Ley de Hooke: ondas longitudinales en una barra

Ondas longitudinales en una barra
Problema 1. Un objeto de 0,5 Kg de masa se cuelga del extremo de un alambre de acero de 2 m de longitud y
N
0,5 mm de diámetro (modulo de Young = 2.1011 m
2 ). ¿ Cual es el alargamiento del alambre?.
Resp: 0, 25mm.
Problema 2. Una varilla metálica de 0,5 m de longitud tiene una sección recta rectangular de 2 mm2 de área.
a) Puesta vertical la varilla y teniendo colgada una masa de 60 Kg en su extremo inferior, se produce un
N
alargamiento de 0,25 mm. ¿ Cual es el modulo de Young ( m
2 ) del material de la varilla?
b) Se sujeta firmemente la varilla por su parte inferior, como se muestra en la figura, y en su parte superior se
aplica una fuerza F en la dirección y, como esta indicado (paralela a la arista de longitud b). El resultado
3
F
es una flexión elástica dado por y = 4L
Y ab3 . Si se aplica otra fuerza F en la direccion de a de manera
simetrica, ¿Cual es el cociente de las frecuencias de vibración en las direcciones y y x (es decir, paralelas
a las aristas de longitud b y a? Hacer hipotesis y analogia con el caso del resorte.
N
Resp: a) 6 × 1011 m
2 . b) b/a .
Problema 3. Una barra de aluminio de 200 mm de longitud y con una sección cuadrada de 10 mm de lado se
somete a una fuerza de tracción de 12300 N y experimenta un alargamiento de 0,34 mm. Suponiendo que el
comportamiento de la barra es totalmente elástico, calcular el módulo de elasticidad del aluminio.
N
Resp: 7, 23 × 1010 m
2.
Problema 4. Calcular observando la figura el modulo de Young, siendo 400 mm la longitud inicial de la barra
y su área 25 mm2 . Calcular la longitud de la barra cuando la fuerza es 115 N y la fuerza para la cual se produce
la rotura de la barra.
1
Estirammiento unitario
Punto P
Punto E
Punto R
-4
4.5.10
6.3.10-4
48.9.10-4
Tensión
90.106 pa
130.106 pa
260.106 pa
Resp: 20 × 1010 Pa, 92 mm, 6,5kN.
Problema 5. Estimar la velocidad de propagación de las ondas elásticas en una barra de acero.
m
Resp: 5, 06 × 103 seg
.
Problema 6. Encontrar el equivalente entre el sistema del resorte y la barra cilindrica con ondas longitudinales.
Resp:
AE
l .
Problema 7. Un latón tiene un módulo de elasticidad E = 120 × 109 N/m2 y un límite elástico de 250 × 106
N/m2 . Si disponemos de una varilla de dicho material de 10 mm2 de sección y 100 mm de longitud, de la que
suspendemos verticalmente una carga en su extremo de 1500 N, se pide:
a) ¿Recuperará el alambre su longitud primitiva si se retira la carga?.
b) ¿Cuál será el alargamiento unitario y total en estas condiciones?.
c) ¿Qué diámetro mínimo habrá de tener una barra de este material para que sometida a una carga de 8×104
N no experimente deformación permanente.
Resp: a) La varilla recuperará su longitud primitiva, b) 0, 125 mm, c) 20, 18 mm.
Problema 8. Una probeta normalizada de 13, 8 mm de diámetro y 100 mm de distancia entre puntos, es sometida a un ensayo de tracción, experimentando, en un determinado instante, un incremento de longitud de
3 × 10−3 mm. Si el módulo de Young del material es 21, 5 × 105 Kgf/cm2 , determine:
a) El alargamiento unitario.
b) La tensión unitaria en KN/m2 .
c) La fuerza actuante en dicho instante en N.
Resp: a) 3 × 10−5 , b) 6321 KN m2 , c) 948, 15 N.
Problema 9. Una pieza de 300 mm de longitud tiene que soportar una carga de 5000 N sin experimentar deformación plástica. Elija el material más adecuado entre los tres propuestos para que la pieza tenga un peso
mínimo.
Material
Latón
Acero
Aluminio
Límite elástico (Mpa)
345
690
275
Resp: Aluminio.
2
Densidad (g/cm3 )
8,5
7,9
2,7
Problema 10. Una barra cilíndrica de acero con un límite elástico de 325 Mpa y con un modulo de elasticidad
de 20, 7 × 104 Mpa se somete a la acción de una carga de 25000 N. Si la barra tiene una longitud inicial de 700
mm, se pide:
a) ¿Qué diámetro ha de tener si se desea que no se alargue más de 0,35 mm?
b) Explique si, tras eliminar la carga, la barra permanece deformada?
Resp: a) 17, 5 mm , b) volverá a su posición inicial.
Problema 11. En el diagrama de tracción adjunto, la figura pequeña corresponde a la región ampliada del
origen de coordenadas. Dicho gráfico se ha obtenido de un ensayo de tracción efectuado a una probeta cilíndrica
de una aleación de aluminio. Sabiendo que, inicialmente, la probeta tenía un diámetro de 10 mm y una longitud
de 75 mm, calcule:
a) Módulo de elasticidad.
b) El alargamiento, al aplicar una carga de 13500 N.
c) La carga máxima que puede soportar esta probeta sin que se deforme permanentemente.
Resp: a) 62500 MN/m2 , b) 0, 21 mm, c) 19625 N.
Problema 12. Un alambre de acero con un módulo elástico de 210000 MPa y un límite elástico de 1800 MPa,
tiene una longitud de 2 m y un diámetro de 1 mm. Calcule su longitud cuando se somete a una carga de tracción
de 100 kg y dibuje un croquis del alambre con la carga aplicada.
Resp: ∆l = 11, 9 mm, l = 2011, 9 mm.
Problema 13. Una varilla se ha fabricado con acero de límite elástico 350 MPa y de módulo de elasticidad 200
GPa. La varilla tiene una sección uniforme de 12 mm2 y una longitud de 50 cm.
a) Si se carga en uno de sus extremos con una fuerza de 1800 N en la dirección del eje de la barra, ¿recuperará la varilla su longitud inicial cuando se elimine la fuerza?
b) Calcule el alargamiento unitario en las condiciones de carga planteadas en a).
c) ¿Cuál deberá ser el diámetro mínimo de la varilla si no se desea que se alargue permanentemente tras ser
sometida a una carga de 5000 N?
Resp: a) La varilla recuperará su longitud inicial, b) 7, 5 × 10−4 , c) 13, 44 mm.
Problema 14. La figura adjunta muestra dos cilindros concéntricos que soportan una carga axial de 100 kN. Si
el cilindro de la izquierda es de acero (E=200 GPa) y el de la derecha de hierro fundido (E=80 GPa), calcule:
a) El esfuerzo unitario de cada cilindro en MPa.
b) La deformación unitaria de cada cilindro.
c) El alargamiento de cada cilindro en mm.
3
Resp: a) 200 MPa, 50 Mpa, b) 0.001, 0.625 × 10−3 , c) 0.05 mm, 0.0125 mm.
Problema 15. En un ensayo de tracción:
a) ¿Qué son el esfuerzo y la deformación unitaria?. ¿en qué unidades se miden? ¿qué relación matemática
existe entre ambas cuando se trabaja por debajo del límite elástico (en la zona de proporcionalidad)?.
b) Calcule el módulo de elasticidad del material de la figura en GPa, teniendo en cuenta los valores de los
puntos A y B de la gráfica de tracción.
c) Calcule el diámetro en mm, que debe tener una barra de este material, de 0.5 m de longitud, para soportar
una fuerza de 7350 N sin alargarse más de 35 mm.
Resp: b) 210 GPa, c) 25.23 mm.
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