Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Determine si las siguientes transformaciones son lineales o no
1. T : P 2 (x) → R3
2. T : P 2 (x) → M 2×2
T (a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a0 + a1 , a1 + a2 , a2 + a0 )
·
¸
0
a1
T (a0 + a1 x + a2 x2 ) =
a0 a2 a2
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Determine si las siguientes transformaciones son lineales o no
1. T : P 2 (x) → R3
2. T : P 2 (x) → M 2×2
T (a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a0 + a1 , a1 + a2 , a2 + a0 )
·
¸
0
a1
T (a0 + a1 x + a2 x2 ) =
a0 a2 a2
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Determine si las siguientes transformaciones son lineales o no
1. T : P 2 (x) → R3
2. T : P 2 (x) → M 2×2
T (a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a0 + a1 , a1 + a2 , a2 + a0 )
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0
a1
2
T (a0 + a1 x + a2 x ) =
a0 a2 a2
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Determine si las siguientes transformaciones son lineales o no
1. T : P 2 (x) → R3
2. T : P 2 (x) → M 2×2
T (a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a0 + a1 , a1 + a2 , a2 + a0 )
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a1
2
T (a0 + a1 x + a2 x ) =
a0 a2 a2
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Determine si las siguientes transformaciones son lineales o no
1. T : P 2 (x) → R3
2. T : P 2 (x) → M 2×2
T (a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a0 + a1 , a1 + a2 , a2 + a0 )
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0
a1
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T (a0 + a1 x + a2 x ) =
a0 a2 a2
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Determine si las siguientes transformaciones son lineales o no
1. T : P 2 (x) → R3
2. T : P 2 (x) → M 2×2
T (a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a0 + a1 , a1 + a2 , a2 + a0 )
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0
a1
2
T (a0 + a1 x + a2 x ) =
a0 a2 a2
Soluci´
on Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Para verificar que se trata de una transformaci´on lineal, es necesario probar que la transformaci´on es aditiva y
homogenea. Sean
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2
q(x) = b0 + b1 x + b2 x2
elementos arbitrarios de P2 (x) y λ ∈ R arbitrario. Entonces
¡
¢ ¡
¢
p(x) + q(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + b0 + b1 x + b2 x2 = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + (a2 + b2 ) x2
y
¡
¢
λ p(x) = λ a0 + a1 x + a2 x2 = (λ a0 ) + (λ a1 ) x + (λ a2 ) x2
Ahora si, es posible analizar la linealidad de las transformaciones.
1. Primera transformaci´on.
£
¤
T (p(x) + q(x)) = T (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + (a2 + b2 ) x2
= (a0 + b0 + a1 + b1 , a1 + b1 + a2 + b2 , a2 + b2 + a0 + b0 )
= (a0 + a1 , a1 + a2 , a2 + a0 ) + (b0 + b1 , b1 + b2 , b2 + b0 ) = T (p(x)) + T (q(x))
y la transformaci´on es aditiva.
£
¤
T (λ p(x)) = T (λ a0 ) + (λ a1 ) x + (λ a2 ) x2 = [(λ a0 ) + (λ a1 ) , (λ a1 ) + (λ a2 ) , (λ a2 ) + (λ a0 )]
= λ(a0 + a1 , a1 + a2 , a2 + a0 ) = λT (p(x))
y la transformaci´on es homogenea y por lo tanto es lineal.
2. Segunda transformaci´on. Es f´acil probar que la transformaci´on no es lineal. Considere los polinomios
p(x) = 1
q(x) = x2
p(x) + q(x) = 1 + x2
Por lo tanto
Por lo tanto
=
·
0 0
1 1
0 0
0 1
¸
6=
2
¡
T (p(x) + q(x)) = T 1 + x
¢
¸
Mientras que
T (p(x)) + T (q(x)) =
·
0 0
0 0
¸
+
·
0
0
0
1
¸
=
·
·
0 0
1 1
¸
= T (p(x) + q(x))