Natural beauty of the standard model I

Natural beauty of the
standard model I
-A possible origin of a U(1) gauge
degree of freedom西川美幸
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歴史的背景（ディラック）
P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A133, 60 (1931)
• 波動関数の位相は、観測可能量積分の仕方によらず
さえ
一意ならば良い。
 * d x d y d z

V
m
n
• 積分路の隣接する点で稼ぐ位相の差は決まっているが、
全積分区間にわたる位相は一価でなくても良いとする。
iβ
•  1e
と書いたとき、位相の一価部分は打ち
消す。故に物理的意味を持つのは微分値



のみ。
x 
, y 
, z 
x
• 非可積分部   x
y
寄与。

y
 y
x
z
,

C
 
 
  d s ＝     d S
が
S




－ ih
 ＝ ei  － i h
＋ h  x   1 、ポテンシャル
x
x


h
A     2 。
e
ポアンカレ群に唯ひとつ複素位相が
内在していること
• ミンコフスキー空間における２体問題では、
一方の座標系の局所的ローレンツ変換に帰
着できない自由度が（複素）１次元だけ存在
する。
• （理由）ローレンツ変換の一般形
Λ＝ＲＬＲ’
Ｒ、Ｒ’ ：空間回転Ｌ：１軸方向のブースト
回転は２回必要！
3
A general position of a pair of coordinates
2
2
(step 1) Rotate the 1st axis of X to be parallel to XY.
(step 2) Rotate the 1st axis of Y to be parallel to XY.
(step 3) Rotate the 2nd axis of Y to be parallel to that of X.
4
The standard position of the two coordinates
3
X
3
1
Y
1
ωX
2
2
(step 4) Boost along XY.
(step 5) Superpose X and Y by a parallel motion along XY.
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Decomposition of angular momentums
VX
ωY r
X
C
ωX r
－Vr
r :=XY
VY
Y
Vr
(step 6) Neglect VX and VY orthogonal to XY.
(step 7) Only ωX and ωY are internal, and origin of the spins.
6
General relativity ⇒
Spin synthesis
X
Y
α
≅X
α
spinning
rotating
Y
β
SX⊥
SX1 X
≅
ｰα
general spins
≅
Y
≅X
≅
SX1 ｰ SＹ1 Y
spinning
ｰβ
spinning
ｰα
Y
SX⊥
Y
static
ｰβ
spinning
X
SＹ⊥
SＹ1
Y
rotating
α
X
X
X
SＹ⊥
⇒
Only SX⊥
Y
SＹ⊥
this inner product
is important!
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この複素位相から重力場や電磁場
などが定義できること
Θ（ｘμ ）＝Θ０＋∇μΘ ｄｘμ ＋∇μ∇νΘｄｘμｄｘν
＋…
＝Θ０＋∇μΘ ｄｘμ＋（iG+F）μνｄｘμｄｘν
＋…
U(1)⇒G μνはエルミート、 Fμνは反エルミート。
重力場
電磁場
とみなす。
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話は飛躍、とある大学院試問題
２次元空間における関数ψは半径 a の円の外部で
有界で、２次元のラプラス方程式
 
 ＝

＝0
2
2
x
y
2
2
を満たし、円周上の極座標 ( a,  ) で表される点では
 ( a,  ) ＝ cos 
2
y
という値をとる。Ψを決定せよ。
には、解が無限個ある（図を参照）。
円上で値が一致、
多価性がポイント
負のｘ軸上に cut
ｘ
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物理学におけるマーフィーの法則
• （TA経験から）εーδ論法は一長一短。
厳密な分、勘違いし易い（木を見て森を見ず）
使わないと大雑把な理解はし易いが、
log の多価性に注意しない傾向がある。
• 試験問題を読み間違える人もいる。
試験というのは学生が
一定の理解をしていることの証明にはなるが、
解けなかったからといって
理解していないことの証明にはならない。
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結論
• 多価性は、とても重要。
特に物理学で偏微分方程式の境界条件は
測定可能量と限らないので、注意深く扱うべき。
ポアンカレ群に内在する内部自由度が
電磁場の量子論に本質的な位相の起源？
（∵ 運動量と位置は非可換！期待値のみ）
⇒博士論文（継続審査中）に乞う、ご期待
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