公共経済学

６．投票のパラドックスと一般(不)可能性定理
6.1 （多数決）投票のパラドックス
6.2 単峰性と多数決投票均衡
6.3 アローの一般(不)可能性定理
6.1 （多数決）投票のパラドックス
3 人の投票者＝投票者 1、投票者 2、投票者 3
3 つの選択肢＝ a, b, c
投票者に無差別な選択肢はない。
＜（投票者の）選択肢 x と y に関する選好順序＞
x i y
⇔ 投票者ｉが選択肢 x より選択肢 y を好む（ i  1, 2, 3 ）
＜多数決関係 M ＞
xMy ：選択肢 x と選択肢 y を多数決投票すると x が負けない（勝つか引き分ける）。
⇔ x  i y である投票者の人数が y  i x である投票者の人数以上である。
yMx ではない。
⇔
⇔
選択肢 y と選択肢 x を多数決投票すると y が負ける（ x が勝つ）
。
x  i y である投票者の人数のほうが y  i x である投票者の人数よりも多い。
＜多数決投票均衡＞
コンドルセ基準（Condorcet criterion）
x が「多数決投票均衡」である。コンドルセ勝者（Condorcet winner）
⇔ （ x 以外の）任意の選択肢 y に対して xMy が成立している。
＜投票のパラドックス＞
投票のパラドックス（が発生している）⇔ 多数決投票均衡が存在しない。
投票者 i の選好順序 ⇔ 投票者 i の全ての選択肢 a, b, c に関する選好順序
（例） a  i b  i c
[⇔
a  i b かつ b  i c ]
「投票者の選好(順序)のプロファイル」＝各投票者の選好順序を集めたもの
（例）
a 1 b 1 c 、 b  2 c  2 a 、 c  3 a  3 b
(6-1)
(6-1)の選好のプロファイルのもとで「投票のパラドックス」が発生することを示そう。
bMa ではない。
a が勝つ。
(i)
[理由] 選択肢 a と b で投票をすると、 a  1 b 、 b  2 a 、 a  3 b だから選択肢 a が２票、
選択肢 b が 1 票である。
a  1 b  1 c 、 b  2 c  2 a 、 c  3 a  3 b (6-1)
（問題 6-1）(6-1)で選好のプロファイルが与えられているとき、選択肢 b と c 、選択肢 c と
a に関する多数決関係 M を求めなさい。
a  1 b  1 c 、 b  2 c  2 a 、 c  3 a  3 b (6-1)
選択肢 b と c で投票すると b 1 c 、b  2 c 、c  3 b だから選択肢 b が 2 票、選択肢 c が 1 票
である。
cMb ではない。
選択肢 c と a で投票すると a 1 c 、 c  2 a 、 c  3
(ii)
a だから選択肢 c が 2 票、選択肢 a
が 1 票である。
aMc ではない。
(iii)
（問題 6-2）(6-1)で選好のプロファイルが与えられているとき、投票のパラドックスが生じ
ていることを説明しなさい。
(i)より bMa ではない。
(ii)より cMb ではない。
(iii)より aMc ではない。
b は多数決投票均衡ではない。
c は多数決投票均衡ではない。
a は多数決投票均衡ではない。
多数決投票均衡が存在しない。
「投票のパラドックス」(voting paradox)
「コンドルセの逆理」(Condorcet paradox)
6.2 単峰性と多数決投票均衡
どのような選好のプロファイルのもとで多数決投票均衡が存在する（投票のパラドックス
が生じない）かについて検討する。
選択肢を 1 列に並べる「順序」に着目する。たとえば (a, b, c) である。
（問題 6-3）選択肢を１列に並べる順序の数は幾つあるだろうか。
(a, b, c),
(a, c, b),
(b, a, c),
(b, c, a),
(c, a, b),
(c, b, a)
6通り
＜単峰型順序（single-peakedness ordering）＞
ある選好のプロファイルの下で、
「
（選択肢を 1 列に並べる）順序」が「単峰型順序」である。
⇔
全ての投票者に関して、ある選択肢の両側により好ましい選択肢が存在しない。
ある選択肢の両側により好ましい選択肢が存在する投票者がいる。
⇔
その順序は「単峰型順序」ではない。
単峰型順序の概念を理解するために、選好のプロファイルが
(6-2)
a 1 b 1 c 、 b  2 c  2 a 、 c  3 b  3 a
で与えられているケースについて考えよう。
(6-2)で選好のプロファイルが与えられているとき、選択肢を 1 列に並べる順序 (a, c, b) は
「単峰型順序」ではない。なぜならば、投票者１は選択肢 c の左にある選択肢 a と右にある
選択肢 b を、選択肢 c より選好するからである。
投票者１
投票者 3
投票者 2
第1位
第2位
第3位
a
c
b
選択肢
（問題 6-4）(6-1)で選好のプロファイルが与えられているとき、単峰型順序が存在しないこ
とを示しなさい。また、(6-2)で選好のプロファイルが与えられているとき、単峰
型順序を求めなさい。
a 1 b 1 c 、 b  2 c  2 a 、 c  3 a  3 b
(6-1)
ある順序の中央にある選択肢の選好順位が第 3 位である投票者が存在する。
⇒
その順序は単峰型順序ではない。
(6-1)のもとで選好順位が第 3 位の投票者が存在しない選択肢は存在するか。
⇒ No
選択肢 a に関する投票者 2 の選好順位は第 3 位である。
選択肢 b に関する投票者 3 の選好順位は第 3 位である。
選択肢 c に関する投票者 1 の選好順位は第 3 位である。
（問題 6-4）(6-1)で選好のプロファイルが与えられているとき、単峰型順序が存在しないこ
とを示しなさい。また、(6-2)で選好のプロファイルが与えられているとき、単峰
型順序を求めなさい。
a 1 b 1 c 、 b  2 c  2 a 、 c 3 b 3 a
(6-2)
ある順序の中央にある選択肢の選好順位が第 3 位である投票者が存在する。
⇒
その順序は単峰型順序ではない。
ある順序が単峰型順序である。
⇒
その順序の中央にある選択肢の選好順位が第 3 位である投票者は存在しない。
(6-2)のもとで選好順位が第 3 位の投票者が存在しない選択肢は存在するか。
⇒ Yes
⇒
それは選択肢 b である。
⇒ 単峰型順序＝ (a, b, c)と (c, b, a)
(6-2)
a 1 b 1 c 、 b  2 c  2 a 、 c  3 b  3 a
投票者１
投票者 3
第1位
投票者 2
第2位
(a, b, c)は単峰型順序である。
第3位
a
b
c
選択肢
＜単峰性＞
選好のプロファイルが単峰性を満たす。
⇔ その選好のプロファイルの下で、単峰型順序が存在する。
(6-1)で与えられた選好のプロファイルの下では単峰型順序が存在しない（問題 6-4）
。
⇒
(6-1)で与えられた選好のプロファイルは単峰性を満たしていない。
(6-2)で与えられた選好のプロファイルの下では単峰型順序が存在する（問題 6-4）
。
⇒ (6-2)で与えられた選好のプロファイルは単峰性を満たしている。
＜単峰性と多数決投票均衡＞
以下で、選好のプロファイルが単峰性を満たしているときは、「投票のパラドックス」が発
生しない（
「多数決投票均衡」が存在する）ことを示そう。
一般性を失うことなく、投票者１の最も好む選択肢に a 、2 番目に好む選択肢に b 、3 番目
に好む選択肢に c と名前をつける（ a  1 b  1 c ）。そして、投票者 2 と投票者 3 の選好が
それぞれ 6 通り存在するので、表 6-1 のように合計 6×6＝36 通りの選好のプロファイルが
存在する。
a 1 b 1 c
表 6-1
a 3 b
b 3 c
a 2 b
b 2 c
a 2 c
c 2 b
b 2 a
a 2 c
b 2 c
c 2 a
c 2 a
a 2 b
c 2 b
b 2 a
a 3 c
c 3 b
b 3 a
a 3 c
b 3 c
c 3 a
c 3 a
a 3 b
c 3 b
b 3 a
＝対応する選好のプロファイルに単峰型順序が存在するときには、
その順序の中央の選択肢を記入し、存在しないときは＊を記入している。
＝対応する選好のプロファイルのもとで多数決投票均衡が存在するときは、
その均衡の選択肢を記入し、存在しないときは＊を記入している。
a  1 b  1 c 、 b  2 c  2 a 、 c  3 b  3 a (6-2)
表 6-1
a 2 b
b 2 c
a 2 c
c 2 b
b 2 a
a 2 c
b 2 c
c 2 a
c 2 a
a 2 b
c 2 b
b 2 a
a 3 b
b 3 c
a, b
a
a
a
a 3 c
c 3 b
a, b
a
a
a
＊
a
c 3 b
b 3 a
b
a
a
＊
a
a
b
b
b
＊
a
＊
a
b
＊
b
a
a
b
b
a
a
c 3 a
a 3 b
a
a
a
b
a
＊
a
b
b
a
b
a, b
a
a
a
a
b 3 c
c 3 a
a
a
b
b 3 a
a 3 c
a, b
a
a
a
b
＊
＊
＊
b
b
a  1 b  1 c 、 b  2 c  2 a 、 c  3 a  3 b (6-1)
c
b
b
c
c
（問題 6-5）表 6-1 の
に a 、 b 、 c 、または＊を記入しなさい。
a 1 b 1 c
a 2 b
b 2 c
a 2 c
c 2 b
b 2 a
a 2 c
b 2 c
c 2 a
c 2 a
a 2 b
c 2 b
b 2 a
表 6-1
a 3 b
b 3 c
a, b
a
a
a
a 3 c
c 3 b
a
a
a
a
a
a, b
＊
a
b
a
a
a
a
a
＊
a
a
b
＊
＊
b
＊
c
＊
＊
b
b
b
a
b
a
a
b
a
b
c 3 b
b 3 a
b
a
a
＊
b
c 3 a
a 3 b
a
a
b
b
a
a
b
a
＊
b
*
b
a
a
b 3 c
c 3 a
b
b
a, b
a
a
b
b 3 a
a 3 c
a, b
a
a
a
c
b
c
c
上の表より
に a 、 b 、 c の何れかが入っているときは、
にも必ず a 、 b 、 c の何れかが入っている
選好のプロファイルが単峰性を満たしているときは、
必ず多数決投票均衡が存在する。
多数決投票均衡が存在するとき、個々の投票者は（戦略的に）
自分の真の選好と異なる投票行動を選択する誘因は？
フリーライダー問題
6.3 アローの一般(不)可能性定理
社会的選好順序を決定する「社会的選択ルール（social choice rule）
」は
どのような性質を満たすべきであろうか。
そのような条件を満たす社会的選択ルールは存在するだろうか。
2 人の個人（個人１、個人 2）と 3 つの選択肢（対象） a 、 b 、 c が存在し、
個人はどの２つの選択肢も無差別ではないとする。
社会的選好順序を表現する記号を導入する。社会的に選択肢 x を選択肢 y より選
好することを、
x  y （あるいは y  x ）
＜推移性＞
と表し、社会的に x と y が無差別であることを、
x  yかつ y  z  x  z
x~ y
と表すことにする。
x  yかつ y  z  x  z
x ~ yかつ y ~ z  x ~ z
これらを「選択肢 x と y に関する社会的選好順序」と呼ぶことにする。
「社会的選好順序」とは全ての選択肢 a 、 b 、 c に社会的選好順序を定めるも
であり、たとえば a  b  c である。
それぞれの選好のプロファイルに社会的選好順序を対応させるルールを「社会的
選択ルール」と呼ぶことにする。
＜社会的選択ルールが満たすべき 4 つの条件＞
：社会的選択ルールは、如何なる選好のプロファイルに対しても
(1) 普遍性（広範性）
社会的選好順序を定めなければならない。 ⇒「多数決投票」はこの性質を満たさない。
(2) パレート基準：社会的選択ルールは、パレート基準と整合的でなければならない。
：社会的選択ルールは、選択対象 x 、 y 以外の選択対象に
(3) 独立性（情報的効率性）
関する個人の選好順序が変化しても x 、 y に関する社会的選好順序を変化させな
い。
(4) 非独裁性：社会的選択ルールは、独裁者の存在を認めない。なお、個人 i が独裁者
であるとは、全ての選好のプロファイルに対応する社会的選好順序がどれも個人 i
の選好順序に一致していることである。
2 人の個人の選好順序は 6 通りあるので、選好のプロファイルは 6×6＝36 通り存在する。
上記の条件(1)は、社会的選択ルールが 36 通りの選好のプロファイル全てに社会的選好順序
を定めるものでなければならないことを要請している。
表 6-2 は、それぞれの選好のプロファイルに対応する社会的選好順序が、条件(2)を満たす
ためにどのような性質を満たさなければならないかをまとめたものである。
個人 1 が上から m 番目の選好順序で、個人 2 が左から n 番目の選好順序になっている選好
のプロファイルを「選好のプロファイル(m, n)」と表すことにする。
条件(2)は、たとえば選好のプロファイル(3,2)に対応する社会的選好順序が a  c を満たし
ていなければならないことを要請する。
選好のプロファイル(3,2)
表 6-2
1
2
a 2 b
b 2 c
1
a 2 c
c 2 b
a 1 b
b 1 c
2
3
4
5
a 1 c
c 1 b
b 1 a
a 1 c
c 1 a
b 1 c
a 1 b
c 1 a
b 1 a
6
c 1 b
条件(2)：
パレート基準
ac
3
b 2 a
a 2 c
4
c 2 a
b 2 c
5
6
a 2 b
c 2 a
b 2 a
c 2 b
（問題 6-6）条件(2)から、各選好のプロファイルに対応する社会的選好順序の満たすべき
性質が、表 6-2 のように定まる理由を説明しなさい。
表 6-2
1
2
a 2 b
a 1 b
1
b 1 c
2
3
a 1 c
c 1 b
b 1 a
a 1 c
b 2 c
ab
ac
bc
ab
ac
a 2 c
c 2 b
ab
ac
5
c 1 a
b 1 c
a 1 b
c 1 a
b 2 a
a 2 c
4
c 2 a
b 2 c
bc
ab
bc
ab
bc
ab
ab
ac
bc
ab
bc
bc
ab
bc
ac
ac
bc
bc
ab
ac
ac
bc
bc
ab
ac
c 1 b
ac
ab
ac
6
ac
bc
ab
b 1 a
c 2 b
ac
ac
bc
ab
b 2 a
ab
ab
ac
a 2 b
c 2 a
bc
bc
ac
6
ac
ab
ac
5
ab
bc
bc
4
3
（問題 6-7）条件(2)の要請する条件だけでは、対応する社会的選好順序が定まらないもの
の、投票均衡が存在するのは表 6-2 のなかのどの選好のプロファイルであろうか。
表 6-2
1
2
a 2 b
a 1 b
1
b 1 c
2
3
a 1 c
c 1 b
b 1 a
a 1 c
b 2 c
ab
ac
bc
ab
ac
a 2 c
c 2 b
ab
ac
5
c 1 a
b 1 c
a 1 b
c 1 a
b 2 a
a 2 c
4
c 2 a
b 2 c
bc
ab
bc
ab
bc
ab
ab
ac
bc
ab
bc
bc
ab
bc
ac
ac
bc
bc
ab
ac
ac
bc
bc
ab
ac
c 1 b
ac
ab
ac
6
ac
bc
ab
b 1 a
c 2 b
ac
ac
bc
ab
b 2 a
ab
ab
ac
a 2 b
c 2 a
bc
bc
ac
6
ac
ab
ac
5
ab
bc
bc
4
3
このケースでは、全ての
選好のプロファイルに対
して単峰性が成立するこ
とは明らかである。
条件(3)が社会的選択ルールにどのような要請を課すことになるかを検討しよう。
選好のプロファイル(1, 2)と選好のプロファイル(1, 5)に着目してみよう。そして、選択肢 b
と選択肢 c について考えてみると、どちらの選好のプロファイルに対応する個人１（個人 2）
の b と c に関する選好順序も b  1 c （ c  2 b ）である。したがって、普遍性の条件(1)と独
立性の条件(3)から、選好のプロファイル(1, 2)と選好のプロファイル(1, 5)に対応する社会
的選好順序は、両方ともに、
b  c 、 b  c 、あるいは b ~ c
のうちのどれか１つの関係が成立している必要がある。
普遍性の条件(1)と独立性の条件(3)
表 6-2
1
2
a 2 b
a 1 b
1
b 1 c
2
3
a 1 c
c 1 b
b 1 a
a 1 c
b 2 c
ab
ac
bc
ab
ac
a 2 c
c 2 b
ab
ac
5
c 1 a
b 1 c
a 1 b
c 1 a
b 2 a
a 2 c
4
c 2 a
b 2 c
bc
ab
bc
ab
bc
ab
ab
ac
bc
ab
bc
bc
ab
bc
ac
ac
bc
bc
ab
ac
ac
bc
bc
ab
ac
c 1 b
ac
ab
ac
6
ac
bc
ab
b 1 a
c 2 b
ac
ac
bc
ab
b 2 a
ab
ab
ac
a 2 b
c 2 a
bc
bc
ac
6
ac
ab
ac
5
ab
bc
bc
4
3
表 6-3 はこのような要請を全てまとめて記したものである。たとえば、選好のプロファイ
ル(1, 2)と選好のプロファイル(1, 5)に対応する社会的選好順序はどちらも bC1c という関係
を満たす必要がる。すなわち、
C1  、 C1  、あるいは C1 ~
のうちのどれか１つが成立する必要がある。
普遍性の条件(1)と独立性の条件(3)
表 6-3
1
2
a 2 b
1
a 1 b
b 1 c
2
a 1 c
c 1 b
b 2 c
ab
ac
bc
ab
ac
bC2 c
a 2 c
c 2 b
ab
ac
bC1c
ab
ac
bc
3
b 2 a
a 2 c
aA1b
ac
bc
aA1b
ac
bC2 c
4
c 2 a
b 2 c
aA1b
aB1c
bc
aA1b
aB1c
bC2 c
5
6
a 2 b
c 2 a
b 2 a
ab
aB1c
bC1c
ab
aB1c
bc
c 2 b
aA1b
aB1c
bC1c
aA1b
aB1c
bc
（問題 6-8）条件(1)、(2)、(3)を満たすためには、少なくとも社会的選好順序が Ai 、Bi 、Ci
を用いて表 6-3 のように表される必要があることを説明しなさい（ i  1, 2 ）
。
表 6-3
1
2
a 2 b
a 1 b
1
b 1 c
2
3
a 1 c
c 1 b
b 1 a
a 1 c
b 2 c
ab
ac
bc
ab
ac
bC2 c
aA2 b
ac
bc
a 2 c
c 2 b
ab
ac
bC1c
ab
ac
bc
aA2 b
ac
bC1c
3
b 2 a
a 2 c
aA1b
ac
bc
aA1b
ac
bC2 c
ab
ac
bc
4
c 2 a
b 2 c
aA1b
aB1c
bc
aA1b
aB1c
bC2 c
ab
aB1c
bc
5
6
a 2 b
c 2 a
b 2 a
ab
aB1c
bC1c
ab
aB1c
bc
aA2 b
aB1c
bC1c
c 2 b
aA1b
aB1c
bC1c
aA1b
aB1c
bc
ab
aB1c
bC1c
普遍性の条件(1)と独立性の条件(3)
表 6-3
1
2
a 2 b
1
a 1 b
b 1 c
2
3
4
5
a 1 c
c 1 b
b 1 a
a 1 c
c 1 a
b 1 c
a 1 b
c 1 a
b 1 a
6
c 1 b
b 2 c
ab
ac
bc
ab
ac
bC2 c
aA2 b
ac
bc
aA2 b
aB2 c
bc
ab
aB2 c
bC2 c
aA2 b
aB2 c
bC2 c
a 2 c
c 2 b
ab
ac
bC1c
ab
ac
bc
aA2 b
ac
bC1c
aA2 b
aB2 c
bC1c
ab
aB2 c
bc
aA2 b
aB2 c
bc
3
b 2 a
a 2 c
aA1b
ac
bc
aA1b
ac
bC2 c
ab
ac
bc
ab
aB2 c
bc
aA1b
aB2 c
bC2 c
ab
aB2 c
bC2 c
4
c 2 a
b 2 c
aA1b
aB1c
bc
aA1b
aB1c
bC2 c
ab
aB1c
bc
ab
ac
bc
aA1b
ac
bC2 c
ab
ac
bC2 c
5
6
a 2 b
c 2 a
b 2 a
ab
aB1c
bC1c
ab
aB1c
bc
aA2 b
aB1c
bC1c
aA2 b
ac
bC1c
ab
ac
bc
aA2 b
ac
bc
c 2 b
aA1b
aB1c
bC1c
aA1b
aB1c
bc
ab
aB1c
bC1c
ab
ac
bC1c
aA1b
ac
bc
ab
ac
bc
以上の準備のもとで、条件(1)、(2)、(3)を満たす社会的選択ルールで条件(4)を満たすルー
ルが存在するかどうかを検討しよう。
(1) C1  としよう。
⇒選好のプロファイル(1, 5)に対応する社会的選好順序は a  b かつ b  c なので a  c
（つまり B1  ）が成立する。
⇒選好のプロファイル(2, 6) に対応する社会的選好順序は a  c かつ b  c だから
a  b （つまり A1  ）である。
⇒選好のプロファイル(5, 4) に対応する社会的選好順序は a  b かつ a  c だから
b  c （つまり C 2  ）である。
⇒選好のプロファイル(6, 3) に対応する社会的選好順序は a  b かつ b  c だから
a  c （つまり B2  ）となる。
⇒選好のプロファイル(4, 1) に対応する社会的選好順序は a  c かつ b  c なので
a  b （つまり A2  ）が成立する。
⇒全ての選好のプロファイルに対応する社会的選好順序が定まったことになる。
表 6-3 はこのような要請を全てまとめて記したものである。たとえば、選好のプロファイ
ル(1, 2)と選好のプロファイル(1, 5)に対応する社会的選好順序はどちらも bC1c という関係
を満たす必要がる。すなわち、
C1  、 C1  、あるいは C1 ~
のうちのどれか１つが成立する必要がある。
表 6-3
1
2
a 2 b
a 1 b
1
b 1 c
2
a 1 c
c 1 b
b 2 c
ab
ac
bc
ab
ac
bC2 c
a 2 c
c 2 b
ab
ac
bC1c
ab
ac
bc
3
b 2 a
a 2 c
aA1b
ac
bc
aA1b
ac
bC2 c
4
c 2 a
b 2 c
aA1b
aB1c
bc
aA1b
aB1c
bC2 c
5
6
a 2 b
c 2 a
b 2 a
ab
aB1c
bC1c
ab
aB1c
bc
c 2 b
aA1b
aB1c
bC1c
aA1b
aB1c
bc
以上の準備のもとで、条件(1)、(2)、(3)を満たす社会的選択ルールで条件(4)を満たすルー
ルが存在するかどうかを検討しよう。
(1) C1  としよう。
⇒選好のプロファイル(1, 5)に対応する社会的選好順序は a  b かつ b  c なので a  c
（つまり B1  ）が成立する。
⇒選好のプロファイル(2, 6) に対応する社会的選好順序は a  c かつ b  c だから
a  b （つまり A1  ）である。
⇒選好のプロファイル(5, 4) に対応する社会的選好順序は a  b かつ a  c だから
b  c （つまり C 2  ）である。
⇒選好のプロファイル(6, 3) に対応する社会的選好順序は a  b かつ b  c だから
a  c （つまり B2  ）となる。
⇒選好のプロファイル(4, 1) に対応する社会的選好順序は a  c かつ b  c なので
a  b （つまり A2  ）が成立する。
⇒全ての選好のプロファイルに対応する社会的選好順序が定まったことになる。
表 6-3 はこのような要請を全てまとめて記したものである。たとえば、選好のプロファイ
ル(1, 2)と選好のプロファイル(1, 5)に対応する社会的選好順序はどちらも bC1c という関係
を満たす必要がる。すなわち、
C1  、 C1  、あるいは C1 ~
のうちのどれか１つが成立する必要がある。
表 6-3
1
2
a 2 b
a 1 b
1
b 1 c
2
a 1 c
c 1 b
個人1の選好順序に一致
b 2 c
ab
ac
bc
ab
ac
bC2 c
a 2 c
c 2 b
ab
ac
bC1c
ab
ac
bc
B1 
3
4
b 2 a
a 2 c
aA1b
ac
bc
aA1b
ac
bC2 c
c 2 a
b 2 c
aA1b
aB1c
bc
aA1b
aB1c
bC2 c
ac
5
6
a 2 b
c 2 a
b 2 a
ab
aB1c
bC1c
ab
aB1c
bc
c 2 b
aA1b
aB1c
bC1c
aA1b
aB1c
bc
abc
推移性
以上の準備のもとで、条件(1)、(2)、(3)を満たす社会的選択ルールで条件(4)を満たすルー
ルが存在するかどうかを検討しよう。
(1) C1  としよう。
⇒選好のプロファイル(1, 5)に対応する社会的選好順序は a  b かつ b  c なので a  c
（つまり B1  ）が成立する。
⇒選好のプロファイル(2, 6) に対応する社会的選好順序は a  c かつ b  c だから
a  b （つまり A1  ）である。
⇒選好のプロファイル(5, 4) に対応する社会的選好順序は a  b かつ a  c だから
b  c （つまり C 2  ）である。
⇒選好のプロファイル(6, 3) に対応する社会的選好順序は a  b かつ b  c だから
a  c （つまり B2  ）となる。
⇒選好のプロファイル(4, 1) に対応する社会的選好順序は a  c かつ b  c なので
a  b （つまり A2  ）が成立する。
⇒全ての選好のプロファイルに対応する社会的選好順序が定まったことになる。
全ての選好のプロファイルに対応する社会的選好順序はどれも個人 1 の選好順序に一致し
ているので、この社会的選択ルールのもとでは個人 1 が独裁者になっている。
(2) C1  としよう。このときは、(1)と同様にして個人 2 が独裁者であることを示せる。
(3) C1 ~ としよう。このとき、選好のプロファイル(4, 5)で A2  であり、選好のプロフ
ァイル(3, 2)で A2  である。したがって、これらはその他の条件と矛盾している。
広範性
(1)、(2)、(3)より、上記 4 つの条件を満たす社会的選択ルールは存在しない。
（問題 6-9）条件(1)を要請するプロファイルを、選好のプロファイル(m,1)と選好のプロフ
ァイル(1,n)だけに制限したとしよう（ m, n  1,,6 ）。そのとき、条件(1)、(2)、
(3)、(4)を満たす社会的選択ルールを求めなさい。
表 6-3
1
2
a 2 b
1
a 1 b
b 1 c
2
3
4
5
a 1 c
c 1 b
b 1 a
a 1 c
c 1 a
b 1 c
a 1 b
c 1 a
b 1 a
6
c 1 b
b 2 c
ab
ac
bc
ab
ac
bC2 c
aA2 b
ac
bc
aA2 b
aB2 c
bc
ab
aB2 c
bC2 c
aA2 b
aB2 c
bC2 c
a 2 c
c 2 b
ab
ac
bC1c
ab
ac
bc
aA2 b
ac
bC1c
aA2 b
aB2 c
bC1c
ab
aB2 c
bc
aA2 b
aB2 c
bc
3
b 2 a
a 2 c
aA1b
ac
bc
aA1b
ac
bC2 c
ab
ac
bc
ab
aB2 c
bc
aA1b
aB2 c
bC2 c
ab
aB2 c
bC2 c
4
c 2 a
b 2 c
aA1b
aB1c
bc
aA1b
aB1c
bC2 c
ab
aB1c
bc
ab
ac
bc
aA1b
ac
bC2 c
ab
ac
bC2 c
5
6
a 2 b
c 2 a
b 2 a
ab
aB1c
bC1c
ab
aB1c
bc
aA2 b
aB1c
bC1c
aA2 b
ac
bC1c
ab
ac
bc
aA2 b
ac
bc
c 2 b
aA1b
aB1c
bC1c
aA1b
aB1c
bc
ab
aB1c
bC1c
ab
ac
bC1c
aA1b
ac
bc
ab
ac
bc
表 6-3
1
2
a 2 b
a 1 b
1
b 1 c
2
3
4
5
a 1 c
c 1 b
b 1 a
a 1 c
c 1 a
b 1 c
a 1 b
c 1 a
b 1 a
6
c 1 b
b 2 c
ab
ac
bc
ab
ac
bC2 c
aA2 b
ac
bc
aA2 b
aB2 c
bc
ab
aB2 c
bC2 c
aA2 b
aB2 c
bC2 c
a 2 c
c 2 b
ab
ac
bC1c
3
b 2 a
a 2 c
aA1b
ac
bc
4
c 2 a
b 2 c
aA1b
aB1c
bc
5
6
a 2 b
c 2 a
b 2 a
ab
aB1c
bC1c
c 2 b
aA1b
aB1c
bC1c
表 6-3
1
2
a 2 b
a 1 b
1
b 1 c
2
3
4
5
a 1 c
c 1 b
b 1 a
a 1 c
c 1 a
b 1 c
a 1 b
c 1 a
b 1 a
6
c 1 b
b 2 c
ab
ac
bc
ab
ac
bc
ab
ac
bc
ab
ac
bc
ab
ac
bc
ab
ac
bc
a 2 c
c 2 b
ab
ac
bc
3
b 2 a
a 2 c
ab
ac
bc
4
c 2 a
b 2 c
ab
ac
bc
5
6
a 2 b
c 2 a
b 2 a
ab
ac
bc
c 2 b
ab
ac
bc
＜「多数決投票」による「社会的選択ルール」について＞
「多数決投票均衡」とは異なることに注意
x y
⇔
x  i y である投票者の人数のほうが y  i x である投票者の人数よりも多い。
xy
⇔
x  i y である投票者の人数のほうが y  i x である投票者の人数よりも少ない。
x~ y
⇔
x  i y である投票者の人数と y  i x である投票者の人数が等しい。
選好のプロファイル(1,4)に対応する社会的選好順序が定まらない。
1
2
3
a 2 b
1
a 1 b
b 1 c
b 2 c
ab
ac
bc
a 2 c
c 2 b
ab
ac
bC1c
a ~ b&a ~ c
b 2 a
a 2 c
aA1b
ac
bc
「推移性」
4
c 2 a
b 2 c
aA1b
aB1c
bc
5
6
a 2 b
c 2 a
b 2 a
ab
aB1c
bC1c
「矛盾」
b~c
c 2 b
aA1b
aB1c
bC1c
表 6-3
1
2
a 2 b
1
a 1 b
b 1 c
2
3
4
5
a 1 c
c 1 b
b 1 a
a 1 c
c 1 a
b 1 c
a 1 b
c 1 a
b 1 a
6
c 1 b
b 2 c
ab
ac
bc
ab
ac
bc
a~b
ac
bc
a~b
a~c
bc
ab
a~c
b~c
a~b
a~c
b~c
a 2 c
c 2 b
ab
ac
b~c
ab
ac
bc
a~b
ac
b~c
a~b
a~c
b~c
ab
a~c
bc
a~b
a~c
bc
3
b 2 a
a 2 c
a~b
ac
bc
a~b
ac
b~c
ab
ac
bc
ab
a~c
bc
a~b
a~c
b~c
ab
a~c
b~c
4
c 2 a
b 2 c
a~b
a~c
bc
a~b
a~c
b~c
ab
a~c
bc
ab
ac
bc
a~b
ac
b~c
ab
ac
b~c
5
6
a 2 b
c 2 a
b 2 a
ab
a~c
b~c
ab
a~c
bc
a~b
a~c
b~c
a~b
ac
b~c
ab
ac
bc
a~b
ac
bc
c 2 b
a~b
a~c
b~c
a~b
a~c
bc
ab
a~c
b~c
ab
ac
b~c
a~b
ac
bc
ab
ac
bc
多数決投票では
社会的選好順序
が定まらない選
好プロファイル
多数決投票均衡
は常に存在する。
6.1 （多数決）投票のパラドックス
「
政「
公
治共
経選
済択
学論
」」
「（多数決）投票均衡」は、全ての選好のプロファイルに対して、常に存在
するわけではない。
投票均衡＝どの選択肢にも「負けない」選択肢を決定
6.2 単峰性と多数決投票均衡
「投票均衡」は、単峰性を満たす選好のプロファイルに対しては、常に存在
する。
「
厚「
社
生会
経選
済択
学論
」」
6.3 アローの一般(不)可能性定理
「独立性」、「パレート基準」、「非独裁性」を満たす「社会的選択ルール」で、
全ての選好のプロファイルに対して適応できるものは存在しない。
社会的選択ルール＝選好のプロファイルに社会的選好順序を対応させるルール
社会的選好順序＝「推移性」を満たす社会的選好順序を決定
「社会的選択ルール」に対する「広範性」と「推移性」の要請は強過ぎ？

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