速度依存変動エディントン因子を用いた 相対論的鉛直＆球対称輻射流 Velocity-Dependent Eddington Factor in Relativistic Photohydrodynamics 福江 純、秋月千鶴＠大阪教育大学 目次 ０ １ ２ ３ ４ 現象：宇宙ジェット 準備：相対論的輻射流体力学 動機：モーメント定式化の病的特異性 物理：速度依存変動エディントン因子 修正と結果 1. 2. 3. 4. 平行平板：重力なし 平行平板：重力あり 球対称：重力なし 球対称：重力あり ５ 影響 Tsukuba Colloquim 06/08/30 2 ０ 宇宙ジェット現象 Astrophysical Jets 亜光速ジェット 中心の天体から双方向 に吹き出す、細く絞られ たプラズマの流れが ｢宇宙ジェット｣ ジェットの噴出速度はし ばしば光速の数割！ Tsukuba Colloquim 06/08/30 4 SS433 特異連星SS433 ジェットの速度は光速 の26％！ Tsukuba Colloquim 06/08/30 5 マイクロクェーサー マイクロクェーサー GRS1915+105 ジェット速度は光速の 92％！！ Tsukuba Colloquim 06/08/30 6 活動銀河 活動銀河のジェット： 電波銀河M87ジェット Tsukuba Colloquim 06/08/30 7 クェーサー クェーサー3C273の ジェット 電波・光・X線 Tsukuba Colloquim 06/08/30 8 系内ジェット＆系外ジェット 系内ジェット（microquasar） SS433 ＞LE ep cont/blob 1E1740 ee? GRS1915 ～LE ee? bloby GROJ1655 ee? bloby 系外ジェット 3C 273 ＞LE ？ ？ M87 ＜＜LE ？ ？ Tsukuba Colloquim 06/08/30 0.26c 0.26c 0.92c 0.92c 0.99c？ ？ 9 放射圧加速ジェット 光度 L＞LE 成分 ep通常プラズマ ｖｓ ee対プラズマ 形態 continuous / periodic / intermittent 速度 mildly relativistic β=0.26、γ=1.04 highly relativistic β=0.92、γ=2.55 ultra relativistic β=0.99、γ=10 GRB extremely relativistic γ=100 Tsukuba Colloquim 06/08/30 10 １ 準備 相対論的輻射流体力学 Relativistic Radiation Hydrodynamics １．準備 平均自由行程１ “光（光線）は直進する”と習うが、これはウソであ る。 晴れた日には数km先まで見えるが靄が濃いときに は1m先ぐらいまでしか見えないこともある。星間空 間では何万光年も彼方の星が見えるが、太陽内部 では0.5cm先ぐらいまでしか見えない。 粒子（物質）と光子からなる世の中では、 “光線は平均自由行程だけ直進する” Tsukuba Colloquim 06/08/30 12 １．準備 平均自由行程２ 光の平均自由行程λは、ガス密度ρと（他の全部の 要素を含む）不透明度κの積に反比例する： λ＝1／（κρ） （１） 平均自由行程λはもちろん[cm]の単位をもつ。 たとえば、太陽内部では、密度は平均的に1g/cm3程 度で、不透明度は1cm2/g程度なので、平均自由行 程は1cmのオーダーになる。 Tsukuba Colloquim 06/08/30 13 １．準備 光学的深さ１ 光子の輸送という観点から、光が感じる“距離”とし て、実距離の代わりに「光学的深さ」を使う。 光が通過した実距離dsと物質密度ρと不透明度κを 用いると、光学的深さdτは、 dτ＝κρds （２） で定義される。 光学的深さの単位は無次元である。 平均自由行程との関連で言えば、 光学的深さが１になる距離が平均自由行程 に他ならない。 Tsukuba Colloquim 06/08/30 14 １．準備 光学的深さ２ 太陽半径70万kmは太陽内部の平均自由行程 0.5cmの約1011倍なので、太陽表面から中心までの 光学的深さも1011ほどになる。 N回のランダムウォークで進む距離は、平均自由行 程の√N倍程度なので、太陽半径進むには、N＝ (1011)2＝1022となり、道のりにして、1022cmぐらいに なるので、光速で104年かかる。 Tsukuba Colloquim 06/08/30 15 １．準備 吸収と散乱 平均自由行程進むと、物質粒子によって吸収 や散乱を受ける。 ｊ κ σ Tsukuba Colloquim 06/08/30 16 １．準備 拡散近似と自由流領域１ 光子を吸収した原子がふたたび光子を放出 するときや、光子が散乱されて向きを変える とき、光子の新しい進行方向は、吸収・散乱 前の光子の進行方向とはおおむね無関係な ので、“局所的”には、光子は千鳥足で任意 の方向に散らばっていく。近似的には、 光学的に厚い領域では 等方的に拡散する。 Tsukuba Colloquim 06/08/30 17 １．準備 拡散近似と自由流領域２ 一方、“大局的”には、熱伝導や粒子拡散と 同様、光子の密度が高い領域から低い領域 へ向けて（たとえば太陽の中心部から表面 へ）、光子はじわじわと拡がっていく。すなわ ち、より正確には、 光子密度の勾配の 負方向へ拡散する。 Tsukuba Colloquim 06/08/30 18 １．準備 拡散近似と自由流領域３ 光学的に薄い場合、たとえば、太陽表面付近 から惑星間空間のような平均自由行程が十 分に長い場合： この場合は、光子は吸収も散乱もほとんど受 けずに、光源から反対方向へ向けて、“自由 流”として直進する。 Tsukuba Colloquim 06/08/30 19 １．準備 輻射場の物理量１ 光子の流れ（輻射）は、エネルギーと運動量を運び、 周辺のガスに圧力（応力）を及ぼす。 「輻射エネルギー密度E」：単位体積あたりの輻射の エネルギー（ [erg/cm3]） 「輻射流束F」：単位時間単位面積あたりに輻射が 運ぶエネルギー（ [erg/cm2/s]＝c× [erg/cm3] ） 「輻射圧P」：単位面積あたりの輻射の力（ [dyn/cm2] ＝ [erg/cm3] ） Tsukuba Colloquim 06/08/30 20 １．準備 輻射場の物理量２ 光学的に厚い領域：等方的拡散：輻射圧（拡散圧） も等方的（パスカルの原理と同じ）。xyzの3方向のそ れぞれに対して、 Pxx＝E/3、Pyy＝E/3、Pzz＝E/3 （３） が成り立つ（輻射圧はテンソル量）。 大局的には、光子密度の勾配の負方向へ拡散する ので、輻射流束は、xyzの3方向のそれぞれに対し て、 Fx=－(1/κρ)dPxx/dx＝－(1/3κρ)dE/dx Fy=－(1/κρ)dPyy/dy＝－(1/3κρ)dE/dy Fz=－(1/κρ)dPzz/dz＝－(1/3κρ)dE/dz （４） のようになる（輻射流束はベクトル量）。 Tsukuba Colloquim 06/08/30 21 １．準備 輻射場の物理量３ 光学的に薄い領域：自由流：輻射圧は流れの方向 へだけ働き、他の方向への輻射圧はない。したがっ て自由流の方向をz方向とすると、 Pxx＝0、Pyy＝0、Pzz＝E （５） となる。 また同様に、輻射のエネルギーEが自由流の方向 に光速cで運ばれるので、輻射流束は、 Fx=0、Fy=0、Fz=cE （６） となる。 Tsukuba Colloquim 06/08/30 22 ボルツマン方程式と流体方程式 Tsukuba Colloquim 06/08/30 23 １．準備 輻射輸送方程式 原理的には、輻射輸送方程式を解けば、輻射輸送 の問題はまぎれなく解けることになる。 7つの独立変数（r、l、t）をもった微分積分方程式で ある。こんなの解きたくない！→梅村研究室 相対論：（座標）静止系／実験室系と（流体）静止系 ／共動系を区別しなければならない。 Tsukuba Colloquim 06/08/30 24 １．準備 モーメント定式化 輻射の“非等方性”はあまり強くないと仮定し、光線 の角度依存性は弱いとして、輻射輸送方程式を角 度方向に展開し、角度について積分して、0次の モーメント、1次のモーメント、などと呼ばれる一群の 方程式セットを得ることができる。 方程式系を閉じるために別の関係式が必要。 Tsukuba Colloquim 06/08/30 25 １．準備 エディントン近似 光学的に厚い領域で成り立つ関係： P＝E/3 （一般にはPij=δijE/3） （７） を「エディントン近似」と呼んでいる。 このエディントン近似でモーメント式を閉じる。 この関係は常に成り立つとは限らない。実 際、光学的に薄い領域では、輻射の輸送は 拡散的ではなくなるし、エディントン近似も成 り立たない。 Tsukuba Colloquim 06/08/30 26 １．準備 変動エディントン因子 エディントン近似を一般化して、 P＝f E （８） と仮定し、係数 f を、光学的に厚い領域では1/3、光 学的に薄い領域では1にさせる：たとえば、光学的深 さをτとして、 f （τ）＝（1＋τ）／（1＋3τ） （９） などがある（Tamazawa et al. 1975）。 光学的深さなどに依存して変化する係数を、「変動 エディントン因子」と呼んでいる。変動エディントン因 子を上手に用いると、光学的に厚い領域から光学 的に薄い領域にかけて、輻射輸送を連続的に調べ ることが可能になる。 Tsukuba Colloquim 06/08/30 27 Variable Eddington Factor Tsukuba Colloquim 06/08/30 28 Flux-Limited Diffusion 1 Tsukuba Colloquim 06/08/30 29 Flux-Limited Diffusion 2 Tsukuba Colloquim 06/08/30 30 Flux-Limited Diffusion 3 Tsukuba Colloquim 06/08/30 31 １．準備 相対論的輻射輸送方程式１ Tsukuba Colloquim 06/08/30 32 １．準備 相対論的輻射輸送方程式２ Tsukuba Colloquim 06/08/30 33 １．準備 モーメント方程式１ Tsukuba Colloquim 06/08/30 34 １．準備（流体）共動系ｖｓ（座標）静止系 Tsukuba Colloquim 06/08/30 35 １．準備 モーメント方程式２ Tsukuba Colloquim 06/08/30 36 １．準備 エディントン近似at共動系 Tsukuba Colloquim 06/08/30 37 １．準備 質量保存の法則 Tsukuba Colloquim 06/08/30 38 １．準備 運動方程式１ Tsukuba Colloquim 06/08/30 39 １．準備 運動方程式２ Tsukuba Colloquim 06/08/30 40 １．準備 運動方程式３ 輻射力 輻射抵抗 Tsukuba Colloquim 06/08/30 41 輻射抵抗 Tsukuba Colloquim 06/08/30 42 １．準備 エネルギー式１ Tsukuba Colloquim 06/08/30 43 １．準備 エネルギー式２ Tsukuba Colloquim 06/08/30 44 ２ 動機 モーメント定式化の病的特異性 Motivation ２．動機 従来の定式化の下で相対論的 輻射流を調べた（Fukue 2005） Tsukuba Colloquim 06/08/30 46 ２．動機 v＝c/√3で特異性が出現 u2=1/2 or β2=1/3 で分母=0！ 平行平板（１次元定常輻射流）で、τは表面からの光学 的厚み u=γβ=γv/c： 流れの4元速度、β=v/c F：輻射流束、P：輻射ストレス、J：質量流束 Tsukuba Colloquim 06/08/30 47 ２．動機 従来の定式化の下では 特異性を通過する遷音 速解はあるが、輻射抵 抗で減速する解で境界 条件も満たさず、不適 加速する解で、かつ表 面境界条件を満たすの は、特異性を通過しな い亜音速解だけだった Tsukuba Colloquim 06/08/30 光速まで加速できない！ 48 先行研究 Relativistic Radiation TransferのMoment Formalismの欠陥： Turolla and Nobili 1988； Turolla et al. 1995; Dullemond 1999 らが、特性速度など、数理的な解析をしている。 ただし、回避法などについては未研究 Relativistic Wind/Accretion Flammang 1982 Nobili et al. 1993 拡散近似をしているので、特異性は出ない （因果律がおかしくなっているはず？） Tsukuba Colloquim 06/08/30 49 ３ 物理 速度依存変動エディントン因子 Physics ３．物理 問題はclosure relationの妥当性 特異性の原因を辿ると エディントン近似に行き着く。 従来の定式化では、 P0：流体共動系での輻射ストレス（テンソル） E0：流体共動系での輻射エネルギー密度 P0= f E0： f =1/3 と置くが、これは v～c （β～1）で成り立つのか？ Tsukuba Colloquim 06/08/30 51 （１）世の中 粒子サンと光クンがいる Tsukuba Colloquim 06/08/30 52 （２）千鳥足 光速で飛ぶ光クンは粒子サンにぶつ かるので、遅い実効速度で拡散する Tsukuba Colloquim 06/08/30 53 （３）亜光速一様流 粒子サンが亜光速で動いていても、 全員が一様に動けば静止系と同じ Tsukuba Colloquim 06/08/30 54 （４）亜光速加速流 速度勾配が大きいと、平均自由行程 が方向で異なり、拡散は非等方となる Tsukuba Colloquim 06/08/30 55 ４．修正 変動エディントン因子 光学的に厚い－薄いを遷 移する輻射流（球対称） 低速（静止）－亜光速へ 加速される輻射流 Tamazawa et al. 1975 Fukue 2006 τ大：diffusion limit→ f ～1/3 β小：diffusion limit→ f ～1/3 （光子の平均自由行程が短く、光子 拡散が等方） （光子の平均自由行程が短く、光子 拡散が等方） τ小：streaming limit→ f ～1 β大：relativistic limit→ f ～1 （光子の平均自由行程が長くなり、 光子拡散が非等方になる） （加速が光速のオーダーになり、平 均自由行程が伸びて、光子拡散 が非等方になる） 例えば Tsukuba Colloquim 06/08/30 56 ４．修正 速度依存変動エディントン因子 ｆ （β）の条件 f（0）=1/3、f（1）=1 単調増加 f（β）－β2>0 （特異点はβ=1のみ） du/dτ|c<0 （加速解が特異点までつながる） もっとも単純な形が→ Tsukuba Colloquim 06/08/30 57 ４ 修正と結果 Modification and Results ４．１ 平行平板：重力なし Plane-Parallel with no Gravity Fukue 2006, PASJ, 58, 461 ４．修正 ｆ （β）を用いた新しい定式化１ 平行平板１次元定常流 ［特殊相対論の枠内］ 質量流束の保存 運動方程式 エネルギー（輻射平衡） ０次のモーメント １次のモーメント 速度に依存するエディ ントン近似↓ Tsukuba Colloquim 06/08/30 60 ４．修正 ｆ （β）を用いた新しい定式化２ 光学的深さτを導入 光学的深さ 運動量流束の保存 エネルギー流束の保存 運動方程式 u =γβ ：流れの4元速度 β=v/c F：輻射流束 P：輻射ストレス J：質量流束 Tsukuba Colloquim 06/08/30 61 ４．結果 光速まで加速される解 境界条件 流れ基部（大気深部） 流速 v=0 光学的深さ τ=τ0 （輻射流束 F=F0） （輻射圧 P=P0） 流れ表面（大気表面） （亜光速で動いている境界条件； Fukue 2005b） 流速 v=vs 光学的深さ τ=0 質量流束 J （固有値で求まる） Tsukuba Colloquim 06/08/30 光速まで加速できる！！ 62 ４．結果 光速まで加速される解 質量流束 J （固有値と して求まる） Tsukuba Colloquim 06/08/30 63 ４．２ 平行平板：重力あり Plane-Parallel with Gravity Fukue and Akizuki 2006, submitted ４．修正 ｆ （β）を用いた新しい定式化１ 平行平板１次元定常流 ［天体重力：PN］ 質量流束の保存 運動方程式 エネルギー（輻射平衡） ０次のモーメント １次のモーメント 速度に依存するエディ ントン近似↓ Tsukuba Colloquim 06/08/30 65 ４．修正 ｆ （β）を用いた新しい定式化２ 光学的深さτを導入 光学的深さ 運動方程式 厚さの式 ０次のモーメント １次のモーメント u =γβ ：流れの4元速度 β=v/c F：輻射流束 P：輻射ストレス J：質量流束 Tsukuba Colloquim 06/08/30 66 ４．結果 光速まで加速される解 境界条件 流れ基部（大気深部） 流速 v=0 光学的深さ τ=τ0 （輻射流束 F=F0） （輻射圧 P=P0） 流れ表面（大気表面） （亜光速で動いている境界条件； Fukue 2005b） 流速 v=vs 光学的深さ τ=0 質量流束 J （固有値で求まる） r＝3 rｇ τ0＝1 F0＝1 LE/(4πrg2) P0＝1.23 LE/(4πrg2)/c J＝1 r＝3、 τ0 ＝1、 F0 ＝1、 P0 ＝1.23（J＝1） r＝3、 τ0 ＝1、 F0 ＝10、 P0 ＝10.6（J＝1） r＝3、 τ0 ＝1、 F0 ＝1、 P0 ＝1.041（J＝0.005） τ0 ＝1、 F0 ＝1、 P0 ＝1.23 r＝3 r＝2 r＝1.5 Tsukuba Colloquim 06/08/30 67 ５ 影響 Influence ５．影響 関連する天体現象 輻射場が重要な相対論的天体現象全般 ブラックホール降着流 相対論的天体風、亜光速宇宙ジェット 相対論的爆発、ガンマ線バースト ニュートリノ輸送 初期宇宙 Tsukuba Colloquim 06/08/30 69 ５．影響 今後の課題 ｆ （τ,β）のより適切な形？ まだ対症療法 平行平板→球対称の場合 → 秋月講演 重力場の効果 ガス圧、磁気圧の効果 非定常流の場合 降着流の場合 いろいろな天体現象への応用 数値シミュレーション→誰か他の人（笑） Tsukuba Colloquim 06/08/30 FLD(flux-limited diffusion)などへの応用 70
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