APENDICE A TEORIA DE CONJUNTOS A.1

APENDICE A
TEORIA DE CONJUNTOS
A.1 INTRODUCCIÓN
La Teoría de Conjuntos es una de las ramas más importantes de las
matemáticas. Fue desarrollada inicialmente hacia el año 1870 por Georg Cantor
(1845-1918) quien la formuló con el objetivo de formalizar las matemáticas. Cantor
comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y las
explicó apoyándose en los conjuntos, por esto se le considera el Padre de esta teoría.
En todas las áreas de las matemáticas usamos los conjuntos para simplificar
algunos conceptos más o menos complicados, aclarar ciertas ideas y también para
unificar el estudio de nociones distintas pero relacionadas entre sí.
A.2 NOCIÓN DE CONJUNTO
En matemáticas existen algunos conceptos en los que se basan para construir
teorías más complejas, pero debido a que son tan elementales, muchas veces no
tienen una definición unívoca (por ejemplo: en Geometría no se define el concepto de
punto, solamente se intuye). La definición formal de conjunto es una de éstas.
Para nuestro análisis consideraremos a un Conjunto como una “colección (o
lista) de objetos de cualquier especie, con la condición de considerar sólo
aquellos objetos que han sido descritos en forma lo suficientemente clara como
para que no haya duda acerca de si un objeto pertenece o no al conjunto”. A los
objetos pertenecientes a un conjunto les llamaremos de aquí en adelante “elementos”.
EJEMPLOS:
1.- El conjunto de números naturales pares menores o iguales a 10.
2.- El conjunto de los alumnos del primer semestre de Matemáticas
3.- El conjunto de los estudiantes del inciso anterior pero cuyos apellidos comiencen
con “C”
4.- El conjunto de los autores de este libro
290
5. El conjunto de las letras del alfabeto griego.
6. El conjunto de todas las rectas (de un plano) que pasan por un punto dado.
7. El conjunto de todos los fósiles del mundo.
8. El conjunto de todos los puntos que están sobre una línea dada.
9. El conjunto de los números reales.
A.3 NOTACIÓN
La teoría de conjuntos tiene su propio lenguaje y se construye a través de signos
y símbolos; poco a poco iremos conociéndolos y trabajaremos en su manejo como
vaya siendo necesario a lo largo del capítulo.
Veamos la forma más básica de simbolizar un conjunto:
 Generalmente los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A,B,C,...;
 Los elementos del conjunto se escriben con letras minúsculas: a, b, c, …;
también pueden ser palabras completas ( Mary, rosa, número, etc.) o
cualquier otro signo que represente al elemento (*, +, &, etc.) ;
 Para indicar que ciertos elementos forman parte de un mismo conjunto los
encerramos entre llaves { } y los separamos entre sí con una coma ( , ).
 Cuando un elemento forma parte de un conjunto se dice que le “pertenece”.
Para representar que un elemento “a” pertenece a un conjunto “A” se usa el
símbolo de pertenencia ““. Escribiremos aA y se lee “a pertenece a
A”, (observemos que  señala la relación de pertenencia que sólo puede
existir entre un elemento y un conjunto);
 En caso de que el elemento “a” no pertenezca al conjunto “A” usamos el
símbolo de no-pertenencia “”, escribimos aA y se lee “a no pertenece
a A”.
A.4 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Cuando especificamos o definimos un conjunto escribiendo cómo esta formado,
es decir, describiendo los elementos que le pertenecen, se dice que lo estamos
“determinando”.
291
Los métodos más comunes para determinar un conjunto son:
 Usamos el Método por extensión ó exhaustivo cuando hacemos una lista
absoluta de todos sus elementos (recordemos encerrarlos entre llaves);
 Cuando encerramos entre las llaves del conjunto una frase que describe
completamente a todos y cada uno de los elementos que pertenecen al
conjunto estamos utilizando el Método por comprensión, también llamado
constructivo.
EJEMPLOS:
1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} define al conjunto de los dígitos, veamos que
están enlistados todos y cada uno de sus elementos, es decir, está determinado por el
método de extensión ó exhaustivo; si usáramos el método por comprensión o
constructivo lo escribiríamos así A = { x, tal que x es un dígito}, o bien en forma más
corta A ={x/x es un dígito}; donde la barra / se lee “tal que”.
2. B={a,e,i,o,u} esta determinado por extensión pero también podríamos escribir
B={x/x es una vocal del alfabeto}.
3. Algo importante de señalar es que algunas veces no es fácil determinar
algunos conjuntos por extensión, ya sea porque tienen un número infinito de elementos
o porque no es fácil enlistar todos y cada uno de ellos; por ejemplo: V = {x/x es número
racional y 1<x<2} (existen infinitos números racionales ó quebrados entre mayores ó
iguales que 1 y menores ó iguales que 2).
4. Otros conjuntos se describen más fácilmente por extensión, por ejemplo el
siguiente M={la rosa, mi gato, la bicicleta, la cuchara}, ¿puedes argumentar por qué?.
292
EJERCICIOS No. 31
1. Utilice los métodos de extensión y comprensión para describir los siguientes
conjuntos:
a. Números enteros positivos menores que 10.
b. Miembros de su familia inmediata
c. Consonantes de nuestro alfabeto.
d. Números enteros positivos múltiplos de 5 y menores que 50.
e. Los nombres de los continentes de la Tierra.
f. Los números naturales pares entre 5 y 25.
g. Las letras de la palabra “Parangaricutirimicuaro”
h. Números naturales entre 40 y 55 que son divisibles entre 3.
i. Los satélites naturales de la Tierra
2. Utilice el método por comprensión para determinar los conjuntos cuyos elementos
están enlistados en los siguientes conjuntos:
a. A= {10,100,1000,10000,100000}
d. T = {1,4,7,10,13,16}
b. S = {1,4,9,16,25}
e. V = {10, 12, 14, 16, 18}.
c. M = {1, ½, 1/3, ¼}
3. Utilice el método por comprensión para describir los conjuntos indicados a
continuación, explicando por qué el método por extensión es difícil o imposible de
aplicar:
1. Los presidentes de los Estados Unidos Mexicanos.
2. Números enteros positivos mayores que 100.
3. Libros que hablan de la Teoría de Conjuntos.
4. Mexicanos que leen el periódico diariamente.
5. Alumnos de Universidad de Guadalajara que hablan inglés al 80%.
293
A.5 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Los conjuntos se clasifican en dos grupos; finitos e infinitos. Decimos que un
conjunto tiene un número
finito de elementos si es posible enumerarlos y luego
contarlos hasta llegar al elemento que ocupa el último lugar. Un conjunto se dice finito
si tiene un número finito de elementos, en caso contrario se dice que es infinito.
EJEMPLOS:
1. Si A es el conjunto de días de un año entonces A finito
2. Si B={2, 4, 6, 8, ...} entonces B es infinito
3. Si C={x/x es un país de la tierra} entonces C es finito
4. Si D={x/x es un número real entre 0 y 1} entonces C es infinito
EJERCICIOS No. 32
Para los siguientes conjuntos indique cuáles son finitos y cuáles son infinitos:
1. El conjunto de los números enteros positivos impares menores que 800.
2. El conjunto de letras de la palabra “Matemáticas”.
3. El conjunto de rectas que pasan por un punto dado.
4. El conjunto de rectas que pasan por dos puntos dados.
5. El conjunto formado por los números 1 y 3.
6. El conjunto de las estrellas de nuestra galaxia.
7. El conjunto de los números enteros.
8. El conjunto de los alumnos de la Universidad de Guadalajara.
9. El conjunto de los niños mexicanos menores de 10 años.
10. { x / x = n +4, n N} ( N es el conjunto de números Naturales: 1,2,3,4,...)
A.6 CARDINALIDAD DE CONJUNTOS
Otro concepto importante en la teoría de conjuntos es el de cardinalidad, que es
la asignación de un número Natural (incluyendo al 0) a cada conjunto. Esta asignación
se le da en base al número de elementos que lo integran, es decir:
La cardinalidad de un conjunto A es igual al número de sus elementos y se
denota por n (A) ó # A.
294
Es importante hacer notar que la cardinalidad de un conjunto no depende del
tipo de los elementos que lo conforman, sino exclusivamente de la cantidad de ellos.
EJEMPLOS:
1. Sea P = { x / x es múltiplo de 3 y x<30}, exhaustivamente sería
P = {3,6,9,12,15,18,21,24,27}, y n(P) = 9, porque el conjunto P tiene 9
elementos.
2. Si M = { x/ x es planeta del sistema solar}, entonces n(M) = 10.
3. Si N= {x/x es Presidente de México y x es mujer} vemos que n(N) = 0.
4. Si T={3}, n(T) = 1,
5. Veamos también que si K={0}, entonces n(K) = 1.
EJERCICIOS No. 33
Determine la cardinalidad de los siguientes conjuntos:
1. A = {x/ x es vocal del alfabeto español}
2. B = {x/ x es número primo y x<50}
3. El conjunto de sus compañeros de la clase de lógica.
4. C = {x / x2 = 4}
5. D = {x / x es múltiplo de 2 y menor que 38}
6. E = {x / x es el número de horas que ha vivido hasta el momento en que leyó
este problema}
7. F = {x / x es el número de maestros que le imparten clases en este semestre}
8. G = { x / x 3 + x2 + x +5= 44}
9. El conjunto de los meses del año que tienen 30 días.
10. Los nombres de las estaciones del año.
A.7 CONJUNTO VACIO, CONJUNTO UNIVERSAL
Un conjunto de especial trascendencia ya que viene a ser como el cero en la
suma de números reales (elemento neutro); es el CONJUNTO VACÍO, que no tiene
elementos.
295
 El conjunto vacío se simboliza con , o así,  = {}
  es subconjunto de cualquier conjunto.
 La cardinalidad del conjunto vacío es cero.
EJEMPLOS:
A = {x/x es persona que vive más de 200 años}
B = { x/x es mes del año que tiene 35 días}
C = {x/x es número impar y su cubo es 8}
En la teoría de conjuntos se tiene como referencia, explícita o implícitamente, un
universo o conjunto universal, que es el espacio en el que se contextualiza a los
conjuntos; y lo definiremos como el “conjunto que contiene todos los elementos que
interesan en una situación determinada”. Generalmente es simbolizado por la letra
U y gráficamente con un rectángulo.
EJEMPLOS:
1.
Sea A = {cabra, gallina, vaca, cerdo} y B ={perro, gato, pato, perico}; el conjunto
universal que pudiera servir de referencia para estos conjuntos podría ser U = { x / x es
animal domesticado por el hombre}.
2. Sea S = {0,1,2,3, ….}, B = {… -3, -2, -1}, el conjunto universal podría ser U ={x/x es
un número entero}.
EJERCICIOS No. 34
Escriba cada uno de los conjuntos siguientes mediante el método por extensión e
indíquese en cada caso el conjunto universal:
1. El conjunto de las materias que Usted cursa este ciclo escolar.
2. Las edades en años de los miembros de su familia.
3. Los números enteros positivos que son múltiplos enteros de 7 y menores que
140.
4. Las letras de su nombre.
5. El conjunto de las escuelas que se encuentran dentro del Centro Universitario al
que Usted pertenece.
296
En los siguientes conjuntos especifique cuáles son vacíos :
6. A = {x / x es político y es corrupto}
7. B = { x / x es hombre y dio a luz un hijo}
8. C = { x / x es un número entero positivo y x3 = -1}
9. D = { x / x es letra de la palabra “correcto” }
10. E = {x / x es un país latinoamericano y cuyo lengua oficial es el japonés}
A.8 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
SUBCONJUNTOS
Toda vocal del alfabeto es, evidentemente, una letra del alfabeto. Si designamos
por E el conjunto de todas las letras del alfabeto y por V el conjunto de las vocales,
vemos que V está incluido o dentro del conjunto E.
Definamos formalmente este concepto: Se dice que el conjunto A es
subconjunto del conjunto B sí todo elemento de A es un elemento de B.
 Esta relación entre conjuntos se simboliza por A  B, que se lee “A es un
subconjunto de B”, o “A esta incluido en B”;
 Simbólicamente se escribe A  B sí y sólo sí xA implica xB;
 Todo conjunto puede ser considerado subconjunto de sí mismo; esto es que
para todo conjunto A, AA;
 Si B contiene elementos que no son elementos de A, entonces A es un
subconjunto propio de B y se simboliza AB.
 Si A contiene elementos que
no pertenecen a B, entonces A
no es
subconjunto de B y se escribe AB.
EJEMPLOS:
1.- X = {3,4,5} es subconjunto propio del conjunto Y = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ya que los
números 3,4, y 5 de X también pertenecen al conjunto Y.
297
2.- Sea U = {x / x es un numero positivo} y M = {1,3,5,7,9} entonces M es subconjunto
propio de U, ya que los números 1,3,5,7, y 9 son positivos.
3. Si A = {a,e,i,o,u}, entonces AA.
A.9 IGUALDAD DE CONJUNTOS
Se dice que dos conjuntos A y B son iguales si cada elemento de A
pertenece a B y cada elemento de B también pertenece a A, es decir AB y BA.
Lo escribimos A=B y se lee “A es igual a B”.
EJEMPLOS:
1.- Si A = {x | x2 + x – 6 = 0} y B = {2,-3}, entonces A = B.
2.- Si M={1,4,7,9} y T={7,1,4,9} entonces M=T
A.10 CONJUNTOS DISJUNTOS
Como consecuencia inmediata de la definición anterior tenemos el caso en el
que dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento en común, entonces serán
conjuntos disjuntos.
 Esta relación es simbolizada así AB y se lee “A disjunta de B”.
EJEMPLOS:
1. A = {x/x es número par} y B = {x/x es número impar}, tenemos entonces que A y B
son disjuntos porque no tienen ningún elemento común, AB.
2. M = {a,e,i,o,u} y N = {1,2,3,4,5} también son disjuntos, es decir M N.
A.11 DIAGRAMAS DE VENN
Las relaciones entre conjuntos pueden a menudo visualizarse más claramente
mediante una gráfica. Los más comunes son los Diagramas de Venn (llamados así en
honor al lógico inglés John Venn (1834-1883 ) y pueden usarse para resolver
problemas con cualquier número finito de conjuntos, por ejemplo ver si son disjuntos, o
si son subconjuntos e incluso hacer operaciones entre ellos.
Para construir diagramas de Venn consideraremos que:
298
 El conjunto Universal se representa siempre con un rectángulo.
 Los conjuntos se representan con figuras cerradas que pueden ser
círculos, elipses o cualquier otra siempre dentro del rectángulo que
representa al conjunto universal al que pertenecen.
 Si un conjunto tuviera un subconjunto propio, éste se dibuja totalmente
dentro del conjunto que lo contiene.
EJEMPLOS:
Representamos con Diagramas de Venn los siguientes casos:
1.- El conjunto X={3,4,5} y el conjunto Y={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
U
Y
1
2
6
7
X
3
8
5
9
4
2.- El conjunto U={x/x es un numero positivo} y M={1,3,5,7,9}
U
M
1
3
5
7
7
9
EJERCICIOS No. 35
1. Si A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4} y C = {2, 4, 5}, subraya las proposiciones que son
verdaderas:
a. A  B
e. C  A
b. A  C
f. C  B
c. B  A
g. C  C
d. B  C
h.   B.
299
2. En los siguientes ejemplos verifica la igualdad de los conjuntos y dí si son de igual
tamaño:
a) A = {7,8,9}, B = {9,7,8}
b) A = {1,3,5}, B = {2,4,6}
c) A = {x/x2 = 1}, B = {1, -1}
3. Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} el conjunto universo y sean X = { 1, 2, 3, 4, 5}, Y = {1,
2, 3} y Z = { 4, 6, 8 }; utilice el diagrama de Venn para representar estos conjuntos.
4. Si A = { a, b}, use uno de los símbolos { }, , , , ó  para hacer verdadera cada
una de las siguientes expresiones:
a) a
A
d) b
b) a  A
c) {a,b}
e) {a}
A
A
A
f) b  {a,b}
g) c
A
h) b  {b}
i) {a,c} A
5. Dados los conjuntos A = {1,2,3}, B = {1,3,5}, C = {2,4,6}, D = {1,2,3,4,5} y
E = {1,2,3,4,5,6,7}, determine cuáles de los enunciados siguientes son verdaderos y
cuáles son falsos:
a) A  B
e) B  D
i)   A
b) A  D
f) E  E
j) D  E
c) B  B
g) B  C
k) A = C
d) A  E
h) C  D
l) C
A.12 EL CONJUNTO POTENCIA.
El conjunto potencia de un conjunto X es el conjunto de todos los
subconjuntos disjuntos que se puedan formar de X. Lo denotamos con P(X).
EJEMPLOS:
1. Si A = {a,b,c}, los miembros de P(A) son {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}
Observemos lo siguiente: n(A) = 3 porque el conjunto A tiene 3 elementos y n(P(A)) =
8, es decir n(P(A))= 23.
300
2. Si S ={a,e,i,o,u}, entonces P(A) ={ , {a}, {e}, {i}, {o}, {u}, {a,e}, {a,i}, {a,o}, {a,u}, {e,i},
{e,o}, {e,u}, {i,o}, {i,u}, {o,u}, {a,e,i}, {a,e,o}, {a,e,u}, {a,i,o}, {a, i,u}, {a,o,u}, {e,i,o}, {e,i,u},
{e,o,u}, {i,o,u}, {a,e,i,o}, {a,e,i,u}, {a,e,o,u}, {a,i,o,u}, {e,i,o,u}, {a,e,i,o,u}}
Nuevamente, n(S) = 5, y n(P(S)) = 32 = 25
Si la cardinalidad de un conjunto A es n, entonces la cardinalidad de
P(A)=2n.
EJERCICIOS No. 36
1. Para el conjunto { 1, 2, 3 , 4} enliste los subconjuntos que contienen:
a. cuatro elementos
d. un elemento
b. tres elementos
e. ningún elemento
c. dos elementos
2. Determine la cardinalidad del conjunto potencia de {1,2,3,4}.
3. Sea A = { mercurio, venus, tierra, marte}, escriba P (A) y diga cuál es n(P(A))
4. Determine la potencia del B={Marian, Diana, Alex} y grafíquela con un diagrama de
Venn.
A.13 OPERACIONES CON CONJUNTOS
Como en todas las áreas de las matemáticas, los objetos de estudio se relacionan e
incluso se puede hacer operaciones con ellos. En el caso de los conjuntos también
sucede esta situación. Definiremos algunas operaciones importantes:
A.13.1 UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que
pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B, esto es , A ó B.
 Esta unión la simbolizamos por A  B, que se lee “A unión B”
 Simbólicamente escribimos AB = {x | x  A ó x  B}
 Para dos conjuntos cualesquiera A y B se cumple que:
301
a. A  A B
e. A A = A
b. B  A B
f. A U = U
c. A B = B A
g. A  Ā = U
d. A   = A
 Para tres conjuntos cualesquiera A, B y C, se cumple que
(A  B )  C = A  (B  C)
Las operaciones con conjuntos también pueden representarse con Diagramas
de Venn: en el caso de la unión de conjuntos se sombrea el área correspondiente al
conjunto que resulta de esta operación; por ejemplo:
1. 1. Sea A ={ a, e, i, o, u} y B ={1,2,3,4,5}, entonces AB = {a,e,i,o,u,1,2,3,4,5}; en el
siguiente diagrama de Venn el área sombreada es la que corresponde al nuevo
conjunto AB.
A
B
e
i
o
a
2
5
1
u
3
4
2. Sea M ={Juan, Carlos, Mary, Luis} y N ={Lucy, Juan, Carmen, Sara, Mary, Sonia},
luego tenemos que MN ={Juan, Carlos, Mary, Luis, Lucy, Carmen, Sara, Sonia},
nótese que en el caso de que dos conjuntos tengan elementos comunes al hacer la
unión de ellos solo se escriben una vez los elementos iguales, buscando entrelazar las
figuras que representan los conjuntos para poner allí los elementos comunes. Si
queremos verlo en un diagrama de Venn quedaría así:
M
Lucy
Carlos
Luis
Juan
Mary
N
Carmen
Sara
Sonia
302
A.13.2 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
La intersección de los conjuntos es otra operación importante: si tenemos los
conjuntos A y B, la intersección es el conjunto de los elementos que son comunes
a A y B; es decir, aquellos elementos que se encuentran en A pero también en B.
 Esta intersección la simbolizamos por AB y se lee “A intersección B”
 Escribimos A B = {x|x  A y x  B}
 Para dos conjuntos cualesquiera A y B, se cumple que:
a. AB  A
f)
AĀ=
b. AB  B
g) A  U = A
c. AB = B  A
h) A  (A  B) = A, A  (A  B) =
d. A   = 
A
e) A  A = A
i)
(A  B)  C = A  (B  C)
 Para tres conjuntos cualesquiera A, B y C, se cumple que:
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (A  B) = A, A  (A  B) = A
EJEMPLOS:
1. Si A = {2,4,6,8,10} y B = { 1,2,3,4,5,6} entonces AB = {2,4,6}, en un diagrama
quedaría así:
A
8
3
4
10
6
B
1
2
5
La zona sombreada
corresponde a la
intersección de los
conjuntos A y B
303
2. Sea M = {Juan, Carlos, Mary, Luis} y N = {Lucy, Juan, Carmen, Sara, Mary, Sonia},
tenemos pues que MN ={ Juan, Mary}
M
N
Juan
Carlos
Mary
Luis
Lucy
Sara
Carmen
Sonia
A.13.3 DIFERENCIA DE CONJUNTOS:
Se llama diferencia de los conjuntos A y B al conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B.
 Se simboliza con A-B, que se lee “A diferencia de B” o “ A menos B”.
 Lo escribimos así A – B = {x | x  A y x  B}
EJEMPLO
Si A = {1,3,5} y B = {4,5,6}, entonces
A - B = {1,3}
B - A = {4,6}
Gráficamente quedaría así:
B-A
A-B
A
B
1
3
5
A
B
1
4
6
5
3
4
6
EJERCICIOS No. 37
1. Sean A y B dos conjuntos, contesta y argumenta tu respuesta
a. Si a  A, debe entonces a  AB?
b. Si a  A, debe entonces a  AB?
c. Si a  AB, debe entonces a  A?
d. Si a  AB, debe entonces a  B?
e. Si a  AB, debe entonces a  AB?
f. Si a  AB, debe entonces a  A?
g. Si a  AB, debe entonces a  B?
304
h. Si a  AB, debe entonces a  AB?
i. Si A B y a  A, debe entonces a  B?
j. Si A B y a  AB, debe entonces a  A?
k. Si A B y a  AB, debe entonces a  A?
2. Sea A = { m, a, t, e, i, c, s} y B = { c, o, n, j, u, t, s}; determine y grafique:
a. AB
b. AB
c. A – B
d. Diga cuál es la cardinalidad de los conjuntos formados en los incisos 1 a 3.
3. Sea A = { x/x es una letra del alfabeto} y B = { a, e, i, o, u}, determine y grafique:
a. AB
b. AB
c. A – B
d. Diga cuál es la cardinalidad de los conjuntos formados en los incisos 1 a 3.
4. Dados A = {a,b, c, d ,e}, B = {a, p, q, r, s, b}, C = {e, p, q, c} y D= {a, d, r} enumere los
elementos de los conjuntos siguientes y grafíque:
m. A-B
a. AB
g. AB
n. A-C
b. AC
h. AC
o. A-D
c. AD
i. AD
p. B-C
d. BC
j. BC
q. B-D
e. BD
k. BD
r. C-D
f. CD
l. CD
A.13.4 COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Ya hemos definido el conjunto universal como el conjunto que contiene la
totalidad de miembros que pueden ser considerados como elementos de cualquier
conjunto. Dado un conjunto universal U y un subconjunto A de U, el conjunto U A es el complemento de A y se denota con A’ ó Ā.
 Simbólicamente escribimos A’={x/x A}
 (A’)’=A
 ’=U
 U’=
 (AB)’= A’  B’
 (AB)’= A’ B’
305
EJEMPLOS:
1. Sea A = {1,3,5}. Si el conjunto universal U se especifica como U = {1,3,5,7,9},
entonces U-A = A’= {7,9}. Es claro que el complemento depende del universo con el
cual estamos trabajando.
2. Si U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A = {1,2,3,4,5} y B = {2,4,6,8}; entonces tenemos
que
A’=U-A={0,6,7,8,9}, luego B’= {0,1,3,5,7,9}.
EJERCICIOS No. 38
1. Sea U = { vaca, gallina, cerdo, toro, perro, gato, elefante, canario, avestruz, cabra },
A = { vaca, cerdo, cabra, avestruz, canario }, B = {gallina, toro, cabra, cerdo }, C =
{avestruz, perro, gato, elefante}, determine:
a. A’
e. (AB)’
i. (AUBC)’
b. B’
f. (AUC)’
j. (ABC)’
c. C’
g. (AC)’
d. (AUB)’
h. (AUBUC)’
2. U = {x/x es letra del alfabeto}, A={a,e,i,o,u} y B= {x/x es consonante del alfabeto},
determina y representa gráficamente los siguientes conjuntos:
a. AB
e. A’
i. U
b. AB
f. B´
j. (U)’
c. A
g. (AB)’
d. B
h. (AB)’
3. Demuestre mediante diagramas de Venn las siguientes propiedades:
 (A’)’=A
 ’=U
 U’=
306
A.13.5 PRODUCTO CARTESIANO O MULTIPLICACIÓN DE
CONJUNTOS
Al inicio de esta sección señalamos que un conjunto es una colección de
elementos; es decir, un conjunto queda determinado por sus elementos y no por algún
orden particular de enumerar éstos. Sin embargo, a veces es necesario tomar en
cuenta el orden. Un par ordenado de elementos, que se escribe (a,b) se considera
distinto del par ordenado (b,a), a menos, por supuesto, que a = b. Dicho de otra forma,
(a,b) = (c,d) si y sólo si a=c y b=d. Si X y Y son conjuntos, X  Y denota el conjunto
de todos los pares ordenados (x,y) tales que x  X y y  Y. X  Y es el producto
cartesiano de X y Y.
 Simbólicamente X  Y = {(x,y) / xA & y  Y}
 En general X  Y  Y  X.
 Las listas ordenadas no tienen por qué ser de dos elementos.
 Una n-ada, que se escribe (a1, a2,…, an), toma en cuenta el orden:
(a1, a2,…, an) = (b1, b2,…, bn) sí y sólo sí a1 = b1, a2 = b2,…, an = bn.
 El producto cartesiano de conjuntos X1, X2,…, Xn se define como el
conjunto de todas las n-adas (x1, x2,…, xn), donde xi  Xi para i =
1,…,n.
EJEMPLO
1. Si X = {1,2,3} y Y = {a,b}, entonces
X  Y = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}
Y  X = {(a,1), (b,1), (a,2), (b,2), (a,3), (b,3)}
X  X = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
Y  Y = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)}
En este ejemplo se puede ver que, en general , X  Y  Y  X.
2. Un restaurante sirve cuatro entradas r = costillas,
n = nachos,
s = camarón,
= queso fundido y tres platos principales c = pollo,
b = filete de res,
f
t = trucha
307
Si A = {r, n, s, f} y M = {c, b, t}, el producto cartesiano A  M indica las 12
posibles comidas que constan de una entrada y un plato principal.
3. Si X = {1, 2},
Y = {a, b},
Z = {, }, entonces
X  Y  Z = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ), (2, a, ), (2, b, ), (2, b, )}.
EJERCICIOS No. 39
1. Sea X = { 1,2,3,4}, Y = { a,b,c,d,e }, Z = { O, X }, determine:
a. X x Y
d. Y x Z
b. Y x X
e.
XxYxZ
c. X x X
f.
ZxX
2. Si A={Mercurio, Venus, Tierra }, B = {Júpiter, Saturno, Marte} y C = {Urano,
Neptuno, Plutón}, determine:
a. A x B
e. C x A
b. B x A
f. C x B
c. B x C
g. A X B X C
d. A x C
308

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