社会統計 第９回：実験計画法 寺尾 敦 青山学院大学社会情報学部 [email protected] 実験計画法 • 分散分析は実験を行った後の統計的手法． • 分散分析はどのような実験を行ったのかとい う実験デザインと切り離せない． • 実験の方法をよく吟味する必要がある． フィッシャーの３原則 • 反復（replication）：誤差分散を評価するため に，同じ条件下で測定を繰り返す． • 無作為化（randomization）：系統誤差 （systematic error）を偶然誤差（random error） に転化するために，処理（条件）の割り付けを 無作為化する • 局所管理（local control）：系統誤差を除去す るために，ブロックを構成して，各ブロック内 では条件が均一になるよう管理する． 反復 • 農場で３つの品種を育てて収穫量を比較する 実験を行うとする． • ３種類を１株ずつ育てても，その差は偶然に すぎないのか，品種の違いなのかわからない． – 偶然変動（誤差分散）がわからなければ，差を評 価できない． • よって，３つの品種を，それぞれ何株か育て る必要がある． 反復だけでよいか？ ３区画に土地を分け，それぞれの土地で１種類ずつ育てる． AAA AAA AAA BBB BBB BBB CCC CCC CCC 反復だけでよいか？ • 測定を繰り返すだけでは，影響に一定の方向 のある系統誤差（systematic error）が混入す るかもしれない． – ３区画に土地を分け，それぞれの土地で１種類 ずつ育てる．収穫量が違っても，種の差なのか， 土地の差なのかが区別できない．これを，要因が 交絡している（confound）と言う． 無作為化 • 特定の土地区画は，収穫量に対して，一定の 方向のある誤差（系統誤差）をもたらす． • ひとつの対策として，農場全体で，３つの品 種をランダムに植えればよい． • どの品種においても，よい土壌条件に植えら れる株もあれば，そうでない条件に植えられ るものもある．無作為化により，系統誤差が 偶然誤差に転化される． 反復＋無作為化 実験場全体に，３種類の株をランダムに植えて育てる． BCA CBA ACA ABC AAB CBB CCA BCB CBA 反復と無作為化の原則を満たす実験デザインを 完全無作為法（completely randomized design）と呼ぶ． 局所管理 • 土地の違いは，同一品種での収穫量の違い （誤差分散）に入り込む． • 特定の株をどこに植えるかはランダムに決め るので，土地条件は品種間で完全に公平で はない． – 良い土地条件にたまたま多く植えられた品種． • 土地の違いによる収穫量の変動を，誤差変 動から切り離せないか？ → 局所管理 • 農場全体を，土地条件が同一であると考えら れるブロック（block）に分ける． – ブロック：もともとは，農場の区画を意味する．一 般には，興味の対象となっている要因以外の条 件に関して均一であるような実験単位． • 各ブロックで，３つの品種をランダムに植える． – 無作為化を行うのは，土地条件以外の要因（日 光の当たる角度など，直接に考慮されていない） の影響が系統誤差を生じさせないようにするため． 反復＋無作為化＋局所管理 BCA CAB ACB CBA BAC BCA Fisherの３原則すべてを満たす実験デザインを 乱塊法（randomized block design）と呼ぶ． 乱塊法 • 実験を行う「場」をいくつかのブロックに分け，そ の中では系統誤差の影響を一定にする．系統誤 差はブロック間の差となる． – ブロックが実験要因のひとつとなる．ブロック因子 • ブロック内で条件の割り当てをランダムにする． • ブロックの例：農場の区画，装置，実験日，実験 者，実験順序，参加者 – 被験者内デザインは参加者をブロックにした乱塊法． 実験への参加者それぞれを，農場実験での土地の小区 画（すなわち，ブロック）と考えてみる． BCA CAB ACB 参加者それぞれが，条件すべて（たとえば，A, B, C の３条件 すべて）をこなす． 条件の実施順序はランダムにする． 乱塊法の応用 • ラテン方格（latin square）：複数のブロック因 子があるとき，それらを組み合わせる． – 興味ある要因およびブロック因子の水準数が同 じでなければならない．下の表の各行・各列に， 要因を表す記号が１回ずつ表れている． 区画１ 区画２ 区画３ 実験者１ B C A 実験者２ C A B 実験者３ A B C 完全無作為化法・乱塊法・ ラテン方格法の比較 • A, B, C という３種類の処理を比較する． – それぞれ３回の反復 – １日あたり３回，３日間にわたって実験． • 完全無作為化法 第１日 第２日 第３日 １回目 Ｂ Ｃ Ａ ２回目 Ｃ Ｂ Ｃ ３回目 Ａ Ｂ Ａ 完全無作為化法・乱塊法・ ラテン方格法の比較 • 乱塊法（実施日がブロック） 第１日 第２日 第３日 １回目 Ｂ ２回目 Ｃ ３回目 Ａ Ｃ Ａ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ – A, B, C はどの日でも同じ回数だけ実施されてい る．日という系統誤差は問題でなくなる． – しかし，実験順序もブロックとすべきかもしれない． 完全無作為化法・乱塊法・ ラテン方格法の比較 • ラテン方格法（完備型計画） 第１日 第２日 第３日 １回目 Ｂ ２回目 Ｃ ３回目 Ａ Ｃ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ – A, B, C は，どの日でも同じ回数だけ実施されてい る. – さらに，何回目に実施されたかについても公平． 順序効果と対処 • 順序効果（order effect）：実験水準の実施順 序，あるいは，要因としていない実験要素の 出現順序の効果． • 順序効果への対処： – カウンターバランス：可能な順序が少数の場合， それらをすべて実施して効果を相殺する．順序を ブロック因子としてもよい． – 無作為化：心理学実験で数多く呈示する刺激な ど，可能な順序が多い場合には，無作為化を行 う（例：呈示順序をランダムにする） ２要因実験（被験者間デザイン） • 興味ある要因が２つある実験例 訓練時間 各セルには２つ 以上の測定値 課題 難 易 平均 短 中 長 平均 y111 y211 y121 y221 y112 y212 y122 y222 y113 y213 y123 y223 y1 y3 y y1 y2 y2 • 参考：１要因被験者内デザイン 各セルには測定 値がひとつ 人 平均 要因A 短 中 長 平均 人１ y11 y12 y13 人２ y21 y22 y23 ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ y1 y2 y3 y1 y2 y ２要因実験の構造モデル • 各セルにおいて測定が繰り返されている場合 には，交互作用（interaction）がモデルに入る． yijk a j bk (ab) jk eijk aˆ j y j y bˆk yk y yijk a j bk (ab) jk eijk jk a j bk (ab) jk (ab) jk y jk y j yk y eˆijk yijk y jk 各セルでの標本平均 交互作用とは • 交互作用は，要因の組み合わせの効果． – ２つの要因効果の足し算では説明できない効果 • 一方の要因の効果が，もう一方の要因の水 準によって異なるとき，これは交互作用となる． 交互作用と誤差 • 各セルでの繰り返しがあるため，誤差と交互 作用を分離できる． • １要因被験者内デザインでの誤差（推定値） eij yij y.. ( y. j y.. ) ( yi. y.. ) yij y. j yi. y.. • ２要因デザインでの交互作用（推定値） (ab) jk y jk y j yk y グラフでの主効果 易 成 績 難 短 中 長 訓練時間 グラフでの主効果 易 成 績 難 短 中 長 訓練時間 グラフでの交互作用 易 成 績 難 短 中 長 訓練時間 グラフでの交互作用 易 成 績 難 短 中 長 訓練時間 分散分析に続く分析 • 要因の効果（主効果 main effect）が有意に なった場合：その要因が３水準以上あるなら ば，どの水準間に差があるのかを調べる多 重比較を行う． • 交互作用が有意となった場合：一方の要因の 効果が，もう一方の要因の水準ごとに異なる のだから，その水準ごとに要因効果を分析す る．これは単純効果（simple effect）の分析と 呼ばれる． さらに学習すること • この講義では扱わなかったが，さらに学習す べきこととして， – 被験者内要因のある２要因計画（金曜日の演習 で扱う） – 固定効果と変量効果 – 枝分かれ配置 – 直交表 理解確認のポイント • フィッシャーの３原則を説明できますか？ • 系統誤差と偶然誤差の違いを説明できます か？ • 要因の交絡とは何か，説明できますか？ • 完全無作為法とはどのような実験計画か，説 明できますか？ • 乱塊法とはどのような実験計画か，説明でき ますか？ • ラテン方格法とはどのような実験計画か，説 明できますか？ • 順序効果とは何か，説明できますか？ これ に対してどのような対処を行うことができるか， 説明できますか？ • ２要因実験での構造モデルを数式で書き，式 の要素を説明できますか？ • ２要因実験での交互作用とは何か，説明でき ますか？ • ２要因実験での主効果および交互作用は， グラフではどのように表れるかわかります か？ • 交互作用を想定しない３要因実験には，ラテ ン方格のデザインを利用できる． – 水準数はすべての要因で等しいとする． – A1 水準の効果の推定に，B および C の各水準が １回ずつ用いられている．他の水準も同様． A1 A2 A3 B1 C1 B2 C2 B3 C3 C3 C2 C1 C3 C2 C1
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