第１回 母集団と標本
教科書p1～11
母集団（population）
・地球上の人間
・地球上のすべてのマウスに薬を投与
・測定を永遠に繰り返した数値
・九十九里浜の砂粒
標本（sample）
・明薬の学生
・ある会社から購入したマウス
・１０回の測定値
・一握りの砂
調査、実験、測定
測定の尺度
・分類尺度
例：医薬品コード、国名、・・・
・順序尺度
例：ランク、効果、順序、・・・
・間隔尺度
例：温度、投与日、・・・
・比尺度
例：身長、体重、投与量、・・・
目的
・地上の人間の身長を知りたい
・薬の有効性を調べる
・正確な物理量を知りたい
・浜の砂粒の大きさを知りたい
いろいろな統計分布
・二項分布
・Poisson分布
・超幾何分布
・一様分布
・Γ分布
・Β分布
・Cauchy分布
・正規分布
・t分布
・χ2分布
・F分布
母数（population parameter）
：母集団の特徴をあらわす量
平均値、中央値、分散、・・・
１．未知
２．分布関数が理論的に仮定される
３．期待値は計算される
標本分布
：標本抽出、測定結果
：統計量（statistic）
平均値、分散、相関係数、・・・
無作為抽出（random sampling）
疑似乱数
二項分布
ある事象Aがおこる確率p、おこらない確率qなる試行をn回
繰り返したとき、事象Aがx回起こる確率：
f X ( x)n Cx p q
x
n x
例：さいころを1回振る
A：１の目が出る
確率：p=1/6
B：１の目が出ない 確率：q=1-p=5/6
n Cx 
10
f
x 0
X
n!
x!(n  x)!
( x)  1
１０回振って１の目が出る回数x
x
確率
10Cx
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
p0q10= p0(1-p)10
p1q9= p1(1-p)9
p2q8= p2(1-p)8
p3q7= p3(1-p)7
p4q6= p4(1-p)6
p5q5= p5(1-p)5
p6q4= p6(1-p)4
p7q3= p7(1-p)3
p8q2= p8(1-p)2
p9q1= p9(1-p)1
p10q0= p10(1-p)0
fx(x):確率
X：確率変数
正規分布
1
f ( x) 
e
2 

x   2

2 2
変曲点
μ：平均値
σ：標準偏差
σ2：分散
変曲点
約68%
-σ
+σ
x
平均値：μ=5
面積はμ、σに依存しない。
σ=1
σ=2
σ=1
σ=2
平均値：μ=5
正規分布関数の積分
1
f ( x) 
e
2 

x   2

2 2




S   f ( x)dx  
x

S 
z
S 
2



1
e
2

1

2
1
e
2 



e
z2  y2

2
z2

2

x   2

1
e
2 
dz


dzdy
2 2
z2

2
dx
1
dz 
2
1
e
2
y2

2
dy


e

z2

2
dz
z
直交座標
dz
ds
(y,z)
dy
ds=dydz
1
S 
2
2



e
z2  y2

2
y
z
ds=rdθdr
rdθ
ds
dr
(y,z)
極座標
θ
y
1
S 
2
2

2
0
0
 
e
r2

2
rddr
dzdy
1
S 
2
2

2
0
0
 
r2
x
2

S  e
2
0
r2

2
e
r2

2

rddr   e
r2

2
0
rdr
rdr  dx


rdr   e dx   e
x
0




S   f ( x)dx  
1
e
2 
   e
x 
0

x   2

2 2
dx  1
確率密度関数の全空間にわたる積分は１

 e 0   1
正規分布の変数xの平均値

1
x   xf ( x)dx 

2 
x


1
x
2 
   z e


2
z2

2

e

2 2
xe

z2

2


dz 
2
=1
∵正規分布の積分

dx
dx  dz
x    z
z




x   2

dz

ze

z2

2
dz  
=0
∵奇関数の積分
正規分布の分散(x-μ)2の期待値

1
x      x    f ( x)dx 
2 
x
2
z

x   
2


2
2
2


z e

 x    e

dx  dz
1

2 
z2

2
2



z2

2 2
2
 z e dz

dz 

2
2


z  ze

z2

2
dz
   z 2  

z2 



 

2 
2 



 z    e    1   e dz
2  
 


 

z2
2 
  2


 
2
2

0

e
dz


2



 

2 
2

2
2

x   2

2 2
dx
用語
母集団と標本、分類尺度、順序尺度、間隔尺度、比尺度
統計分布と標本分布、母数、無作為抽出、二項分布、正規分布
演習
1.1 200人に番号を付け、10名を乱数を使って選びなさい。
選ばれた番号の間隔を確認しなさい。
1.2 コインを15回投げて表がx回出る分布関数を書きなさい。
1.3 μ=0の正規分布の数値表を作りなさい。（－∞からxまでの
積分値をxの刻み幅0.01で表にする数値計算）

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