人口爆発＝超マルサス増加
•
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過去2000年間の世界人口の増加（上、Kremer 1993, Cohen1995の資料から作
1
図）
レスリー行列モデル
（I：繁殖期直前）
• Nt=RNt-1
Nt=RｔN0
• Nt+1=L.Nt
Nt～λｔN0 固有値
 N t 1,1   m1 p0

 
 N t 1, 2   p1
 N t 1, 3    0

 
    
N
 
 t 1, A   0
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m2 p0  mA1 p0
0

0
p2

0



0

p A1
mA p0   N t ,1 


0   N t ,2 
0   N t ,3 


   

0   N t , A 
2
レスリー行列モデル
（II: 繁殖期直後）
 N t 1,0   p0 m1

 
 N t 1,1   p0
 N
 0
 t 1, 2  
    
N
 
 t 1, A1   0
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p1m2  p A 2 m A1
0

0
p1

0

0



p A 2
p A1m A  N t , 0 


0  N t ,1 
0  N t , 2 


   
N


0  t , A1 
3
エゾシカの生活史
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再生産関係
Nt+1=Ntexp[r(1-Nt/K)]
1600
1400
1200
r=0.5
1000
800
r=1.5
600
r=2.2
400
200
0
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200 400 600 800 1000120014001600
5
2周期安定解
2000
Nt+2=f(f(Nt)
r=2.2,K=1000
1600
1400
1200
1500
1000
800
1000
600
400
200
500
0
5
500
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1000
1500
10
15
20
25
30
2000
6
時系列から密度効果を読取る
4
3.5
5
10
15
20
25
2.5
• N’=Nter-aN, Nobs=Nernd(-0.5,0.5)
• R=-0.154 if a=0, r=rnd(-0.5,0.5)
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Randomization test
• Z(t)=N(t)/N(t-1)を無作為に並べ替え
• n(t)=Z(rnd)n(t-1)という人工時系列を作
る
• そこで、(n(t-1),n(t))の散布図を作り、相
関係数Rを求める。
• この相関係数ｒを、もとの時系列の相
関係数R0と比べ、 R0< Rとなる確率が
95%以上なら、有意に密度効果がある
とみなす。
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計算機による検定
• モンテカルロ実験
• Bootstrap法（標本を仮の母集団と見な
し、重複を許して標本を取り直す）
• Jackknife法（標本から１つずつ欠けた
標本を作り、信頼誤差を吟味する）
• Randomizing法（標本を並べ替える）
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カオスchaos
r=3.5,K=10000
• 初期値依存性
– Lyapunov指数
xt  yt
1
 ( f )  lim log
T  T
x0  y0
• 予測不可能性
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
20
40
60
80
100
– バタフライ効果
1 T 1
 ( f )  lim  log f '( xt )
T  T
– 2週間後の天気
t 0
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カオスの縁 f(N)=Nexp(r–aN)
0.4
0.2
0
λ
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
2.6
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2.8
3
ｒ
3.2
3.4
3.6
3.8
4
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観測誤差nt =Nt(1+rnd [-0.2,0.2])
•
•
•
•
時系列から多項式近似
微分してLyapunov指数を求める
真の値と比較（符号はあう）
過程誤差をうまく拾えるかが問題
6
6
r=2.67
5
r=2.75
5
(f)=-0.092 4
近似=-0.092 3
4
3
2
2
1
1
0
0
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1
2
3
4
5
6
(f)=0.174
近似=0.140
1
2
3
4
5
12
6
二つの誤差
• 観測誤差observation error
– 観測値の推定誤差（真の値に跳ね返
らぬ）
• process error過程誤差
– 環境変動、人口揺らぎなどにより、
真の値が揺らぐ
– カオスに過程誤差を加えると、カオ
スでなくなる（ランダムになる）こ
とがある
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