部分空間同定法：
多変数状態空間モデルの推定
東京工業大学 機械制御システム専攻
山北 昌毅
特異値分解(Singular Value
Decomposition:SVD)
特異値分解
任意の M  R nm (C nm ) は次のよ う な 形に分解でき る
M  U V *
た だし 、 U  R nn , V  R mmのユニ タ リ 行列で
 1










1   2 
2
r
0
 r  0





 , r  rank ( M )



0 
ベクトルと行列に関する基本命題
証明
xT U1  0, yT V1  0

1 
v    , M 1T v   T
0
w
M 1T v
2
  2  wT
2
0T 
 
v   *
T 
M 2
w 
2  w 0
特異値分解の幾何学的意味
y  Mx
 1
  vT 1 
 1
  x1 ' 
y  u1 u2  
  T  x  u1 u2  
  x '


v

2

2 2 
2
  1 x1 ' u1   2 x2 ' u2
インパルス応答からのシステム同定（１）
 x(k  1)  x(k )  u (k )

 y (k )  Cx(k )  Du (k )
 D (i  0)
hi  
i 1
C

(i  1)

ハン ケ ル行列H
インパルス応答からのシステム同定（２）
（Φ遷移不偏性）
インパルス応答からのシステム同定（３）
 C 
 C 
  
H  NV  


  1 
C  
 C 
 C 
 1
T
 TT 1  
    V U  



  1 
C  
CT
  CT   C 
 CT  

 
1

 C T 
 
CTT T

  CT    C  


N : N T 


,



 
 
 1 1 

  1  

 1 
 1 
1
C  T  CT T T  T T  CT   C  
 1  ,
V : T 1Va   
V 1/ 2  N  N T ,
  n 1
1/2U T  V : T 1Va
N (2 :  ,:)  N (1:   1, :)
システムの低次元化
 : T 1
 1 
 : T 1T , C : CT
Φの同定
任意の入力からの同定（１）
任意の入力からの同定（２）

任意の入力からの同定（３）

任意の入力からの同定（４）
任意の入力からの同定（５）
確率系の場合
対象のシス テム
 x(k  1)  x(k )  u (k )  w(k )
, x例えば
(k )  R n , u (k )  R m , y (k )  R p

 y (k )  Cx(k )  Du (k )  v(k )
  w(k )  T
 Q
T


E 
w
(
k
)
v
(
k
)

  S T
v
(
k
)


 
 別表現
(n pp )(
p  1)

nS 10,
n1の場合
こ のパラ メ ータ 
R 

2
(n  p )(n  p  1)
 11*12 / 2  66
2
 x(k  1)  x(k )  u (k )  Kv( k )

 y (k )  Cx(k )  Du (k )  v(k )
np+
p( p  1)
 10*1  1* 2 / 2  11
2  p( p  1)

Kはカ ルマン フ ィ ルタ ーゲイ ン , w(k )は白色  np+

2
のパラ メ ータ 

参考文献
K.Zhou,etc: Robust and Optimal Control,
Prentice-Hall (1995)
和田：部分空間法って何？,計測と制御
,Vol.36,No.8,pp.569/574(1997)