鉄筋コンクリート工学Ⅰ

●モールの応力円 (土質力学編)
(圧縮正)
・土中応力=土かぶり圧(γz)+ 荷重qによる伝達応力
・土中の1点(の微小要素)に着目して、
応力の作用方向と値を調べる
構造物
目
次
▼
・応力状態をモールの応力円で表し、任意
面上の応力(σ,τ)を作図で求める
鉛直
土かぶり圧
深さ z
γz
σ2
z
σ1=σv=γz
σ2=σh
x
荷重q
σ1
水平
土かぶり圧+伝達応力
σ1
σ1
σ
1
σ2
σ2
σ2
σ2
σ1
σ1
σ2
σ2
σ1
●直角座標応力成分
●モール円の極
・応力記号の約束
・2次元応力状態
・応力の正負(圧縮正)
・応力の正負(引張正)
●モール円作図
●任意面上の応力
・主応力
・最大せん断応力
●モールの応力円
・モール円(主応力)
・モール円(xz面応力)
・主応力と任意面応力
表紙≪
●地盤内応力
・地盤内応力とすべり
●三軸圧縮試験
・地盤内応力のモール円表示
・モール円表示例
・試験手順とモール円
・一軸・三軸圧縮試験
□□□目次□□□
≫直角座標の導入
≫TOP
●直角座標の導入
・土中に微小四角形要素を考え、これに働く応力成分を調べる
・土中に直角座標(x,z)導入
地盤
p
σ
z+面
x-面
z-面
x
z面=z軸に垂直な面
τ τ
x+面
z
x面=x軸に垂直な面
p
σ
・x面,z面は各2つある
正方向の面 → 正(+)
負方向の面 → 負(-)
・合応力pは垂直・せん断成分
に分解できる
p=p(σ,τ)
目次≪
≫応力記号
≫TOP
●応力記号の約束
・x,z面に働く(σ,τ)に2つの添字を付けて識別する
・同じ添字は垂直応力(σ)、異なる添字はせん断応力(τ)
応力の作用方向
σxx
作用面の方向
σz ← (σzz)
τzx
z +面
z
・x面に働くx方向の垂直応力
σxx → σx (略記)
・z面に働くz方向の垂直応力
σzz → σz (略記)
・x面に働くz方向のせん断応力
σx ← (σxx)
τxz
x+面
τxz
・z面に働くx方向のせん断応力
τzx
x
xz面≪
≫2次元応力状態
≫TOP
●2次元応力状態
・x,z面内の1点の応力状態は(σx,σz,τxz)で表される
σz
・4種の成分(垂直2、せん断2)
σx
σx
τxz
τxz
τzx
z
x
xz面≪
(σx,σz,τxz ,τzx)
τzx
応力記号≪
σz
・モーメント釣り合い
(τxz=τzx )
・独立な応力成分(2次元)
( x ,  z ,  xz )
≫応力の正負(圧縮正)
≫TOP
●応力の正負(圧縮正=土質力学)
・正(負)の面に働く負(正)の方向の応力を正とする
σz
・圧縮の垂直応力を正
τxz
x-面
z +面
σx
z
x+面
τxz
x
σz
→ 「圧縮正」の約束
「土質力学」
σx
・せん断応力の正
z-面
z
x
※対応して、「収縮」変形を正とする
応力記号≪ 2次元応力状態≪
≫応力の正負(引張正)
≫TOP
●応力の正負(引張正=構造力学)
・正(負)の面に働く正(負)の方向の応力を正とする
σz
・引張の垂直応力を正
τxz
x-面
z +面
σx
x+面
z
τxz
x
σz
→ 「引張正」の約束
「構造力学」
σx
・せん断応力の正
z-面
z
x
※対応して、「伸び」変形を正とする
2次元応力状態≪
圧縮正≪
≫任意面上の応力
≫TOP
●任意面上の応力
・直角座標応力成分(σx,σz,τxz)と任意面上の応力(σ,τ)
σx
τxz
α
Δz
σ
τ
 
Δs
Δx
z
τxz
・α面上の応力(σ,τ)
 x  z

 x  z
 cos 2   xz  sin 2
2
2
  z
  x
 sin 2   xz  cos 2
2
σz
x
・αを変えて(σ,τ)の変化を調べる
→ 主応力、最大せん断応力の誘導
応力の正負(圧縮正)≪
≫主応力
●任意面上の応力(計算例)
(σx,σz,τxz)=(50,20,15)kPa
σ,τ
60
σ~α
(kPa)
40
50kPa
α τ
σ 20
σm
σm
σ1
τmax
0
15kPa
30
τ=0
20kPa
60
90
σ2
120
τ=0
α(°)
150
180
τmax
-20
τ~α
※τ=0 の面(主面/互いに直交)で、σが最大・最小(主応力)
≫TOP
●主応力
・面αを変えて(σ,τ)を調べると、τ=0の面(主面)が存在する
・主面に働く垂直応力を「主応力」という
1   x   z


2
2
  x  z 
2

   xz
 2 
2
・主応力(主面)は互いに直交する
2次元
(σ1,σ2)
σ2
σ1
任意面上の応力≪
σ1
σ1
σ2
3次元
(σ1,σ2,σ3)
σ2
σ2
σ3
σ1
≫最大せん断応力
≫TOP
●最大せん断応力
・面αを変えて(σ,τ)を調べると、τが最大になる面が存在する
・τの最大値を「最大せん断応力」τmax という
・τmax の作用面には平均垂直応力σmが働く
  x  z 
2
 max  



xz
2


 x  z
1   2
m 

2
2
2
1 
   m   max
2
任意面上の応力≪ 主応力≪
*主面と(σm,τmax)の
作用面は45°交差
σ1
σm
σm
τmax σ2
τmax
σ2
σ1
≫モール円(誘導)
≫TOP
●モールの応力円(誘導)
・任意面上の応力(σ,τ)は円上の1点(応力点)で表される
任意面上の応力(σ,τ)
 
 x  z
2

 x  z
 cos 2   xz  sin 2
2
 x  z
 
 sin 2   xz  cos 2
2
τ
半径
(σ,τ)
τmax
中心
σm
任意面上の応力≪ 主応力≪
*α消去
(   m )2   2  ( max )2
中心:  m 
σ
半径:  max 
 x  z
2
  x  z 


2
2
   xz

≫モール円(主応力)
2
≫TOP
●モールの応力円(主応力)
・主応力(σ1,σ2)と最大せん断応力τmaxを表す応力点
↑τ=反時計回りを正
τ
最大せん
断応力
・(σm,τmax) は2頂点
・(σ1,0), (σ2,0) は2端点
(σm,τmax)
(σ,τ)
τmax
主応力
主応力
σ2
σm
σm
最大せん (σ ,τ )
m
max
断応力
主応力≪ モール円(誘導)≪
σ1 σ
1 
   m   max
2
→ σ=圧縮を正
・反時計
回りのτ
≫モール円(xz面)
≫TOP
●モールの応力円(xz面応力)
・x,z面上の(σ,τ)もモール円上の応力点で表される
τ(kPa) ・2点A,Bを通る
200
50
100
(応力円)
50
100
B(σz,τxz)
50
100
50
z
(z面に働く応力)
σz=200kPa
τxz=50kPa(反時計)
0
50
x
200
例:(σx,σz,τxz)
=(100, 200, 50)kPa
任意面上応力≪ モール円(誘導)≪
100
200
σ(kPa)
50
A(σx,τxz)
(x面に働く応力)
σx=100kPa
τxz=50kPa(時計)
・A-B線とσ軸の
交点が円の中心
≫主応力と任意面応力
≫TOP
●主応力と任意面応力
・主応力(σ1,σ2) ~ 任意面上の(σ,τ)

1   2

1   2
cos 2   m   max cos 2
2
2
  2
 1
sin 2   max sin 2
2
τ
σ
実平面
τ
α
τ
σ2
σ1作用面から反時計回り角α
τmax
モール円
2α
σ2
σ1
モール円(xz面)≪
σ
σ1 σ
σm
→
σ1点から反時計回り角2α
≫極の性質1
≫TOP
●極の性質1
・実平面の応力(σ,τ)とモール円上の応力点の関係
-(実平面で)面Aとθ隔たった面Bの応力は、モール円上で面Aに
対応する応力点Aから中心角2θ隔たった応力点Bで表される-
τB
σB
面B
θ
B(σB,τB)
O
τA
σA
2θ
面A
A(σA,τA)
実平面
主応力と任意面応力≪
モール円
≫極の性質2
≫TOP
●極の性質2
・モール円上の応力点とその作用面の関係から「極」を定義する
-モール円上の応力点A(or 点B)から、その作用面A(or 面B)
に平行に引いた直線がモール円と再び交わる点を「極」という-
τB
σB
面B
θ
θ
B(σB,τB)
O
τA
2θ
σA
面A
実平面
極の性質1≪
面Bに平行
極P
面Aに平行
A(σA,τA)
モール円
≫極の性質3
≫TOP
●極の性質3
・「極」が知れると、作図により応力点や作用面の方向が知れる
①作用面が既知の場合:極からその面に平行に引いた線と応力円
の交点が、その面上の応力を与える
②応力点が既知の場合:極からその応力点に引いた線の方向が、
その応力の作用面の方向を与える
面Dに平行
極P
D(σD,τD)
σC
面C
面Cに平行
σ
時計
τC
σD
τD
面D
反時計
C(σC,τC)
極の性質1≪
極の性質2≪
≫作図例1
≫TOP
●モール円作図1・・・ 直角座標応力(σx,σz,τxz)が既知
・任意面AC上の応力(σ,τ)をモール円の作図で求める
τ(kPa)
A
100
σx=
100kPa
σ
α
①極を求める
・AB面に平行
・BC面に平行
BC面応力
極P
(σy,τxz)
50
τ
100
B
τxz=50kPa
z
C
σz=200kPa
x
モール円(xz面)≪
50
AB面応力
200
σ(kPa)
AC面応力
(σ,τ)
(σx,τxz)
・AC面に平行
②AC面上の応力を求める
極の性質3≪
≫作図例2
≫TOP
●モール円作図2・・・ 主応力(σ1,σ2)が既知
・(σ1,σ2)の応力点から各主面に平行に引いて極を求める
・主面とτmax面は45°交差する
AB,CD面
σm
σ2
τmax
B
A
D
τ
σ1
τmax
C
主面(σ2)
主面(σ1)
極P
45°
45°45°
σm
σ2
(σm,τmax) ・極を求める
・極を求める
σ2
σm
σ1
σ
σ1
・τmaxの作用面を求める
最大せん断応力≪ 作図例1≪
(σm,τmax)
BC,AD面
≫作図例3
≫TOP
●モール円作図3・・・ AA面上の応力(σ,τ)を求める(1)
2.50σ0
τ
σ1=3σ0
σ2=σ0 σ0
A
0.866σ0
A
A
A
σ0
30°
2σ0
主面(σ2)方向
σ
AA面
P
σ0
3σ0
主面(σ1)方向
※主応力(σ1,σ2)の応力点は、作用方向に関わらず
モール円がσ軸と交差する2つの端点で表される
(τ=0 だから)
作図例2≪
≫作図例4
≫TOP
●モール円作図4・・・ AA面上の応力(σ,τ)を求める(2)
τ
A
σ0
σ0
σ0
反時計回り
σ0
P x面
σ0 60°
60°
σ0 A
時計回り
AA面
引張
※土質力学では・・・
z面
0
σ0
圧縮
σ0
A
σ
0.5σ0
0.866σ0
A
・垂直応力は、圧縮が正、引張りが負
・せん断応力は、反時計回りが正、時計回りが負
作図例3≪
≫作図例5
≫TOP
●モール円作図5・・・ 一軸圧縮試験(1)
・一軸供試体のα=0~90°面上の応力(σ,τ)を求める
σ1
σ
τ
α
・正規化表示
1.0
σ/σ1
τ/σ1
α面
τ
P
2α
α
σ
σ/σ1

30
 1 (1  cos 2 )
2
 1 sin 2

2
τ/σ1
15
σ1 σ
σ1
0.
5
作図例4≪
中心:σ1/2
τ 半径:σ1/2
45
60
75
90
α(°)
≫作図例6
≫TOP
●モール円作図6・・・ 一軸圧縮試験(2)
・供試体の方向によって極の位置が異なる
σ1
τ
σα τ
α
σ1
α
σ1
τβ σβ
σα
σ1
σβ
τα
β面
τβ
β P
α σ1
σ
α面
β
作図例5≪
≫地盤内応力
≫TOP
●地盤内の応力状態
・土の自重(γz)や地表面の載荷重qにより地盤内応力が発生
座標応力(σx,σz,τxz)または主応力(σ1,σ2)で表示
紙面に垂直
q=Q/A
σ1
σ2
τxz
作図例6≪
σ2
σ1
σ2
すべり面
σx
x
(σ1>σ2=σ3)
*荷重中心では対称
σz
z
*3次元
σ1
σ2
σ1
*一般に(σ1,σ2)は傾斜する
≫地盤内応力とすべり
≫TOP
●地盤内応力とすべり
・主応力(σ1,σ2)とすべり面上の(σ,τ)の関係
「垂直応力σ」:すべり面を押さえ付ける応力(拘束圧)
~ すべり抵抗応力τfに寄与する(τf=c+σtanφ)
「せん断応力τ 」:すべりを起こす応力(滑動応力)
※τ≧τf → 「すべる」
σ1
σ1
τ
σ2
地盤内応力≪
σ2
σ2
σ
τf
σ
すべり面
τ
τf
すべり面
σ2
σ1
σ1
(σ2=σ3)
≫地盤内応力の再現
≫TOP
●三軸圧縮試験1・・・ 地盤内応力の再現
・土の「強さ」・「硬さ」は周囲から受ける圧力(拘束圧σ)に依存する
~ 深い所(z大)では、拘束圧σ大で、強度τf が大きい
σA
zA
A
σB
zB
B
軸圧σ1
*深さ: zB>zA
↓
*拘束圧:σB>σA
側圧σ3
↓
*強度:τfB>τfA
(σ2=σ3)
σ3
σ1
・「三軸圧縮試験」:3方向から圧力を加える圧縮試験
周囲から側圧(拘束圧σ3)を負荷し、軸圧(σ1)で圧縮
(軸圧σ1,側圧σ3)の組合わせで応力状態を表示
地盤内応力とすべり≪
≫地盤内応力のモール円表示
≫TOP
●三軸圧縮試験2・・・ 応力状態のモール円表示
・軸圧σ1と側圧σ3を主応力とするモール円で、極Pはσ3点
σ1
軸圧σ1
τ
A(σ,τ)
極P
側圧σ3
α
α
σ
側圧σ3
σ3
σ1
軸圧σ1
σ3
A
τ
σ3
α
σ1
A
σ
σ1
B
σ
τ
B(σ,τ)
※AA面とBB面上の応力(σ,τ)は大きさが等しい
τの作用方向(反時計,時計)が異なる
地盤内応力の再現≪
σ3
σ3
α
σ1
B
≫モール円表示例1
≫TOP
●三軸圧縮試験3・・・ 試験手順とモール円
・試験は、①側圧(σ3)負荷、②ピストン圧(σ1-σ3)負荷の2段階
σ3
軸圧σ1
σ3
側圧σ3
τ
σ3
σ1
σ1-σ3
①
σ3
A(σ,τ)
σ3
+
σ1
σ3 σ
=
τ
α
②
A
σ1-σ3
A
σ3
σ1
ピストン圧
拡大
極P
(主応力差)
・側圧一定、ピストン圧増加
→ 破壊
α
側圧σ3
モール円表示≪ モール円表示例1≪
軸圧σ1
σ
≫一軸・三軸試験
≫TOP
●三軸圧縮試験4・・・ 強度定数(c,φ)の決定
・側圧σ3を幾つか変え、ピストン圧を加えて破壊
軸圧σ1
・破壊時のモール円を描き、包絡線を引く → c,φ
主応力差:(σ1-σ3)f
σ3
側圧σ3
τf=c+σtanφ
τ
摩擦角φ
破壊モール円
σ1
モール円の拡大
粘着力c
側圧σ3
モール円表示≪
モール円表示例1≪
(σ1-σ3)f
軸圧σ1
σ
試験手順とモール円≪
≫TOP
●三軸圧縮試験5・・・ 破壊の判定(安全性の評価)
・AA面(α面)に沿って破壊する(すべる)か、否か
σ1
σ3
σ
A
σ3
τ
α
A
・モール円:
τ
m 
1   3
1   3
 max 
2
τf=c+σtanφ
2
φ
σ1
   m   max cos2
   max sin 2
モール円表示≪
c
モール円表示例1≪
半径τmax
極P
σ3
α
τ
f
Fs 

τf
2α
中心σm
σ1
σ
σ
試験手順とモール円≪
●三軸圧縮試験6・・・ 一軸・三軸圧縮試験のモール円表示
・一軸圧縮試験
・三軸圧縮試験
軸圧σ1
軸圧σ1
*σ2=σ3
=0
*σ2=σ3
=σ0
σ
側圧σ0
(無拘束)
0
σ1
τ
軸圧σ1増加
σ1
τ
モール円拡大
極P
σ3=0
≫TOP
(拘束圧)
ピストン圧増加
モール円拡大
極P
σ1
σ
σ3=σ0
σ1
σ
(試験中一定)
モール円表示≪
モール円表示例1≪
試験手順とモール円≪