.2  6.4  0.4  3.36 
x2  
  





0
.
6
1

4
.
4
1
.
6

6
.
64


   

 0.6 0.2  3.36  0.4  1.09 
x3  
  




 0.6 1   6.64 1.6   7.06
T=0.1の時
 0.8 0.1 10 0.2  8.2 
x1  
  




 0.3 1   0  0.8  2.2
 0.8 0.1  8.2  0.2  6.54 
x2  
  




 0.3 1   2.2 0.8  3.86
 0.8 0.1  6.54  0.2  5.05 
x3  
  




 0.3 1   3.86 0.8  5.02
T=0.02の時
 0.96 0.02 10 0.04  9.64 
x1  







1   0  0.16  0.44
 0.06
 0.96 0.02  9.64  0.04  9.29 
x2  







1   0.44 0.16  0.86
 0.06
 0.96 0.02  9.29  0.04  8.94 
x3  







1   0.86 0.16  1.26
 0.06

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