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瀬戸, 那須田, 林, 松澤, 森下
・解説の中で出てくる「利回り」という用語
→「複利最終利回り(年率)」を表す
・「矢印図」という呼称は、一般に通用するもので
はない模様
・各設問で出てくる「フォワードレート」や、「金利先
渡(FRA), 金利スワップ, etc.」などのデリバティブ
取引のプライシングでは、「無裁定条件」の成立が
前提になっている
初期投資コストがゼロであり、リスクなしで利益をあげら
れる取引戦略を裁定取引という。
現実世界でのデリバティブを中心とする金融商品の価
格評価は、裁定取引の機会が存在しないことを前提
無裁定条件
初期投資コストがゼロの投資戦略から、リスクなしに
利益を上げることはできない。
２つの投資戦略があったとき、いかなる市場環境の下
でも２つの戦略の運用結果が同じならば、初期投資コ
ストは等しくなければならない。
初期投資コストが等しく、リスクのない２つの投資戦略
があった場合、運用結果は同じでなければならない。
図表１割引債価格と利回り
現在価値
(額面１円当たり)
利回り
(年１回複利)
１年割引債
０．９７０８円
３．００％
２年割引債
０．９３３５円
３．５０％
スポットレートとは割引債の最終利回りのことである。
フォワードレートとは将来時点から
一定期間の利回りのことである。
上記と図表１より、問１を図で表すと下図のようになる。
解
２年スポットレート３．５０％
現時点１年スポットレート１年１年後スタート期間１年の２年
フォワードレート１ｆ２
３．００％
(１＋３．５０％)２＝(１＋３．００％)×(１＋１ｆ２)
１＋３．５０％ 𝟐
⇔１ｆ２＝
−１
(１＋３．００％)
≒４．００％
金利先渡取引(Foｒwaｒd ｒate Agｒeemeｎt, FRA)は、
先渡取引(Foｒwaｒd)の一種。
(先渡取引契約は、将来の特定の期日(先渡満期)に、
契約当初に定められた量の原資産を、
契約当初に定められた価格で取引する契約。)
FRAは、想定元本をベースに、先渡満期に、
固定金利(先渡金利)と変動金利を交換する取引。
取引形態は相対[店頭]取引(OTC)で、２者間で行われる。
先渡金利はどう決まるのか？ →次スライド
１円を２年間運用する、２通りの方法を考えてみる。
①１円を２年間、２年スポットレートｒ２で運用。
②１円を１年間、１年スポットレートｒ１で運用し、
１年後にもう１年間、その時の１年スポットレートｘで運用。
それと同時に、想定元本１＋ｒ１円、１年間の先渡金利F
を受け取り、１年スポットレートｘを支払う
先渡満期１年のFRAをゼロコストで締結。
(１＋ｒ２)２円
①２年運用戦略
現時点
２年後
１円
②FRAヘッジ付き１年ロール運用戦略
(１＋ｒ１)(１＋ｘ)円
１＋ｒ１円
現時点
１年後
１円
１＋ｒ１円
現時点(ゼロコスト)
２年後
(１＋ｒ１)F
２年後
(１＋ｒ１)ｘ
運用結果
①では２年後に無リスクで(１＋ｒ２)２円もらえる
②では２年後に無リスクで(１＋ｒ１)(１＋ｘ)＋
｛(１＋ｒ１)F－(１＋ｒ１)ｘ｝＝(１＋ｒ１)(１＋F)円もらえる
２つの戦略の初期投資コストはともに１円だったので
無裁定条件より、運用結果は等しくなければならない。
→(１＋ｒ２)２＝(１＋ｒ１)(１＋F)
(１＋ｒ𝟐)𝟐
⇔F＝
－１
１＋ｒ𝟏
つまり、先渡金利はフォワードレートであることが分かる
図表２ FRAのキャッシュフロー(模式図)
受
け
１年後の１年金利
:L円
払
い
固定金利:F円
現時点
１年後
２年後
解
まず、①２年後にL円を受け取るキャッシュフロー
および②２年後にF円を払うキャッシュフロー
を別々に考えることにする。
①額面１円の２年割引債の空売り＋額面１円の１年割引債を購入し、
１年後に金利Lで運用
１
１＋ｒ２
２
１円
円
現時点
１＋L円
１年後
２年後
１円
１円
１
円
１＋ｒ１
②額面F円の２年割引債を空売り
𝐹
１＋ｒ２
２
円
現時点
２年後
F円
①と②のキャッシュフローの合成
１＋F
円
１＋ｒ２２
L円
現時点
１
円
１＋ｒ１
２年後
F円
以上より、額面１＋F円の２年割引債の空売りと、
額面１円の１年割引債を購入し、１年後に金利Lで１円を運用すればよい。
(ちなみに、１年後スタート期間１年のFRAの先渡金利Fを求めると、
補論より F＝４．００％となり１年後スタート期間１年のフォワードレートと一致する)
図表１より、２年割引債の利回りは３．５０％である。
問１より、１年後にスタートの期間１年のフォワード
レートは４．００％である。つまり、１年後の期間１年の
スポットレートは、４．００％とおける。
これらを図に表すと下図のようになる。
解
現時点
２年スポットレート３．５０％
保有期間リターン
X％
２年
１年１年後スタート
期間１年のフォワードレート
＝１年後のその時点での
期間１年のスポットレート＝４．００％
このとき、上図から、
保有期間リターンは１年スポットレートに一致することが分かる。
式で書くと、(１＋X％)(１＋４．００％)＝(１＋３．５０％)２
X＝３．００％
よって、保有期間リターンは３．００％
別解
２年スポットレート３．５０％
０．９３３５円
０．９６１５円
現時点
１年
保有期間リターン
X％
１円
２年
１年後スタート
期間１年のフォワードレート
＝１年後のその時点での
期間１年のスポットレート＝４．００％
図表１より、２年割引債の現在価値は０．９３３５円、
２年後は１円である。１年後の価格は１円÷(１＋
４．００％)＝０．９６１５円となる。
後ー前０．９６１５ー０．９３３５
＝
＝３．００％
０．９３３５
前
先渡価格とは将来のある１時点の価格である。
期間１年の先渡価格、言い換えると、
現時点から１年後の価格と同じ意味である。
解
０，９３３５円
現時点
先渡価格？円
１円
１年割引債利回り１年後１年後スタート
２年後
期間１年のフォワードレート＝４．００％
３．００％
上図の先渡価格を求めるには、
１円を１年後スタート期間１年のフォワードレートで割り引くか
oｒ
０.9３３５円に１年スポットレートをかけるかで求められる。
解
０，９３３５円
現時点
先渡価格？円
１円
１年割引債利回り１年後１年後スタート
２年後
期間１年のフォワードレート＝４．００％
３．００％
よって、先渡価格を求めると
１÷(１＋４．００％)＝０．９６１５円
oｒ
０．９３３５×(１＋３．００％)＝０．９６１５円
金利スワップとは、同一通貨の想定元本をベースに、
将来の固定金利(スワップレート)と変動金利を、
一定期間にわたって交換する取引。
取引時点では当事者双方に損得は発生せず、スワップ
の価値は双方から見て等しい。つまり、
将来支払われる固定金利の現在価値
＝将来支払われる変動金利の現在価値
金利スワップ(固定金利受け、変動金利払い)の矢印図
想定元本×固定金利(スワップレート)
５年後
スワップ満期
現時点
想定元本×変動金利(LIBORなど)
金利スワップのプライシングでは、上の矢印図のキャッシュフローの
現在価値が０になるように、固定金利(スワップレート)を求める
変動金利のLIBORとは？
・Loｎdoｎ Iｎteｒ-Baｎk Offeｒed Rateの略
・現時点で利率が決まり、１年後に利息額の決済がなされる１年物
LIBOR０L１は、１年スポットレートｒ１に等しい
・ｎ年後に利率が決まり、ｎ＋１年後に利息額の決済がなされるLIBOR
L
は、ｎ年後スタートの期間１年フォワードレートｎｆｎ＋１に等しい
ｎｎ＋１
(例) ３年後に利率が決まり、４年後に利息額の決済がなされるLIBOR
３L４は、
３年後スタートの期間１年フォワードレートに等しい
額面１００円、満期５年の変動利付債(クーポンレートに
年１回払いの１年物LIBORを適用)の価格は？
１００円
１００円×０L１１００円×１L２１００円×２L３１００円×３L４
現時点
変動利付債価格？円
１００円×４L５
５年後
変動利付債価格＝
１０００L１１００１L２１００２L３１００３L４１００４L５＋１００
＋
＋
＋
＋
１＋ｒ１
１＋ｒ２２１＋ｒ３３１＋ｒ４４
１＋ｒ５５
＝１００｛０L１DF１＋１L２DF２＋２L３DF３＋３L４DF４＋(４L５+１)DF５｝
DFn−１
(ｎ－１LｎDFn ＝(
ー１)× DFn ＝DFn − １ーDFn )
DFn
＝１００｛(１－DF１)＋(DF１－DF２)＋(DF２－DF３)＋(DF３－DF４)＋
(DF４－DF５＋DF５)｝
＝１００
クーポンが年１回払いの１年物LIBORである変動利付債の価格(現在価値)は、
将来の金利水準にかかわらず額面に等しい
額面１００円、満期５年の固定利付債の価格が
額面１００円と等しくなるようなクーポンレートｐは？
１００円
１００円×ｐ
１００円×ｐ
現時点
固定利付債価格１００円
１００円×ｐ１００円×ｐ
１００円×ｐ
５年後
１００ｐ１００ｐ
１００ｐ
１００ｐ１００ｐ＋１００
＋
𝟐＋
𝟑＋
𝟒＋
(１＋ｒ𝟏)
１＋ｒ𝟐
１＋ｒ𝟑
１＋ｒ𝟒
１＋ｒ𝟓 𝟓
＝１００｛ｐDF１＋ｐDF２＋ｐDF３＋ｐDF４＋(ｐ+１)DF５｝＝１００
１－DF𝟓
⇔ ｐ＝
DF𝟏＋DF𝟐＋DF𝟑＋DF𝟒＋DF𝟓
つまり、このような固定利付債のクーポンレートは、
１－DF𝐧
パーレート
となる。
DF𝟏＋DF𝟐＋...＋DF𝐧
ここで以下の２つを行う取引戦略を考えてみる。
①満期５年、クーポンレートがパーレートｐの
固定利付債を、額面F円購入
②満期５年、クーポンレートが１年物LIBORの
変動利付債を、額面F円空売り
①パーレートの固定利付債の購入
＝固定金利受け
F×ｐ円
F×ｐ円
F×ｐ円
F×ｐ円
現時点
額面F円
F×ｐ円
５年後
固定利付債価格F円
②変動利付債の空売り
＝変動金利払い
変動利付債価格F円
５年後
現時点
F×０L１円
F×１L２円 F×２L３円
F×３L４円
F×４L５円
額面F円
矢印図の合成
F円×パーレートｐ
５年後
現時点
F円×LIBOR
パー債券と変動利付債の売買により、
金利スワップと同じキャッシュフローが実現された
まとめ
①金利スワップの「固定金利受け/変動金利払い」は
「固定利付債の購入/変動利付債の空売り」と同じ
①’金利スワップの「固定金利払い/変動金利受け」は
「固定利付債の空売り/変動利付債の購入」と同じ
②スワップレートFは固定利付債のパーレートと同じ
③クーポンが年１回払いの１年物LIBORである変動
利付債の価格(現在価値)は、
将来の金利水準にかかわらず額面に等しい
図表３金利スワップのキャッシュフロー(模式図)
現在の１年金利
１年後の１年金利：L円
固定金利：S円
現時点
１年後
２年後
解
この金利スワップ取引は、「変動金利受け、固定
金利払い」すなわち「変動利付債の購入、固定
利付債の空売り」と考えられる。
スワップレートSは固定利付債のパーレート
１−DF𝟐
と等しいので、 S＝
＝３．４９％
DF𝟏＋DF𝟐
１
１
(DF１＝
、 DF２＝
)
(１＋３．００％)
１＋３．５０％ 𝟐
図表４ A社社債のキャッシュフローとリスク中立確率
１－ｐ
１０５円
ｐ
デフォルト
現時点
０円
１年後
解
デフォルトしたとき、この債券の回収率はゼロなので、
ｐ×０×１０５となる。
デフォルトしなかったときは、(１－ｐ)×１０５となる。
市場がリスク中立であるとき、
期待収益率＝無リスク利子率つまり１年割引債の利回り
と考えて、
𝐏×０×１０５＋１－𝐏 ×１０５
＝１００
(１＋３．００％)
ｐ＝１．９０％

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