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行列式
置換
ｎ文字の置換σ：
ｎ個の文字{1,2,・・・,n}から自分自身への１対１の写像
σ＝
（
1 2 ・・・ n
k1 k2 ・・・ kn
）
1→k1, 2→k2, ・・・ ,n→kn
例） σ ＝
（
1 2 3 4
3 1 4 2
）
σ(1)=3, σ(2)=1,
σ(3)=4, σ(4)=2
置換の積
２つのｎ文字の置換σ,τの積στを
στ(i)=σ(τ(i))
(i=1,2,・・・,n)
と定義する。
例） σ ＝
（
1 2 3 4
4 3 1 2
στ(1)=σ(2)=3,
στ(3)=σ(4)=2,
στ＝
（
）
τ＝
（
στ(2)=σ(3)=1
στ(4)=σ(1)=4
）
1 2 3 4
3 1 2 4
1 2 3 4
2 3 4 1
）
単位置換、逆置換
単位置換ε：全ての文字を動かさない置換
σの逆置換：σ－１
1 2 ・・・ n
σ＝
k1 k2 ・・・ kn
（
）
σ－１＝
（
k1 k2 ・・・ kn
1 2 ・・・ n
σ－１ σ＝ σ σ －１＝ ε
例） σ ＝
σ
（
－１
）
1 2 3 4 5
4 5 1 3 2
＝
（
）（
4 5 1 3 2
1 2 3 4 5
＝
）
1 2 3 4 5
3 5 4 1 2
）
巡回置換
{1,2,・・・,n}のうち、 k1, k2, ・・・, kr 以外は動かさないで、
K1, k2, ・・・, kr のみを
k1→k2 , k2→k3, ・・・ kr→k1
と順にずらす置換
σ＝
（
σ＝
k1 k2 ・・・ kr
k2 k3 ・・・ k1
）
（ k1 k2 ・・・ kr ）
例） σ ＝(2 5 3)
を巡回置換といい
と書く．
σ ：2→5, 5→3, 3→2
σ ＝(2 5 3) ＝(5 3 2) ＝(3 2 5)
任意の置換は，巡回置換の積で表される．
互換
２文字の巡回置換 (i j) を互換という．
任意の巡回置換は
(k1 k2 ・・・ kr)＝ (k1 kr) ・・・(k1 k3) (k1 k2)
と表されるので、全ての置換は互換の積で表される．
置換の符号
置換σがm個の互換の積で表されるとき
sgn(σ)＝(－１) m
：σの符号
sgn(στ)＝ sgn(σ) sgn(τ)
sgn(σ－１)＝ sgn(σ)
偶置換、奇置換
sgn(σ)＝１
sgn(σ)＝－１
：偶置換
：奇置換
置換全体の集合
Ｓn：ｎ文字の置換全体
Ｓnの元の個数＝ｎ！（＝ｎ個の順列の個数）
例）Ｓ3＝{ε, (1 2), (2 3), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)}
行列式の定義と性質（１）
行列式
ｎ次正方行列Ａ＝[ａij]
det(Ａ)＝Σ sgn(σ)ａ1σ(1)ａ2σ(2)・・・ａnσ(n)
σ∈ Ｓn
例）ａ11 ａ12
ａ21 ａ22
＝ sgn(ε)ａ11ａ22 ＋ sgn((1 2))ａ12ａ21
＝ａ11ａ22 －ａ12ａ21
ａ11 ａ12 ａ13
ａ21 ａ22 ａ23 ＝ａ11ａ22ａ３３＋ａ12ａ23ａ３1 ＋ａ13ａ21ａ３2
ａ31 ａ32 ａ33
－ａ12ａ21ａ３３－ａ11ａ23ａ３2 －ａ13ａ22ａ３1
サラスの方法
ａ11 ａ12 ａ13
ａ11 ａ12
ａ21 ａ22 ａ23
ａ21 ａ22
ー
＋
ａ31 ａ32 ａ33
ーーー
＋＋＋
ａ11 ａ12 ａ13 ａ11 ａ12 ａ13
ａ21 ａ22 ａ23 ａ21 ａ22 ａ23
ａ31 ａ32 ａ33 ａ31 ａ32 ａ33
＋＋＋
ーーー
定理３.２.１
ａ11 ａ12 ・・・ａ1n
ａ22 ・・・ａ2n
０ａ22 ・・・ａ2n
・
＝ａ11 ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
ａ
n2
・・・
ａ
nn
・
・
・
０ａn2 ・・・ａnn
det(Ａ)＝Σ sgn(σ)ａ1σ(1)ａ2σ(2)・・・ａnσ(n)
σ
＝Σ sgn(σ)ａ1σ(1)ａ2σ(2)・・・ａnσ(n)
σ(1)=1
＝ａ11 Σ sgn(σ) ａ2σ(2)・・・ａnσ(n)
σ(1)=1
＝ａ11
ａ22 ・・・ａ2n
・
・
・
・
・
ａn2 ・・・ａ・
nn
3 1 2
0 2 3 = 3 2 3 = 3(2・4ー1・3) = 15
1 4
0 1 4
上三角行列の行列式
ａ11
０
０
・
・
・
０
ａ12 ・・・ａ1n
ａ22 ・・・ａ2n
= ａ11
０
・
・
・
・・
・
・
・
０・・・０ａ・
nn
｜Ｅ｜＝１
ａ22 ・・・ａ2n
０・
・
=・・・= ａ11ａ22 ・・・ａnn
・
・
・
・
・・・・・
・
・
０・・・０ａnn
定理３.２.２
（１）１つの行をｃ倍すると行列式はｃ倍になる。
ａ11 ・・・ａ1n
・
・
・
・
・
・
ｃａi1 ・・・ｃａin
・
・
・
・
・
ａn1 ・・・ａ・
nn
ａ11 ・・・
・
・
＝ｃ・
ａi1 ・・・
・
・
・
ａn1 ・・・
ａ1n
・
・
ａ・
in
・
・
ａ・
nn
Σσ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・ｃａiσ(i)・・・ａnσ(n)
＝ｃΣσ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・ａiσ(i)・・・ａnσ(n)
定理３.２.２
（２）第ｉ行が２つのベクトルの和である行列の行列
式は、他の行は同じで第ｉ行に各々の行ベクトル
をとった行列の行列式の和になる。
ａ11 ・・・ａ1n
ａ11・・・ａ1n
ａ11・・・ａ1n
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
ｂi1+ｃi1・・・ｂin+ｃin ＝ｂi1・・・ｂin ＋ｃi1・・・ｃin
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
ａn1 ・・・ａnn
ａn1・・・ａnn
ａn1 ・・・ａnn
Σσ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・(ｂiσ(i)+ｃiσ(i))・・・ａnσ(n)
＝Σσ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・ｂiσ(i)・・・ａnσ(n)
＋Σσ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・ｃiσ(i)・・・ａnσ(n)
-1
2
0
-1 2 0
-1 2 0
a+3 b+6 c+9 = a b c + 3 6 9
7
2
4
7 2 4
7 2 4
-1 2 0
-1 2 0
= a b c +3 1 2 3
7 2 4
7 2 4
定理３.２.３
（１）２つの行を入れ替えると行列式は－１倍になる。
ｉ→
ｊ→
ａ11 ・・・ａ1n
・・・・・
ａj1 ・・・ａjn
・・・・・
＝－
ａi1 ・・・ａin
・・・・・
ａn1 ・・・ａnn
ａ11 ・・・ａ1n
・・・・・
ａi1 ・・・ａin
・・・・・
ａj1 ・・・ａjn
・・・・・
ａn1 ・・・ａnn
←ｉ
←ｊ
（２）２つの行が等しい行列の行列式は０である。
τ＝σ(ｉｊ) とする
Σσ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・ａjσ(i)・・・ａiσ(j)・・・ａnσ(n)
＝－Στ sgn(τ)ａ1τ(1) ・・・ａjτ(j)・・・ａiτ(i)・・・ａnτ(n)
2 3 1
2 3 1
4 6 2 =2 2 3 1 =0
1 6 7
1 6 7
0 0 1
3 -1 1
0 2 2 = ー 0 2 2 = ー6
3 -1 1
0 0 1
定理３.２.４
行列の１つの行に他の行の何倍かを加えても、行列
式の値は変わらない。
ａ11 ・・・ａ1n
・・・・・
ｉ → ａi1+ｃａj1・・・ａin+ｃａjn
・・・・・
＝
ｊ→
ａj1 ・・・ａjn
・・・・・
ａn1 ・・・ａnn
ａ11 ・・・ａ1n
・・・・・
ａi1+ｃａj1・・・ａin+ｃａjn
・・・・・
＝
ａj1 ・・・ａjn
・・・・・
ａn1 ・・・ａnn
ａ11 ・・・ａ1n
・・・・・
ａi1 ・・・ａin
・・・・・
ａj1 ・・・ａjn
・・・・・
ａn1 ・・・ａnn
ａ11 ・・・ａ1n
・・・・・
ａi1 ・・・ａin
・・・・・
＋ｃ
ａj1 ・・・ａjn
・・・・・
ａn1 ・・・ａnn
←ｉ
←ｊ
ａ11 ・・・ａ1n
・・・・・
ａj1 ・・・ａjn
・・・・・
ａj1 ・・・ａjn
・・・・・
ａn1 ・・・ａnn
1 3 4
1 3 4
1 15
-2 -5 7 = 0 1 15 =
11
11
-3 2 -1
0 11 11
1 15
1 15
=11
= 11
11 11
0 -14
=11・(-14) =
ー154

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