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論理とは何か
2007/4/6
01
構成
‫ ﻪ‬第一部
‫ ﻩ‬論理体系の導入
‫ ﻩ‬cut除去定理
‫ ﻪ‬第二部
‫ ﻩ‬新しい論理体系への拡張
‫ ﻩ‬cut除去定理の成立条件
‫ ﻪ‬結論
02
論理とは何か
‫ ﻪ‬論理的なもの
‫ ﻩ‬日常生活における論理的思考
‫ ﻩ‬数学における証明過程
‫ ﻩ‬プログラムの動き
‫ ﻪ‬論理的な部分だけ取り出したい
03
例1.日常生活における論理
‫ ﻪ‬例
‫ ﻩ‬暖冬ならば雪が少ない
‫ ﻩ‬雪が少ないならばスキー場が困る
‫ ﻩ‬よって、暖冬ならばスキー場が困る
‫ ﻪ‬一般化
‫ ﻩ‬仮定：「AならばB」と「BならばC」
‫ ﻩ‬結論：「AならばC」
04
例2.数学における論理
‫ ﻪ‬例
‫ ﻩ‬辺の長さが3,4,5ならば、三平方の定理を満たす
‫ ﻩ‬三平方の定理を満たすならば、直角三角形
‫ ﻩ‬よって、辺の長さが3,4,5ならば、直角三角形
‫ ﻪ‬一般化
‫ ﻩ‬仮定：「AならばB」と「BならばC」
‫ ﻩ‬結論：「AならばC」
05
例3.プログラムにおける論理
‫ ﻪ‬例
プログラム1
文字列S
整数n
プログラム2
文字列S
Yes or No
‫ ﻪ‬一般化
‫ ﻩ‬仮定：「AからB」と「BからC」
‫ ﻩ‬結論：「AからC」
06
論理体系LK
推論規則
Γ ⇒ Δ,X,Y,Π (e右)
Γ ⇒ Δ,Y,X ,Π
Σ,X,Y,Γ ⇒ Δ(e左)
Σ,Y,X,Γ ⇒ Δ
Y, Γ ⇒ Δ,Y (→右)
Γ ⇒ Δ,X→Y
Γ ⇒ Δ,X Y,Σ⇒ Π (→左)
X→Y,Γ,Σ ⇒ Δ,Π
AΓ ⇒
⇒Δ,X
B
X,Σ⇒
B ⇒Π
C (cut)
(cut)
Γ,Σ
A ⇒ Δ,Π
C
X,X,Γ ⇒ Δ (c左)
X,Γ ⇒ Δ
X, Γ ⇒ Δ (¬右)
Γ ⇒ Δ,¬X
Γ ⇒ Δ,X (¬左)
¬X,Γ ⇒ Δ
Γ ⇒ Δ (w左)
X,Γ ⇒ Δ
Γ ⇒ Δ,X,X (c右)
Γ ⇒ Δ,X
Γ ⇒ Δ,X (∨右1)
Γ ⇒ Δ,X∨Y
Γ ⇒ Δ,Y (∨右2)
Γ ⇒ Δ,X∨Y
上段が仮定、下段が結論
Γ ⇒ Δ (w右)
Γ ⇒ Δ,X
X,Γ ⇒ Δ Y,Γ⇒ Δ (∨左)
X∨Y,Γ ⇒ Δ
Y, Γ ⇒ Δ (∧左2)
Γ ⇒ Δ,X Γ⇒ Δ,Y (∧右)
X, Γ ⇒ Δ (∧左1)
X∧Y,Γ ⇒ Δ
Γ ⇒ Δ,X∧Y
X∧Y,Γ
⇒Δ
ギリシャ文字は0個以上の論理式の列を表す
仮定：４月(X)ならば、春(Δ)だ
A,B,C ⇒ D,E の意味は、
結論：４月(X)かつ金曜日(Y)ならば、春(Δ)だ
「AかつBかつC」ならば「DまたはE」
仮定：男性(Δ)または女性(X)だ
結論：女性でない(¬X)ならば男性(Δ)だ
公理
X⇒X
07
証明図
‫ ﻪ‬ド・モルガンの法則
¬(A∨B)⇒¬A∧¬B
A
B
A ⇒ A (∨左)
B ⇒ B (∨左)
A⇒A∨B
B⇒A∨B (¬右)
(¬右)
⇒¬A, A∨B (¬左)
⇒¬B, A∨B (¬左)
¬(A∨B)⇒¬A
¬(A∨B)⇒¬B
(∧右)
¬(A∨B)⇒¬A∧¬B
論理的に正しい式を証明できる
08
証明図の自動生成
‫ ﻪ‬証明図が作れるかどうかを自動的に調べたい
‫ ﻩ‬例：対偶
A⇒A (¬右)
B ⇒ B (¬左)
A→B ⇒ ¬B→¬A
(→右) ¬B, B⇒ (→左)
A⇒B ⇒A,¬A
B⇒C(cut)
最後をcut規則
¬B, A→B ⇒と仮定
¬A (¬右)
A⇒C
¬B ⇒ ¬A, ¬(A→B) (¬左)
A→B ⇒ A→B (¬左)
¬(A→B), A→B ⇒ (¬右) ¬B, ¬¬(A→B) ⇒ ¬A (→右)
???
¬¬(A→B)
C∧BK
⇒¬¬(A→B)
F∨¬D→E
G→H
L→M→N
K
¬D→E
F¬¬I
¬¬I
J ⇒
A∨C∧G→H
B∧J
L→M→N
A∧???
.
A→B
(cut)
¬B→¬A
‫ ﻪ‬パターンが無限にある！
‫ ﻩ‬cut規則のみの特徴
‫ ﻩ‬cut規則を取り除きたい
09
cut除去定理
‫ ﻪ‬G. Gentzen(1934)
‫ ﻩ‬証明図からcut規則を取り除くことができる
‫ ﻳ‬この分野で最も重要な定理の１つ
‫ ﻳ‬cutの場所を上げていくことで証明
‫ ﻩ‬例
A⇒A (¬右)
B ⇒ B (¬左)
(¬右)
(¬左)
⇒A,¬A (→右) ¬B, B⇒ (→左)
(→左)
¬B, A→B ⇒ ¬A (¬右) (cut)
(→右)
¬B ⇒ ¬A, ¬(A→B) (¬左)(cut)
A→B ⇒ A→B (¬左)
¬(A→B), A→B ⇒ (¬右) ¬B, ¬¬(A→B) ⇒ ¬A (→右)
‫ ﻩ‬cutなしの証明図のみ考えればよい
(cut)
⇒ ¬¬(A→B)
¬B, A→B ¬¬(A→B)
⇒ ¬A ⇒ ¬B→¬A (cut)
‫ﻳ‬A→B
パターンの数が減る
A→B ⇒ ¬B→¬A
‫ ﻳ‬証明図があるかどうかを調べられる
010
.
.
.
.
.
.
第一部のまとめ
‫ ﻪ‬推論規則の導入
‫ ﻩ‬日常、数学、プログラムなどの論理を記号で表現
‫ ﻪ‬論理体系LKの形成
‫ ﻩ‬推論規則を集めて論理の体系を作る
‫ ﻪ‬cut除去定理
‫ ﻩ‬cut規則は取り除くことができる
‫ ﻩ‬証明図の自動生成などに役立つ
011
構成
‫ ﻪ‬第一部
‫ ﻩ‬論理体系の導入
‫ ﻩ‬cut除去定理
‫ ﻪ‬第二部
‫ ﻩ‬新しい論理体系への拡張
‫ ﻩ‬cut除去定理の成立条件
‫ ﻪ‬結論
012
新しい論理
‫ ﻪ‬論理体系LK
‫ ﻩ‬最も古い論理
‫ ﻩ‬通常「論理的」と言われる論理
‫ ﻪ‬その他の論理体系
‫ ﻩ‬時間とともに真偽が変わる論理
‫ ﻳ‬例：「今日は雨だ」
‫ ﻩ‬背理法を認めない論理
‫ ﻩ‬正しさだけでなく、ものの量も考える論理
‫ ﻩ‬意味は特にない論理
013
様々な論理におけるcut除去定理
cut除去定理
○
○
○
(1934年)
FL
FL
LJcw
線形論理の部分体系
部分構造論理
直観主義論理
古典論理 LKMALL
FL
ec
c
X⇒X
公理
(1934年)
推論規則
X,X,Γ ⇒ Δ (c左)
X,Γ ⇒ Δ
(1980年代)
Γ ⇒ Δ (w左)
Γ⇒Δ
X,Γ ⇒ Δ
Γ ⇒ Δ,X
(1980年代)Γ ⇒ Δ,X
×
(1980年代)
Γ ⇒ Δ,X (∨右1)
Γ ⇒ Δ,X∨Y
(1980年代)
X, Γ ⇒ Δ (∧左1)
……
……
X∧Y,Γ ⇒ Δ
Γ ⇒ Δ,X
¬X,Γ ⇒ Δ
その差は何か ?
Γ ⇒ Δ,X
Σ,X,Y,Γ ⇒ Δ(e左)
(w右)
×
○
Γ ⇒ Δ,X,X (c右)
(¬左)
Γ ⇒ Δ,X,Y,Π (e右)
Γ ⇒ Δ,Y,X ,Π
Γ ⇒ Δ,X Y,Σ⇒ Π (cut)
Σ,Y,X,Γ ⇒ Δ
体系を一般化
Y,Σ⇒ Π (→左)
X→Y,Γ,Σ ⇒ Δ,Π
Γ ⇒ Δ,Y
Γ ⇒ Δ,X∨Y
(∧左2)
X∧Y,Γ ⇒ Δ
X, Γ ⇒ Δ
Γ ⇒ Δ,¬X
(¬右)
Y, Γ ⇒ Δ,Y
(→右)
Γ ⇒ Δ,X→Y
(∨右2)
Y, Γ ⇒ Δ
Γ,Σ ⇒ Δ,Π
X,Γ ⇒ Δ Y,Γ⇒ Δ (∨左)
cut除去が成り立つ
X∨Y,Γ ⇒ Δ
ための条件を与えたい
Γ ⇒ Δ,X
Γ⇒ Δ,Y (∧右)
Γ ⇒ Δ,X∧Y
X,Y ,Γ ⇒ Δ (＊左)
X＊Y,Γ ⇒ Δ
など
「⇒」の右には高々１つ
014
cut除去定理の成立条件
‫ ﻪ‬A.Ciabattoni, K.Terui (2006)
‫ ﻩ‬体系Lが還元性と代入性を満たす
⇒ Lでcut除去定理が成り立つ
‫ ﻪ‬W.Sakagawa(2007 情報科学科の卒論)
‫ ﻩ‬Ciabattoni, Teruiの結果を部分的に改良
‫ ﻯ‬cutをどのように除去するか、具体的に示した
‫ ﻯ‬扱える範囲を広くした
015
問題点とその解決方法
B⇒D (w)
A⇒B C⇒B (min) B,B⇒D (c)
B⇒D(cut)
A,C⇒B
A, C⇒D
A⇒B C⇒B
B⇒D
A⇒BA,C⇒B
C⇒B
B,B⇒D
B,B⇒D
(2-cut)
(cut)
(2-cut)
A,C⇒B
A,C,A,C⇒D
A,C, B⇒D(cut)
A,C,A,C⇒D
A, C⇒D
C⇒D
A,C,A,C⇒D
A,
.
.
‫ ﻩ‬問題点1. cutが高くならない
‫ ﻯ‬解決策. 拡張したn-cutを定義
Γ⇒X
Σ1,X,Σ2,X,…,Σn,X,Σn+1,⇒Δ(n-cut)
A⇒B C⇒B
C⇒B
A⇒B
B⇒D (1-cut)
B,B⇒D(2-cut)
A,C⇒B
A,C,A,C⇒D
‫ ﻩ‬問題点2. n-cutの仮定が増える
A, C⇒D
‫ ﻯ‬解決策1. n-cutをさらに拡張(複数の仮定へ)
Σ1,Γ,Σ2,Γ,…,Σn,Γ,Σn+1,⇒Δ
‫ ﻯ‬解決策2. cutを上げる方向を指定
.
016
第二部のまとめ
‫ ﻪ‬LK以外の論理体系
‫ ﻩ‬現在まで数え切れないほどの論理が考案されてきた
‫ ﻩ‬cut除去定理の成り立つものとそうでないものがある
‫ ﻪ‬cut除去定理の成立条件
‫ ﻩ‬２つの条件が2006年に与えられた
‫ ﻩ‬それをもとに卒業論文を製作
‫ ﻩ‬cut除去の具体的な手順を示した
017
構成
‫ ﻪ‬第一部
‫ ﻩ‬論理体系の導入
‫ ﻩ‬cut除去定理
‫ ﻪ‬第二部
‫ ﻩ‬新しい論理体系への拡張
‫ ﻩ‬cut除去定理の成立条件
‫ ﻪ‬結論
018
結論
‫ ﻪ‬論理とは（１つの答え）
‫ ﻩ‬推論規則を用いて表現できるもの
‫ ﻩ‬体系ごとに論理があり、１つではない
‫ ﻪ‬他の答えについて
‫ ﻩ‬ぜひ情報科学科へ！
019
論理とは何か
おしまい
020
主な参考文献
‫ ﻩ‬A. Ciabattoni and K. Terui. "Towards a
semantic characterization of cut-elimination".
Studia Logica. Vol. 82(1). pp. 95 - 119. 2006.
‫ ﻩ‬A. Ciabattoni and K. terui. "Modular CutElimination: Finding Proofs or
Counterexamples". Proceedings of Logic for
Programming and Automated Reasoning
(LPAR'2006), LNAI. Phnom Pehn, November
2006.
021
補足1.本質的cut除去
‫ ﻪ‬cut除去に次の２つの条件を追加
‫ ﻯ‬公理を追加してもcutを除去可能
‫ ﻯ‬論理階数が増えないようにcutを除去可能
‫ ﻳ‬論理階数 … 証明図中の論理規則をあるルールで数えた数
‫ ﻪ‬条件の由来
‫ ﻯ‬１つ目の条件のみを課すものをmodular cut除去と呼ぶ
‫ ﻯ‬２つ目の条件は本研究でのみ扱われる条件
‫ ﻬ‬文献よりも体系の一般化を進めたため、必要となった
022
補足2.通常のcut除去との関係
通常のcut除去
異質な体系
1.
条件を満たさない規則があるが、
その規則を使う機会のない体系
2.
cutを除去することで無駄が増えるような体系
本質的cut除去
還元性と代入性
023
補足3. cut除去定理の証明方法
‫ ﻪ‬変数の定義
‫ ﻩ‬degree … cutされる論理式の複雑さ (≧ 0)
‫ ﻩ‬rank … cutされる論理式が出続ける高さ (≧ 2)
‫ ﻪ‬二重数学的帰納法
‫( ﻩ‬d1, r1) > (d2, r2)
((d1 > d2) or (d1 = d2 and r1 > r2))
‫ ﻳ‬例 (2,3) > (2,2) >(1,10)>(1,9)>…>(1,2)>(0,14)>…>(0,2)
‫ ﻩ‬この順序関係に対して数学的帰納法を適用
‫ ﻳ‬cutの高さが一時的に低くなることもある
024
補足4. 一般化した体系
公理
構造規則
X⇒X
Υ1 ⇒ Ψ1 … Υn ⇒ Ψn
Θl, ★(X), Θr ⇒ Ξ
Υ1 ⇒ Ψ1 … Υn ⇒ Ψn
(R)
Θ⇒Ξ
論理規則
Υ1 ⇒ Ψ1 … Υn ⇒ Ψn
左)
Θ ⇒ Ξl, ★(X),Ξr
(★
cut規則
Θ ⇒ Ξ1, X, Ξr
Θl, X, Θr ⇒ Ξ
Θl,Θ,Θr ⇒ Ξl,Ξ,Ξr
(★右)
(cut)
025

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