人口爆発=超マルサス増加 • 01/7/12 過去2000年間の世界人口の増加(上、Kremer 1993, Cohen1995の資料から作 1 図) レスリー行列モデル (I:繁殖期直前) • Nt=RNt-1 Nt=RtN0 • Nt+1=L.Nt Nt~λtN0 固有値 N t 1,1 m1 p0 N t 1, 2 p1 N t 1, 3 0 N t 1, A 0 01/7/12 m2 p0 mA1 p0 0 0 p2 0 0 p A1 mA p0 N t ,1 0 N t ,2 0 N t ,3 0 N t , A 2 レスリー行列モデル (II: 繁殖期直後) N t 1,0 p0 m1 N t 1,1 p0 N 0 t 1, 2 N t 1, A1 0 01/7/12 p1m2 p A 2 m A1 0 0 p1 0 0 p A 2 p A1m A N t , 0 0 N t ,1 0 N t , 2 N 0 t , A1 3 エゾシカの生活史 01/7/12 4 再生産関係 Nt+1=Ntexp[r(1-Nt/K)] 1600 1400 1200 r=0.5 1000 800 r=1.5 600 r=2.2 400 200 0 01/7/12 200 400 600 800 1000120014001600 5 2周期安定解 2000 Nt+2=f(f(Nt) r=2.2,K=1000 1600 1400 1200 1500 1000 800 1000 600 400 200 500 0 5 500 01/7/12 1000 1500 10 15 20 25 30 2000 6 時系列から密度効果を読取る 4 3.5 5 10 15 20 25 2.5 • N’=Nter-aN, Nobs=Nernd(-0.5,0.5) • R=-0.154 if a=0, r=rnd(-0.5,0.5) 01/7/12 7 Randomization test • Z(t)=N(t)/N(t-1)を無作為に並べ替え • n(t)=Z(rnd)n(t-1)という人工時系列を作 る • そこで、(n(t-1),n(t))の散布図を作り、相 関係数Rを求める。 • この相関係数rを、もとの時系列の相 関係数R0と比べ、 R0< Rとなる確率が 95%以上なら、有意に密度効果がある とみなす。 01/7/12 8 計算機による検定 • モンテカルロ実験 • Bootstrap法(標本を仮の母集団と見な し、重複を許して標本を取り直す) • Jackknife法(標本から1つずつ欠けた 標本を作り、信頼誤差を吟味する) • Randomizing法(標本を並べ替える) 01/7/12 9 カオスchaos r=3.5,K=10000 • 初期値依存性 – Lyapunov指数 xt yt 1 ( f ) lim log T T x0 y0 • 予測不可能性 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 20 40 60 80 100 – バタフライ効果 1 T 1 ( f ) lim log f '( xt ) T T – 2週間後の天気 t 0 01/7/12 10 カオスの縁 f(N)=Nexp(r–aN) 0.4 0.2 0 λ -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 2.6 01/7/12 2.8 3 r 3.2 3.4 3.6 3.8 4 11 観測誤差nt =Nt(1+rnd [-0.2,0.2]) • • • • 時系列から多項式近似 微分してLyapunov指数を求める 真の値と比較(符号はあう) 過程誤差をうまく拾えるかが問題 6 6 r=2.67 5 r=2.75 5 (f)=-0.092 4 近似=-0.092 3 4 3 2 2 1 1 0 0 01/7/12 1 2 3 4 5 6 (f)=0.174 近似=0.140 1 2 3 4 5 12 6 二つの誤差 • 観測誤差observation error – 観測値の推定誤差(真の値に跳ね返 らぬ) • process error過程誤差 – 環境変動、人口揺らぎなどにより、 真の値が揺らぐ – カオスに過程誤差を加えると、カオ スでなくなる(ランダムになる)こ とがある 01/7/12 13
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