3章 確率変数とその分布
3.4 基本的な分布関数 4回目
[補] 二項分布の正規近似
x ～ 二項分布 ( p = 0.5, n = 400 )
正規分布
二項分布
De Moivre – Laplace の定理
二項分布 ⇒ 正規分布 ( n ⇒ ∞ )
240
220
200
180
160
μ = 200、 σ = 10
x
二項確率
P ( X  x )  p( x ) n C x p x q n  x ( x  0,1,  , n)
x ～ 二項分布 ( p = 0.5, n = 10 )
正規分布
二項分布
10
9
8
7
5
6
4
3
2
1
0
二項分布： P{ x = k }
二項分布： P{ x ≦ k }
二項分布： P{ k ≦ x }
x
≒
≒
≒
整数値の 0.5調整 を行う
正規分布： P{ k - 0.5 < x < k + 0.5 }
正規分布： P{ x < k + 0.5 }
正規分布： P{ k - 0.5 < x }
x
内閣支持率、視聴率、普及率、打率 など
の標本割合 x / n の正規近似を行う時
x ～ 二項分布 ( p = 0.3, n = 12 )
正規分布
二項分布
1
0.9166667
0.8333333
0.75
0.6666667
0.5833333
0.5
0.4166667
0.3333333
0.25
0.1666667
0.0833333
0
標本割合 x / n を実数のように扱って
0.5調整は行わない場合が多い
x/n
x→z
標準化の公式
（標準正規分布表 を使う時に用いる変数変換）
扱う変数が成功の回数
（x の 0.5調整 が必要）
x
z
扱う変数が x の標本割合
（x の 0.5調整は不要）
の場合
x

x/n

x  np
npq
の場合

x / n  p
z
pq / n
[例1]
コイン 8 回投げ確率
(a) 6 回表が出る、(b) 少なくとも 6 回表が出る
x ～ 二項分布 ( p = 0.5, n = 8 )
正規分布
二項分布
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x
8
7
6
5
4
3
2
1
8
0
平均： μ = np = 8 (1/2) = 4
分散： σ2 = npq = 8 (1/2) (1/2) = 2
x ～ 二項分布 ( p = 0.5, n = 8 )
標準偏差： σ = √2
正規分布
二項分布
(a) P{ X = 6 }
x
正確な値
28
1
P X  6 8 C6   
≒ 0.1094
256
 2
正規近似値
 5.5   X   6.5   
P 5.5  X  6.5   P 




 
 
≒ P1.06  Z  1.77 ≒ 0.4616 0.3554 0.1062
(b)
P{ X ≧ 6 }
正確な値
P  X ≧ 6   P X  6 P X  7 P X  8
x ～ 二項分布 ( p = 0.5, n = 8 )
28  8  1 37


≒ 0.1445
8
2
256
正規分布
二項分布
 X   5.5   
P X  5.5   P 


 
 
≒ P Z  1.06 ≒ 0.5  0.3554 0.1446
8
7
6
5
4
3
2
1
0
正規近似値
x
[例2]
四択式 20 問の試験
でたらめに答えて
少なくとも 10 問が正解になる確率。
x ～ 二項分布 ( p = 0.25, n = 20 )
正規分布
二項分布
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
平均： μ = np = 20 (1/4) = 5
分散： σ2 = npq = 20 (1/4) (3/4) = 3.75
標準偏差： σ = √3.75 ≒ 1.94
正規近似値
x ～ 二項分布 ( p = 0
9.5   

P X  9.5   P  Z 

 

≒ P Z  2.32 ≒ 0.5  0.4898 0.0102
（参考）正確な値
統計学Webページ「二項分布の確率計算」使用
P{ X ≧ 10 } = 1 – P{ X ≦ 9 }
= 1 – 0.9861…≒ 0.0139
正規近似を使う時の目安
右または左に歪んだ二項分布は
n 小の時 正規曲線の当てはまりが悪い
「p ≦1/2 の時 np > 5」 「p ＞1/2 の時 n(1- p) > 5」

1章 データの整理