ゲーム代はいくら？ 保険料・オプション料の計算の基礎 ■ ゲーム代はいくらか あなたは、ある国の怪しげな飲み屋のマスターである。 テーブルの上にはたくさんの１００円硬貨が山積みになっており、 その中から１０枚を取り出し柱状に積み上げた。 あなたは、客からゲーム代をもらって次のようなゲームを行う。 ゲームA 山積みされた中から１枚の硬貨を取り出して投げる ① 表が出たら または ② 裏が出たら 柱に積み、次に投げる１枚を山から取る 山の中に入れ、次に投げる１枚を柱から取る １０ １１枚 枚 裏 表 ①または②の操作を５回行って、終了する 終了した時点で積まれている１００円硬貨の枚数の１０枚を超えている分を 客に賞金として支払う 例 終了時点で１３枚積まれている場合 １３枚 ３枚 賞金 ３００円 １０枚 お客が支払うのはゲーム代のみ 賞金を受け取ることはあっても、支払うことはない このゲーム代はいくらにすれば良いだろうか ゲーム代をすごく高くすると・・・ お店は儲かるが、お客は損をする だれも参加しない ゲーム代をすごく安くすると・・・ お客は儲け易くなり、多くの人たちが参加する お店は大損害 「ゲームをすれば儲かるかもしれない」とお客が思ってくれて お店が損をしない程度にしたい ゲーム代 ＝ 賞金の期待値 お客ひとり一人は勝ったり負けたりするが、多くのお客とゲームを行うお店は、 平均すれば損も得もしない程度に収まるはず。（大数の法則） ■ ゲーム代の計算 表 ５回 ４回 ３回 ２回 １回 ０回 裏 ０回 １回 ２回 ３回 ４回 ５回 枚数 １５枚 １３枚 １１枚 ９枚 ７枚 ５枚 ３０００ ＝ ９３．７５円 ３２ 賞金 ５００円 ３００円 １００円 ０円 ０円 ０円 確率 5C5 5C4 １ ２ １ ２ 5C3 １ ２ 5C2 １ ２ 5C1 １ ２ 5C0 １ ２ ゲーム代は 5 = １ ３２ = ５ ３２ = １０ ３２ 5 5 5 １０ = ３２ 5 = ５ ３２ = １ ３２ 5 ９４円 くらいにすれば良い ■ ゲームの整理 マ ス タ ー マ ス タ ー ゲーム代 ９４円 １０枚を超 えた枚数 お 客 お 客 ０円～５００円 以上より お客の損の最大値 ９４円 お客の利益の最大値 ５００円－９４円 ＝４０６円 これなら、ゲームをしてみようと思う（たぶん）。しかも、お店は損をしない（はず）。 ゲームB ゲームAを少し変えて・・・ 途中で終了させて、１０枚を超えた分を賞金として受け取ることもできることにする ３回終了後、１１枚の時点（表２回、裏１回）で終了すると １１枚－１０枚＝１枚 賞金 １００円 ところで、この時点で終わりにするのと、このまま最後まで続けるのと どちらが得なのだろうか この後、もっと増えるかもしれないし、減るかもしれない ３回終了後、１１枚の時点における賞金の期待値を計算する ４回目と５回目の試行を残していることから・・・ 表 ２回 １回 ０回 裏 ０回 １回 ２回 枚数 １３枚 １１枚 ９枚 賞金 ３００円 １００円 ０円 確率 2C2 １ ２ 2C1 １ ２ 2C0 １ ２ 2 = １ ４ = ２ ４ = １ ４ 2 2 ５００ ４ ＝１２５円 続けた場合の賞金の期待値 １２５円 ＞ 終了した場合の賞金 １００円 １００円を受け取って終了するより、最後まで続けた方が得をする可能性が高い ３回終了後、１１枚の時点における賞金額・・・１００円 本源的価値（intrinsic value) 賞金額と期待値との差･･････・・・・・・・・・・・・・・２５円 時間的価値（time value) 賞金の期待値１２５円 ＝ 本源的価値（賞金額）１００円 ＋ 時間的価値２５円 ところで・・・ ゲームBのゲーム代はいくらにするのが適当だろうか ゲームAとの違い・・・ 途中で終了して、賞金を受け取れる 途中で勝ち逃げできる分、ゲームAより高くしないと店は損をする？？？ ■ すべての時点における賞金の期待値を求めよう ４回目 各点の期待値を終了時点から遡って計算する １３枚 ３００円 Step1 ４回終わって１４枚の時点の期待値は・・・ ５回目の試行を残すのみであり、賞金の期待値は １ １ ５００円× ＋ ３００円× ＝４００円 ２ ２ Step2 同様にして、４回終わって１２枚の 時点の期待値は・・・ １ １ ３００円× ＋ １００円× ２ ２ ＝２００円 ５回目 賞金 １ ２ １５枚 ５００円 １４枚 4００円 １２枚 2００円 １ ２ １３枚 ３００円 １１枚 １００円 ・ ・ ・ ・ ・ Step3 従って、３回終わって１３枚の時点の 期待値はStep1、Step2 の結果から １ １ ４００円× ＋ ２００円× ２ ２ ＝３００円 同様の計算を順次、各時点において行う ５回目 各時点で終了した場合の賞金額と比較する 確認！最初に計算したゲーム代と一致するはず ２回目 １１枚 １回目 １４３．７５円 １０枚 ９３．７５円 賞金０円 賞金１００円 ９枚 ４３．７５円 賞金０円 ８枚 １２．５円 賞金０円 すべての時点において 賞金の期待値 ≧ ４回目 １４枚 ３回目 １３枚 １２枚 ２１２．５円 賞金２００円 １０枚 ７５円 賞金０円 賞金（本源的価値） １ ３００円 賞金３００円 ２ ４００円 賞金４００円１ ２ １２枚 ２００円 １１枚 賞金２００円 １２５円 １０枚 賞金１００円 ５０円 ９枚 賞金０円 ２５円 ８枚 賞金０円 ０円 ７枚 賞金０円 ０円 ６枚 賞金０円 ０円 賞金０円 １5枚 ５００円 １３枚 ３００円 １１枚 １００円 合理的な判断をするならば、途中で終了して賞金を受け取る必要はない ゲームAとゲームBは違いがない ゲーム代は同じ ９枚 ０円 ７枚 ０円 ５枚 ０円 ■ まとめ 保険、株価オプションなどの取引の料金を計算する際の基本的なロジックの勉強 取引の特徴 お客の支払いは少額（保険料、オプション料） ・・・ ゲーム代 ある条件を満たした場合に受取りが発生する ・・・ 賞金 （保険金、オプション決済金） 何が面白いか ・・・・・・ 勝負してみないとわからない 将来の不確定なものの代金を決定する 未来を予知している？ ■ 練習問題 ５００円硬貨を１０枚重ねて置いてある。今、別の１枚の５００円硬貨を投げ て，表が出たらこの上に重ね、裏が出たら重ねてある５００円硬貨を１枚減 らすという作業を１０回繰り返す。終了時点で１２枚を超えた枚数を賞金と する。このゲームの最高賞金額はいくらか。また、参加料はいくらにしたら 良いか。 答え 最高賞金額 ４０００円 ゲームの参加料は約２４０円 ■ 発展問題 １００円硬貨を２枚重ねて置いてある。今、別の１枚の１００円硬貨を投げて， 表が出たらこの上に重ね、裏が出たら重ねてある１００円硬貨を１枚減らす という作業を１０回繰り返す。 ただし、重ねてある硬貨が０枚になったらそ の時点で終了とする。（ノックアウトオプション） 終了時点で３枚を超えた枚数を賞金とする。このゲームの参加料はいく らにしたら良いか。 答え 賞金の期待値＝７７．５３９・・・ となり、ゲームの参加料は約７８円 ■ 考査の出題 図のように１００円硬貨を１０枚重ねて置いてある．今、別の１枚の１００円 硬貨を投げて，表が出たらこの上に重ね，裏が出たら重ねてある１００円 硬貨を１枚減らすという作業を繰り返す．以下の問に答えよ． 表が出たら乗せる 裏が出たら減らす 10枚 (1) ３回投げたとき，１００円硬貨が１３枚重なっている確率を求めよ． (2) ５回投げたとき，１００円硬貨が１３枚重なっている確率を求めよ． (3) ５回投げたとき，重なっている１００円硬貨が１０枚を超えた枚数だ け賞金として受け取れるものとする．賞金の期待値を求めよ． 終わり
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