Photometric Stereo
for Lambertian Surface
Robert J. Woodham, "Photometric method for
determining surface orientation from multiple
shading images", Optical Engineering, Vol.19,
No.1, pp.139-144, (1980)
照度差ステレオ
（photometric stereo）

コンピュータにおける画像認識に使用

画像の各点における表面の勾配を求める

特定の勾配をもつ点を求める
反射率特性
viewer
反射率特性関数
(reflectance function)
normal
反射角 e
φ（i,e,g）
source
位相角 g
入射角 i
正射影と透視投影
透視投影
(x,y,z)
正射影
y
(x,y,z)
z
y
z
(u,v
)
(u,v
)
x
x
勾配空間
(gradient space)
z  f ( x, y )
法線ベクトル
 f ( x, y ) f ( x, y ) 
 x , y ,1


  p, q,1
( p, q) 勾配空間
反射率地図
(reflectance map)
( p, q,1)
viewer
(0,0,1)
cos(i ) 
normal
cos(e) 
反射角 e
cos( g ) 
位相角 g
source
入射角 i ( ps , qs ,1)
1  pps  qqs
1  p 2  q 2 1  ps2  ps2
1
1 p2  q2
1
1  ps2  qs2
反射率地図
(reflectance map)
a (i, e, g )   cos(i )
 (1  pps  qqs )
 Ra ( p, q ) 
b (i, e, g ) 
1  p 2  q 2 1  ps2  qs2
 cos(i )
cos(e)
 (1  pps  qqs )
 Rb ( p, q ) 
1  ps2  qs2

反射率係数
反射率地図a
(reflectance map)
Ra ( p, q )
 ps  0.7

 qs  0.3
   1.0

反射率地図b
(reflectance map)
Rb ( p, q)
 ps  0.7

 qs  0.3
   1.0

照度差ステレオ
(photometric stereo)
( p, q,1)
viewer
(0,0,1)
normal
照度
I1 ( x, y)  R1 ( p, q)
位相角 g
source
( ps , qs ,1)
照度差ステレオ
(photometric stereo)
( p, q,1)
viewer
(0,0,1)
normal
照度
I1 ( x, y)  R1 ( p, q)
I 2 ( x, y)  R2 ( p, q)
source
( ps , qs ,1)
位相角 g
照度差ステレオ
(photometric stereo)
( p, q,1)
viewer
(0,0,1)
normal
照度
I1 ( x, y)  R1 ( p, q)
I 2 ( x, y)  R2 ( p, q)
source
位相角 g
( ps , qs ,1)
I 3 ( x, y)  R3 ( p, q)
反射率係数と法線ベクトル
照度 I  I1 , I 2 , I 3 
入射光ベクトル n1  n11, n12 , n13  n2  n21, n22 , n23  n3  n31, n32 , n33 
 n11 n12
N  n21 n22
 n31 n32
法線ベクトル n  n1 , n2 , n3 
I  Nn
 n  N 1 I
   N 1 I


1 1
n

N I



n13 
n23 
n33 
照度差ステレオの例
中心(0,0)、半径 60
y
反射率係数1.0
(x,y,z)
z
(u,v
)
x
照度差ステレオの例
y
(x,y,z)
中心(0,0)、半径 60
反射率係数1.0
z ps  0.700, qs  0.300  I1 ( x, y )
(u,v
)
x
照度差ステレオの例
中心(0,0)、半径 60
y
(x,y,z)
(u,v
)
反射率係数1.0
z ps  0.700, qs  0.300  I1 ( x, y )
ps  0.610, qs  0.450  I 2 ( x, y )
x
照度差ステレオの例
中心(0,0)、半径 60
y
反射率係数1.0
(x,y,z)
z
ps  0.700, qs  0.300  I1 ( x, y )
ps  0.610, qs  0.450  I 2 ( x, y )
(u,v
)
ps  0.090, qs  0.756  I 3 ( x, y )
x
表面の勾配を求める
q
R2(p,q)=0.723
x=15,y=20における
勾配を求める
I1(15,20)=0.942
R1(p,q)=0.942
I2(15,20)=0.723
I3(15,20)=0.505
p
R3(p,q)=0.505
(0.275 ,
0.367)
特定の勾配を持つ点を求める
I2(x,y)=0.600
y
p=0.5,q=0.5となる点
を求める
I1(x,y)=0.974
R1(0.5,0.5)=0.974
R2(0.5,0.5)=0.600
R3(0.5,0.5)=0.375
x
(24.5 , 24.5)
I3(x,y)=0.375
照度差ステレオまとめ
表面の勾配を知るために用いる
 連続的で滑らかな表面の場合に用いる
 表面の反射特性が一様な場合に用いる


同じ視点から得られた画像であるので、同
一点を特定するのが容易
– 従来のステレオでは計算時間の大部分を占
める

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