專題討論 研究生：王淑嬌 指導教授：呂玉琴教授 譚寧君教授 民國九十五年五 月 【中文部份】 唐淑華 (1989)。. 「語文理解課程」對增進國一學生數學理解能力與解答應 用問題能力之實驗研究。 國立台灣師範大學教育心理與輔導研究所碩士論 文。 【英文部份】 Hegarty,M.,Mayer,R.E & Monk,C.A.（1995）.Comprehension of arithmetic word problem: a comparison of successful and unsuccessful problem solvers. Journal of Educational Psychology,87(1),18-32. Pier Luigi Ferrari.（2004）. Mathematical language and advanced mathematics learning. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2004 Vol 2 pp 383–390. 唐淑華 (1989)。. 「語文理解課程」對增進國一學生數學理解能力與解答應 用問題能力之實驗研究。 國立台灣師範大學教育心理與輔導研究所碩士論 文。 • 本研究有四個主要目的：（一）探討數學 「理解」能力與「解答應用問題能力」之關 係；（二）探討以「語文理解課程」增進國 一學生之數學理解能力與解答應用題能力 的效果；（三）探討實驗處理與前測處理對 國一學生的數學理解能力與解答應用題能 力是否產生交互作用；（四）歸納學生解題 題的錯誤類型及各項答題類型與組別的關 係。 取樣： １．由輔導室張貼海報，自由報名：１２２人 ２．數學態度及數學焦慮量表．刪除焦慮分數 (M=14.66 ,SD=6.69) ，及態度分數 （M=447.80,SD=137.00)在平均數上下兩個 標準差以外的六位學生，共得１１６人． ３．依前兩次月考成績，取其中數學成績較低， 而國文成績較高，共挑出７６位學生． 4.因學生缺課或未曾出席,有些列入控制組,實際 參加實驗受試者34人,總人數74人. 男 女 合計 實驗組 控制組 A B 4 6 14 10 18 16 A 7 13 20 B 5 15 20 12人 52人 74人 教師呈現之題庫 1.小英一家五口一星期吃26 ¼ KG 那麼小英一家在十月 份共吃多少米? 13.小華畫地圖,老師規定實際上的二公尺,在圖上只能畫 一公分,若一長方形長八尺,寬六公尺,則畫在圖上時面 積為多少公尺? 25某一建築商蓋房子,請了十個男人及兩個女人負責工地 的工作,每人一天的工資是300元,包括吃與住;這個工 程原本預定要25天完成,但是因為建築商最近經濟比 較不好,故他希望這些工人能漏夜加工,使工地能在18 天內完工,當然,工人方面希望能有合理的加班費,在協 商之下,老闆答應每天加發加班費200元,請問如房子如 期在18天以內完成,老闆總共要發放多少錢給這些工 人? 數學理解測驗(共六段) 王大嬸在市場賣了一天的帽子,上半天她每頂賣30元,收 入是180元;下午她為了早一點回家休息,就決定薄利多 銷,每頂只賣20元,因此賣掉的帽子比上午多了一倍,請 問她這一天的收入是多少錢? 1>>下列何者為真? A上午賣掉的帽子數是下午賣的二分之一 B下午的價錢比較貴 C上午的收入比下午多 D下午的收入與上午相同 • • • • • • • • • • 2本題所要求的答案是: A下午與上午的收入的和. B下午與上午的收入的差. C下午與上午賣掉的帽子的和. D下午與上午賣掉的帽子的差. 3.下午賣掉幾頂帽子? A 6頂 B 9頂 C 12頂 D 18頂 數學應用問題測驗 1王大嬸在市場賣了一天的帽子,上半天她每頂賣30元,收 入是180元;下午她為了早一點回家休息,就決定薄利多 銷,每頂只賣20元,因此賣掉的帽子比上午多了一倍,請 問她這一天的收入是多少錢? 數學引導題測驗 王大嬸在市場賣了一天的帽子,上半天她每頂賣30元,入 是180元;可見她賣了 （ ）頂；下午她為了早一 點回家休息,就決定薄利多銷,（所謂薄利多銷，就是 指（ ） 若下午每頂只賣20元,因此賣掉的帽子比上午多了一倍, 也就是下午賣掉換（ ），共得了（ ）元， 那麼，她這一天的收入（包括上午與下午）是多少 （ ）元． • 為符合上述目的，本研究採取所羅門實驗設計的方法， 將７４位自願報名本實驗的國 一學生，隨機分派於四組，分別命名為實驗A 組、實 驗B 組、控制A 組、控制B 組。 在實驗之，由實驗A 組與控制A 組接受「數學理解測 驗」與「數學應用問題測驗」兩 份前測；並於寒假之時，對實驗A 組與實驗 B組進行 八單元共十二小時的「語文理解 課程」。整個實驗結束後，四組再前來接受「數學理 解測驗」與「數學應用問題測驗 」後測。 • 結果顯示： • （１）數學理解能力與應用題解題各項能力的相關 • 達、 .０５的顯著水準， • （２）以解題中之理解分數最能預測數學理解能力之 分數，且其解釋量可佔６０．３％之變異量 • （３）「語文理解課程」及前測的交互作用效果對數 學理解能力及解題能力均未達.05的顯著水準 （４）實驗A 組與控制A 組在數學理解能力與解題能 力上之差異，未達.０５的顯著水準 （５）實驗B 組與控制B 組在數學理解能力與解題能 力上之差異，未達.０５的顯著水準 • （６）接受前組之組別與未接受前測之組別在數學理 解能力與解題能力上之差異，未達、０５的顯 著水準 （７）國一學生答題內容的分數類型並不因其組別而有 所差別 （８）實驗A 組與控制A 組在理解部分為０分的情形下 ，前後測之差異有交互作用發生 （９）除理解部分為０分的情形下，其餘各情形的組別、 前後測交互作用並不明，而組別的主要效果亦不 （１０）答題類型之主要效果分析，在理解１分、２分， 計畫０分、１分、２分，結果０分、１分、２ 分情形下，、前後測改變非常明顯。 • 針對上述結果與研究過程之心得，研究者分別對數學 教師與未來研究，提出九點建議 ： １．重視數學理解能力與應用題解題各項能力的關係。 ２．改善以單一分數評量學生的方式。 ３．強調啟發式教學並鼓勵學生討論與發問。 ４．寓教學於趣味之中。 ５．探討其他因素對解題歷程的影響。 ６．探討課程設計中，哪一個單元對學生的理解能力 與解題能力最有幫助。 ７．對於受試者的問題型態，應事先有所了解。 ８．對於評量方式，應再求細部化。 ９．對於實驗之教學時間，應再求延長。 Hegarty,M.,Mayer,R.E & Monk,C.A.（1995）.Comprehension of arithmetic word problem: a comparison of successful and unsuccessful problem solvers. Journal of Educational Psychology,87(1),18-32. • 本篇文章的主要目標在於探討能夠成功解題與無法成 功解題的學生在應用問題的解題方向上的差異。作者 提出兩個不同的釋題過程，一為Direct-Translation strategy，採用此一方式的解題者往往藉由題目中的數 字以及關鍵字(relational terms)來構築他的解題步驟所 以說在關鍵字的字義與數學表徵不符合的情形下往往 會導致錯誤的解題算式(小明有8顆糖，小明比小華多 5顆，問小華有幾顆？——8－5＝3)。另一種為 problem model strategy，此一方式則為解題者會根據 題目建構一個模組並根據此一模組來發展解題策略， 而採用此一方式的解題者便較能成功地回答各式的應 用問題而不受限於關鍵字與數學表徵的一致性問題。 • 上述的實驗假設乃在驗證閱讀理解對於解答數學應用 問題的重要性，Stigler(1990)曾提出採用DirectTranslation strategy的解題者具有”compute first think later”的特性，其著重在量的處理與計算，所以解題過 程在於關鍵字與數字的擷取。而採用Problem Model strategy 的解題者則是能夠先將問題轉為質的面向的 瞭解，然後再尋求量的表徵。而Chi等人(1988)亦談及 專家與生手的差異也在於能否對問題產生質的解釋而 非單純地直接以量來理解及表徵問題。就另一個面向 來談，前者對於working memory的需求較少，是否因 working memory的限制而發展出不同的解題方式則尚 待釐清。不過作者提出兩個策略的差異往往是能否學 好數學的一個關鍵。 • 其次作者談及理解的程序共分成三個步驟，第一步驟 為建構一個文字基礎(construction of the text base)，在 此一階段裡解題者依序讀入每一個句子，而將每一個 句子所呈現的訊息加入text base中，每次加入前必先 整合新近訊息與原有text base內的訊息。Mayer(1981) 曾提及這些過程包含”assignment”：將一些變數所具 有的數值表現出來，”relation”：呈現兩個變數間的 關係，”question”：瞭解未知的變數為何。總括來說， 第一階段主要是解題者將每一個敘述轉為內在表徵並 整合所有的訊息成為問題的內在表徵而建構出一個 semantic network representation。 • 第二階段為建構一個特定的數學表徵(construction of a mathematics-specific representation)，這個階段主要是 前面所談使用direct-translation approach及problem model approach兩個不同策略的部分。若採用前者， 作者認為解題者會專注於關鍵字與數字並進而將text base中其餘的訊息刪去，若採用後者則解題者將會透 過這一階段的理解試圖去建構或修改原有的問題的模 組。問題的模組中將會呈現變數的符號而數字則接連 著該變數符號，與前者(direct-translation)的最大差異 在於前者的數字是獨立存在而非依附於變數符號。 • 總而言之，在此一階段中採用problem model strategy 的解題者將原有以命題為基礎(proposition-based)的表 徵轉換為以物件為基礎的表徵(object-based)。而採用 direct-translation strategy的則僅去修改原有以命題為基 礎的表徵，而所謂的修改乃是刪除一些訊息。第三步 驟為建構一個解題計畫(construction of solution plan)， 此一階段中，解題者依據上一階段的訊息來發展解題 計畫。明顯的採用problem model strategy的解題者保 有較多的訊息因此其不僅可以確保解題計畫的正確性 更可以監控整個解題過程(比如說在解題前便已知小 明的蘋果比小華多，則解題後可以再次驗證)。 • 作者藉由兩個實驗來驗證其假說，第一個為作者記錄 學生在解題過程中眼睛固著的位置。其假設對於無法 順利解題的人其固著在數字與關鍵字上的次數應明顯 高於變數訊息，而且其對於數字與關鍵字上的注視次 數也應高於成功解題者。而相對的，成功解題者應該 在變數訊息的注視上高於數字與關鍵字，因為在建構 模組的過程中，解題者需要瞭解各個變數間的關係。 而使用的實驗方法則是要求受試者在觀看題目時將解 題的式子說出來而無須計算出答案，這樣的設計可以 避免受試者因為需要計算而需低頭書寫，如此一來即 可確保整個解題過程皆可記錄下來眼睛注視的焦點為 何。 • 實驗結果在數字與關鍵字上，未能成功解題者對於數 字與關鍵字回頭注視的次數明顯高於變數訊息而且也 高於成功解題者對於數字與關鍵字的注視次數，並達 到統計上的顯著效果，此一結果符合假設。然而在成 功解題者部分則注視變數訊息的次數並未高於數字與 關鍵字，甚至仍然如同未能成功解題者一般，是小於 後者，此一部份與原假設相衝突。 •作者的解釋為因為整個記錄的過程不僅僅是 對於問題理解及模組建構的過程其亦包含解 題計畫的形成所以相對地提高了注視數字的 次數。而在實驗中也藉由比較前後四個題組 間的差異驗證了兩種解題者在注視的次數上 雖然漸次地減少(顯得較有效率)但是相對性仍 然不變，也就是說，受試者所使用的解題方 法在四個題組間顯示出相當的一致性。此一 結果也支持作者所認為的會採用Problem model strategy的解題者將不會回過頭使用 Direct-Translation strategy的假設。 •實驗二則藉由讓受試者去回想原有的題 目來推測受試者在解題時的認知過程。 其將回答的結果分類如下，”semantic error”其主要是受試者在回憶題目時將兩 者的關係弄反了(原來較多的變成較少 了)，”literal error”則是受試者在回憶時 將原有題目的關鍵字記反了，舉例來說： • 原題目：在美國，石油每加侖賣50元，這個石油的價 錢比在英國還要少5元，如果我要在英國買5加侖的汽 油我要付多少錢？(英國貴) • Literal error：在美國，石油每加侖賣50元，在英國， 石油的價錢比在美國還要多5元，如果我要在英國買5 加侖的汽油我要付多少錢？(英國貴) • Semantic error：在美國，石油每加侖賣50元，在英國， 石油的價錢比在美國還要少5元，如果我要在英國買5 加侖的汽油我要付多少錢？(美國貴) • Semantic error：在美國，石油每加侖賣50元，這個石 油的價錢比在英國還要多5元，如果我要在英國買5加 侖的汽油我要付多少錢？(美國貴) •如果我們仍假設成功解題的人所採用的策略 較有可能為Problem Model strategy，而無法成 功解題的人所採用的策略較有可能為DirectTranslation strategy則能夠成功解題的人者應該 比無法成功解題的人更能記住兩個變數之間 的關係(即較不容易犯語意上的錯誤)，而反過 來說無法成功題的人則應該比能夠成功解題 的人更能記住原有題目中關鍵字為何(即較不 容易犯文字上的錯誤)。實驗結果符合預期， 能夠成功解題的人在回想原題目時，在語意 上的錯誤比例較無法成功解題者為低，但是 在文字上則是相反的效果。 •總括來說，雖然作者一再強調能正確解題者 並非全部皆使用所謂的problem model strategy， 而無法成功解題的人亦未必全部採用directtranslation strategy。然而藉由兩個實驗所呈現 的結果作者認為解題的成功與否實與解題者 所採用釋題策略有關，而策略的使用亦關係 到解題者能否理解題目的意涵。而更重要的 是這樣的解題模式並不因練習而改變所以如 何教導學生去真正瞭解題目的意涵以建構出 適當的模組方為教學的關鍵點。
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