スライド 1

～ IIJIMAS流、算数で息抜き方法～
わんくま同盟東京勉強会#37
突然ですが覚えていますか
• １＋２＋３＋・・・＋１００＝？
1 + 2 + 3 + … +100
+ 100 + 99 + 98 + … + 1
同じものを2つたす！
------------------------------101 +101 +101 + … +101
101が100個！
つまり、101×100=10100
求める和は半分なので
5050
わんくま同盟東京勉強会#37
一般に・・・
• １＋２＋３＋・・・＋n＝？
1 + 2 + 3 + … + n (=S)
+
n + n-1+ n-2+ … + 1 (=S)同じものを2つたす！
------------------------------n+1 + n+1+ n+1+ … +n+1 (=2S)
n+1がn個！
つまり、2S = (n+1)×n
和は半分なので
S=n(n+1)/2
ここまではよく知られていると思います・・・
わんくま同盟東京勉強会#37
では・・・
• 12 + 22 + 32 + ・・・ + n2＝？
…
…
高校の数学の授業受けた人はそこで以下の公式を習ったか
と思います。
12 + 22 + 32 + ・・・ + n2 = n(n+1)(2n+1)/6
…この公式覚えていますか？
この公式自体を、何も見ずに導けますか？？？
そしてさらに一般に1k + 2k + 3k + ・・・ + nkの同様
な公式を導けますか？
わんくま同盟東京勉強会#37
図を使って計算する！
• まず、1+ 2 + ・・・ + nの別の計算方法
(n+1)2
= {(n+1)2 - n2 }
+ n2
= {(n+1)2 - n2 }
+ {n2 - (n-1)2 }
+ {(n-1)2 - (n-2)2 }
… … … … …
+ {22 - 12 }
+ 12
わんくま同盟東京勉強会#37
L字型の図形をさらにバラしてみると・・・
１ + 2 ×n
１ + 2 ×(n – 1)
１ + 2 ×(n – 2)
・・・
・・・
それぞれ足すと・・・
n + 2×{n+(n-1)・・・+2+1}
(=n + 2S)
わんくま同盟東京勉強会#37
S = n(n+1)/2の別の求め方
まとめると、
(n+1)2 – 1 = n + 2×{n+(n-1)・・・+2+1}= n + 2 S
よって、S = n (n + 1) / 2
わんくま同盟東京勉強会#37
次元を上げると・・・
(n+1)3 =
{(n+1)3 - (n)3 }
+{(n)3 - (n-1)3 }
+ ・・・
+{23 - 13 }
+13
わんくま同盟東京勉強会#37
一方立体L字型（？）は・・・
(n+1)3
(n)3
(n-1)3
- (n) 3
- (n-1)
- (n-2)
3
3
= 1
= 1
= 1
+ 3 ×n
+ 3 ×(n – 1)
+ 3 ×(n – 2)
+ 3 ×n2
+ 3 ×(n – 1)
+ 3 ×(n – 2)
2
2
・・・・・・
23
- 1
3
それぞれ足して、
(n+1)3 - 1 3
= 1
+ 3 ×1
+ 3 ×12
それぞれ足して、
= n
+ 3 ×S(n,1)
+ 3 × S(n,2)
(ただし、S(n,k) = 1k + 2k + 3k + ・・・ + nk
とおいた。 )
わんくま同盟東京勉強会#37
結局・・・整数の２乗の和は？
• 12 + 22 + 32 + ・・・ + n2＝？
(n+1)3 - 1
=
n + 3 ×S(n,1) + 3 × S(n,2)
(ただし、S(n,k) = 1k + 2k + 3k + ・・・ + nk
n3 + 3 n2 + 3 n = n
n3 + 3 n2 + 2 n = 0
2 n3 + 6 n2 + 4 n = 0
+ 3 n (n+1)/2
+ 3 (n2 + n)/2
+ 3 n2 + 3 n
)
+ 3 S(n,2)
+ 3 S(n,2)
+ 6 S(n,2)
2 n3 + 3 n2 + n = 6 S(n,2)
6 S(n,2) = n (n + 1) (2 n + 1)
よって、
n (n + 1) (2 n + 1)/6
そして、この方法はk=3,4,5・・・にも使える！
S(n,2) = 12 + 22 + 32 + ・・・ + n2 ＝
わんくま同盟東京勉強会#37
k乗の和の公式は・・・？
• 1k+ 2k + 3k + ・・・ + nk＝？
(n+1)(k+1)-1 =
n + C(k+1,1)S(n,1)
+ C(k+1,2)S(n,2)
+ C(k+1,3)S(n,3)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
+ C(k+1,k)S(n,k)
(ただし、S(n,k) = 1k + 2k + 3k + ・・・ + nk であり、
C(k,m) はk個のものからm個をとる組み合わせの数。有名なパスカルの三角
形に現れる数字。)
であることがわかる。 S(n,k)について解けば公式がもとまる！
左辺を展開すると、 n(k+1) + C(k+1,k)nk + … + C(k+1,m)nm + … + (k+1)n
パスカルの三角形
・・・
1
1
1
え！？あまりカンタンに計算できなさそうだって？
1
1
1
1
1
1
3
4
5
6
7
2
6
10
15
21
1
3
10
20
35
1
4
1
5
15
35
1
6
21
1
7
わんくま同盟東京勉強会#37
1
パスカル三角形からC(k,m)を計算して・・・
両辺の係数だけ見れば、どちらもパスカルの３角形の一部！
n4
n3
n2
n S(n,0) S(n,1) S(n,2) S(n,3)
1 1
1
1
2 1
2
1
3
3 1
3
3
4
6
4 1
4
6
4
上記の表の上から順番に右側を 0 0・・・ 0 …1となるように
計算すれば、公式が求まる！
わんくま同盟東京勉強会#37
これ覚えておけば、いつでも公式を導けそう！？
n4
n3
n2
n S(n,0) S(n,1) S(n,2) S(n,3)
1 1
1
1
1 0
2
2
3
1 0
0
6
2
1
0 0
0
0
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
実際に・・・
S(n,0) =
S(n,1) =(
S(n,2) =(
S(n,3) =(
n
n
n
+n2
+3n2
n2
)/ 2
+2n3
+2n3
)/ 6
+n4
)/ 4
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
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4
おまけ、今までの内容と関係ないです。
5×5=25
3×8=24
1減ってる！これはどういうこと？？
誰か説明してくだしあ＞＜・・・ｗ
わんくま同盟東京勉強会#37

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