統計解析 第8回 第7章 2項分布 今日学ぶこと • 2項分布 • 2項分布の平均 • 2項分布の分散 硬貨を2回投げる場合 硬貨を投げるとき 表が出る確率 = 1/2 裏が出る確率 = 1/2 硬貨を2回投げるとき 表が2回出る確率 = 1/2×1/2 表 表が0回出る確率 = 1/2×1/2 裏 表が1回出る確率 = 2×(1/2×1/2) 表 裏 表 裏 裏 表 硬貨を4回投げる場合 硬貨を投げるとき、 表が出る確率 = 1/2 裏が出る確率 = 1/2 表 表 裏 裏 表 裏 表 裏 裏 表 表 裏 表 裏 裏 表 裏 表 裏 表 裏 裏 表 表 硬貨を4回投げるとき 表が2回出る確率 = 6×(1/2×1/2×1/2×1/2) 4C2 表が0回出る確率 = 4C0×(1/2×1/2×1/2×1/2) 表が1回出る確率 = 4C1×(1/2×1/2×1/2×1/2) 表が3回出る確率 = 4C3×(1/2×1/2×1/2×1/2) 表が4回出る確率 = 4C4×(1/2×1/2×1/2×1/2) 硬貨を2回投げる場合 硬貨を投げるとき 表が出る確率 = 1/2 裏が出る確率 = 1/2 表が0回出る確率 = 2C0×(1/2×1/2) = 1/4 表が1回出る確率 = 2C1×(1/2×1/2) = 1/2 表が2回出る確率 = 2C2×(1/2×1/2) = 1/4 硬貨を2回投げるとき 0.60 0.50 0.40 確 0.30 率 0.20 0.10 0.00 0 1 表が出る回数 2 硬貨を4回投げる場合 硬貨を投げるとき 表が出る確率 = 1/2 裏が出る確率 = 1/2 硬貨を4回投げるとき、 表が0回出る確率 = 4C0×(1/2×1/2×1/2×1/2) = 1/16 表が1回出る確率 = 4C1×(1/2×1/2×1/2×1/2) = 4/16 = 1/4 表が2回出る確率 = 4C2×(1/2×1/2×1/2×1/2) = 6/16 = 3/8 表が3回出る確率 = 4C3×(1/2×1/2×1/2×1/2) = 4/16 = 1/4 表が4回出る確率 = 4C4×(1/2×1/2×1/2×1/2) = 1/16 0.40 0.35 0.30 0.25 確 0.20 率 0.15 0.10 0.05 0.00 0 1 2 表が出る回数 3 4 硬貨を4回投げる場合 硬貨を投げたとき、表が出る確率が1/3、裏が出る確率が2/3とする。 硬貨を4回投げるとき、 表が2回出る確率 = 4C2×(1/3×1/3×2/3×2/3) 硬貨を投げるとき、 表が出る確率がp、 裏が出る確率が(1 - p)とする。 硬貨をn回投げたとき、表がr回出る確率をP(r)とする P(r) = nCr×pr×(1 – p)n-r 表 表 裏 裏 表 裏 表 裏 裏 表 表 裏 表 裏 裏 表 裏 表 裏 表 裏 裏 表 表 2項分布 硬貨を4回投げる場合 硬貨を投げたとき、表が出る確率が1/3、裏が出る確率も2/3とする。 硬貨を4回投げたとき、 表が0回出る確率 = 4C0×(1/3)0×(2/3)4 = 16/81 表が1回出る確率 = 4C1×(1/3)1×(2/3)3 = 32/81 表が2回出る確率 = 4C2×(1/3)2×(2/3)2 = 24/81 = 8/27 表が3回出る確率 = 4C3×(1/3)3×(2/3)1 = 8/81 表が4回出る確率 = 4C4×(1/3)4×(2/3)0 = 1/81 0.45 0.40 0.35 0.30 確 0.25 率 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 1 2 表が出る回数 3 4 ちょっと練習問題 硬貨を投げたとき、 表が出る確率が1/3、裏が出る確率が2/3 硬貨を2回投げたとき、 表が0回出る確率、表が1回出る確率、表が2回出る確率は？ 表が出る回数 （変量） 0 1 2 確率 ? 2 = 4/9 C ×(2/3) 2 0 1 1 2C1×(1/3) ×(2/3) = 4/9 2 = 1/9 C ×(1/3) 2 2 2項分布の期待値 表が出る回数 （変量） 0 確率 変量×確率 16/81 0×16/81 = 0 1 32/81 1×32/81 = 32/81 2 8/27 2×8/27 = 16/27 3 8/81 3×8/81 = 8/27 4 1/81 4×1/81 = 4/81 期待値 = 0 + 32/81 + 16/27 + 8/27 + 4/81 = 4/3 期待値 = n×p = 4×1/3 = 4/3 2項分布の分散 表が出る回 確率 数（変量） 0 16/81 (変量 – 期待値)2×確率 1 32/81 (1 – 4/3)2×32/81 = 32/729 2 8/27 (2 – 4/3)2×8/27 = 32/243 3 8/81 (3 – 4/3)2×8/81 = 200/729 4 1/81 (4 – 4/3)2×1/81 = 64/729 (0 – 4/3)2×16/81 = 256/729 期待値 = 4/3 分散 = 256/729 + 32/729 + 32/243 + 200/729 + 64/729 = 8/9 分散 = n×p×(1- p) = 8/9 ちょっと練習問題 硬貨を投げるとき、 表が出る確率が1/3、裏が出る確率が2/3 硬貨を2回投げるとき、 表が出る回数の期待値、分散は？ 変量 確率 0 1 2 4/9 4/9 1/9 変量×確率 (変量 – 期待値)2 ×確 率 0 (0-2/3)2×4/9 = 16/81 4/9 (1-2/3)2×4/9 = 4/81 2/9 (2-2/3)2×1/9 = 16/81 ? 期待値 = 4/9 + 2/9 = 2/3 分散 = 16/81 + 4/81 + 16/81 = 4/9
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