アルゴリズムとデータ構造 2013年7月22日 酒居敬一([email protected]) http://www.info.kochi-tech.ac.jp/k1sakai/Lecture/ALG/2013/index.html バックトラック法 （３５２ページ） • 組織的かつ論理的なしらみつぶし解法 • 単純に全ての場合を試すのではなく、 問題の性質を考慮して無駄な計算を省く • 例：ｎ女王問題 – 盤面に女王を置ける場合の数はn2 Cn とおり – しかし、ひとつの列に女王はひとつしか置けない • n とおりまで減らすことができる n – さらに、ひとつの行に女王はひとつしか置けない • n! とおりまで減らすことができる 2 １ ２ １行目の女王の位置 ３ … １ ２ × × ４ … ｎ ３ … １ ２ ３ ４ × × × × … ５ … ｎ … … １ ２ ３ × × × … ｎ … ４ … ｎ ２行目の女王の位置 … … ３行目の女王の位置 深さ優先探索により、 すべての場合を調べるのではなく、 解の探索の途中で可能性の無い 枝を刈り払う → 枝刈り 図６.１.３ ｎ女王問題の解の探索（３５４ページ） 3 Ｊａｖａ （０, ０） 各列には１個しか置けないので、ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ［ｘ１］＝ｆａｌｓｅ ｘ２ ｘ１ ｘ３ 女王が盤面の （ｘ１, ｙ１）に居るとき、 ａｒｒａｙ［ｘ１］＝ｙ１ （ｘ２, ｙ２）に 女王は置けない ↓ ｙ３ ｙ１－ｘ１＝ｙ２－ｘ２が 成り立たないこと ｙ２ ｍｉｎｏｒ［ｙ１－ｘ１］＝ｆａｌｓｅ （ｘ３, ｙ３）に 女王は置けない ↓ ｘ１＋ｙ１＝ｘ３＋ｙ３が ｙ１ 成り立たないこと ｍａｊｏｒ［ｘ１＋ｙ１］＝ｆａｌｓｅ 4 public class BackTrack { private final boolean[] horizontal; 盤面そのものを表す private final boolean[] major; 特別なデータ構造はない！ private final boolean[] minor; private final int[] array; private final StringBuffer hr = new StringBuffer(); private final StringBuffer queen = new StringBuffer(); public BackTrack(int n){ その列に置けるかどうか horizontal = new boolean[n]; major = new boolean[2*n - 1]; 左下がりの対角線上に置けるかどうか minor = new boolean[2*n - 1]; array = new int[n]; 右下がりの対角線上に置けるかどうか Arrays.fill(horizontal, true); Arrays.fill(major, true); 1行に1個しか置けない Arrays.fill(minor, true); ようにしたデータ構造 for(int i = 0; i < n; i++) hr.append("+---"); hr.append('+'); for(int j = 0; j < n - 1; j++) queen.append("| queen.append("| X "); for(int j = 0; j < n - 1; j++) queen.append("| queen.append('|'); "); "); } } 5 private void backtrack(int level){ if(level >= horizontal.length){ 解の出力 for(int x: array){ 横４文字・縦２文字で升目１つ System.out.println(hr); System.out.append(queen, 4*x, 4*x + 4*array.length + 1); System.out.println(); すべての場合の盤面を } System.out.println(hr); 生成し検査するのでもない } else { （生成後検査法ではない） int row_a = level; int row_i = level + horizontal.length - 1; for(int i = 0; i < horizontal.length; i++){ if(horizontal[i] && major[row_a + i] && minor[row_i - i]){ horizontal[i] = false; 枝刈り major[row_a + i] = false; minor[row_i - i] = false; ｑｕｅｅｎを置いてみる array[row_a] = i; backtrack(level + 1); horizontal[i] = true; major[row_a + i] = true; ｑｕｅｅｎを置かなかったことにする minor[row_i - i] = true; （後戻りするのでバックトラック法） } } } 新しいｑｕｅｅｎの位置 } 6 public static void main(String[] args) { for(String a: args){ int n; try { n = Integer.parseInt(a); }catch(IllegalArgumentException e){ continue; } new BackTrack(n).backtrack(0); } } ｎ＝８の例 ８-ｑｕｅｅｎ問題の解の一部 +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | | | | X | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | X | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | X | | | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | X | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | | X | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | X | | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | | | X | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | X | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | | X | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | X | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | X | | | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | | | | X | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | X | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | X | | | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | X | | | | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ | | | | | | | X | | +---+---+---+---+---+---+---+---+ 7 幅優先探索 （３６５ページ） • 深さ優先探索は有用である – 閉路のあるグラフでも深さ優先探索はできる • グラフがメモリ上に存在しないときは 深さ優先探索が使えない – 頂点を辿ったという印を付けられない • ８パズルのように探索のためのグラフを 動的生成するときは、幅優先探索する 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 6 7 5 8 1 2 3 4 5 7 8 6 1 2 3 4 8 5 7 6 1 2 3 4 6 8 7 5 1 2 3 4 6 8 7 5 1 2 3 4 5 7 8 6 1 2 3 4 8 5 7 6 1 2 3 4 6 7 5 8 1 2 3 4 8 7 6 5 1 2 3 4 8 7 6 5 •１２手で一巡する閉路が存在する •各状態から作れる状態の数は２から４ •全ての状態をメモリに置くには多い •この場合の「多い」とはメモリ容量に対して 図６.２.２と図６.２.３ ８パズルのグラフの一部 9 初期状態 Ｓ１ Ｓ２ Ｓ３ •初期状態から生成できる新しい状態Ｓ１を求める •次にＳ１から新しい状態Ｓ２を求める •ただし余分の状態は取り除く •初期状態へ戻るものも取り除く •さらにＳ２からＳ３状態を… と順に生成を続ける •解となる状態が生成できたら終了 •このときＳｋ状態を生成するためにＳｋ-１とＳｋ-２状態が必要 •それ以前の状態はメモリにおく必要はない 10 public class PuzzleBoard { private final int[] board; パズルの盤の定義（その１） private int hole = -1; private static int size; private final PuzzleBoard parent; 初期状態と最終状態の生成用 public PuzzleBoard(int[] new_board){ if(size == 0){ size = (int)Math.sqrt((double)new_board.length); } // 例外処理は割愛 this.board = new_board; for(int i = 0; i < new_board.length; i++){ if(new_board[i] == 0){ hole = i; } } // 例外処理は割愛 this.parent = null; } private PuzzleBoard(PuzzleBoard current, int new_hole){ 途中の状態の生成用 this.board = current.board.clone(); this.board[current.hole] = this.board[new_hole]; this.board[new_hole] = 0; this.hole = new_hole; this.parent = current; } } 11 public boolean equals(Object obj) { PuzzleBoard in = (PuzzleBoard)obj; パズルの盤の定義（その２） int[] array = in.board; for(int i = 0; i < this.board.length; i++){ if(array[i] != this.board[i]){ ハッシュテーブルを使うために return false; equals()とhashCode()を実装 } } // 例外処理は割愛 return true; } public int hashCode() { return board[0] * board[1] + this.hole; // 実行時間に大きく影響する } public PuzzleBoard getParent() { return parent; } public String toString(){ 結果の表示用 StringBuffer sb = new StringBuffer(); int k = 0; for(int i = 0; i < size; i++){ for(int j = 0; j < size; j++){ sb.append(this.board[k++]).append(' '); } sb.append('\n'); } sb.append('\n'); 12 return sb.toString(); }} public static void generate(Collection<PuzzleBoard> from, Collection<PuzzleBoard> to, Collection<PuzzleBoard> other){ for(PuzzleBoard b: from){ パズルの盤の定義（その３） int i = b.hole - size; スペースを上に動かす if(0 <= i){ PuzzleBoard new_board = new PuzzleBoard(b, i); if(!from.contains(new_board)&&!to.contains(new_board)&&!other.contains(new_board)) to.add(new_board); } i = b.hole + size; スペースを下に動かす if(i < b.board.length){ PuzzleBoard new_board = new PuzzleBoard(b, i); if(!from.contains(new_board)&&!to.contains(new_board)&&!other.contains(new_board)) to.add(new_board); } i = b.hole % size; スペースを左に動かす if(i != 0){ PuzzleBoard new_board = new PuzzleBoard(b, b.hole - 1); if(!from.contains(new_board)&&!to.contains(new_board)&&!other.contains(new_board)) to.add(new_board); } スペースを右に動かす if(i != (size - 1)){ PuzzleBoard new_board = new PuzzleBoard(b, b.hole + 1); if(!from.contains(new_board)&&!to.contains(new_board)&&!other.contains(new_board)) to.add(new_board); } } } public class Puzzle { private static int[] initial_state = {5,3,6, 8,7,1, 2,0,4}; private static int[] final_state = {0,1,2, 3,4,5, 6,7,8}; private static PuzzleBoard initial_board = new PuzzleBoard(initial_state); private static PuzzleBoard final_board = new PuzzleBoard(final_state); public static void main(String[] args) { HashSet<PuzzleBoard> set1 = new HashSet<PuzzleBoard>(); HashSet<PuzzleBoard> set2 = new HashSet<PuzzleBoard>(); HashSet<PuzzleBoard> set3 = new HashSet<PuzzleBoard>(); HashSet<PuzzleBoard>[] aspect = new HashSet[]{set1, set2, set3}; // from, to, other aspect[1].add(initial_board); // 初期状態 int step; for(step = 1; !aspect[1].contains(final_board); step++){ // 最終状態に到達するまで探索 HashSet<PuzzleBoard> tmp = aspect[0]; aspect[0] = aspect[1]; aspect[1] = aspect[2]; aspect[2] = tmp; aspect[1].clear(); PuzzleBoard.generate(aspect[0], aspect[1], aspect[2]); System.out.print(step + ": "); System.out.println(aspect[1].size()); } aspect[2].clear(); // ここから結果の表示 aspect[2].add(final_board); // 最終状態だけからなるコレクション aspect[1].retainAll(aspect[2]); // 最終局面で最終状態だけ残す。 for(PuzzleBoard board: aspect[1]){ for(PuzzleBoard current = board; current != null; current = current.getParent()){ System.out.println("step: " + --step); System.out.print(current.toString()); }}}} 探索は１０秒くらい ５ ３ ６ ８ ７ １ ２ ４ 初期状態 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 最終状態 1: 3 2: 5 3: 10 4: 14 5: 28 6: 42 7: 80 8: 108 9: 202 10: 278 11: 524 12: 726 13: 1348 14: 1804 15: 3283 16: 4193 17: 7322 18: 8596 19: 13930 20: 14713 21: 21721 22: 19827 23: 25132 24: 18197 25: 18978 26: 9929 27: 7359 step: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 step: 1 0 2 3 4 5 6 7 8 step: 1 2 0 3 4 5 6 7 8 step: 1 2 5 3 4 0 6 7 8 step: 1 2 5 3 0 4 6 7 8 step: 1 2 5 0 3 4 6 7 8 step: 1 2 5 6 3 4 0 7 8 27 26 25 24 23 22 21 step: 1 2 5 6 3 4 7 0 8 step: 1 2 5 6 3 4 7 8 0 step: 1 2 5 6 3 0 7 8 4 step: 1 2 5 6 0 3 7 8 4 step: 1 2 5 0 6 3 7 8 4 step: 0 2 5 1 6 3 7 8 4 step: 2 0 5 1 6 3 7 8 4 20 19 18 17 16 15 14 step: 2 5 0 1 6 3 7 8 4 step: 2 5 3 1 6 0 7 8 4 step: 2 5 3 1 0 6 7 8 4 step: 2 5 3 0 1 6 7 8 4 step: 0 5 3 2 1 6 7 8 4 step: 5 0 3 2 1 6 7 8 4 step: 5 3 0 2 1 6 7 8 4 13 12 11 10 9 8 7 step: 5 3 6 2 1 0 7 8 4 step: 5 3 6 2 0 1 7 8 4 step: 5 3 6 2 8 1 7 0 4 step: 5 3 6 2 8 1 0 7 4 step: 5 3 6 0 8 1 2 7 4 step: 5 3 6 8 0 1 2 7 4 step: 5 3 6 8 7 1 2 0 4 6 5 4 3 2 1 0 15 先手番 ゲームの木の探索 +1 （３７６ページ） 後手番 -1 +1 -1 -1 先手番 -1 +1 -1 +1 -1 +1 後手番 +1 +1 +1 図 ６.３.１ ゲームの木（の部分木だと考えてください） ミニマックス法では、バックトラック法により木の葉から評価を決めていく。 葉から根まで自分が勝つ道ができれば、完全に解析できたことになる。 16 +1 先手番 +1 0 -1 先 手 勝 ち 引 き 分 け 後 手 勝 ち -1 +1 0 後手番 -1 •ゲーム終了の状態に＋１・０・－１を与える •ゲームの途中では自分に有利なほうの枝を辿る •ゲームの木の途中の頂点の値を決定できる •手番が先手・後手に応じて最大・最小を選択 •全手読みができれば •先手必勝・引き分け・後手必勝がわかる •全手読みは時間的にも空間的にも困難 •全手読みが不可能な場合 •その局面での勝ちやすさ（負けやすさ）を求める •先手有利を正の数、後手有利を負の数… •その数値を求める関数を評価関数という •先読みする深さを限定して評価する •確率的要素が入るゲームは、ここでは扱わない •完全情報ゲームのみを対象とする 17 ４以上 ４以下 A S ４ ３以下 ４以上なら打ち切り E ４ 先手番 ４以下なら打ち切り F ７以上 B ３ 後手番 調べるだけ無駄 G ３ H 先手番 調べるだけ無駄 2 4 1 3 7 1 2 3 後手番 •数字は大きいほど先手に有利、つまり、小さいほど後手に有利 •先手はより大きな数値を持つ方向を選ぶ •後手はより小さな数値を持つ方向を選ぶ •評価関数の値について •深さ制限つきのミニマックス法 •一定の深さまで読んで、最大値もしくは最小値を選ぶ •α-β法 •一定の深さまで読んで、最大値や最小値に貢献しない枝を刈る 18
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