第３章情報工学の基礎３．１３．２３．３３．４情報量単位と数の表現方法論理回路コンピュータ３．２単位と数の表現方法３．２．１３．２．２３．２．３単位数の表し方補数による計算３．２．１単位（１）ビットとバイト情報表現の方法が電気的に安定で取り扱いが単純なことが必要。情報を数字の０と１に対応させる。この１桁をビット（bit）と呼ぶ。連続した８個のビットをバイト（byte）と呼ぶ。（２）必要なビット数Ｎ種類の情報をビットで表現する場合, log2 Ｎビットが必要となる。［例］50種類の文字を表現する log2 50  5.64 これ以上の整数でなければならないから６ビットが必要となる。ちなみに，このビット数で 2  64 6 となり，６４種類まで表現できる。３．２．２数の表現方法（１）１０進数とＮ進数通常，使用するのは１０で桁上がりする１０進数 1234 110  2 10  3 10  4 10 3 2 1 0 指の本数が１０本だからと言われている一般には，Ｎ進数が考えられる（Ｎを基数という）。 abcd  a  N  b  N  c  N  d  N 3 2 1 0 （２）時間／角度／本数等広い意味での１２進数，60進数等とみなすことができる。時間角度鉛筆の本数タバコの本数英国の旧貨幣：：：：： 1時間＝60分，1分＝60秒 1度＝60分，１分＝60秒 1ダース＝12本 1カートン＝200本 1シリング＝１２ペンス１０は２と５でしか割り切れない。１２は２，３，４，６で割り切れる。６０は２，３，４，５，６で割り切れる。１０進数にこだわる必要はない。（３）２進数電気信号として表すには，０か１の２進法が使いやすい。すなわち， a, b, c, d が０か１をとる値だとして abcd  a  2  b  2  c  2  d  2 3 2 1 0 例えば，２進数の１０１０は， 3 2 0 (1010) 2  1 (2)10  0  (2)10  1 (2)110  0  (2)10  (8)10  (0)10  (2)10 (0)10  (10)10 （４）２進数は長ったらしい電気信号として表すには便利だが，長ったらしくなるので人間の目では判別が大変。そこで何桁分かをまとめて表記する（通常は，3桁または４桁） ① ３桁毎に区切る場合，２３毎に位上がりするので２３＝８進法 ② ４桁毎に区切る場合，２４毎に位上がりするので２4 ＝ 16進法 10進数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2進数 8進数 16進数 0001 1 1 0010 2 2 0011 3 3 0100 4 4 0101 5 5 0110 6 6 0111 7 7 1000 10 8 1001 11 9 1010 12 A 1011 13 B 1100 14 C 1101 15 D 1110 16 E 1111 17 F （５）８進数と１６進数１６進数では，１０進数の１０，１１，１２，１３，１４，１５をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆとして表記する。8進数は８で桁上がり 10進数は10で桁上がり１６進数は(16)10で桁上がり（６）１６進数と１０進数［例１］（ＣＥ）１６を１０進数へ (C)16＝(12)10，(E)16＝(14)10 →12×16＋14＝(206)10 ［例２］（３８３）１０を１６進数へ 383÷16＝23 余り 15 → １の位 (15)10＝(F)16 23÷16= 1 余り 7 → 16 の位 ( 7)10＝(7)16 1÷16= 0 余り 1 → 162 の位 ( 1)10＝(1)16 従って，（１７Ｆ）１６となる。（７）２進数と１６進数・８進数［例１］（ＣＥ）１６を２進数へ (C)16＝(1100)2，(E)16＝(1110)2 →1100 1110 ［例２］（７５）8を２進数へ (7)8＝(111)2，(5)16＝(101)2 →111 101 ［例３］（10011101）2を１６進数へ（下から４ビットずつ分割） (1001)2 ＝(9)16,(1101)2 ＝(D)16 → (9D)16 ［例４］（10011101）2を８進数へ（下から３ビットずつ分割） (10)2 ＝(2)8, (011)2 ＝(3)8，(101)2 ＝(5)8 → (235)16 （８）ＢＣＤについてＢＣＤ（Binary Coded Decimal）とは，１０進数の１桁を２進数の４桁で表したコード。２進化10進符号ともいう。事務処理関係で特に用いられる。［例］10進数の（４５）１０をＢＣＤで表現する。４→ 0100，５→0101 (BCD) 0100 0101 １０進数の４５を16進数で表現すると２Ｄだから単純な２進数では， 0010 1101 となる３．２．３補数による計算（１）１０進数の減算下位の桁から順に，桁ごとに大きさを比較し，引かれる数が引く数より大きければそのまま引き，引かれる数が小さければ上位桁から１０借りてきて… ７２－１８５４ ① １の位では２＜８だから１０の位から１０借りてくる。 ② １０＋２から８を引いて４を１の位の値とする。 ③ 下位から１０借りられたので７－１＝６とする。 ④ ６≧１だから６－１＝５を１０の位の値とする。（２）１０の補数の考え方ここで，まず次のような減算をしておく１０００ー（引く数）（これを１０の補数という）例題の場合，１０００－１８＝９８２となる。減算を行うかわりに加算を行ってみよう。１０の補数を加算例題７２７２＋９８２－１８５４結果の下３桁は同じ値１０５４（３）１０の補数を用いた正負の数２桁の整数を３桁で表現し，符号の替わりに ① 先頭桁が０のとき正 ② 先頭桁が９のとき負（１０の補数）（先頭桁は０，９以外はありえない）とみなす。補数を使うことで減算ができなくても加算で代替できる。（３桁を超えたら無視する）（４）８進数・１６進数でも補数で負の数を表現符号の替わりに ① 先頭桁が０のとき正 ② 先頭桁が（基数ー１）のときに負（補数）（先頭桁は０および（基数ー１）以外はありえない）とみなすことで，加算で減算を代替できる。（５）補数の一般化Ｎ進数Ｍ桁の数Ａの補数（complement）とは， ①（ＮＭ－Ａ）：Ｎの補数 ②（ＮＭ－Ａ－１）：Ｎ－１の補数（７）例題［例］01101-00110 ① 00110の1の補数＝11001 ② 11001＋1＝11010 (減数の2の補数） ③ 被減数01101と減数の2の補数を加算 01101 + 11010 100111 ④ あふれビットを無視して00111を結果とする。（８）補足（１の補数でも減算が可能）［例］1101-0110 ① 0110の1の補数＝1001 ③ 被減数1101と減数の1の補数を加算 1101 + 1001 10110 ④ あふれビットを最下位ビットに加える。（あふれた場合は被減数が負） 0110+1=0111 （９）２進数の小数 10進数では1/10が0.1と表記されたように， 2進数でも1/2を0.1と表記する。従って，2進数の0.1は，10進数の0.5に相当する。［例］2進数の0.1011を10進数に変換するには，次のように計算する。 1 1 1 1 [0.1011]2  1  0   1  1 2 4 8 16  0.5  0  0.125 0.0625 0.6875