弱結合２次元古典ローレンツ気体系の運動論的方程式
ー その厳密解 ー
Tomio Petrosky
Center for Complex Quantum Systems
(Ilya Prigogine Center for Studies in Statistical Mechanics and Complex
Systems)
The University of Texas at Austin
QuickTimeý Dz
êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ
ǙDZÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾ å©ÇÈǞǽ Ç…ÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB
２００９年２月４日

一つの軽粒子が空間に均一に分布した重粒子と相互作用している
（あるいは、軽い粒子間の相互作用が軽−重粒子間相互作用と比べて無視できる系）
弱結合系の運動論的方程式
 
k (v,t)

 
2
2
  ik  vk (v,t)   ns  dv1  dq |Vq | q
q [v - v1]q 

k (v,t)(v1,t)
t
mv
m

v
M

v

1 
仮定：
（甲）
m M  1
（乙）重粒子は殆ど動かず、分布関数は速度ゼロの周り鋭いピークを持つ

 (v1,t)   (v1 )

 ローレンツ気体の運動論的方程式
k (v,t)
2n s
  ik  vk (v,t) 
t
m2

 dq |V
q
|2 q 


 q  vq  k (v,t)
v
v
速度分布関数（k=0 成分）
３D：
0 (v,t) 2ns 


C
 (v,t), r  x, y, z
rs
t
m 2 v r
v s 0
sin cos sin cos 




2
Crs   dq |Vq |2 qrqs q v   dq q4 |Vq |2  0 d sin  0 d (qv cos ) sin sin sin sin 
cos
cos





C 0 0


C  0 C 0, C  


0 0 0

C  [I 1z1z ] B,
v
 dq q4 |Vq |2
1(qv  )(1  2 ) 
1
v
B, B 
 dq q
3
|Vq |2
v
I : unit tensor, 1z  : unit vector alongz - axis
v
2 2

0 (v,t)
 3 2

A
v (v rs  v rv s ) 0 (v,t),

t
v r
v s



  n sB
m2


(v 2rs  v rv s )
:Orbital angular momentum

v r
v s
v r (v 2rs  v rv s )  0
L2  
0 (v,t)
3 2
 Av
 L 0 (v,t)
t

A
３D：
0 (v,t)
 Av3L20 (v,t)
t
L2Ylm (, )  l(l 1)Ylm (, )


l
0 (v,t)   c lm (v)v lYlm (, )e  t
l

l 0 ml
v3
m 2v 3
  l 
 2 2
Al(l  1)   nsB l(l  1)
1
l


B



0
dq q 3 |Vq |2
速度分布関数（k=0 成分）
0 (v,t) 2ns 


C
 (v,t), r  v, 
rs
t
m 2 v r
v s 0
2D：


1 
 v  
v
v
v 

Crs 
 dq |V
q
|2 qrqs q  v 
 dq q
3
|Vq |2

2
0

Crs  0 except for C  2v


3


0
cos cos 



d  (qv cos  )  1
1

sin

sin




 v

v

A
3
dq q |Vq |  v B
2
2

Diffusion equation for angle variable
 (v,t)
0
t
2
K 0  Av
 2
3
 K00 (v,t)
K 0(v  w)e in  Aw3n 2(v  w)e in


2 n sB
m2
Inhomogeneous component (k  0)
Eigenvalue problem


3

Kk  s ()   s s (), mod
 2
z   /2,


2
K k  ikv cos   Av
 2
k (v,t)
 Kk k (v,t)
t
g(z)   s ( )
Mathieu equation with imaginary parameter q.
d 2g
 (a  2qcos2z)g  0,
2
dz
mod 

4v 3
2kv 4
a
s , q  i
A
A
d 2g
 (a  2qcos2z)g  0,
2
dz

ce2r (z,q),
g(z,q)  
se
2(r1) (z,q),


2

0
4
6
mod 
even inz,
odd in z,
dz ce 2n (z)ce 2l (z) 

4v 3
2kv 4
a
 s, q  i
A
A

0
q
q
q
a0 (q)   


2 128 2304

5q 2 763q 4 100241q 6
a2 (q)  4 



12 13824 79626240
q2
5q 4
289q 6
b2 (q)  4  


12 13824 79626240
q 2 317q 4
10049q 6
b4 (q)  16 



30 86400 2721600000
A
a (q), r  0, 1, 2, ...
3 2r
4v

A
s
 2(r
(k)


b
(q)
1)
3 2(r1)
4v
 2rc (k)  
dz se2(n 1) (z)se2(l 1) (z)  0,
mod n  l
a2r (q)  4r 2, b2(r1) (q)  4(r 1)2,
forq  0
q
cos4z 1
ce0 (z,q)  21/ 2 [1 cos2z  q 2 (
 )
2
32
16

cos6z 11cos2z
 q3 (

) ]
1152
128
sin4z
sin6z sin2z
se2 (z,q)  sin2z  q
 q2 (

)
12
384
288
cos4z 1
cos6z 19cos2z
ce2 (z,q)  cos2z  q(
 )  q2 (

)
12
4
384
288
2kv 4
qi
 i
A

複素固有値
実固有値

Delocalization transitions in non

指示運動テストに対応する受験体操と行動観察を組み合わせた講習です

詳細はこちら

詳細はこちら

この講習は基本となるペーパーワークと多くの小学校で実施されている