凹型区分線形取引コストを考慮した
少額資産運用ポートフォリオ最適化
A0978513
山田賢太郎
2
目次
１．研究背景
1.1 用語の説明
２．研究目的
2.1 凹型区分線形取引コスト
３．従来研究の定式化
４．本研究での定式化
５．実験による評価
5.1 実験目的
5.2 実験データと使用ソフトウェア
5.3 実験結果概要
5.3 計算時間での比較結果
5.4 銘柄数での比較結果
5.5 投資収益額での比較結果
６．まとめ
3
目次
１．研究背景
1.1 用語の説明
２．研究目的
2.1 凹型区分線形取引コスト
３．従来研究の定式化
４．本研究での定式化
５．実験による評価
5.1 実験目的
5.2 実験データと使用ソフトウェア
5.3 実験結果概要
5.3 計算時間での比較結果
5.4 銘柄数での比較結果
5.5 投資収益額での比較結果
６．まとめ
4
１．研究背景
• 数千万円程度の少額資産運用では，モダン・ポート
フォリオ理論は適さない．
• 最小取引単位制約や取引コストを考慮した場合，数
十銘柄による資産のポートフォリオを組めないから．
• 従来研究（2001年）では，平均絶対偏差の利用によ
り，モダン・ポートフォリオ理論を少額資産運用モ
デルに適用することができた．
• 取引コストを完全には考慮しきれていないなど，問
題も残っている．
5
1.1
用語の説明（ポートフォリオ）
• 自己の運用資産（株式，債券，投資信託，外国預金等）
の構成状況のこと．
• リスク許容度に応じて，異なる金融商品に分散投資をす
る．
• 投資家が目標とする期間でのリターン（収益）とそれに
見合ったリスクのバランスを取ることがポイント．
注意
• この研究では，問題を簡潔にするため，ポート
フォリオの構成要素は全て株式であるとする．
6
1.1
用語の説明（モダン・ポートフォリオ理論）
• H.M.マーコウィッツ(Harry M. Markowitz, アメリカ)に
より提唱される．
• 自身のポートフォリオを最適化し，自身のリスク資産を
どう価格設定するのかを決める理論である．
• ポートフォリオを複数資産の集合とみなすと，得られる
収益は，複数資産の収益の加重平均で表される．
• リスクの評価は標準偏差で行われる．
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目次
１．研究背景
1.1 用語の説明
２．研究目的
2.1 凹型区分線形取引コスト
３．従来研究の定式化
４．本研究での定式化
５．実験による評価
5.1 実験目的
5.2 実験データと使用ソフトウェア
5.3 実験結果概要
5.3 計算時間での比較結果
5.4 銘柄数での比較結果
5.5 投資収益額での比較結果
６．まとめ
8
２．研究目的
• 従来研究（2001年）により，少額資産運用モデルにもモダ
ン・ポートフォリオ理論を適用することが可能となった．
• 2001 年当時のコンピュータの性能では，完全に凹型区分線
形取引コストを考慮できていない．
• 従来研究を凹型取引コストと最小取引単位を考慮したモデル
に変更する．また，直接投資収益額が求まるように変更する．
• 変更したモデルの作成及び評価をすることを目的とする．
9
2.2
凹型区分線形取引コスト
• 取引コストは，各銘柄の取引金額に応じて異なる．
10
2.2
凹型区分線形取引コスト
• 取引コストは，各銘柄の取引金額に応じて異なる．
下方近似している！
注意
• 従来研究では，凹型区分取引コストを完全には考慮できておらず，
下方近似した取引コストを使用している．
11
目次
１．研究背景
1.1 用語の説明
２．研究目的
2.1 凹型区分線形取引コスト
３．従来研究の定式化
４．本研究での定式化
５．実験による評価
5.1 実験目的
5.2 実験データと使用ソフトウェア
5.3 実験結果概要
5.3 計算時間での比較結果
5.4 銘柄数での比較結果
5.5 投資収益額での比較結果
６．まとめ
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３．従来研究の定式化
• 少額資産運用にモダン・ポートフォリオ理論を組み
入れたのが，従来研究の定式化．
• リスクの評価を絶対偏差に置き換えたモデルが，平均絶
対偏差モデルである．
• リスクの大きさは，各投資家の許容度によって異なる．
• リスクを各投資家の許容リスク範囲内の一定値以下とし
た上で，期待収益率の最大化を目指す．
13
３．従来研究の定式化（入力データ）
• n種類の株式 𝑆𝑗 (𝑗 = 1,2, … , 𝑛)を対象とする資産運用問題のポートフォリ
オ収益最大化を考える．
• M：運用資産の総額（円）
• 𝑋𝑗 ：各銘柄への投資額（円）
• 𝑅𝑗 ：各株式 𝑆𝑗 の収益率
• 𝑝𝑡 ：各シナリオの実現確率．ただし，𝑝𝑡 =
1
𝑇
• 𝑘𝑗 ：最小取引単位の非負整数倍
• { 𝑟1𝑡 , 𝑟2𝑡 , … , 𝑟𝑛𝑡 ∶ 𝑡 = 1, … , 𝑇 }：第 T シナリオまで考えた時の，収益率ベ
クトル 𝑅 = (𝑅1 , … , 𝑅𝑛 )の取り得る値の集合
14
３．従来研究の定式化（目的関数）
𝑛
𝐦𝐚𝐱𝐢𝐦𝐢𝐳𝐞
𝑅𝑗 𝑥𝑗 − 𝑐𝑗 𝑥𝑗
(1)
𝑗=1
ただし、
投資収益率最大化！
𝑅𝑗 ：各株式𝑆𝑗 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 の収益率
𝑐𝑗 ：各株式𝑆𝑗 (𝑗 = 1,2, … , 𝑛)に対する取引コスト
𝑥𝑗 ：各株式への投資比率
15
３．従来研究の定式化（目的関数）
注意
凹型区分線形取引コストを完全には考慮できておらず，
下方近似している．
16
３．従来研究の定式化（目的関数）
𝑛
𝐦𝐚𝐱𝐢𝐦𝐢𝐳𝐞
𝑅𝑗 𝑥𝑗 − 𝛿𝑗 𝑥𝑗
(1′ )
𝑗=1
ただし，
ポートフォリオから得
られる収益率の最大化
𝑅𝑗 ：各株式𝑆𝑗 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 の収益率
𝛿𝑗 ：各株式𝑆𝑗 ( 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 )に対する取引コスト
変数𝑥𝑗 は，
𝑥𝑗 ：各株式への投資比率
を表す．
17
３．従来研究の定式化（制約条件）
リスクは、各投資家の許
容リスク範囲以下
subject to
𝑇
𝑦𝑡 ≤ 𝑊0 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 ,
𝑡=1
2
𝑛
−𝑝𝑡
𝑟𝑗𝑡 − 𝑅𝑗 𝑥𝑗
≤ 𝑦𝑡 ,
(3)
𝑗=1
𝑛
𝑝𝑡
𝑟𝑗𝑡 − 𝑅𝑗 𝑥𝑗
≤ 𝑦𝑡 ,
4
𝑗=1
𝑦𝑡 ≥ 0 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 ,
5
18
３．従来研究の定式化（制約条件）
𝑥𝑗 ≥ 0 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ,
6
𝑥𝑗 = 𝑘𝑗 𝑍𝑗 j = 1,2, … , 𝑛 ,
7
各株式の取引量は
非負整数倍
𝑛
𝑥𝑗 = 1 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ,
(8)
𝑗=1
𝑍𝑗 ∈ Ζ , 𝑍𝑗 ≥ 0 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
各株式の投資比率
の和＝１
(9)
ただし、
𝑟𝑗𝑡 ：第𝑡シナリオが実現した時の株式𝑗の投資収益率
𝑊0 ：各投資家の許容リスクの大きさ
𝑘𝑗 ：各株式の取引単位分の値段の比率
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目次
１．研究背景
1.1 用語の説明
２．研究目的
2.1 凹型区分線形取引コスト
３．従来研究の定式化
４．本研究での定式化
５．実験による評価
5.1 実験目的
5.2 実験データと使用ソフトウェア
5.3 実験結果概要
5.3 計算時間での比較結果
5.4 銘柄数での比較結果
5.5 投資収益額での比較結果
６．まとめ
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４．本研究での定式化（目的関数）
• 従来研究からの改良点
▫ 凹型取引コストを考慮したモデルへの改良
▫ 最小取引単位数を考慮する
▫ 投資収益率ではなく、直接、投資収益が求まるように改良
※ 運用資産の総額をM（円）とし、各銘柄への投資額を𝑋𝑗 （円）を変数とする。
• 目的関数
𝑛
𝐦𝐚𝐱𝐢𝐦𝐢𝐳𝐞
𝑅𝑗 𝑋𝑗 − 𝐶𝑗 𝑋𝑗
(10)
𝑗=1
投資収益最大化
21
４．本研究での定式化（制約条件）
subject to
𝑇
𝑦𝑡 ≤ 𝑊0 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 ,
𝑡=1
11
𝑛
−𝑝𝑡
𝑟𝑗𝑡 − 𝑅𝑗 𝑋𝑗
≤ 𝑦𝑡 ,
12
𝑗=1
𝑛
𝑝𝑡
𝑟𝑗𝑡 − 𝑅𝑗 𝑋𝑗
≤ 𝑦𝑡 ,
13
𝑗=1
𝑦𝑡 ≥ 0 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 ,
14
22
４．本研究での定式化（制約条件）
𝑋𝑗 ≥ 0 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ,
15
𝑋𝑗 = 𝐾𝑗 𝑍𝑗 j = 1,2, … , 𝑛 ,
16
𝑛
𝑋𝑗 = 𝑀 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ,
(17)
𝑗=1
𝑍𝑗 ∈ Ζ , 𝑍𝑗 ≥ 0 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
各株式は，100株分の値
段の非負整数倍で取引．
各株式の投資額の和は
資産総額Mとなる。
(18)
ただし，
𝑟𝑗𝑡 ：第 𝑡 シナリオが実現した時の株式 𝑗 の投資収益率
𝑊0 ：各投資家の許容リスクの大きさ
𝐾𝑗 ：各株式の取引単位分の値段
𝐶𝑗 ：各株式の取引コスト
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目次
１．研究背景
1.1 用語の説明
２．研究目的
2.1 凹型区分線形取引コスト
３．従来研究の定式化
４．本研究での定式化
５．実験による評価
5.1 実験目的
5.2 実験データと使用ソフトウェア
5.3 実験結果概要
5.3 計算時間での比較結果
5.4 銘柄数での比較結果
5.5 投資収益額での比較結果
６．まとめ
24
5.1
実験目的
• 凹型区分線形取引コストを完全に考慮したことで，最適解が
求まるまでの計算時間が延びることが予想された．
• コストの影響分だけ，ポートフォリオに組み込まれる銘柄数
に変化がおこると予想された．
• 計算時間，銘柄数，最適解に注目し，コストを考慮しないモ
デルとで比較実験を行った．
• 作成したモデルの評価を行った．
25
5.2
実験データと使用ソフトウェア
• 実験データ
▫ 実データを得ることが困難であった．
▫ 日経225の株式データの2011 年度(通年) の配当金を参
考に，乱数を用いて以下のものの疑似データを作成．
各株式の株価
シナリオごとの投資収益率
▫ 実験に用いたデータは，50 銘柄、40 シナリオ分の
データとする。
• 使用ソフトウェア
▫ 混合整数計画ソルバー Gurobi Optimizer 5.0.4
26
5.3
実験結果概要
• 投資金額を
▫ ３百万円，５百万円，１千万円，５千万円，１億円，
３億円
として、実験を行った。
• 投資額の10％以下を許容リスク範囲とし、今回作成した
モデルの評価を行った。
• 許容リスク範囲は
▫ ３万円，３０万 円，３百万 円，３千 万円，３億円
とした。
27
6.1
計算時間での比較結果
• リスクの大きさは，投資額の10％程度とする投
資家が多い．
• 許容リスク範囲が各投資額の10％以下の部分で
比較をした．
• 最適解が求まった許容リスク範囲は，３万円，
３０万円，３００万円であった．
28
6.1 計算時間での比較結果
• 投資額に対して，許容リスクが10 ％程度では大差なく，一瞬にして最適解が求まった．
• 投資額に対して許容リスクが1 ％程度では，取引コストを考慮した場合の方が，計算時間
が倍以上かかった．しかしながら，どの場合も400 秒以内には最適解がみつかった．
• 各投資額に対して許容リスク範囲が1 ％よりも小さくなると，コストを考慮した方が，格
段と計算時間がかかった．
29
6.2
銘柄数での比較結果
• 青抜きの個所は、実行可能解がなかった個所である。
許容リスク範囲
30,000（円）
許容リスク範囲
300,000（円）
許容リスク範囲
3,000,000（円）
許容リスク範囲
30,000,000（円）
運用資金（円）
¥3,000,000
¥5,000,000
¥10,000,000
¥50,000,000
¥100,000,000
¥300,000,000
運用資金（円）
¥3,000,000
¥5,000,000
¥10,000,000
¥50,000,000
¥100,000,000
¥300,000,000
運用資金（円）
¥50,000,000
¥100,000,000
¥300,000,000
運用資金（円）
¥300,000,000
銘柄数（コストなし）
14
13
21
21
銘柄数（コストあり）
14
13
13
25
銘柄数（コストなし）
3
4
9
15
18
20
銘柄数（コストなし）
4
10
15
銘柄数（コストなし）
3
21
銘柄数（コストあり）
3
4
9
14
19
20
銘柄数（コストあり）
4
8
15
銘柄数（コストあり）
3
• ポートフォリオに組み込まれる銘柄にも違いは見受けられ
なかった．
30
6.3 投資収益額での比較結果
• 青抜きの個所は，実行可能解がなかった個所である．
許容リスク範囲
30,000（円）
許容リスク範囲
300,000（円）
許容リスク範囲
3,000,000（円）
許容リスク範囲
30,000,000（円）
運用資金（円）
投資収益額（円）（コストなし） 投資収益額（円）（コストあり） 取引コストの影響（％）
¥3,000,000
¥1,717,943
¥1,680,143
2.20%
¥5,000,000
¥2,826,850
¥2,767,274
2.11%
¥10,000,000
¥5,581,629
¥5,467,948
2.04%
¥50,000,000
¥27,507,831
¥100,000,000
¥300,000,000
¥164,550,920
¥162,845,497
1.04%
運用資金（円）
投資収益額（円）（コストなし） 投資収益額（円）（コストあり） 取引コストの影響（％）
¥3,000,000
¥1,918,523
¥1,889,317
1.52%
¥5,000,000
¥3,161,928
¥3,115,828
1.46%
¥10,000,000
¥6,143,178
¥6,045,532
1.59%
¥50,000,000
¥28,568,615
¥28,158,172
1.44%
¥100,000,000
¥56,307,759
¥55,578,175
1.30%
¥300,000,000
¥166,087,152
¥164,344,513
1.05%
取引コストの影響（％）
運用資金（円）
投資収益額（円）（コストなし） 投資収益額（円）（コストあり）
¥50,000,000
¥31,723,587
¥31,439,804
0.89%
¥100,000,000
¥61,528,329
¥60,895,291
0.89%
¥300,000,000
¥174,334,666
¥172,660,433
0.96%
取引コストの影響（％）
運用資金（円）
投資収益額（円）（コストなし） 投資収益額（円）（コストあり）
¥300,000,000
¥193,947,042
¥193,028,993
0.47%
• 比較結果から，運用資金が高く，分散銘柄数が多く，各々の銘柄への投
資額が大きい場合には，取引コストが安くなるという，取引コストの性
質がきちんとモデルに反映されていた．
31
目次
１．研究背景
1.1 用語の説明
２．研究目的
2.1 凹型区分線形取引コスト
３．従来研究の定式化
４．本研究での定式化
５．実験による評価
5.1 実験目的
5.2 実験データと使用ソフトウェア
5.3 実験結果概要
5.3 計算時間での比較結果
5.4 銘柄数での比較結果
5.5 投資収益額での比較結果
６．まとめ
32
７．まとめ
• 実験結果より，凹型区分線形取引コストを考慮したモデルは，
投資額が十分大きい場合は，十分有益なモデルであるといえ
る．
• 投資額が小さく，許容リスク範囲も小さい場合は，最適解が
求まる時間が格段と長い．しかし，投資収益が各株式の配当
のみの場合には、十分有益だといえる．
• 株式の売却差益を，ポートフォリオから得られる収益に含め
る場合，投資額が小さく，リスクも十分小さい範囲で最適解
を求めたい場合は，許容可能な実行可能解が見つかるまでの
計算時間がかかりすぎてしまう．実務では使えないであろう
と感じた．
※これより，質疑応答を受け付けます。
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