●モールの応力円 （土質力学編） （圧縮正） ・土中応力＝土かぶり圧（γｚ）＋ 荷重ｑによる伝達応力 ・土中の1点（の微小要素）に着目して、 応力の作用方向と値を調べる 構造物 目 次 ▼ ・応力状態をモールの応力円で表し、任意 面上の応力（σ,τ）を作図で求める 鉛直 土かぶり圧 深さ ｚ γｚ σ2 ｚ σ1＝σv＝γｚ σ2＝σh ｘ 荷重ｑ σ1 水平 土かぶり圧＋伝達応力 σ1 σ1 σ 1 σ2 σ2 σ2 σ2 σ1 σ1 σ2 σ2 σ1 ●直角座標応力成分 ●モール円の極 ・応力記号の約束 ・２次元応力状態 ・応力の正負（圧縮正） ・応力の正負（引張正） ●モール円作図 ●任意面上の応力 ・主応力 ・最大せん断応力 ●モールの応力円 ・モール円（主応力） ・モール円（ｘｚ面応力） ・主応力と任意面応力 表紙≪ ●地盤内応力 ・地盤内応力とすべり ●三軸圧縮試験 ・地盤内応力のモール円表示 ・モール円表示例 ・試験手順とモール円 ・一軸・三軸圧縮試験 □□□目次□□□ ≫直角座標の導入 ≫TOP ●直角座標の導入 ・土中に微小四角形要素を考え、これに働く応力成分を調べる ・土中に直角座標（ｘ，ｚ）導入 地盤 ｐ σ ｚ＋面 ｘ－面 ｚ－面 ｘ ｚ面＝ｚ軸に垂直な面 τ τ ｘ＋面 ｚ ｘ面＝ｘ軸に垂直な面 ｐ σ ・ｘ面，ｚ面は各２つある 正方向の面 → 正（＋） 負方向の面 → 負（－） ・合応力ｐは垂直・せん断成分 に分解できる ｐ＝ｐ（σ，τ） 目次≪ ≫応力記号 ≫TOP ●応力記号の約束 ・ｘ,ｚ面に働く（σ,τ）に２つの添字を付けて識別する ・同じ添字は垂直応力（σ）、異なる添字はせん断応力（τ） 応力の作用方向 σxx 作用面の方向 σｚ ← (σzｚ) τｚｘ ｚ ＋面 ｚ ・ｘ面に働くｘ方向の垂直応力 σｘｘ → σｘ （略記） ・ｚ面に働くｚ方向の垂直応力 σzz → σz （略記） ・ｘ面に働くｚ方向のせん断応力 σｘ ← (σｘｘ) τｘz ｘ＋面 τｘｚ ・ｚ面に働くｘ方向のせん断応力 τzx ｘ ｘｚ面≪ ≫2次元応力状態 ≫TOP ●２次元応力状態 ・ｘ,ｚ面内の１点の応力状態は（σｘ,σｚ,τｘｚ）で表される σｚ ・４種の成分（垂直2、せん断2） σｘ σｘ τｘｚ τｘｚ τｚｘ ｚ ｘ ｘｚ面≪ （σｘ，σｚ，τｘｚ ，τｚｘ） τｚｘ 応力記号≪ σｚ ・モーメント釣り合い （τｘｚ＝τｚｘ ） ・独立な応力成分（2次元） ( x , z , xz ) ≫応力の正負（圧縮正） ≫TOP ●応力の正負（圧縮正＝土質力学） ・正（負）の面に働く負（正）の方向の応力を正とする σｚ ・圧縮の垂直応力を正 τｘｚ ｘ－面 ｚ ＋面 σｘ ｚ ｘ＋面 τｘｚ ｘ σｚ → ｢圧縮正｣の約束 ｢土質力学｣ σｘ ・せん断応力の正 ｚ－面 ｚ x ※対応して、｢収縮｣変形を正とする 応力記号≪ 2次元応力状態≪ ≫応力の正負（引張正） ≫TOP ●応力の正負（引張正＝構造力学） ・正（負）の面に働く正（負）の方向の応力を正とする σｚ ・引張の垂直応力を正 τｘｚ ｘ－面 ｚ ＋面 σｘ ｘ＋面 ｚ τｘｚ ｘ σｚ → ｢引張正｣の約束 ｢構造力学｣ σｘ ・せん断応力の正 ｚ－面 ｚ x ※対応して、｢伸び｣変形を正とする 2次元応力状態≪ 圧縮正≪ ≫任意面上の応力 ≫TOP ●任意面上の応力 ・直角座標応力成分（σｘ，σｚ，τｘｚ）と任意面上の応力（σ，τ） σｘ τｘｚ α Δｚ σ τ Δｓ Δｘ ｚ τｘｚ ・α面上の応力（σ，τ） x z x z cos 2 xz sin 2 2 2 z x sin 2 xz cos 2 2 σｚ ｘ ・αを変えて（σ，τ）の変化を調べる → 主応力、最大せん断応力の誘導 応力の正負（圧縮正）≪ ≫主応力 ●任意面上の応力（計算例） （σｘ，σｚ，τｘｚ）＝（５０，２０，１５）kPa σ，τ 60 σ～α （kPa） 40 50kPa α τ σ 20 σm σm σ1 τmax 0 15kPa 30 τ＝0 20kPa 60 90 σ2 120 τ＝0 α（°） 150 180 τmax －20 τ～α ※τ＝0 の面（主面／互いに直交）で、σが最大・最小（主応力） ≫TOP ●主応力 ・面αを変えて（σ,τ）を調べると、τ＝０の面（主面）が存在する ・主面に働く垂直応力を｢主応力｣という 1 x z 2 2 x z 2 xz 2 2 ・主応力（主面）は互いに直交する ２次元 （σ1，σ2） σ2 σ1 任意面上の応力≪ σ1 σ1 σ2 ３次元 （σ1，σ2，σ3） σ2 σ2 σ3 σ1 ≫最大せん断応力 ≫TOP ●最大せん断応力 ・面αを変えて（σ,τ）を調べると、τが最大になる面が存在する ・τの最大値を｢最大せん断応力｣τmax という ・τmax の作用面には平均垂直応力σmが働く x z 2 max xz 2 x z 1 2 m 2 2 2 1 m max 2 任意面上の応力≪ 主応力≪ ＊主面と(σm,τmax)の 作用面は45°交差 σ1 σｍ σｍ τmax σ2 τmax σ2 σ1 ≫モール円(誘導) ≫TOP ●モールの応力円（誘導） ・任意面上の応力（σ,τ）は円上の１点（応力点）で表される 任意面上の応力（σ,τ） x z 2 x z cos 2 xz sin 2 2 x z sin 2 xz cos 2 2 τ 半径 （σ,τ） τmax 中心 σm 任意面上の応力≪ 主応力≪ ＊α消去 ( m )2 2 ( max )2 中心： m σ 半径： max x z 2 x z 2 2 xz ≫モール円(主応力) 2 ≫TOP ●モールの応力円（主応力） ・主応力（σ1,σ2）と最大せん断応力τmaxを表す応力点 ↑τ＝反時計回りを正 τ 最大せん 断応力 ・(σm，τmax) は２頂点 ・(σ1，0)， (σ2，0) は２端点 （σm,τmax） （σ,τ） τmax 主応力 主応力 σ2 σm σm 最大せん （σ ,τ ） m max 断応力 主応力≪ モール円(誘導)≪ σ1 σ 1 m max 2 → σ＝圧縮を正 ・反時計 回りのτ ≫モール円(ｘｚ面) ≫TOP ●モールの応力円（ｘｚ面応力） ・ｘ,ｚ面上の（σ,τ）もモール円上の応力点で表される τ（kPa） ・2点A,Bを通る 200 50 100 （応力円） 50 100 B（σｚ，τｘｚ） 50 100 50 ｚ （ｚ面に働く応力） σｚ＝200kPa τｘｚ＝50kPa（反時計） 0 50 ｘ 200 例：（σｘ，σz，τｘｚ） ＝（100, 200, 50）kPa 任意面上応力≪ モール円(誘導)≪ 100 200 σ（kPa） 50 A（σｘ，τｘｚ） （ｘ面に働く応力） σｘ＝100kPa τｘｚ＝50kPa（時計） ・A-B線とσ軸の 交点が円の中心 ≫主応力と任意面応力 ≫TOP ●主応力と任意面応力 ・主応力（σ1，σ2） ～ 任意面上の（σ，τ） 1 2 1 2 cos 2 m max cos 2 2 2 2 1 sin 2 max sin 2 2 τ σ 実平面 τ α τ σ2 σ1作用面から反時計回り角α τmax モール円 2α σ2 σ1 モール円(ｘｚ面)≪ σ σ1 σ σm → σ1点から反時計回り角２α ≫極の性質1 ≫TOP ●極の性質1 ・実平面の応力（σ,τ）とモール円上の応力点の関係 －（実平面で）面Ａとθ隔たった面Ｂの応力は、モール円上で面Ａに 対応する応力点Ａから中心角2θ隔たった応力点Ｂで表される－ τB σB 面B θ B（σB，τB） O τA σA 2θ 面A A（σA，τA） 実平面 主応力と任意面応力≪ モール円 ≫極の性質2 ≫TOP ●極の性質2 ・モール円上の応力点とその作用面の関係から｢極｣を定義する －モール円上の応力点Ａ（or 点Ｂ）から、その作用面Ａ（or 面Ｂ） に平行に引いた直線がモール円と再び交わる点を｢極｣という－ τB σB 面B θ θ B（σB，τB） O τA 2θ σA 面A 実平面 極の性質1≪ 面Bに平行 極Ｐ 面Aに平行 A（σA，τA） モール円 ≫極の性質3 ≫TOP ●極の性質3 ・｢極｣が知れると、作図により応力点や作用面の方向が知れる ①作用面が既知の場合：極からその面に平行に引いた線と応力円 の交点が、その面上の応力を与える ②応力点が既知の場合：極からその応力点に引いた線の方向が、 その応力の作用面の方向を与える 面Dに平行 極Ｐ D(σＤ，τD） σC 面Ｃ 面Cに平行 σ 時計 τC σD τD 面Ｄ 反時計 C(σC，τC） 極の性質1≪ 極の性質2≪ ≫作図例1 ≫TOP ●モール円作図１・・・ 直角座標応力（σx,σz,τxz）が既知 ・任意面ＡＣ上の応力（σ,τ）をモール円の作図で求める τ（kPa） A 100 σｘ＝ 100kPa σ α ①極を求める ・AB面に平行 ・BC面に平行 BC面応力 極Ｐ （σy,τｘｚ） 50 τ 100 B τｘｚ＝50kPa ｚ C σｚ＝200kPa ｘ モール円(ｘｚ面)≪ 50 AB面応力 200 σ（kPa） AC面応力 （σ，τ） （σｘ,τｘｚ） ・AC面に平行 ②AC面上の応力を求める 極の性質3≪ ≫作図例2 ≫TOP ●モール円作図2・・・ 主応力（σ1，σ2）が既知 ・（σ1,σ2）の応力点から各主面に平行に引いて極を求める ・主面とτmax面は45°交差する AB，CD面 σm σ2 τmax B A D τ σ1 τmax C 主面（σ2） 主面（σ1） 極Ｐ 45° 45°45° σm σ2 （σm，τmax） ・極を求める ・極を求める σ2 σm σ1 σ σ1 ・τmaxの作用面を求める 最大せん断応力≪ 作図例1≪ （σm，τmax） BC，AD面 ≫作図例3 ≫TOP ●モール円作図3・・・ AA面上の応力（σ，τ）を求める(1) 2.50σ0 τ σ1＝3σ0 σ2＝σ0 σ0 A 0.866σ0 A A A σ0 30° 2σ0 主面（σ2）方向 σ AA面 P σ0 3σ0 主面（σ1）方向 ※主応力（σ1，σ2）の応力点は、作用方向に関わらず モール円がσ軸と交差する2つの端点で表される （τ＝0 だから） 作図例２≪ ≫作図例４ ≫TOP ●モール円作図4・・・ AA面上の応力（σ，τ）を求める(2) τ A σ0 σ0 σ0 反時計回り σ0 P ｘ面 σ0 60° 60° σ0 A 時計回り AA面 引張 ※土質力学では・・・ z面 0 σ0 圧縮 σ0 A σ 0.5σ0 0.866σ0 A ・垂直応力は、圧縮が正、引張りが負 ・せん断応力は、反時計回りが正、時計回りが負 作図例3≪ ≫作図例5 ≫TOP ●モール円作図5・・・ 一軸圧縮試験(1) ・一軸供試体のα＝0～90°面上の応力（σ,τ）を求める σ1 σ τ α ・正規化表示 1.0 σ/σ1 τ/σ1 α面 τ P 2α α σ σ/σ1 30 1 (1 cos 2 ) 2 1 sin 2 2 τ/σ1 15 σ1 σ σ1 0. 5 作図例４≪ 中心：σ1/2 τ 半径：σ1/2 45 60 75 90 α（°） ≫作図例６ ≫TOP ●モール円作図6・・・ 一軸圧縮試験(2) ・供試体の方向によって極の位置が異なる σ1 τ σα τ α σ1 α σ1 τβ σβ σα σ1 σβ τα β面 τβ β P α σ1 σ α面 β 作図例5≪ ≫地盤内応力 ≫TOP ●地盤内の応力状態 ・土の自重（γz）や地表面の載荷重ｑにより地盤内応力が発生 座標応力（σx,σz,τxz）または主応力（σ1,σ2）で表示 紙面に垂直 ｑ＝Ｑ/A σ1 σ2 τxz 作図例6≪ σ2 σ1 σ2 すべり面 σx ｘ (σ1＞σ2＝σ3） ＊荷重中心では対称 σz z ＊３次元 σ1 σ2 σ1 ＊一般に（σ1,σ2）は傾斜する ≫地盤内応力とすべり ≫TOP ●地盤内応力とすべり ・主応力（σ1,σ2）とすべり面上の（σ,τ）の関係 ｢垂直応力σ｣：すべり面を押さえ付ける応力（拘束圧） ～ すべり抵抗応力τfに寄与する（τf＝ｃ＋σtanφ） ｢せん断応力τ ｣：すべりを起こす応力（滑動応力） ※τ≧τf → ｢すべる｣ σ1 σ1 τ σ2 地盤内応力≪ σ2 σ2 σ τf σ すべり面 τ τf すべり面 σ2 σ1 σ1 (σ2＝σ3） ≫地盤内応力の再現 ≫TOP ●三軸圧縮試験1・・・ 地盤内応力の再現 ・土の｢強さ｣・｢硬さ｣は周囲から受ける圧力（拘束圧σ）に依存する ～ 深い所（ｚ大）では、拘束圧σ大で、強度τf が大きい σA ｚA A σB ｚB B 軸圧σ1 ＊深さ： ｚB＞ｚA ↓ ＊拘束圧：σB＞σA 側圧σ3 ↓ ＊強度：τfB＞τfA （σ2＝σ3） σ3 σ1 ・｢三軸圧縮試験｣：３方向から圧力を加える圧縮試験 周囲から側圧（拘束圧σ3）を負荷し、軸圧（σ1）で圧縮 （軸圧σ1，側圧σ3）の組合わせで応力状態を表示 地盤内応力とすべり≪ ≫地盤内応力のモール円表示 ≫TOP ●三軸圧縮試験2・・・ 応力状態のモール円表示 ・軸圧σ1と側圧σ3を主応力とするモール円で、極Ｐはσ3点 σ1 軸圧σ1 τ A(σ，τ） 極Ｐ 側圧σ3 α α σ 側圧σ3 σ3 σ1 軸圧σ1 σ3 A τ σ3 α σ1 A σ σ1 B σ τ B(σ，τ） ※AA面とBB面上の応力（σ,τ）は大きさが等しい τの作用方向（反時計，時計）が異なる 地盤内応力の再現≪ σ3 σ3 α σ1 B ≫モール円表示例1 ≫TOP ●三軸圧縮試験3・・・ 試験手順とモール円 ・試験は、①側圧(σ3)負荷、②ピストン圧(σ1-σ3)負荷の２段階 σ3 軸圧σ1 σ3 側圧σ3 τ σ3 σ1 σ1－σ3 ① σ3 A(σ,τ） σ3 ＋ σ1 σ3 σ ＝ τ α ② A σ1－σ3 A σ3 σ1 ピストン圧 拡大 極Ｐ （主応力差） ・側圧一定、ピストン圧増加 → 破壊 α 側圧σ3 モール円表示≪ モール円表示例1≪ 軸圧σ1 σ ≫一軸・三軸試験 ≫TOP ●三軸圧縮試験4・・・ 強度定数（ｃ，φ）の決定 ・側圧σ3を幾つか変え、ピストン圧を加えて破壊 軸圧σ1 ・破壊時のモール円を描き、包絡線を引く → ｃ，φ 主応力差：（σ1－σ3）f σ3 側圧σ3 τf＝ｃ＋σtanφ τ 摩擦角φ 破壊モール円 σ1 モール円の拡大 粘着力ｃ 側圧σ3 モール円表示≪ モール円表示例1≪ (σ1－σ3)f 軸圧σ1 σ 試験手順とモール円≪ ≫TOP ●三軸圧縮試験5・・・ 破壊の判定（安全性の評価） ・AA面（α面）に沿って破壊する（すべる）か、否か σ1 σ3 σ A σ3 τ α A ・モール円： τ m 1 3 1 3 max 2 τf＝ｃ＋σtanφ 2 φ σ1 m max cos2 max sin 2 モール円表示≪ ｃ モール円表示例1≪ 半径τmax 極Ｐ σ3 α τ f Fs τf 2α 中心σm σ1 σ σ 試験手順とモール円≪ ●三軸圧縮試験6・・・ 一軸・三軸圧縮試験のモール円表示 ・一軸圧縮試験 ・三軸圧縮試験 軸圧σ1 軸圧σ1 ＊σ2＝σ3 ＝0 ＊σ2＝σ3 ＝σ0 σ 側圧σ0 （無拘束） 0 σ1 τ 軸圧σ1増加 σ1 τ モール円拡大 極Ｐ σ3＝0 ≫TOP （拘束圧） ピストン圧増加 モール円拡大 極Ｐ σ1 σ σ3＝σ0 σ1 σ （試験中一定） モール円表示≪ モール円表示例1≪ 試験手順とモール円≪
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