音と聴覚 sound and hearing 法政大学 情報科学部 1 音と聴覚 音波（１） sound waves 音：媒質中の縦波 媒質＝気体，液体，固体 空気中の音波に注目 サイン波：決まった振幅，波長，周波数 可聴域 audible range：20 Hz～20 kHz 超音波 ultrasonic waves, 超低周波 infrasonic waves x軸正方向に進む理想的な波： y( x, t ) A cos(kx t ) 縦波，変位振幅 A, displacement amplitude xとyは同じ向き 2 音と聴覚 音波（２） sound waves 音波：大気圧の上下に圧力が変動 耳の機能 鼓膜の両側（外耳道と耳管）の圧力差 → 鼓膜の運動 外耳道側 大気圧＋圧力変動（音波） pa + p(x, t) 耳管側 大気圧 3 音と聴覚 音波（３） sound waves y(x,t) 隣接２点の変位 vs 発生した圧力 Δx→0での体積の相対変化 dV/V dV S [ y ( x x, t ) y ( x, t )] y lim x 0 V S x x y(x+Δx,t) V+ΔV S V＝SΔx x x+Δx 体積弾性率 bulk modulus, B p ( x, t ) 発生し た圧力 B (等温で ) Bの定義 左辺を V / V 読むと 単位体積あ たり の変形し た体積 参考： Bは， バネ定数 発生し た応力 と 類似の量 変形し た長さ pを pと 書き 直す p( x, t ) B 4 音と聴覚 y ( x, t ) x 問３－１ ボイル・シャルルの法則 PV=nRTに従う気体の体 積弾性率（等温）を計算せよ． 常温大気圧（1 atm ～105 Pa, 1Pa=1N/m2）の空気が ボイルシャルルの法則に従うとして，その体積弾 性率を概算せよ． 断面積 1 cm2の注射器に大気圧の空気を閉じ込め 長さ10 cm の気柱を作るとバネのような復元力を 生じた．等温圧縮・膨張とする．バネ定数はどれ だけか． 5 音と聴覚 音波(4) sound waves サイン波のとき y ( x, t ) A cos( kx t ) y p ( x, t ) B BkA sin(kx t ) x 変位の波と圧力変動の波 ・ 振動数と波長が同じ ・ 同じ方向に進む ・ 1/4波長ずれ 変位0：圧力変動の極値 圧力変動0：変位の極値 圧力振幅 pressure amplitude：pmaxBkA=(2π/λ) BA 低 圧 6 音と聴覚 高 圧 平衡位置 から変位 した量 y 圧力変動又は 密度の変動 p 問３－２ 前ページの図（サイン波の縦波）について，サイ ン関数のグラフ，変位，圧力変動の関係を説明せ よ．（ヒント：体積変化→圧力変化の論理の展開 には体積弾性率Ｂを用いることができる） 7 音と聴覚 音波の知覚 perception of sound waves 圧力振幅 周波数 耳の感度 → → 音の大きさ loudness 音のピッチ pitch（高低） 周波数依存性：同じ振幅でも異なる大きさに聞こえる 健康，年齢，個人差 ～3×10－5 Pa@ 1 kHz ～3×10－4 Pa @ 200 Hz , 15 kHz 周波数スペクトル → 音色 timbre 基本振動数と高調波成分の組成 立ち上がりattackと減衰decay 雑音 noise 8 音と聴覚 音波の速さ speed of sound wave 波の速さ： v ~ 波長× バネ定数 質量 バネ定数：圧縮のしにくさ→体積弾性率 B 質量：密度 ρ v B , [p] p( x, t ) ML M [ B] [ p ] 2 2 2 V / V [V ] / [V ] T L T L M [ ] 3 L 9 音と聴覚 B M 2 T L M L3 L / T [v ] 問３－３ サイン波は，弦のある小部分に注目すると，単振 動している． その部分に作用する復元力のバネ定数 k と質量 m と 振動数 f の関係を記せ． 波長 λが一定のとき，振動数 f と波の速さ v の関係 を記せ． 体積弾性率と密度から速度の次元を持つ量をつく れ 資料2から弦を伝わる波の速さと，張力・線密度 の関係を説明せよ． 10 音と聴覚 流体中の音速 speed of sound wave in a fluid 平衡状態 t=0 管内の流体を伝わる音波の速さ 圧力が均一 v : ピストンの速さ=流体の移動の速さ 静 止 vy: 波の速さ=境界Pの移動の速さ B : 体積弾性率= - (圧力変化Δp)/(体積変化率) p v B p Avy t / Avt vy p B vy v ρvt A×vy : 運動量の変化 B 11 音と聴覚 v At vtAvy 断面積A 圧力p+Δp ΔpAt=B A t vy/v :ｔまでに加わった力積 vy vy t vt 動 い て い る 静 止 圧力p P v B 管内だけでなく 3次元的に広がる 流体中の音波でも成立 固体中の音速 speed of sound wave in a solid 固体の縦波 縦方向に圧縮すると横方向に膨らむ 体制弾性率 → v Yang率,γ 音速の比較 気体： 空気(20°C) ヘリウム(〃) 344 m/s 999 液体ヘリウム(4K) 水銀(20°C) 水 (0°C) 水(20°C) 1482 211 m/s 1451 1402 アルミニウム 鋼鉄 6420 m/s 5941 液体： 固体： 12 音と聴覚 気体の音速 speed of sound in gases 体積弾性率が圧力で変化する 断熱過程： PVγ=一定 比熱比γ：定圧熱容量と定積熱容量の比（2原子分子では 7/5=1.4） 体積弾性率： dP dP d B V V kV k V P dV / V dV dV v B P PV V R 8.314 J/mol·K 音速が温度で変化する 13 音と聴覚 1モルの理想気体 任意の温度で （ ex. 0℃，気圧で 1 V 22.4㍑） RT １ モルの質量 問３－３ 前ページの体積弾性率の計算で，等温過程でなく 14 「断熱過程」を採用する理由を考えよ． 比熱比について調べ，理解したことを記せ． 温度300 K, 圧力1 atmの窒素ガス（２原子分子，分子量 28, 比熱比 1.4）を伝わる音の速さを計算せよ．ヘリウ ムガス（単原子分子，分子量4, 比熱比γ=1.66）ではど うか． 上問の結果をもとにして，ドナルドダック効果を調 べて解説せよ． 航空機等の速度をマッハ数で表すとき音速を基準と するが，高度1万メートルの音速はどの程度か．速度 の世界記録を申請するとき地表付近でのマッハ数を 用いる理由を考えよ． 音と聴覚 音の強度 sound intensity 音の強度intensity パワー（仕事率 power）: 単位時間あたりのエネルギー＝力×速度 強度: 単位面積あたりのパワー パワー/面積 =圧力×速度 p(x,t)×vy(x,t) = p(x,t)× ∂y(x,t)/∂t サイン波 強度= BωkA2 sin2 (kx-ωt) 強度の時間平均 = Bωk A2 /2= √[ρB] ω2 A2 /2= v pmax 2/(2B)= pmax 2 /(2√[ρB] ) 圧力振幅で表わせば周波数に依存しない 15 音と聴覚 デシベル decibel 聴覚：倍大きくなった感じは I → I2 対数目盛をとると直線的 ダイナミックレンジが広い 音圧レベル sound pressure level： dB デシベル Lp= 10 dB×log (I/I0) = 20 dB × log(pmax/p0) I0 = 10－12W/m2 聴力の下限 １２０デシベル １１０デシベル １００デシベル ９０デシベル ８０デシベル ７０デシベル ６０デシベル ５０デシベル ４０デシベル ３０デシベル ２０デシベル 16 音と聴覚 ・飛行機のエンジンの近く ・自動車の警笛（前方2m）・リベット打ち ・電車が通るときのガードの下 ・犬の鳴き声（正面5m）・騒々しい工場の中・カラオケ（店内客席中央） ・地下鉄の車内・電車の車内・ピアノ（正面1m） ・ステレオ（正面1m、夜間）・騒々しい事務所の中・騒々しい街頭 ・静かな乗用車・普通の会話 ・静かな事務所・クーラー（屋外機、始動時） ・市内の深夜・図書館・静かな住宅の昼 ・郊外の深夜・ささやき声 ・木の葉のふれあう音・置時計の秒針の音（前方1 音の定在波と基準振動モード standing sound waves and normal modes Kundt管を用いた定在波の観察 気体が動かない「変位の節」に粉がたまる 隣合う節の間隔が λ/2 17 音と聴覚
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